Програмні інструментальні засоби перетворення математичних моделей динамічних об’єктів

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛЮВАННЯ В ЕНЕРГЕТИЦІ

ім. Г.Є. ПУХОВА

АВТОРЕФЕРАТ

Програмні інструментальні засоби перетворення математичних моделей динамічних об'єктів

01.05.03 -- математичне та програмне забезпечення обчислювальних машин і систем

Дячук Олександр Анатолійович

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті проблем моделювання в енергетиці

ім. Г.Є. Пухова НАН України.

Науковий керівник член-кореспондент АПН України,

заслужений діяч науки і техніки України,

доктор технічних наук, професор

Верлань Анатолій Федорович,

Інститут проблем моделювання в енергетиці

ім. Г.Є. Пухова НАН України, завідувач відділу моделювання динамічних систем

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Ляхов Олександр Логвинович,

Полтавський національний технічний університет ім. Ю. Кондратюка,

завідувач кафедри комп'ютерних та інформаційних технологій і систем

кандидат технічних наук,

старший науковий співробітник

Чемерис Олександр Анатолійович,

Інститут проблем моделювання в енергетиці

ім. Г.Є. Пухова НАН України, вчений секретар

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним із напрямків розширення класів задач, що розв'язуються сучасними комп'ютерними засобами, є можливість вибору з багатьох варіантів деякої “найкращої” моделі досліджуваного об'єкту. Зіставлення декількох видів математичних моделей одного і того ж об'єкта дозволяє повніше оцінити їх адекватність, вибрати ту чи іншу модель за умов найбільш ефективної реалізації. Від якості вибраної моделі залежить ефективність результатів дослідження об'єкта в цілому.

Аналіз сучасних середовищ комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів засвідчує, що засобів для еквівалентного та апроксимаційного перетворення математичних моделей недостатньо. Деякі з них дозволяють виконувати лише перетворення моделей, заданих, головним чином, у вигляді передатних функцій, у просторі станів за допомогою лінійних диференціальних і різницевих рівнянь, а також моделей, заданих за допомогою полюсів та нулів системи, структурно-функціональних моделей та понижувати розмірність (спрощувати) моделі.

Засоби, що дозволяють використовувати взаємоперетворення диференціальних, інтегральних або інтегро-диференціальних форм динамічних моделей, практично відсутні. Для їх створення доцільно не тільки розвивати та застосовувати відомі, але й розробляти нові ефективні методи перетворення моделей. Крім того, потрібно забезпечити ефективну алгоритмізацію методів, що застосовуються, винайти та здійснити раціональні шляхи побудови програм цього класу. Тому наукова задача створення алгоритмічних і структурних основ побудови програмних інструментальних засобів перетворення моделей динамічних об'єктів є актуальною. Розв'язання цієї задачі дасть змогу для дослідження широкого класу динамічних об'єктів залучити різні види моделей, оперативно варіювати їх форми в процесі моделювання та значно розширити набір методів і алгоритмів комп'ютерного моделювання. Вирішення цієї проблеми дозволить підвищити ефективність прикладних систем моделювання, що широко використовуються, за рахунок нових комп'ютерних інструментальних засобів дослідження динамічних об'єктів.

Перетворення різних математичних форм зустрічаються в роботах таких класиків математики, як: П.-С. Лаплас, Ж.-Б. Ж.Фур'є, Н.Х. Абель, Г. Хенкель, Л.Б. Гегенбауер, Д. Гільберт, С. Лі, Л.В. Канторович та інші. Вагомий внесок у вирішення сучасних задач аналітичного, чисельно-аналітичного та комп'ютерного перетворення математичних моделей динамічних об'єктів внесли вітчизняні та зарубіжні вчені як: Н.Х. Ібрагімов, Г.Є Пухов, А.В. Горбань А.Ф. Верлань, В.С. Сізіков, В.В. Васильєв, Г.Я. Береговенко, Сімак Л.А., С.Є. Саух, Е.П. Семагіна, В.К. Задірака, С.С. Москалюк, М.К. Фаге, Н.І. Нагнибіда, Е.Дж. Девісон, С.А. Маршал, М.Дж. Янг, Х.Л. Чен, І.Х. Абдель-Халім Хасан та інші.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження проводились автором у відділі моделювання динамічних систем Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, м. Київ. Частина досліджень виконана в рамках науково-дослідних робіт: “Математичні методи і комп'ютерні засоби підвищення роздільної здатності систем технологічного контролю і управління енергогенеруючого обладнання” (шифр “Аспект”, № д/р 0103U000218), “Розроблення інформаційної технології моделювання і розрахунку теплових режимів перспективних конструкцій теплонавантажених елементів та пристроїв засобів обчислювальної техніки та керування” (№ д/р 0104U003807), “Перспективные математические модели процессов в энергетических установках на базе ГТД” (на замовлення ВАТ “Елемент”, м. Одеса, 2007 р.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є створення та реалізація алгоритмічних та структурних основ побудови інструментальних програмних засобів перетворення форм моделей динамічних об'єктів на основі відповідних аналітичних та чисельно-аналітичних методів.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

1. Аналіз можливостей серійних універсальних середовищ інженерних та наукових технічних обчислень при розв'язанні задач перетворення математичних форм моделей динамічних об'єктів та аналіз методів перетворення моделей динамічних об'єктів.

2. Вибір та систематизація методів аналітичного перетворення математичних моделей динамічних об'єктів; дослідження можливостей та шляхів алгоритмізації цих методів.

3. Вибір, структуризація та вдосконалення методів апроксимаційного перетворення моделей динамічних об'єктів, зокрема, заданих у структурно-функціональній формі; представлення цих методів у зручному для алгоритмізації виді.

4. Розробка чисельних алгоритмів для реалізації методів аналітичного та апроксимаційного перетворення моделей динамічних об'єктів, що дозволяють на їх онові будувати ефективні програмні засоби.

5. Створення структури пакету комп'ютерних програм для перетворення моделей динамічних об'єктів, яка передбачає можливості сумісного використання з іншими пакетами, аналізу, корекції та застосування розроблених програм в якості шаблонів для розробки інших програмних засобів, використання довільних обчислювальних платформ.

6. Створення відповідних комп'ютерних програмних модулів -- як самостійних, так і таких, що розширюють прикладні науково-інженерні комп'ютерні середовища засобами перетворення математичних моделей динамічних об'єктів.

7. Апробація програмних засобів при розв'язуванні модельних та прикладних задач.

Об'єктом дослідження є процеси аналітичного, чисельно-аналітичного та комп'ютерного перетворення моделей динамічних об'єктів.

Предметом дослідження є структурні та алгоритмічні основи організації і створення інструментальних програм перетворення різних форм моделей, що описують широке коло задач динаміки.

Методи дослідження. У дисертації для розв'язання поставлених задач використовуються: методи математичного моделювання для побудови та дослідження різних видів моделей динамічних об'єктів; методи теорії автоматичного регулювання для формування та перетворення моделей у вигляді передатних функцій; методи обчислювальної математики для чисельної реалізації математичних методів перетворення в прикладних програмних середовищах; методи обчислювального експерименту для чисельного дослідження різних форм моделей.

Наукова новизна одержаних результатів. У процесі вирішення поставлених задач автором отримано наступні наукові результати:

-- розвинуто ідею та обґрунтовано доцільність оптимізації процесу математичного моделювання динамічних об'єктів шляхом створення програмними засобами набору математичних моделей та вибору з них такої, яка дозволяє забезпечити необхідну якість шуканої моделі, мінімізацію ресурсів ЕОМ та часу комп'ютерної реалізації;

-- удосконалено метод виділення домінантних власних значень моделі, заданої у вигляді системи диференціально-алгебраїчних рівнянь у просторі станів, шляхом введення корегуючої матриці для коректного врахування тих стаціонарних значень складної моделі, що мають бути відкинуті при спрощенні; це дозволяє отримувати спрощену модель, вид якої залишається незмінним як для скалярного, так і для векторного управління;

-- вперше створено алгоритм структурно-функціонального перетворення моделей динамічних об'єктів, який дозволяє записувати макромоделі складних структурно-функціональних моделей у вигляді однієї передатної функції; при цьому вихідний сигнал макромоделі отримується з прийнятною точністю у порівнянні з вихідним сигналом складної моделі;

-- вперше розроблено достатньо повний набір алгоритмів, що забезпечують аналітичне перетворення математичних моделей динамічних об'єктів, заданих у вигляді лінійних: звичайних диференціальних рівнянь або заданих у канонічній формі, інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду, інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра, передатних функцій, а також набір алгоритмів для перетворення нелінійних: звичайних диференціальних рівнянь, в яких одна з похідних входить під знаком неперервної нелінійної функції, інтегральних рівнянь Вольтерра з ядром, що розділяється, інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра, коли ядро інтегральної частини рівняння входить під знаком неперервної нелінійної функції;

-- вперше розроблено групу алгоритмів, які реалізують перший, другий та модифікований методи Девісона і метод Маршала; ці алгоритми дозволяють виконувати апроксимаційне перетворення лінійних моделей динамічних об'єктів, що задані системою диференціальних і різницевих рівнянь у просторі станів (матрицями A, B, C, D);

-- вперше створено основи організації пакету прикладних програм та модулі, що реалізують розроблені алгоритми, які розширюють науково-інженерні моделюючі середовища засобами перетворення математичних моделей динамічних об'єктів.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи, що винесені на захист, отримані автором самостійно. Роботи [5, 8, 10, 12, 13] написані самостійно. В опублікованих працях у співавторстві особисто дисертанту належать такі результати: систематизація методів апроксимації математичних моделей, що базуються на виділенні домінантних власних значень системи [1]; програмна реалізація інтегрального методу відновлення сигналів [2]; алгоритмізація методу допустимих приростів для побудови взаємного відображення управлінь базового і моделюючого об'єктів та його комп'ютерна реалізація [3]; запропоновано метод перетворення Рімана-Ліувілля диференціальної моделі в інтегральну [4]; дослідження представлення різних типів моделей в пакеті System identification toolbox системи MATLAB [6]; дослідження взаємного перетворення різних типів моделей в пакеті System identification toolbox системи MATLAB [7]; запропоновано критерій вибору чисельного методу для досягнення мінімальної похибки розв'язання диференціальних рівнянь при заданій швидкості обчислювача [9]; алгоритмізовано та апробовано метод перетворення інтегральних рівнянь з ядром, що розділяється, в диференціальні рівняння [11].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційних досліджень доповідалися на конференціях: ХХV наук.-техн. конф. молодих вчених і спеціалістів “Моделювання” (Київ, ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2006 р.); Міжнарод. наук.-метод. конф. “Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації” (Кам'янець-Подільський, К-ПДУ, 2006 р.); Міжнарод. наук. конф. “Моделирование-2006” (Київ, ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2006 р.); ХІІІ Всеукр. наук. конф., присвячена 150-річчю з дня народж. Івана Франка “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, ЛНУ ім. І.Франка, 2006 р.); Четверта міжнарод. конф. “Інтелектуальні системи в промисловій автоматизації” (Узбекистан, Ташкент, ТГТУ, 2006 р.); ХХVІ наук.-техн. конф. молодих вчених і спеціалістів “Моделювання” (Київ, ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2007 р.); Міжнарод. симпозіум “Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІІ)”, присвячений 50-річчю створення Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України (заочна форма, смт Кацивелі (Крим), Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2007 р.); Всеукр. наук.-техн. конф. “Комп'ютерна математика в інженерії, науці та освіті” (Полтава, ПолтНТУ, 2007 р.); Міжнарод. наук.-практ. конф. “Інновація-2007” (Узбекистан, Ташкент, ТГТУ, 2007 р.); ХХVІІ наук.-техн. конф. молодих вчених і спеціалістів “Моделювання” (Київ, ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2008 р.); Міжнарод. наук. конф. “Моделирование-2008” (Київ, ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2008 р.); Міжнарод. наук. конф. “Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації” (Кам'янець-Подільський, К-ПНУ, 2008 р.).

Публікації. Основні положення й результати дисертаційного дослідження опубліковані автором самостійно та в співавторстві загалом у 23 наукових працях: 13 -- входять до переліку затверджених ВАК України, серед них 3 -- у науково-фахових журналах та 10 -- у науково-фахових збірниках; решта -- матеріали республіканських та міжнародних конференцій. апроксимаційне перетворення комп'ютерний

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, двох додатків, списку використаних літературних джерел (177 найменувань). Загальній обсяг дисертації -- 202 сторінки, в тому числі 139 сторінок основної частини, 13 таблиць, 36 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи, актуальність проблеми, мету і завдання дослідження, відомості щодо зв'язку обраного напрямку досліджень із планами наукових досліджень організації, де виконана робота, наукову новизну і практичну цінність отриманих результатів, особистий внесок здобувача у працях у співавторстві, дані апробації результатів дослідження та основні положення, що виносяться на захист.

У першому розділі “Проблема перетворення динамічних моделей та підходи до їх розв'язання” для підтвердження практичної доцільності перетворення математичних моделей динамічних об'єктів наведені прикладні задачі, в яких ефективно використовуються методи перетворення. Будь-які дослідження динамічних об'єктів сьогодні виконуються засобами комп'ютерного моделювання, тому для встановлення їх можливостей різного перетворення моделей був проведений аналіз, що виявив наступні недоліки: по-перше, всі серійні засоби моделювання динамічних об'єктів орієнтовані на комп'ютерну реалізацію моделей у вигляді звичайних диференціальних рівнянь або диференціальних рівнянь з частинними похідними; по-друге, недостатньо засобів для реалізації інтегральних або інтегро-диференціальних моделей.

Для усунення цих недоліків доцільно виконувати перетворення диференціальної, інтегральної, інтегро-диференціальної чи інших форм моделей у зручний вид для їх чисельної реалізації. Однак такі потужні пакети, як Mathematica, O-Matrix чи Ox Professional не мають таких можливостей. Універсальні середовища Maple, Scilab дозволяють виконувати лише перетворення лінійних моделей, заданих у вигляді передатних функцій, системи диференціальних і різницевих рівнянь; моделей, заданих за допомогою полюсів та нулів системи; MATLAB на додаток до цього дозволяє виконувати перетворення структурно-функціональних моделей та понижувати розмірність моделей, заданих системами диференціальних і різницевих рівнянь у просторі станів.

Для встановлення форм і типів моделей, що підлягають перетворенню, проведено їх аналіз та класифіковано за такими видами: диференціальні, інтегральні, інтегро-диференціальні моделі, моделі “вхід-вихід”, неперервні та дискретні моделі, що задані в просторі станів системами диференціальних і різницевих рівнянь, та комп'ютерні структурно-функціональні моделі та області їх застосування. Для таких класів моделей систематизовано методи їх перетворення за двома групами: еквівалентні (аналітичні) та апроксимаційні (чисельно-аналітичні). Апроксимаційні методи в свою чергу структуровані, виходячи з простору змінних, в якому відбувається спрощення моделі, відповідно до двох основних просторів, що використовуються при аналізі систем: просторі зображень та просторі станів.

У другому розділі “Методи перетворення моделей динамічних об'єктів” розглянуто підхід до оптимізації процесу моделювання динамічних об'єктів шляхом створення набору різних форм моделей досліджуваного об'єкта та вибору такої моделі, яка дозволяє забезпечити мінімізацію ресурсів ЕОМ, комп'ютерного часу реалізації моделі та необхідної якості шуканої моделі.

Запропонований процес моделювання виглядає наступним чином. Будується фізична модель об'єкта, яка включає в себе повний його опис у фізично змістовних термінах і поняттях, куди без жодних змін і спрощень входить вся теоретична і експериментальна інформація, гіпотези. Далі будується апроксимуюча модель, яка на відміну від фізичної не містить фактів, що мають незначний вплив (у межах деякої точності) за заданих умов на хід процесу або поведінку досліджуваного об'єкта. При цьому велике значення має принцип мінімальної складності апроксимуючої моделі. При всіх спрощеннях і відкиданні різних неістотних (на даному етапі) чинників або малих параметрів необхідно дати оцінку області застосування отриманої моделі.

На наступному кроці будується математична модель, яка розуміється як система рівнянь і співвідношень, що входять до апроксимуючої моделі з чіткою математичною формалізацією всіх співвідношень, умов і обмежень. При цьому зазвичай здійснюється подальше перетворення моделі (зокрема, перехід до безрозмірних величин, що вже не мають безпосередньої фізичної інтерпретації).

Для отримання оптимальної математичної моделі об'єкта пропонується в класичну схему моделювання включити програмний блок-перетворювач моделі, що дозволяє, за допомогою комп'ютерних інструментальних засобів будувати множину можливих еквівалентних і наближено еквівалентних моделей даного об'єкта. Потім за деяким наперед заданим критерієм серед цієї множини вибирається краща (оптимальна) модель. Це дозволить підчас самого процесу моделювання оперативно варіювати формами моделей динамічного об'єкта, використовувати для кожної з них існуючі чисельні методи, кількість і якість яких залежать від виду моделі і умов, в яких перебуває об'єкт.

Для створення такого блока-перетворювача моделі необхідно мати пакет чи бібліотеку програм, які містять модулі-перетворювачі різних форм моделей динамічних об'єктів. Це питання має як теоретичну, так і практичну цінність, оскільки традиційні методи і алгоритми їх реалізації не дають можливості гнучко переходити від однієї моделі системи до іншої в процесі обчислювального експерименту.

Нарешті, одержувані в процесі проведення обчислювального експерименту результати проходять фазу інтерпретації і перевірки на адекватність з вибраною апроксимуючою моделлю. При виявленні адекватності закінчується процес дослідження або відбувається перехід до складнішої апроксимуючої моделі, якщо зіставлення результатів обчислень з даними фізичної моделі показують їх недостатність або неспроможність. В останньому випадку підхід, що використовується, має забезпечувати оперативний вибір іншої апроксимуючої моделі без руйнування самої структури обчислювального процесу і з максимальним використанням отриманих раніше результатів. На цьому ж етапі уточнюють і модифікують модель і методи її дослідження, якщо це необхідно.

Для забезпечення виконання процесу перетворення моделей динамічних об'єктів за основу взяті аналітичні методи:

- перетворення диференціальних моделей в інтегральні, а саме: перетворення з розщепленням, послідовного інтегрування та старшої похідної;

- перетворення інтегро-диференціальних моделей в інтегральні моделі на основі фундаментальної системи розв'язків, старшої похідної та послідовного інтегрування;

- перетворення інтегро-диференціальних моделей в диференціальні моделі методом послідовного диференціювання;

- перетворення інтегральних моделей Вольтерра ІІ роду (коли ядро таке, що розділяється або близьке до цього) в диференціальні моделі;

- перетворення диференціальних рівнянь n-го порядку в систему диференціальних рівнянь 1-го порядку;

- перетворення диференціальних моделей в моделі у вигляді передатних функцій.

Для виконання апроксимаційних перетворень моделей, заданих у вигляді системи диференціально-алгебраїчних рівнянь в просторі станів, доцільно використовувати наступні методи виділення домінантних власних значень:

1. Перший метод Девісона, що дозволяє спрощувати модель об'єкта з достатньо повним відображенням низькочастотних елементів перехідних процесів початкової системи, однак недоліком є те, що режими, які встановилися в апроксимуючій моделі, не завжди збігаються з режимами вихідної системи.

2. Другий метод Девісона, що подібний до першого, але відрізняється для випадків скалярного і векторного керування. Він передбачає введення в спрощену модель Девісона корегуючої матриці D, яка має наступний вигляд:

, ,

де m -- розмірність спрощеної моделі; А, В -- матриці початкової моделі; А*, В* -- матриці спрощеної моделі Девісона. Спрощені моделі, отримані за допомогою другого методу Девісона для скалярного і векторного управління, покращують стаціонарні характеристики звичайної моделі Девісона.

3. Модифікований метод Девісона, що дозволяє будувати однакові моделі як для скалярного, так і для векторного управління. У випадку скалярного управління, а також коли розмірність моделі дорівнює одиниці, модифікований метод виділення домінантних власних значень системи збігається з другим методом Девісона.

Алгоритм побудови спрощеної моделі майже збігається з відповідною процедурою для методу Девісона, відмінність лише полягає у введені корегуючої матриці , що має вигляд:

, ,

де n та m -- розмірності початкової та спрощеної моделей відповідно; -- вектор стану; -- (п -- m)-вимірний вектор стану початкової системи; і -- nЧm і nЧ(n -- m) є квадрантами матриці власних векторів матриці А, тобто

, .

Матриця вводиться для того, щоб коректно врахувати ті стаціонарні значення складної моделі, що мають бути відкинуті при спрощенні.

4. Метод Маршала. Цей метод також дозволяє зберігати режими початкової системи при вхідних ступінчатих сигналах. Однак, якщо функції управління є функціями змінними за часом то стаціонарні значення спрощеної моделі Маршала не обов'язково збігаються зі стаціонарними значеннями початкової системи.

Для нелінійних моделей пропонується використовувати методи:

- перетворення диференціальних моделей в інтегральні, у випадку коли початкові моделі такі, що одна з її похідних входить під знаком неперервної нелінійної функції;

- перетворення інтегральних моделей в диференціальні, коли ядра інтегральних операторів є операторами Вольтерра-Гаммерштейна або Вольтерра-Урисона;

- перетворення інтегро-диференціальних моделей в диференціальні, коли ядра інтегральних частин входять під знаком неперервної нелінійної функції.

У третьому розділі “Алгоритми та засоби комп'ютерного перетворення моделей динамічних об'єктів” розроблено достатньо повний набір алгоритмів, що складають основу побудови комп'ютерних засобів перетворення лінійних та нелінійних моделей динамічних об'єктів на базі усіх запропонованих вище аналітичних та апроксимаційних методів.

Для виконання структурно-функціонального перетворення моделей розроблений відповідний комп'ютерний алгоритм, суть якого полягає в тому, що якщо складна simulink-модель, задана у вигляді системи управління (хоча деякі елементи можуть не входити, однак вони включені для узагальнення складних систем), то для неї може бути побудована макромодель у вигляді однієї передатної функції

У макромоделі вхідний вектор залишається тим самим, що й у початковій моделі, а сама система управління засобами Simulink-MATLAB перетворюється так, що її можна описати за допомогою однієї передатної функції . На виході отримується вектор , що наближено дорівнює вектору зі допустимою точністю.

Для побудови експериментальних програмних модулів-перетворювачів моделей динамічних об'єктів вибрано середовище MATLAB, що дозволяє створювати програмні продукти, важливими характеристиками яких є забезпечення зручностей для користувача за наявності труднощів при підготовці вхідних даних і введенні їх до ЕОМ, а також можливості робити висновки щодо проміжної інформації та кінцевих результатів, відкритості та гнучкості коду. Для створення програмного продукту у вигляді пакету прикладних програм розглянуто такі вимоги, як ефективність, раціональність, модульність.

Враховуючи зазначене вище було організовано систему інструментальних засобів еквівалентного та апроксимаційного перетворення моделей динамічних об'єктів із застосуванням модульного принципу організації (пакет Model Transformation Toolbox, рис. 4).

Пакет складається з дванадцяти основних модулів, призначених безпосередньо для виконання еквівалентного та апроксимаційного перетворення моделей динамічних об'єктів, а саме: diff2int -- звичайного диференціального рівняння в інтегральне Вольтерра ІІ роду; intdiff2int -- інтегро-диференціального рівняння Вольтерра у інтегральне; intdiff2diff -- інтегро-диференціального рівняння Вольтерра у звичайне диференціальне; int2diff -- інтегрального рівняння Вольтерра ІІ у звичайне диференціальне; ode2koshi -- звичайного диференціального рівняння у канонічну форму; msde -- спрощення моделей в просторі станів; diff2tf -- звичайного диференціального рівняння в передатну функцію; struct2tf -- отримання макромоделі структурно-функціональної системи; nldiff2nlint -- нелінійного диференціального рівняння в нелінійне інтегральне; nlintdiff2nldiff -- нелінійного інтегро-диференціального рівняння Вольтерра ІІ роду у нелінійне звичайне диференціальне; nlint2nldiff -- нелінійного інтегрального рівняння Вольтерра ІІ роду у нелінійне звичайне диференціальне; nlint2lint -- лінеаризація нелінійного інтегрального рівняння Вольтерра ІІ роду методом Ньютона-Канторовича. Також пакет містить сім допоміжних модулів, що реалізують: int23t -- метод квадратур для обчислення інтегрального рівняння Вольтера ІІ роду з різницевим ядром; int23txs -- метод квадратур для обчислення інтегрального рівняння Вольтерра ІІ роду з ядром, що розділяється; intdiff23 -- метод квадратур для обчислення інтегро-диференціального рівняння; sde1 -- метод Девісона; sde2 -- метод Маршала; sde3 -- 2-й метод Девісона; sde4 -- модифікований метод Девісона.

Ядра інтегральних операторів і праві частини можна задавати у вигляді масивів або функцій в окремих m-файлах: у першому випадку зменшуються витрати машинного часу, але збільшується обсяг пам'яті; у другому -- навпаки.

Відповідно до вимог, що висуваються перед пакетами прикладних програм комп'ютерного моделювання, у всіх розроблених функціях здійснюється перевірка правильності задання вхідних даних, їх відповідність задачі, що розв'язується, а також забезпечення коректного завершення роботи програми у разі виникнення помилки під час розв'язання задачі.

В четвертому розділі “Аналіз точності результатів перетворення динамічних моделей та розв'язання прикладних задач” наведено основні характеристики модулів пакету Model Transformation Toolbox, описано методику їх застосування та розглянуто сеанс роботи основних програмних модулів на основі тестових прикладів.

Для оцінки результатів роботи пакету запропоновано досліджувати початкові й еквівалентні або наближено еквівалентні їм моделі на стійкість, АФЧХ, відносні, абсолютні та середньоквадратичні похибки. Для цього наведено допоміжні засоби комп'ютерної реалізації диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних моделей та моделей, заданих у просторі станів.

Для розв'язання задачі отримання спрощеної математичної моделі газотурбінного двигуна (ГТД) по каналу подачі палива застосовано модулі пакету Model Transformation Toolbox. Початкова модель ГТД представлена у вигляді функції, яка задана полюсами та нулями системи

, (1)

на вхід якої подається 0.13235 одиниць палива.

Дана модель має третій порядок і існує незручність її застосування при побудові адекватних та комп'ютерно-орієнтованих математичних моделей авіаційних двигунів для стендових досліджень. Тому запропоновано спростити її до другого порядку, а для цього використати простір станів і методи виділення домінантних власних значень, що розглядались вище, оскільки у вигляді (1) не завжди вдається це зробити так, щоб похибка апроксимації була прийнятною. Похибки апроксимації різними методами наведено в табл. 1.

Таблиця 1

Похибки апроксимації моделі ГТД різними методами

№ п/п	Метод	Відносна, %	Середньоквадратична	Середня абсолютна
При імпульсному вхідному сигналі
1	Перший Девісона	7.86•10-2	8.697•10-5	3.013•10-5
2	Маршала	1.61•10-2	1.392•10-5	5.573•10-6
3	Другий Девісона	0.11993	1.231•10-4	5.555•10-5
4	Модифіков. Девісона	7.86•10-2	8.697•10-5	3.013•10-5
5	MatchDC	0.13511	3.8•10-4	2.685•10-4
6	Truncate	0.13511	3.8•10-4	2.685•10-4
При ступінчатому вхідному сигналі
1	Перший Девісона	2.43•10-2	2.658•10-4	2.612•10-4
2	Маршала	1.628•10-3	5.836•10-6	3.865•10-6
3	Другий Девісона	2.287•10-2	1.168•10-4	7.798•10-5
4	Модифіков. Девісона	2.432•10-2	2.658•10-4	2.612•10-4
5	MatchDC	0.21749	1.947•10-3	1.728•10-3
6	Truncate	0.21749	1.947•10-3	1.728•10-3

Найменші похибки апроксимації для моделі (1) отримані при використанні методу Маршала. Методи MatchDC та Truncate, що реалізовані в системі MATLAB її розробниками, показали найгірші результати, і це треба враховувати при проведенні подібних досліджень.

Для усіх отриманих спрощених моделей другого порядку побудовані амплітудно-частотні, фазово-частотні характеристики, графіки реакцій системи на ступінчатий та імпульсний сигнали, діаграми Найквіста (АФЧХ), графіки абсолютних похибок при різних вхідних сигналах (рис. 5-6). Нумерація кривих на рисунках 5-6 відповідає номерам методів апроксимації, наведених у табл. 1. Криві, що відповідають початковій (вхідній) системі (моделі), мають номер -- 0.

при вхідних імпульсному (зліва) та ступінчатому (справа) сигналах

З наведених результатів у табл. 1 та на рис. 5-6 витікає, що для побудови спрощеної моделі ГТД по каналу подачі палива потрібно використовувати метод Маршала. Спрощена модель другого порядку буде мати вигляд:

.

За допомогою пакету Model Transformation Toolbox також було розв'язано наступну прикладну задачу.

Розглянемо систему регулювання подачі палива двигуна внутрішнього згорання (рис. 7), де: K₁=0,318, K₂=45, K₃=0,95, K₄=0,0083, K₅=1,00, Т₁=0,0195, Т₂=0,010, Т₃=2,00, Т₄=0,025, Т₅=0,013, Т₆=0,050, Т₇=0,0065.

Основною змінною системи є швидкість, яка вимірюється за допомогою індикатора швидкості і порівнюється із вхідним сигналом системи. Розбіжність по швидкості діє на підсилювач регулятора двигуна, щоб встановити вхідний сигнал тиску, який задається. Цей тиск додається до того тиску, який створюється кількістю палива, що протікає. Сигнал розбіжності регулятора палива діє на підсилювач регулятора палива. Для заданих робочих умов витрати палива характеризують значення швидкості, що регулюється.

Для даної систем управління побудовано її макромодель у вигляді однієї передатної функції того ж порядку. Макромодель має найпростіший вигляд і з достатньою точністю в інженерних розрахунках апроксимує складну систему управління зі зворотними зв'язками:

. (2)

Похибки апроксимації складної структурно-функціональної моделі системи регулювання подачі палива двигуна внутрішнього згорання представлені в табл. 2.

Таблиця 2

Похибки апроксимації складної моделі її макромоделлю

Тип вх. сигналу	Відносна, %	Середньоквадратична	Середня абсолютна
Ступінчатий	5.5857e-015	2.3028e-015	2.1629e-015
Імпульсний	0	0	0

Для складної моделі і її макромоделі амплітудно-частотна, фазово-частотна характеристики, графіки реакцій моделей на ступінчатий та імпульсний сигнали, діаграма Найквіста (АФЧХ), графіки абсолютних похибок при різних вхідних сигналах зображені на рис. 8-9. Номер один кривої відповідає складній структурно функціональній моделі (рис. 7), а два -- її макромоделі (2).

Запропонований алгоритм структурно-функціонального перетворення моделей і відповідний програмний модуль, що його реалізує, дозволив отримати макромодель системи регулювання подачі палива двигуна внутрішнього згорання (2), яка має практично нульові похибки апроксимації моделі і тому усі її АФЧХ співпадають із складною моделлю (рис. 7).

У додатках подані теоретичні математичні відомості про еквівалентність диференціальних і інтегральних операторів. Зокрема, наведено задачі, на яких базується теорія перетворень: відшукання сукупності функцій, до яких можуть бути застосовані перетворення, та операторів взаємного перетворення цих сукупностей. Розглянуто деякі шляхи еволюційного розвитку теорії еквівалентних перетворень диференціальних та інтегральних операторів. Також в додатках наведені похибки апроксимації та амплітудно-фазово-частотні характеристики для апроксимаційних моделей ГТД по каналу подачі, кількість якого змінюється в межах від 0.13235 до 1 одиниць.

ВИСНОВКИ

У дисертації наведено нове вирішення наукової задачі створення та реалізації алгоритмічних та структурних основ побудови інструментальних програмних засобів перетворення форм моделей динамічних об'єктів скалярно-векторного типу на основі відповідних аналітичних та чисельно-аналітичних методів. В тому числі отримані наступні результати.

1. Встановлено, що відсутність засобів взаємоперетворення диференціальних, інтегральних чи інтегро-диференціальних моделей в серійних засобах комп'ютерного дослідження динамічних об'єктів значно обмежує їх можливості та стримує впровадження моделей на практиці; комп'ютеризація методів перетворення форми моделі дає змогу індивідуалізувати модель динамічного об'єкта в інженерних розрахунках та проектуванні.

2. Розвинуто ідею та обґрунтовано доцільність оптимізації процесу математичного моделювання динамічних об'єктів шляхом створення набору математичних моделей та вибору з них такої, яка дозволяє забезпечити мінімізацію ресурсів ЕОМ, комп'ютерного часу реалізації моделі та необхідної якості шуканої моделі; даний підхід забезпечує створення нових ефективних концептуальних структур програмно-моделюючих комплексів.

3. Удосконалено метод виділення домінантних власних значень моделі, заданої у вигляді системи диференціально-алгебраїчних рівнянь у просторі станів, шляхом введення корегуючої матриці для коректного врахування тих стаціонарних значень складної моделі, що мають бути відкинуті при спрощенні; це дозволяє отримувати спрощену модель, вид якої залишається незмінним як для скалярного, так і для векторного управління.

4. Запропоновано засіб зведення нелінійної моделі Вольтерра до лінійної з можливістю наступного перетворення в систему лінійних диференціальних рівнянь на основі чисельного методу Ньютона-Канторовича для розв'язання інтегральних рівнянь.

5. Створено комп'ютерний алгоритм структурно-функціонального перетворення моделей динамічних об'єктів, який дозволяє для складних структурно-функціональних моделей записувати їх макромоделі у вигляді однієї передатної функції; при цьому вхідний сигнал в макромодель залишається тим самим, а вихідний сигнал з прийнятною точністю наближений до вихідного сигналу складної моделі.

6. Алгоритмізовано ряд методів взаємного перетворення математичних моделей динамічних об'єктів, заданих у вигляді лінійних: звичайних диференціальних рівнянь або заданих у канонічній формі; інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду; інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра; моделей, заданих за допомогою передатних функцій; системою диференціальних і різницевих рівнянь у просторі станів та нелінійних: звичайних диференціальних рівнянь, до яких одна з похідних входить під знаком неперервної нелінійної функції; інтегральних рівнянь Вольтерра з ядром, що розділяється; інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра, коли ядро інтегральної частини рівняння входить під знаком неперервної нелінійної функції.

7. Запропоновано алгоритми виділення домінантних власних значень динамічної системи для побудови програмних засобів спрощення розмірності їх моделей, при застосуванні яких основні властивості системи вищої розмірності зберігаються, а другорядні характеристики, які мало, у порівнянні з іншими, впливають на всю систему, відкидаються.

8. Створено організаційні основи побудови пакету прикладних програм, що містить модулі-перетворювачі моделей динамічних об'єктів і відповідає концептуальним вимогам, що стоять перед такого роду структурами; дана структура може бути реалізована в довільних моделюючих середовищах.

9. На основі названих вище методів та алгоритмів розроблено експериментальний пакет прикладних програм Model Transformation Toolbox, призначений для перетворення математичних моделей динамічних об'єктів в середовищі MATLAB; запропоновано програмні засоби, організовані у відповідності до прийнятої в системі MATLAB концепції пакетів прикладних програм, що дозволяє використовувати такі можливості, як сумісне використання з іншими пакетами прикладних програм, аналіз, корекцію та застосування розроблених функцій в якості шаблонів для розробки нових програм, використання в рамках системи MATLAB на довільній обчислювальній платформі; запропонована методика використання пакету Model Transformation Toolbox для розв'язання конкретних задач.

10. Методом обчислювального експерименту на тестових прикладах перетворення різного роду моделей перевірено програмні модулі, їх ефективність, раціональність, сумісне використання з іншими пакетами, оцінено якість трансформованих моделей.

11. Запропоновані алгоритми та програмні засоби дозволили ефективно розв'язати низку прикладних задач, в тому числі:

-- задачу отримання спрощеної математичної моделі газотурбінного двигуна, що відображає ступінь підвищення тиску, який визначає тягові характеристики ГТД по каналу подачі палива; для цього за допомогою шести методів виділення домінантних власних значень системи шляхом перебору була вибирана модель з найкращими амплітудно-фазово-частотними характеристиками та найменшими похибками апроксимації; за допомогою запропонованого модифікованого методу виділення домінантних власних значень були отримані прийнятні результати, а застосування аналогічних методів системи MATLAB дало значно гірші результати;

-- задачу формування макромоделі системи регулювання подачі палива двигуна внутрішнього згорання, що підтверджує ефективне використання запропонованого в роботі алгоритму структурно-функціонального перетворення моделей лінійних динамічних об'єктів стосовно складних simulink-моделей, заданих у структурному вигляді; у досить великому діапазоні частот отримана макромодель має несуттєві (прийнятні) похибки апроксимації, а амплітудно-фазово-частотні характеристики макромоделі та складної моделі практично не відрізняються.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

У наукових фахових виданнях:

1. Федорчук В. А. Про спрощення динамічних моделей, поданих рівняннями стану / В. А. Федорчук, О. А. Дячук // Зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України. -- К., 2006. -- В.32. -- C. 107-110.

2. Ситник О. О. Математичне моделювання і динамічна корекція системи вимірювання потоків теплового випромінювання / О. О. Ситник, О. А. Дячук, С. М. Одокієнко, В. О. Тихоход // Зб. наук. праць “Вісник ЧДТУ” міжнародної науково-технічної конференції “Датчики, прилади та системи -- 2006”, 18-22.09.2006 р. -- Черкаси, 2006. -- С. 72-75.

3. Верлань А. Ф. Відтворення критичних режимів динаміки рухомих об'єктів натурними імітаторами / А. Ф. Верлань, В. М. Владимиров, О. А. Дячук // Зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України. -- К., 2006. -- В.36. -- C. 115-121.

4. Федорчук В. А. Про один метод побудови інтегральних динамічних моделей керованих систем / В. А. Федорчук, О. А. Дячук, О. В. Козак // Зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України. -- К., 2006. -- В.37. -- C. 130-137.

5. Дячук О. А. Про порівняння деяких методів спрощення динамічних моделей шляхом чисельного експерименту / О. А. Дячук // Зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України “Моделювання та інформаційні технології”. -- К., 2007. -- В.40. -- C. 48-54.

6. Федорчук В. А. Организация средств идентификации динамических объектов в среде MATLAB / В. А. Федорчук, Д. Э. Контрерас, А. А. Дячук // Зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України “Моделювання та інформаційні технології”. -- К., 2007. -- В.41. -- C. 75-83.

7. Федорчук В. А. Представление и реализация динамических моделей в среде Matlab / В. А. Федорчук, А. А. Дячук, В. А. Иванюк // Зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України “Моделювання та інформаційні технології”. -- К., 2007. -- В.40. -- C. 71-77.

8. Дячук О. А. Перетворення моделей динамічних систем / О. А. Дячук // Наукові праці Донецького національного технічного університету. Серія “Інформатика, кібернетика і обчислювальна техніка” (ІКОТ-2007). -- Донецьк: ДонНТУ, 2007. -- В. 8 (120). -- С. 99-106.

9. Верлань А. А. О выборе численных методов решения дифференциальных уравнений для систем моделирования и управления” / А. А. Верлань, Л. А. Митько, А. А. Дячук, В. А. Федорчук // Зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України “Моделювання та інформаційні технології”.-- К., 2007. -- В.44. -- C. 90-95.

10. Дячук О. А. Задача оптимізації комп'ютерного моделювання динамічних систем” / О. А. Дячук // Зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г. Є. Пухова НАН України. -- К., 2007. -- В.43. -- C. 93-99.

11. Дячук О. А Про один метод перетворення моделі динамічного об'єкту / О. А. Дячук, Є. Ю. Карпенко, О. В. Козак, С. М. Одокієнко // Електроніка та системи управління. -- К.: Національний авіаційний університет, 2007. -- № 1(11). -- С. 194-199.

12. Дячук А. А. Аппроксимационные алгоритмы понижения размерности дифференциальной модели динамического объекта / А. А. Дячук // Электронное моделирование. -- 2007. -- 29, № 2. -- С. 39-47.

13. Дячук О. А. Метод отримання спрощеної макромоделі динамічної системи засобами середовища SIMULINK-MATLAB / О. А. Дячук // Математичні машини і системи. -- 2008. -- № 2. -- С. 81-89.

В інших виданнях:

14. Контрерас Д. Е. Методи і комп'ютерні засоби еквівалентного перетворення динамічних моделей / Д. Е. Контрерас, О. В. Козак, О. А. Дячук // Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації: зб. наук. праць за матеріалами між нар. наук.-метод. конф., 12-13 квітня 2006 р. -- Київ-Кам'янець-Подільський: Кам'янець-Подільський державний університет, редакційно видавничий відділ, 2006. -- С. 175-183.

15. Дячук О. А. Апроксимаційні алгоритми пониження розмірності диференціальної моделі динамічного об'єкту / О. А. Дячук // Моделирование-2006: сб. науч. трудов за материалами междунар. научн. конф., 16-18 мая 2006 г. -- К., 2006. -- С. 209-212.

16. 2. Verlan А. F. The method of identification of controlled dynamic objects on the basis of integral models / А. F. Verlan, М. V. Sagatov, А. А. Sytnik, А. А. Djachuk // Intelligent systems for industrial automation: fourth world conference, 21-22 novemb. 2006 y. -- Tashkent, Uzbekistan, 2006. -- С. 28-40.

17. Верлань А. Ф. Оцінка точності спрощених моделей при впливі збурень на вхідний сигнал системи / А. Ф. Верлань, О. А. Дячук // Моделирование-2008: сб. науч. трудов за материалами междунар.науч. конф., 14-16 мая 2008 г. -- К., 2008. -- С. 68-74.

18. Федорчук В. А. Збереження стаціонарних значень вихідної моделі у випадку ступінчатих збурень методом Маршала, при спрощенні динамічних моделей / В. А. Федорчук, О. А. Дячук // Моделювання: наук.-техн. конф. молодих вчених і спеціалістів, 13 січня 2006 р.: тези допов. -- К.: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2006 -- С. 27-28.

19. Верлань А. Ф. Перетворення моделей при дослідженні динамічних систем / А. Ф. Верлань, О. А. Дячук, Д. Е. Контрерас // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: ХІІІ Всеукр. наук. конф. присв. 150-річчю з дня народж. Івана Франка, 3-5 жовтня 2006 р.: тези допов. -- Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І.Франка, 2006. -- С. 30.

20. Дячук О. А. Про порівняння деяких методів пониження порядку динамічних моделей шляхом обчислювальних експериментів / О. А. Дячук // Моделювання: наук.-техн. конф. молодих вчених і спеціалістів, 12-13 січня 2007 р.: тези допов. -- К.: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2007 -- С. 15-16.

21. Верлань А. Ф. Вибір оптимального методу пониження порядку моделі динамічної системи за результатами чисельних експериментів / А. Ф. Верлань, О. А. Дячук // Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІІ): міжнар. симпозіум, присвячений 50-річчю створення Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 23-28 вересня 2007 р., Крим, смт. Кацивелі: тези допов.-- К.: Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, 2007. -- С. 57-58.

22. Верлань А. Ф. “Методы и средства преобразования динамических моделей при исследовании и проектировании технических систем“ / А. Ф. Верлань, А. А. Дячук, М. В. Сагатов // Инновация-2007: междунар. науч.-практ. конф. -- Ташкент: Янги аср авлоди, 2007. -- С. 31-33.

23. Дячук О.А. Комп'ютерний метод отримання спрощеної макромоделі динамічної системи / О. А. Дячук // Комп'ютерна математика в інженерії, науці та освіті (CMSEE-2007): всеукр. наук.-техн. конф., 28-30 листопада 2007 р.: тези допов. -- Полтава: Вид-во ПолтНТУ, 2007. -- С. 4.

АНОТАЦІЯ

Дячук О.А. Програмні інструментальні засоби перетворення математичних моделей динамічних об'єктів. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.03 - Математичне та програмне забезпечення обчислювальних машин і систем. -- Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена створенню та реалізації алгоритмічних та структурних основ побудови інструментальних програмних засобів перетворення форм моделей динамічних об'єктів скалярно-векторного типу на основі відповідних аналітичних та чисельно-аналітичних методів. У роботі розвинуто ідею оптимізації процесу математичного моделювання динамічних об'єктів шляхом створення програмними засобами набору математичних моделей та вибору з них найкращої (оптимальної). Вдосконалено метод виділення домінантних власних значень моделі динамічного об'єкта, який дозволяє коректно врахувати ті стаціонарні значення складної моделі, що мають бути відкинуті при спрощенні. Розроблено пакет прикладних програм, що містить модулі-перетворювачі, які реалізують алгоритми аналітичного, чисельно-аналітичного, структурно-функціонального та комп'ютерного перетворення лінійних і нелінійних моделей динамічних об'єктів.

Ключові слова: алгоритм, оптимізація, математична модель, перетворення, спрощення, апроксимація, структурно-функціональний метод, макромодель, пакет програм, інструментальні засоби.

Дячук А.А. Программные инструментальные средства преобразования математических моделей динамических объектов. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.03 - Математическое и программное обеспечение вычислительных машин и систем. -- Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена созданию и реализации алгоритмических и структурных основ построения инструментальных программных средств преобразования форм моделей динамических объектов скалярно-векторного типа на основе соответствующих аналитических и численно-аналитических методов. В работе развит подход к оптимизации процесса математического моделирования динамических объектов на основе создания программными средствами набора математических моделей и выбора из них такой, которая позволит обеспечить минимизацию ресурсов ЭВМ, компьютерного времени реализации модели и необходимого качества искомой модели. Данный подход обеспечивает создание новых эффективных концептуальных структур программно-моделирующих комплексов.

Предложено использование методов выделения доминантных собственных значений динамической системы для построения программных средств упрощения моделей. Модифицировано один с таких методов, благодаря чему можно корректно учитывать те стационарные значения сложной модели, которые должны быть отброшены при упрощении.

Разработан компьютерный алгоритм структурно-функционального преобразования моделей динамических объектов, который позволяет для сложных структурно-функциональных моделей записывать их макромодели в виде одной передаточной функции.

Создан набор алгоритмов взаимного преобразования математических моделей динамических объектов, заданных в виде линейных: обычных дифференциальных уравнений либо заданных в канонической форме; интегральных уравнений Вольтерра ІІ рода; интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра; моделей, заданных при помощи передаточных функций; системой дифференциальных и разностных уравнений в пространстве состояний и нелинейных: обычных дифференциальных уравнений, у которых одна из производных входит под знак непрерывной нелинейной функции; интегральных уравнений Вольтерра с разделяющимся ядром; интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра, когда ядро интегральной части уравнения входит под знаком непрерывной нелинейной функции.

На основе названых выше методов и алгоритмов разработан экспериментальный пакет прикладных программ Model Transformation Toolbox, предназначенный для преобразования моделей динамических объектов в среде MATLAB. Предложенные программные средства организованы в соответствии с принятой в системе MATLAB концепцией пакетов прикладных программ, что позволяет совместно использовать их с другими пакетами прикладных программ, проводить анализ, коррекцию и применение разработанных функций в качестве шаблонов для разработки новых программ. Предложена методика использования пакета Model Transformation Toolbox для решения конкретных задач.

Методом вычислительного эксперимента на тестовых примерах преобразования разных форм моделей проверено программные модули, их эффективность, рациональность, совместное использование с другими пакетами, оценено качество трансформируемых моделей.

...