Стійкість динамічних систем з післядією випадкової структури з врахуванням марковських збурень

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ ІМЕНІ

АКАДЕМІКА В.М. ГЛУШКОВА

УДК 519.7

Автореферат

на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

СТІЙКІСТЬ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ПІСЛЯДІЄЮ ВИПАДКОВОЇ СТРУКТУРИ З ВРАХУВАННЯМ МАРКОВСЬКИХ ЗБУРЕНЬ

Спеціальність 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики

ДОРОШЕНКО ІРИНА ВІКТОРІВНА

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі математичних методів дослідження операцій Інституту кібернетики НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

КНОПОВ Павло Соломонович,

Інституту кібернетики НАН України

завідувач відділу математичних методів

дослідження операцій.

Офiцiйнi опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор

КОРОЛЮК Володимир Семенович,

академік НАН України

Радник при дирекції Інституту математики НАН України;

кандидат фізико-математичних наук

ЧИКРІЙ Грета Цолаківна,

старший науковий співробітник

відділу економічної кібернетики

Захист відбудеться "28" листопада 2008 р. о 12⁰⁰ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 в Інституті кібернетики НАН України за адресою: Київ, просп. Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічному архіві Інституту кібернетики НАН України за адресою: Київ, просп. Академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий " 24 " лютого 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

стохастичний ляпунов марковський стійкість

Актуальність теми. У більшості динамічних системах (моделі “хижак-жертва”, задачі теорії в'язкопружності, керування об'єктом за звуком, процес різання на верстаті тощо) майбутній стан цієї системи залежить від минулих станів системи. Тому врахування післядії в математичних моделях дозволило багатьом дослідникам одержувати результати, які добре узгоджуються з реальними явищами. Безліч цікавих прикладів, що підтверджують це твердження містяться у відомих монографіях Дж. Хейла, Р. Беллмана, К.Л.Кука, Л.Б. Ельсгольца, Д.Д. Мишкіна, М.М. Красовського, Н.В.Азбєлєва і В.П. Максимова та інших. У цих працях, що присвячені теорії та застосуванням диференціальних рівнянь, поряд з шуканою функцією містяться її значення у різні моменти часу. Ці рівняння зовні здаються простими, а за формою запису мало відрізняються від аналогічних математичних моделей, що не мають післядії. Але ця простота є оманою: розв'язати такі диференціальні рівняння з післядією у явному “буквеному” вигляді практично ніколи не вдається. Наприклад, врахування часу розвитку виду у простій моделі приводить до рівняння для “біомаси” , що записуються у формі

.

Розв'язок цього рівняння для не викликає труднощів. Для тільки опис якісного аналізу цього рівняння для “біомаси” вимагає застосування самих сучасних математичних методів. Але мета справджує усі засоби: вдається виявити існування стійкого періодичного режиму коливання кількості виду при деяких співвідношеннях між та .

Якщо аналіз моделі на детермінованому рівня не дає задовільного результату, то подальше вивчення поведінки реальних об'єктів потребує врахування випадкових збурень. Випадкові збурення параметрів системи можуть не тільки кількісно, але й якісно відображатися на результатах аналізу динаміки систем (див. монографії В.С. Королюка, Й.І. Гіхмана, А.В.Скорохода, Р.З. Хасьмінського, В.Б. Колмановського, Є.Ф.Царькова, І.Я. Каца і М.М. Красовського, Д. Г. Коренєвського, В.К. Ясинського та інших). Аналіз цих праць дозволяє зробити висновок, що одержання результатів у формі, зручної для застосувань, наштовхуються на серйозні труднощі, які пов'язанні зі складністю ймовірнісних математичних моделей.

Все вищесказане дозволяє зробити висновок про актуальність розвитку методів аналізу стійкості (перший і другий методи А.М. Ляпунова та метод функціоналів Ляпунова-Красовського) в системах диференціальних рівнянь, що містять значення невідомих функцій у різні моменту часу, так звані диференціально-функціональні рівняння зі скінченою або необмеженою післядією. Тому тема дисертації є актуальною і своєчасною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках науково-дослідної теми “Дослідження властивостей стохастичних моделей, які описуються функціонально-диференціальними рівняннями з випадковими збурюваннями” (номер державного реєстру 0102U006591).

Мета дослідження: розглянути і розв'язати проблему стійкості розв'язків ДФР зі скінченною післядією з марковськими параметрами типу дискретних ланцюгів Маркова і неперервних процесів Маркова.

Об'єкт дослідження: стохастичні диференціально-функціональні рівняння (СДФР) зі скінченною післядією, які містять як вінерові (неперервні), так і пуассонові (стрибкоподібні) збурення; ДФР зі скінченною післядією з марковськими параметрами.

Предмет дослідження: задача Коші для СДФР зі скінченною післядією, задача Коші для ДФР з марковськими параметрами.

Методи дослідження: стохастичний аналіз (теорія випадкових процесів, теорія ймовірностей), теорія стійкості (метод функціоналів Ляпунова-Красовського).

Наукова новизна одержаних результатів. Усі теоретичні результати є новими чи істотно розвивають і узагальнюють відомі результати інших дослідників СДФР.

До наукових результатів слід віднести:

1) обґрунтування поняття похідної Ляпунова на розв'язках ДФР зі скінченною післядією з марковськими параметрами (ДФРзМП);

2) введення означення функціонала Ляпунова-Красовського для ДФРзМП;

3) доведення формули і нерівності Динкіна в силу ДФРзМП;

4) одержання достатніх умов асимптотичної р-стійкості , глобальної експоненційної р-стійкісті тривіального розв'язку ДФРзМП;

5) теорема про асимптотичну стохастичну стійкість;

6) теорема про стійкість за першим наближенням ДФРзМП;

7) теореми про зв'язок сильної експоненційної р-стійкісті тривіального розв'язку ДФРзМП та його асимптотичної стохастичної стійкості;

8) одержання достатніх умов експоненційної стійкості у середньому квадратичному систем лінійних ДФРзМП;

9) аналіз стійкості систем СДФР з пуассоновими перемиканнями (СДФРзПП) та скінченною післядією (обґрунтування марковської властивості операторів зсуву на розв'язках СДФРзПП, визначення класів функціоналів Ляпунова-Красовського та обчислення для них слабкого інфінітезимального оператора, встановлення зв'язків стійкості для розв'язків СДФРзПП);

10) доведення прямих теорем Ляпунова для систем СДФРзПП;

11) дослідження модельних задач на стійкість у різних ймовірнісних розуміннях;

12) одержання достатніх умов стійкості розв'язків лінійного ДФРзМП, які є розв'язками систем СДФРзПП;

13) доведення прямої і оберненої теорем Ляпунова для експоненційної р-стійкісті лінійного ДФРзМП.

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження носять як теоретичний, так і практичний характер. Результати дисертації можуть бути використані для дослідження систем автоматичного регулювання; фізичних, біологічних, економічних процесів, що містять запізнення; систем в'язкопружності тощо.

Особистий внесок. Основні результати дисертації (доведення теорем, лем та проведення дослідження) одержані автором самостійно. У спільних роботах [2], [4] професору В.К.Ясинському належить постановка задач та обговорення одержаних результатів; доцентом Л.І. Ясинській запропоновано деякі модельні задачі. У роботах [3], [6], [7] професору В.К.Ясинському належить постановка задач, визначення загальних схем дослідження та аналіз одержаних теоретичних результатів. У роботі [5] професору Є.Ф. Царькову належить постановка задачі, обговорення одержаних результатів належить професорам Є.Ф. Царькову та В.К.Ясинському.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на наукових семінарах кафедри математичної і прикладної статистики (Чернівці, 2004-2006 рр.), на міському семінарі “Стійкість, стабілізація та оптимізація стохастичних динамічних систем” (Чернівці, 2005-2006 рр.), на науковому семінарі відділу 130 математичних методів дослідження операцій Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України (Київ, 2005-2006 рр.), а також на конференціях:

· міжнародна конференція “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання ” (Чернівці, 2001);

· ІХ міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука (Київ, 2002);

· International Conference on Functional Analysis and its Applications Dedicated to the 110-th Anniversary of Stefan Banach (Lviv, 2002);

· міжнародна науково-практична конференція “Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології ” (Чернівці, 2004, 2006);

· International Conference "Dynamical system modelling and stability investigation" (Kyiv, 2005);

· Международная конференція “Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры” (Бєларусь, Брест, 2005);

· International Conference Problems of Decision Making Under Uncertainties (Skhinytsia, 2006).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 7 статтях, з яких 5 у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, а також у 10 тезах конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу і чотирьох розділів. Загальний обсяг дисертації - 138 сторінок, список використаних джерел займає 13 сторінок (140 посилань).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладено історико-бібліографічний огляд проблеми стійкості динамічних систем випадкової структури зі скінченною післядією.

Розділ 1 містить порівняння одержаних результатів в дисертації з відомими результатами цієї проблеми. Викладено коротко теоретичні та прикладні результати наступних розділів.

У розділі 2 досліджується стійкість диференціально-функціональних рівнянь з марковськими параметрами (ДФРзМП) і скінченною післядією методом функціоналів Ляпунова-Красовського.

У підрозділі 2.1 зроблена постановка задачі.

Нехай на ймовірнісному просторі з потоком -алгебр задано випадковий процес диференціально-функціональним рівнянням

(1)

за початковими умовами

,(2)

де ; - стохастично-неперервний однорідний марковський процес з неперервними справа реалізаціями на компактному фазовому просторі ; - неперервне відображення за аргументами.

У підрозділі 2.1 введено означення стохастично стійкого, асимптотично стохастично стійкого, локально асимптотично стохастично стійкого, р-стійкого, експоненційно р-стійкого, сильно експоненційно р-стійкого тривіального розв'язку ДФРзМП (1), (2).

У підрозділі 2.2 обгрунтовано означення та обчислено похідну Ляпунова на розв'язках ДФРзМП (1), (2) за допомогою інфінітезимального оператора.

Для скалярного неперервного функціоналу

,(6)

для якого виконана глобальна умова Ліпшиця за другим аргументом та умова глобальної обмеженості типу (5), визначено слабкий інфінітезимальний оператор.

Теорема 2.1. Якщо неперервний функціонал (6) задовольняє глобальну умову Ліпшиця типу (4), то

.(8)

Верхнім слабким інфінітезимальним оператором на розв'язках (1), (2) назвемо вираз

.(9)

Означення 2. Якщо функціонал неперервний за всіма аргументами та задовольняє умови

(11)

то такий функціонал назвемо функціоналом Ляпунова-Красовського.

Підрозділ 2.3 містить загальні теореми Ляпунова про стійкість тривіального розв'язку ДФРзМП. Встановлено твердження про оцінки розв'язків .

Теорема 2.2. Нехай : 1) ; 2) виконано умови леми 2.3; 3) існує функціонал Ляпунова-Красовського , такий що

(13)

тоді тривіальний розв'язок задачі (1), (2) є асимптотично р -стійким.

Теорема 2.3. Якщо виконані умови теореми 2.2 , то тривіальний розв'язок задачі (1), (2) є глобально експоненційно p-стійким.

Теорема 2.4. Якщо виконана локальна умова Ліпшиця, та існує функціонал Ляпунова-Красовського, що задовольняє умовам теореми 2.2, то тривіальний розв'язок задачі (1), (2) асимптотично стохастично стійкий.

Доведено твердження (теорема 2.8), що при певних умовах з сильно глобально експоненційної р -стійкісті тривіального розв'язку задачі (1), (2) випливає локальна стохастично асимптотична стійкість тривіального розв'язку рівняння (14).

Встановлено достатні умови того, що експоненційно р -стійкий тривіальний розв'язок задачі (1), (2) стає сильно експоненційно р -стійким (теорема 2.6).

Також встановлено, що з сильно експоненційної р-стійкісті тривіального розв'язку задачі (1), (2) випливає його асимптотична стохастична стійкість (теорема 2.7).

У підрозділі 2.5 розглянуто стійкість систем ДФР з дискретними марковськими параметрами.

Доведено пряму теорему Ляпунова (теорема 2.9) для функціонала Ляпунова-Красовського, тобто при виконанні умови (13) тривіальний розв'язок задачі (15), (2) є експоненційно стійким у середньому квадратичному.

Одержані теоретичні результати розділу 2 проілюстровано на модельних задачах.

У розділі 3 розвинуто другий метод Ляпунова для аналізу стійкості систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з пуассоновими перемиканнями (СДФРзПП).

Підрозділи 3.1 та 3.2 присвячено обговоренню існування єдиного з точністю до стохастичної еквівалентності розв'язку систем СДФРзПП на ймовірнісному просторі

(17)

за початковими умовами

для (18)

У підрозділі 3.2 доведено марковську властивість оператору зсуву

.

У підрозділі 3.3 введено означення верхнього слабкого інфінітезимального оператора на розв'язках СДФРзПП (17), (18) від функціоналу Ляпунова-Красовського (див. (3.7), (3.8)), у лемі 3.4 обгрунтована формула Є.Б.Динкіна для регулярного марковського процесу.

Підрозділ 3.4 містить класифікацію функціоналів Ляпунова-Красовського з області визначення слабкого інфінітезимального оператора на розв'язках СДФРзПП (17), (18).

У підрозділі 3.5 обґрунтовано другий метод Ляпунова для СДФРзПП. 3.5.1 містить основні означення стійкості у середньому квадратичному, асимптотичної стійкості у середньому квадратичному, експоненційної стійкості у середньому квадратичному, асимптотично стохастичної стійкості тривіального розв'язку (17), (18) (означення 3.4 - 3.11).

У пункті 3.5.2 доведено наступне твердження про зв'язок стійкості тривіального розв'язку систем СДФРзПП (17), (18):

- якщо системи (17), (18) експоненційно стійкий для , то цей розв'язок асимптотично стохастично стійкий (теорема 3.6);

- за певних умов з екпоненціної стійкості в випливає його асимптотична стохастична стійкість (теорема 3.7).

У пункті 3.5.3 обгрунтовано метод функціоналів Ляпунова-Красовського для (17), (18) .Розглядається такий, що деяких , , , ; виконується нерівність

.(28)

Теорема 3.8. Нехай:

1) виконана глобальна умова Ліпшиця для коефіцієнтів-функціоналів за другим аргументом;

2) ;

3) існує функціонал з властивістю (28)

.(29)

Тоді тривіальний розв'язок (17), (18) асимптотично стійкий в середньому квадратичному.

Теорема 3.9. Нехай: 1) виконується локальна умова Ліпшиця для коефіцієнтів СДФРзПП (17); 2) існує функціонал Ляпунова - Красовського , для якого з виконанням (29); 3).для , та для деякого виконується нерівності

, , .

, , .

Тоді системи СДФРзПП асимптотично стохастично стійкий.

У підрозділі 3.6 розглянуто ілюстрація результатів наступних модельних задач:

· стохастична модель регулюючого об'єкту, керування яким здійснюється за звуком;

· нелінійна стохастична модель задач епідеміології, навчання, біомедицини, екології;

· стохастична модель задач теорії в'язкопружності, теорії механіки суцільного середовища;

· диференціальна стохастична модель зміни положення суцвіття соняшника.

У розділі 4 досліджується на стійкість розв'язки динамічних систем випадкової структури з післядією з марковськими параметрами.

Підрозділ 4.1 розкриває труднощі створення математичних моделей динамічних систем з післядією і з марковськими параметрами.

Нехай на ймовірнісному просторі з потоком -алгебр динамічна система задана сукупністю ДФР

(30)

та СДФРзПП

(31)

за початковими умовами

, , .(32)

, ,

де - простір Скорохода неперервних справа n-вимірних функцій , що мають лівосторонні границі; , , де - простір Скорохода неперервних справа m-вимірних функцій , що мають лівосторонні границі; неперервний за сукупністю функціонал, який має неперервну рівномірно обмежену похідну Фреше за другим аргументом для довільного .

Викладено труднощі опису моделювання динамічних систем з внутрішніми параметричними збуреннями, які сформулював Кац І.Я.

У підрозділі 4.2 розглянуто стійкість лінійного ДФР з марковськими параметрами, як розв'язку системи СДФРзПП.

На ймовірнісному просторі задано лінійне ДФР

,(35)

з початковою умовою

(36)

Тут , - розв'язок системи СДФРзПП (31), (32₂).

Теорема 4.2. Якщо тривіальний розв'язок задачі Коші (35), (36) асимптотично стохастично стійкий, то експоненційно р-стійкий для всіх достатньо малих додатних р>0.

Доведено пряму та обернену теорему Ляпунова для ДФР (35), (36), у якого параметром є розв'язок СДФРзПП (31).

Теорема 4.3. Тривіальний розв'язок задачі Коші (35), (36) експоненційно р-стійкий, тоді і тільки тоді, якщо існує функціонал Ляпунова-Красовського такий, що задовольняє нерівності

,(38)

L₀(39)

для всіх та деяких додатних p, c₁, c₂ , c₃.

Підрозділ 4.3 досліджує локальну асимптотичну стохастичну стійкість розв'язків квазілінійних ДФР з марковськими параметрами (теорема 4.4).

Підрозділ 4.5 містить три модельні задачі.

ВИСНОВКИ

Актуальність вибору теми кандидатської дисертації не викликає сумніву, оскільки ця позитивна позиція викладена у розділі 1.

Розділ 2 містить самостійно одержані результати щодо стійкості диференціально-функціональних рівнянь (ДФР) з марковськими параметрами різної структури (дискретної та неперервної). Для дослідження обґрунтовано другий метод Ляпунова, так званий метод функціоналів Ляпунова-Красовського.

Введено поняття інфінітезимального оператора в силу ДФР, що дозволило визначити похідну Ляпунова на розв'язках ДФР з марковськими параметрами. Доведено загальні теореми Ляпунова для визначеного класу рівнянь, теорему за першим наближенням. Окремо одержано достатні умови експоненційної стійкості у середньому квадратичному з дискретними марковськими параметрами. Проілюстровано теоретичні результати на модельних прикладах.

У розділі 3 обґрунтовано другий метод Ляпунова для аналізу стійкості розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з пуассоновими перемиканнями (СДФРзПП). Виділено класи функціоналів Ляпунова-Красовського з області визначення інфінітезимального оператора і обчислено його на розв'язках систем СДФРзПП.

Це дозволило довести аналоги теорем Ляпунова, що дають достатні умови стійкості у тому чи іншому ймовірносному розумінні. Для різних типів запізнень (транспортного, інформаційного, економічного, звукового, технологічного тощо) побудовано цікаві модельні приклади.

Розділ 4 досліджує ДФР з марковськими параметрами, як сильний розв'язок СДФРзПП. Такі ситуації спостерігаються при створенні математичних моделей, які мають назву динамічних систем випадкової структури. Марковський процес слід розглядати як пару відрізків розв'язку ДФР та СДФРзПП.

Вдалося довести для такої пари рівнянь пряму і обернену терему Ляпунова у випадку лінійності. Проілюстровано теоретичні результати на модельних прикладах.

Безумовно ця теорія знайде практичне застосування на етапі математичного дослідження реальних процесів при створенні САПР.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.Вернигора И.В. Устойчивость решений динамических систем с последействием случайность структуры // Кибернетика и системный анализ. - 2006. - №2. - С. 31-38.

2.Вернигора І.В., Ясинська Л.І., Ясинський В.К. Дослідження стійкості диференціально-функціональних рівнянь з марковськими перемиканнями методом функціоналів Ляпунова-Красовського // Вісник Київського університету. Серія : Фізико - математичні науки. - Київ, 2002. - Вип. 4. - С. 139-155.

3.Вернигора І.В., Ясинський В.К. Стійкість за першим наближенням диференціально-функціональних рівнянь з марковськими перемиканнями // Науковий вісник Чернівецького університету. Математика. - Чернівці, 2002. - Вип. 134. - С. 5-8.

4.Вернигора І.В., Ясинська Л.І., Ясинський В.К. Властивості розв'язків динамічних систем випадкової структури // Науковий вісник Чернівецького університету. Математика. - Чернівці, 2005. - Вип. 239. - С. 19-24.

5.Carkovs JE., Vernigora I., Yasinski V. On Stochastic Stability of Markov Dinamical Systems // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2006.- Вип. 75. - С. 155-164.

6. Вернигора І.В., Ясинський В.К. Локальна асимптотична стохастична стійкість лінійних диференціальних рівнянь з марковськими параметрами // Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації: Зб. наук. пр. - Київ - Кам'янець-Подільський: Кам'янець-Подільський державний університет, інформаційно-видавничий відділ, 2004. - С. 133-139.

7.Вернигора И.В., Ясинский В.К. Метод функционалов Ляпунова-Красовского исследования устойчивости стохастических динамических систем с пуассоновыми переключениями // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры. Материалы международной конференции. (г. Брест, 5-8 октября 2005 г.). - Минск: БГПУ, 2005. - С. 70-76.

8.Вернигора І.В., Ясинська Л.І., Ясинський В.К. Метод функцій Ляпунова для дослідження стійкості диференціально-функціональних рівнянь з марковськими параметрами // Тези доповідей міжнародної конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. - Чернівці, 2001. - С.175.

9. Вернигора І.В. Гуменна О.М. Стійкість за першим наближенням диференціально-функціональних рівнянь з марковськими перемиканнями // IX Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука (16 - 19 травня 2002р., Київ). Матеріали. - К.: НТУУ “КПІ”, 2002. - С.412.

10.Вернигора І.В., Ясинський В.К. Дослідження стійкості диференціально - функціональних рівнянь з марковськими параметрами// Тези доповідей міжнародної наукової - практичної конференції “Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології”. - Чернівці: Золоті литаври 2004. - С.66-67

11.Вернигора І.В. Метод функціоналів Ляпунова - Красовського дослідження стійкості стохастичних динамічних систем з пуассонівськими перемиканнями // International Conference “Dynamical system modeling and stability investigation” (Kyiv, May 23 - 25, 2005). Thesis of conference reports. - Kyiv, 2005. - С.36.

12.Вернигора І.В., Ясинський В.К. Марковська властивість розв'язків динамічних систем випадкової структури// International Conference “Modern problems and New Trends In Probability Theory” (Chernivtsi, Ukraine, June 19 - 26, 2005). Abstracts. - P.44 - 45.

13.Вернигора І.В. Другий метод Ляпунова для диференціально-функціонального рівняння з дискретними марковськими параметрами// Тези доповідей міжнародної науково - практичної конференції ”Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології”. - Чернівці, 2006. - С.125-126.

14.Вернигора І.В., Ясинський В.К. Експоненційна стійкість у середньому квадратичному диференціально-функціального рівняння з дискретними марковськими параметрами // Internal Conference Problems of Decision Making Under Uncertainties. Thesis of Conference. - Skhinytsia, 2006. - P. 78-79.

15.Ясинський В.К., Ясинська Л.І., Вернигора І.В. Метод функціоналів Ляпунова-Красовського дослідження стійкості функціонально-диференціальних рівнянь з марковськими параметрами (МФДР) // International Conference “Problems of decision making under uncertainties. Abstracts - Alushta, 2003. - P. 172 - 173.

16.Vernigora I.V., Yasinsky V.K. Investigation of the stability of functional differential equations with Markov switchings // International Conference on Functional Analysis and its Applications Dedicated to the 110 - th Anniversary of Stefan Banach. Book of abstracts. - Lviv, 2002. - P.207 - 208.

17.Vernigora I.V., Yasinsky V.K. Stability of solutions of the stochastics differential - functional eqations (SDFE) with Markov parameters// International Conference Problems of Decision Making Under Uncertainties (PDMU - 2005). - Thesis of Conference reports - Berdyansk, 2005. - P. 68-69.

АНОТАЦІЯ

Дорошенко І.В. Стійкість динамічних систем з післядією випадкової структури з врахуванням марковських збурень. - Рукопис

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України. - Київ, 2008.

У дисертації одержано обґрунтування другого методу Ляпунова, так званий метод функціоналів Ляпунова-Красовського, для стійкості тривіального розв'язку диференціально-функціональних рівнянь з марковськими параметрами (ДФРзМП). Доведено загальні теореми Ляпунова для систем ДФРзМП, теорему про перше наближення. Одержано достатні умови експоненційної стійкості у середньому квадратичному з дискретними марковськими параметрами. Для стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з пуассоновими перемиканнями (СДФРзПП) узагальнено метод функціоналів Ляпунова-Красовського. Досліджено ДФРзМП, як сильний розв'язок СДФРзПП. Доведено пряму і обернену теорему Ляпунова для такої динамічної системи випадкової структури. Побудовано модельні приклади.

Ключові слова: динамічні системи випадкової структури, диференціально-функціональне рівняння, марковські параметри, експоненційна р-стійкість, експоненційна стійкість у середньому квадратичному.

АННОТАЦИЯ

Дорошенко И.В. Устойчивость динамических систем с последействием случайной структуры с учетом марковских возмущений. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины. - Киев, 2008.

В диссертации получено обоснования второго метода Ляпунова, так называемый метод функционалов Ляпунова-Красовского, для устойчивости тривиального решения дифференциально-функциональных уравнений с марковскими параметрами. Доказано общие теоремы Ляпунова для систем дифференциально-функциональных уравнений с марковскими параметрами, теорему о первом приближении. Получено достаточные условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом с дискретными марковскими параметрами.

Для стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновыми переключениями обобщено метод функционалов Ляпунова-Красовского: выделено классы функционалов Ляпунова-Красовского для исследования устойчивости решений, доказано теоремы про связь устойчивостей, обосновано теоремы Ляпунова про достаточные условия устойчивости тривиального решения для такого типа уравнений. Этот метод дает приемлемые условия стохастической устойчивости решений в виде неравенств, что позволяет графическими методами строить области устойчивости в пространстве параметров.

Исследовано дифференциально-функциональных уравнение с марковскими параметрами, как сильное решение стохастического дифференциально-функционального уравнения с пуассоновыми переключениями. Такие ситуации встречаются при построении математических моделей, которые называются динамическими системами случайной структуры. Марковский процесс следует рассматривать как пару отрезков решения дифференциально-функциональных уравнения и стохастического дифференциально-функционального уравнения с пуассоновыми переключениями. Доказано прямую и обратную теорему Ляпунова для такой динамической системы случайной структуры.

Все теоретические результаты проиллюстрировано на модельных примерах.

Безусловно эта теория найдет практическое применение на этапе математического исследования реальных процессов при создании САПР.

Ключевые слова: динамические системы случайной структуры, дифференциально-функциональное уравнение, марковские параметры, экспоненциальная р-устойчивость, экспоненциальная устойчивость в среднем квадратическом.

Annotation

Doroshenko I.V. The stability of dynamic systems with afteraction of stochastic structure in view of Markov changeovers. - Manuscript

Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a specialty 01.05.01 - Theoretical Bases of Informatics and Cybernetics. - The Institute of Cybernetics of National Academy of Sciences. - Kyiv, 2008.

The second Lyapunov method, so-called method of Lyapunov-Krasovsky functional, of investigation the stability of trivial solution of differential-functional equations with Markov parameter (DFEMP) is obtained in this thesis. The general Lyapunov theorems for the systems of DFEMP and the theorem about the first approximation are proved. The sufficient condition of exponential stability in mean square are obtained. The method of Lyapunov-Krasovsky functional for stochastic differential-functional equation with Poisson switchings (SDFEPS) is generalized. The solution of DFEMP is investigated as a strong solution of SDFEPP. The direct and converse Lyapunov theorems are proved. Model examples are built.

Keywords: the dynamic systems of stochastic structure, differential functional equation, Markov parameter, exponential р-stability, exponantial mean square stability.

Размещено на Allbest.ru

...