Изучение систем счисления в школьном курсе информатики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: Изучение систем счисления в школьном курсе информатики

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения систем счисления в школе

1.1 Представление числовой информации с помощью систем счисления

1.2 Перевод чисел в позиционных системах счисления

1.3 Арифметические операции в позиционных системах счисления

Глава 2. Методические аспекты по изучению систем счисления в школе

2.1 Методические аспекты изучения темы «Система счисления» в школьном курсе информатики

2.2 Опыт работы учителя информатики по изучению систем счисления в школьном курсе

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

Введение

Быстрый социальный и научно-технический прогресс требует совершенствования всех звеньев образования. Эффективность новых дорогостоящих средств обучения, таких как компьютер, телевидение, видеотехника, аудиоаппаратура полностью зависит от целей, задач обучения и используемых методов и приемов.

Решая вопрос чему учить, всегда приходится решать вопрос о том, какие компоненты необходимо включить в содержание образования, в какой последовательности их расположить для наилучшего достижения конечной цели - сформировать личность человека в соответствии с социально значимым для своего времени образцом.

Акцент в содержании школьного образования должен сместиться с обучения собственно письму, чтению, счету на формирование учебной деятельности, воспитание и развитие школьника.

Появление новых информационных технологий вносит новый элемент в содержание образования, школьного образования в частности. Знание основ информатики и вычислительной техники, умение использовать ЭВМ становятся необходимым каждому человеку, т.е. общеобразовательными.

Уже ни для кого не секрет, что любая ЭВМ предназначена для обработки, преобразования и хранения данных. Для выполнения этих функции ЭВМ должна обладать некоторым способом представления данных. Представление данных заключается в их преобразовании в вид, удобный для последующей обработки либо пользователем, либо ЭВМ.

Форма представления данных определяется их конечным предназначением. В зависимости от этого данные имеют внутреннее и внешнее представление.

Все эти данные для ввода в компьютер должны быть некоторым универсальным образом представлены в виде набора целых чисел, т.е. преобразованы в формат внутреннего представления ЭВМ. Правила таких представлений разрабатываются и оформляются в виде стандартов.

Важным понятием при представлении данных в компьютерах является понятие система счисления.

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.

Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету.

Объект исследования - процесс изучения систем счисления в основной школе.

Предмет исследования - методика изучения систем счисления в основной школе.

счисление арифметический позиционный информатика

Глава 1. Теоретические основы изучения систем счисления в основной школе

1.1 Представление числовой информации с помощью систем счисления

Тема представления информации является сквозной в курсе информатики. Ключевым понятием этой темы выступает понятие языка. Здесь, как и в предыдущей теме, разговор о языках можно вести применительно к человеку, а также рассматривать языки представления информации, используемые в компьютерах.

Описание информационной функции человека (впрочем, как и любой другой) -- очень сложная задача. Сделать это исчерпывающим образом невозможно, поскольку человек -- это бесконечномерная система. Поэтому наши представления в этой области могут носить только модельный, т. е. приближенный характер.

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных -- не зависит.

Римская непозиционная система счисления. Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5+1 + 1 + 1.

Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр. Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе - 60 минут).

В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так далее.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр, и основание, равное 10, двоичная - две цифры и основание 2, восьмеричная - восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная - шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16 (табл. 2.2).

Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа - пять десятков и, наконец, третья справа - пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, - количество десятков, еще левее - сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

55510 = 5*102 + 5*101 + 5*10°.

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,5510 = 5*102 + 5*101 + 5*100+ 5*10-1 + 5*10-2.

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, выглядит так:

Коэффициенты ai в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

555,5510 * 10 = 5555,510

Двоичная система счисления. В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

А2 = 1*22 + 0*21 + 1*20+ 0*2-1- 1*2 -2.

Свернутая форма этого же числа:

А2 = 101,012.

В общем случае в двоичной системе запись числа А2, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

101,012.* 2 = 1010,12;

101,012 : 2 = 10,1012.

Позиционные системы счисления с произвольным основанием. Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q -ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q--1:

Коэффициенты а. в этой записи являются цифрами числа, записанного в q -ичной системе счисления.

Так, в восьмеричной системе основание равно восьми (q = 8). Тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число А8 = 673,28 в развернутой форме будет иметь вид: As = 6*82 + 7*81 + 3*8° + 2*8-1.

В шестнадцатеричной системе основание равно шестнадцати (q = 16), тогда записанное в свернутой форме шестнадцатеричное число А16 = 8A,F16 в развернутой форме будет иметь вид:

А16 = 8*161 + А*16° + F*16-1.

1.2 Перевод чисел в позиционных системах счисления

Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Перевод числа из двоичной системы в десятичную. Возьмем любое двоичное число, например 10,112. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

10,112 = 1* 21 +0*2° + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*2 + 0*1 + 1*1/2 + 1*1/4 = 2,7510.

Перевод чисел из восьмеричной системы в десятичную.

Возьмем любое восьмеричное число, например 67,58. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

67,58 = 6*81 + 7*8° + 5*8-1 = 6*8 + 7*1 + 5*1/8 = 55,62510.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную.

Возьмем любое шестнадцатеричное число, например 19F16. Запишем его в развернутой форме (при этом необходимо помнить, что шестнадцатеричная цифра F соответствует десятичному числу 15) и произведем вычисления:

19F16 = 1*162 + 9*161 + F*16° = 1*256 + 9*16 + 15*1 = 41510.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную более сложен и может осуществляться различными способами. Рассмотрим один из алгоритмов перевода на примере перевода чисел из десятичной системы в двоичную. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.

Алгоритм перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления. Пусть Ацд -- целое десятичное число. Запишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развернутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):

Aцд= an-1*2n-1+ an-2*2n-2+…+ a1*21+a0*20

На первом шаге разделим число А на основание двоичной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно

an-1*2n-2+ an-2*2n-3+…+ a1

На втором шаге целое частное опять разделим на 2, остаток от деления будет теперь равен a0

Если продолжать этот процесс деления, то после n-го шага получим последовательность остатков:

а0, а1, ..., аn-1

Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного числа, записанного в свернутой форме:

А2 = an-1…a1a0

Таким образом, достаточно записать остатки в обратной последовательности, чтобы получить искомое двоичное число.

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное будет следующим:

Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.

Записать полученные остатки в обратной последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 19 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

В результате получаем двоичное число: А2 = а 4 а 3а 2а1 a0 = 100112.

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления. Пусть А - правильная десятичная дробь. В ее записи в развернутой форме будут отсутствовать положительные степени основания (числа 2):

Адд = a-1*2-1+ a-2*2-2

На первом шаге умножим число Адд на основание двоичной системы, то есть на 2. Произведение будет равно:

a-1 +a-2*2-1+…

Целая часть будет равна а-1

На втором шаге оставшуюся дробную часть опять умножим на 2, получим целую часть, равную а-2

Описанный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в результате умножения мы не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Легко заметить, что последовательность полученных чисел совпадает с последовательностью цифр дробного двоичного числа, записанного в свернутой форме:

А2 = а -1a-2

Алгоритм перевода правильной десятичной дроби в двоичную будет следующим:

1. Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

2. Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

В результате получаем двоичную дробь: А2 = 0,а -1a-2=0,112 .

Перевод чисел из позиционной системы с произвольным основанием р в систему с основанием q производится по алгоритмам, аналогичным рассмотренным выше.

Рассмотрим алгоритм перевода целых чисел на примере перевода целого десятичного числа А10 = 42410 в шестнадцатеричную систему, то есть из системы счисления с основанием р = 10 в систему счисления с основанием q = 16.

В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в исходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае шестнадцатеричной).

Рассмотрим теперь алгоритм перевода дробных чисел на примере перевода десятичной дроби А10 = 0,625 в восьмеричную систему, то есть из системы счисления с основанием р = 10 в систему счисления с основанием q = 8.

В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в исходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае восьмеричной).

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2n), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 21), восьмеричной (q = 23) и шестнадцатеричной (q = 24) системами счисления.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:

2 = 21 . Так как 2 - 21, то I = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации вариантов записи. Решим показательное уравнение

8 = 2i . Так как 8 = 23, то I= 3 бита. Каждый вариант восьмеричного числа содержит 3 бита информации

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 1010012 в восьмеричное:518

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А2 = 1010012 в шестнадцатеричное:

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А2 = = 0,1101012 в восьмеричную систему счисления:

Получаем: А8 = 0,658.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

16 = 21 . Так как 16 = 24, то I = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше 4 цифр, то необходимо дополнить её справа нулями.

Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа - в группу из четырех цифр (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число А8 = 0,478 в двоичную систему счисления:

1.3 Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

Валено обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в
соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110 2 и 112:

проверим правильность вычислении сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

10012 = 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*2° = 910 .

Сравним результаты -- сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

0 - 0 = 0

0- 1 = 11

1-0=1

1-1=0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110, и 11

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 1102 и 112:

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 1102 на 112 :

Аналогично можно выполнять арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Необходимо только помнить, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления:

Вывод: Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Глава 2. Методические аспекты по изучению систем счисления в школе

2.1 Методические аспекты изучения темы «Система счисления» в школьном курсе информатики

Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Однако в школьном курсе математики она, как правило, не изучается. Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связана с тем фактом, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы. Это одна из традиционных тем курса информатики или программирования. Являясь смежной с математикой, данная тема вносит вклад также и в фундаментальное математическое образование школьников.

Если рассматривать систему счисления как язык представления числовой информации, то можно сказать, что данные выше определения затрагивает только алфавит, синтаксис и семантику языка чисел.

Рассмотрим методические рекомендации по изучению темы, вопросы которые необходимо изучить:

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Основные понятия позиционных систем: основание, алфавит.

Развёрнутая форма представления чисел в позиционных системах.

Перевод чисел из одной системы в другую.

Особенности двоичной арифметики.

Связь между двоичной и шестнадцатеричной системами.

В учебном пособии по информатике («Основы информатики и вычислительной техники» В 2 ч: пробное учебное пособие для средних учебных заведений / под редакцией А.П.Ершова, В.М.Монахова.) понятие системы счисления не упоминалось совсем. Говорится лишь о том, что вся информация в компьютере представляется в двоичном виде. То же самое можно сказать про учебное пособие Кушнеренко А.Г. «Основы информатики и вычислительной техники». Среди учебников второго поколения наибольшее внимание системам счисления уделено в учебнике для 10-11 классов А.Г. Гейна «Основы информатики и вычислительной техники». Этой теме посвящен отдельный параграф, где дано следующее определение: «Система счисления - способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр)». В более позднем учебнике того же автора «Информатика для 7-9 классов» приводится такое определение: «Способ записи чисел называется нумерацией, или, по-другому, системой счисления».

Аналогичные определения даются в учебнике Н.В. Макаровой «Информатика. Базовый курс. 7 - 9»: «Система счисления - совокупность примеров и правил записи чисел с помощью определенного набора символов» - и в учебнике Н.Д. Угриновича «Информатика и ИКТ. Базовый курс. 8 - 9»: «Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами».

Если рассматривать систему счисления как язык представления числовой информации, то можно сказать, что данные выше определения затрагивают только алфавит, синтаксис и семантику языка чисел. Более полное определение дано в Математическом энциклопедическом словаре: «Система счисления - способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами». Под правилами действия понимаются способы выполнения арифметических вычислений в рамках данной системы счисления. Эти правила можно назвать прагматикой языка чисел. Аналогичное определение приводится в учебнике И.Г.Семакина «Информатика и ИКТ. 9 класс»: «Системой счисления называют определенные правила в записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений».

В учебниках четвертого поколения по базовому курсу («Информатика.7 - 9 класс» под редакцией Н.В.Макаровой; И.Г. Семакин « Информатика и ИКТ, 9 класс»; Н.Д. Угринович «Информатика и ИКТ. Базовый курс. 9 класс») тема систем счисления находит отражение при изучении информации и кодирования информации. Основное внимание уделяется двоичной системе счисления и ее связи с десятичной системой.

Из математики ученики знают записью чисел как римскими, так и арабскими цифрами. Они привыкли видеть римские цифры в обозначении глав в книге, в указании столетий (XX в.) и в некоторых других нумерациях. Математические расчеты они всегда производили в арабской системе чисел. В данной теме учителю предстоит рассказать перед учениками эти, казалось бы, знакомые вещи с новой стороны.

С методической точки зрения бывает очень эффективным прием, когда учитель подводит учеников к самостоятельному, пусть маленькому, открытию. В данном случае желательно, чтобы ученики сами подошли к формулировке различия между позиционным и непозиционным принципом записи чисел. Сделать это можно, отталкиваясь от конкретного примера. Напишите два числа и объясните, какие числа они обозначают и посему:

XXX 333

После этого можно ввести термин «система счисления».

Система счисления - это определенный способ представления чисел и соответствующие ему привила действия над числами.

Теперь нужно дать понять ученикам, что позиционных систем счисления существует множество, и отличаются друг от друга алфавитом - множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр) называется основанием системы счисления. Задайте вопрос: «Почему арабская система называется десятичной системой счисления?» Наверняка услышите в ответ про десять цифр в алфавите. Делаем вывод: основание арабской системы счисления равно десяти, поэтому она называется десятичной.

Следует показать алфавиты различных позиционных систем счисления. Системы с основанием не больше 10 используют только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роли цифр выступают латинские буквы в алфавитном порядке.

Далее нужно научить учеников записывать натуральный ряд чисел в различных позиционных системах. Объяснение следует проводить на примере десятичной системы, для которой вид натурального ряда чисел им хорошо известен:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …, 19, 20, …, 99, 100, 101, …

Принцип построения ряда такой: сначала в порядке возрастания назначений записываются все однозначные числа; первое двузначное число - всегда 10 (у многозначных целых чисел 0 впереди не является значащей цифрой и обычно не пишется). Далее следуют все двузначные сочетания единицы с другими цифрами; затем - двузначные числа, начинающиеся с 2, затем - с 3 и т.д. Самое большое двузначное число - 99. Затем идут трехзначные числа, начиная от 100 до 999 и т.д.

По такому же принципу строится натуральный ряд и в других системах счисления. Например, в четверичной системе (с основанием 4):

1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110, 111, …, 333, 1000, …

Аналогично и для других систем. Наибольший интерес представляет натуральный ряд двоичных чисел. Вот как он выглядит:

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, …

Следует обратить внимание учеников на быстрый рост числа цифр. Для указания на основание системы, к которой относится число, вводим индексное обозначение. Например, 368 указывает на то, что это число в восьмеричной системе счисления, 1А616 - шестнадцатеричное число, 10112 - число в двоичной системе. Индекс всегда записывается десятичным числом. Следует подчеркнуть то, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Еще одно важное замечание: ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так же, как десятичные. Например, нельзя называть восьмеричное число 368 как тридцать шесть! Надо говорить: «Три - шесть». Или, нельзя читать 1012 как «сто один». Надо говорить «один - ноль - один». Следует также помнить, что, например, 0,12 - это не одна десятая, а одна вторая, или 0,18- это одна восьмая и т.п.

Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой форме записи чисел. Снова для объяснения привлекаем десятичную систему. Например:

5319,12 = 5000 + 300 + 10 + 9 + 0,1 + 0,02 =

=5Ч103 + 3Ч102 + 1Ч10 1+ 9 +1Ч10-1 + 2Ч10-2.

Последнее выражение называется развернутой формой записи числа. Слагаемые в этом выражении являются произведениями значащих цифр числа на степени десятки (основания системы счисления), зависящие от позиции цифры в числе - разряда. Цифры в целой части умножаются на положительные степени 10, а цифры в дробной части - на отрицательные степени. Показатель степени является номером соответствующего разряда. Аналогично можно получить развернутую форму чисел в других системах счисления. Например, для восьмеричного числа:

17538 = 1Ч103 + 7Ч102 + 5Ч101 + 3.

Здесь 108 = 810 .

Следующий вопрос, изучаемый в этом разделе, - способы перевода чисел из одной системы в другую. Основная идея заключается в следующем: перевод чисел неизбежно связан с выполнением вычислений. Поскольку нам хорошо знакома лишь десятичная арифметика, что любой перевод следует свести к выполнению вычислений над десятичными числами.

Объяснение способов перевода следует начать с перевода десятичных чисел в другие системы счисления. Делается это просто: нужно перейти к записи развернутой формы числа в десятичной системе. Вот пример такого перехода для приведенного выше восьмеричного числа:

17538 = (1Ч103 + 7Ч102 + 5Ч101 + 3)8 = (1Ч83 + 7Ч82 + 5Ч81 + 3)10.

Теперь нужно вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики и получить окончательный результат:

17538 = (192 + 448 + 40 + 3)10 = 68310.

Чаще всего развернутую форму числа сразу записывают в десятичной системе.

Применение двоичной системы в ЭВМ может рассматриваться в двух аспектах: 1) двоичная нумерация; 2) двоичная арифметика, т.е. выполнение арифметических вычислений над двоичными числами. С двоичной нумерацией ученики встретятся в теме «Представление текста в компьютерной памяти». Рассказывая о таблице кодировки ASCII, учитель должен сообщить ученикам, что внутренний двоичный код символа - это его порядковый номер в двоичной системе счисления.

В результате обучения учащиеся должны:

- знать (понимать): понятие «система счисления», различие между позиционными и непозиционными системами счисления;

- уметь: переводить целые числа из десятичной системы счисления в другие системы и обратно, выполнять простейшие арифметические операции с двоичными числами;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: для расширения представлений об интегративных связях информатики и математики, мотивации фундаментализации математического образования.

В рамках базового курса достаточно ограничиться рассмотрением вычислений с целыми двоичными числами.

2.2 Опыт работы учителя информатики по изучению систем счисления в школьном курсе

Как показывает практика, тема «Представление информации» (которой в Обязательном минимуме содержания образования по информатике отводится 12 часов), а особенно ее раздел, посвященный двоичной системе счисления, остается одной из самых трудных для понимания учащимися.

Понятие «двоичная система счисления» представляет собой фрагмент курса математики о системах счисления. Соответственно, по мнению автора, учителя информатики подсознательно считают обучение системам счисления обязанностью учителей математики, а те, в свою очередь, считают, что эта тема - прерогатива информатики, так как она связана с изучением двоичного представления информации в ЭВМ. Преподаватели же высших учебных заведений (в частности, педагогических институтов) считают ее уже изученной в школе и подробно не останавливаются на ней, отводя на системы счисления самое большее 2-3 часа. Результат - неполное знание материала, его недостаточное понимание молодыми педагогами.

Разорвать этот порочный круг способна только методика, основанная на простом и понятном объяснении материала, решении занимательных и в то же время полезных задач в школьном курсе информатики.

Проанализируем урок по теме: «Двоичная система счисления».

Тип урока: овладение новыми знаниями.

Контингент учащихся: VI-VIII классы.

Цели урока.

Образовательные:

- закрепление ранее пройденного материала по теме «Язык как способ представления информации»;

- изучение и усвоение нового материла: понятия двоичной системы счисления, перевода из десятичной системы в двоичную и обратно.

Воспитательные:

- повышение мотивации учащихся путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;

- обеспечение сознательного усвоения материала.

Развивающие:

- развитие мышления при помощи логических задач;

- совершенствование умственной деятельности с привлечением устного счета.

Оборудование: плакат для повторения пройденного материала, плакаты с иллюстрациями для решения задач, карточки с вариантами домашней контрольной работы.

План урока включает следующие вопросы:

Организационный момент. Объявление темы и цели урока - 1 мин.

Повторение пройденного материала - 7 мин.

Объяснение нового материала. Решение задач - 35 мин.

Подведение итогов урока. Объяснение домашнего задания -2 мин.

Ход урока

I. Организационный момент. Объявление темы и цели урока

Учитель. Сегодня мы будем изучать то, что происходит внутри компьютера. В нем нет ни букв, ни цифр, которые отображаются на экране, а есть только два знака: «О» и «1». Эти символы образуют алфавит «языка компьютера». Наша цель - изучить двоичную систему счисления, научиться переводить двоичные числа в десятичные и обратно.

П. Повторение пройденного материала

Работа с плакатом , в ходе которой учитель задает школьникам следующие вопросы:

Какое понятие объединяет все эти рисунки?

Что такое алфавит языка? Перечислите алфавиты языков, изображенных на плакате. Все ли языки имеют алфавит?

Что такое символ в языке? Приведите примеры символов в языках, изображенных на плакате.

Ответы.

а, б) Язык жестов, в) язык мимики, г) математический язык, д) азбука Морзе, е) русский язык.

Алфавит языка -- это конечный набор знаков, с помощью которого можно составить любое сообщение на этом языке. Примеры алфавитов: {а, б, в, ..., ю, я} (33 буквы); {точка, тире} (2 символа). Математический язык, язык жестов и мимики не имеют алфавита. Они не предназначены для передачи конкретной информации, одно и то же сообщение в данных языках может трактоваться по-разному.

Символ - это знак, единица алфавита языка.

III. Объяснение нового материала. Решение задач

Учитель. Ребята, сегодня я расскажу вам одну фантастическую историю, но при этом мне понадобится ваша помощь.

Жил-был на нашей планете Земля мальчик Коля. Учился он в обычной школе в восьмом классе. Только одно отличало его от других ребят -- он очень любил работать и отдыхать за компьютером: с ним он решал задачи, играл в игры. И никогда колина Стрелка (так он называл свою машину) его не подводила.

Но пока он сидел за своей Стрелкой, за ним с очень далекой планеты наблюдал зоркий глаз видеокамеры. На той планете не было живых существ, там властвовал искусственный интеллект по имени Робобосс, который мог подчинять себе все электронные устройства. Однако Робобосс все же был только лишь компьютером и знал только два знака - «О» и «1», поэтому он никак не мог понять арифметику землян и решил похитить Колю с помощью своего космического корабля, решив, что с ним он найдет общий язык. Так Коля оказался в плену на чужой планете.

Впрочем, Робобосс не был таким уж злым и обещал, что если Коля поможет ему решить три задачи, то он будет свободен. И Коля тут же увидел на огромном экране таблицу:

Коля догадался, что Робобосс хочет узнать, как наши десятичные числа записываются в двоичной системе. Пока Коля думал над решением этой задачи, он вспомнил свою родную Землю и нарисовал ветвистое дерево. И вдруг он догадался - если существуют только знаки «1» и «О», то они могут соответствовать ответам «да» и «нет»: «1» -- это «да», а «0> - это «нет». Робобосс понял его идею и около каждой развилки веточек дерева написал неравенства (рис. 2). Давайте все вместе решим задачу так, как ее решил Коля.

Учитель вместе со школьниками вычисляет двоичный код для каждого числа от О до 7. Учащиеся рисуют дерево и заполненную схему в своих тетрадях, а учитель в таблице снимает карточки-«заслонки» со знаками вопроса, под которыми уже стоят требуемые двоичные числа.

Учитель. С первой задачей Коля справился, и на экране появилась следующая запись: Робобосс обработал результаты и получил формулу для перевода чисел из двоичной системы в десятичную. А чтобы Коля лучше понял ее, Робобосс привел пример и задал ему числовой ребус. В нем числа заменяют слова, а цифры -- буквы в них. Впишите все эти «слова» по направлению стрелок в светлые клеточки, сначала переведя их из двоичной системы в десятичную.

Учитель. Итак, Коля научился переводить числа из двоичной системы в десятичную. Ему осталось решить последнюю задачу -- перевести числа обратно из десятичной в двоичную. Робобосс сам разобрался, как это сделать, и помог Коле.

«Обратное преобразование десятичных чисел в двоичные, -- сказал Робобосс, -- проводится последовательным делением исходного числа на 2. При этом в остатках получаются цифры соответствующего двоичного числа. Деление на 2 производится, пока в результате тоже не останется 0 или 1, а потом все эти цифры надо переписать в обратном порядке -- справа налево, от младшего разряда двоичного числа к старшему. Посмотри пример, реши цифровой сканворд, и тогда я тебя отпущу».

Учитель. Выполняя свое обещание, Робобосс отпустил Колю. Бывший пленник был рад вернуться домой, но он не обиделся на инопланетную чудо-машину. Наоборот, Коля узнал от Робобосса много нового, и ему захотелось понять, что происходит внутри его Стрелки. Коля решил заняться двоичными числами. Теперь он знал, как переводить их в десятичные и обратно, но ему не давал покоя вопрос: если человек умеет складывать и вычитать числа, то как компьютер делает то же самое со своими двоичными числами? Но этим мы с вами займемся на следующем уроке.

IV. Подведение итогов урока. Объяснение домашнего задания

Некоторые ученики, наиболее активно работавшие на уроке, высказывают свое мнение о том, что нового они узнали, что им понравилось, а что - нет. Учитель обобщает их слова, анализирует работу класса в целом, выставляет отметки и объясняет домашнее задание.

В конце урока дается домашнее задание.

Заключение

Основная цель изучения систем счисления - систематическое повторение сведений о натуральных числах, их позиционной записи. Традиционно эта тема изучается в старших классах в курсе теоретической информатики.

Задачи, разбираемые в теме, интересны и часто непросты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся, и дает им возможность проверить свои способности к математике и информатике.

По мере изучения темы «Система счисления» появляются следующие учебные эффекты:

- расширяются знания учащихся о числе, способах его
записи;

- складывается представление о многообразии систем счисления, их
классификации и истории возникновения;

- формируются навыки перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую и выполнения арифметических операций в них;

- создаются условия для развития у учащихся интереса к изучению математики и информатики;

- раскрывается умение самостоятельно приобретать и применять знания;

- развиваются логическое и алгоритмическое мышление, творческие способности и коммуникативные навыки.

После изучения материала учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и навыками:

- умеют представлять числа и выполнять арифметические действия в различных системах счисления;

- умеют устанавливать связь между системами счисления;

- умеют осуществлять перевод чисел из одной системы счисления в другую;

- умеют находить оптимальный и рациональный способ решения поставленной задачи.

Список использованной литературы

1. Методика преподавания информатики, учебник, 2013

2. Андреева, Е.В., Фалина И.Н. Системы счисления и компьютерная арифметика. Изд. 2-е / Е.В. Андреева. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000 г. - 248 с: ил.

3. Бауэр, Ф.Л., Гооз, Г. Информатика. Вводный курс: В 2-х ч. 4.1 / Ф.Л. Бауэр. - М.: Мир, 1990. - 336 с; 4.2. - М.: Мир, 1990. - 423 с.

4. Босова Л.Л. Арифметические и логические основы ЭВМ. Серия «Информатика в школе»./ Л.Л. Босова. - М.: Информатика и образование, 2000. - 208 с.

5. Гашков С.Б., Системы счисления и их применение. М.: МЦНМО, 2004. -- 52 с.

6. Гейн А.Г., Сенокосов А.И. Справочник по информатике для школьников. - Екатеринбург: «У-Фактория», 2003

7. Голубцов В.Н., Козырев А.К., Тихонов П.И. - Информатика: Лабораторный практикум. Создание комплексных документов в текстовом редакторе Microsoft Word 2000. - Саратов: Лицей, 2003

8. Горячев А., Шафрин Ю. Практикум по информационным технологиям. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2000

9. Гриценко В. И. Применение компьютерных игр в учебном процессе общеобразовательной и профессиональной школы. К., 1997

10. Ефимова О., Морозов В., Угринович Н. Курс компьютерной технологии с основами информатики: Уч. пособие для старших классов. - М.: ООО «Издательство АСТ»; ABF, 2002

11. Зубрилин А.А., И.С. Паркина И.С. / Технология разработки элективных курсов / Информатика и образование. - 2006. - №1.

12. Илюшин С. А., Собкин Б. Л. Персональные ЭВМ в учебном процессе. М.,1992.

13. Кузнецов А., Пугач В., Добудько Т., Матвеева Н. Информатика. Тестовые задания. Методическое пособие - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002

14. Леонтьев В.П. Новейшая энциклопедия персонального компьютера 2002. - М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2002

15. Миньков, С.Л. Информатика: Учебное пособие / С.Л. Миньков. - Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2000. - 222 с.

16. Радюк Л. Алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы счисления.// Наука и жизнь. 2005, №1.

17. Растригин Л. Компьютерное обучение и самообучение. // Информатика и образование, № 6, 1991.

18. Роберт И. В. Учебный курс "Современные иформационные и коммуникационные технологии в образовании". // Информатика и образование №8, 1997.

19. Семакин И., Залогова Л., Русаков С., Шестакова Л. Информатика. Базовый курс. Учебник для 7-9 кл. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000 - 2003

20. Сидоров В.К. Системы счисления.// Наука и жизнь, 2008, №2.

21. Угринович Н.Д, Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса / Н.Д. Угринович. - 6-е изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. - 387 с.

Размещено на Allbest.ru

...