Програмні засоби дослідження багатозв’язних динамічних систем, які описуються інтегральними рівняннями

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Аналіз сучасних методів та засобів моделювання задач динаміки свідчить про те, що для опису багатозв'язних систем традиційно використовується апарат звичайних диференціальних рівнянь або рівнянь у частинних похідних. Разом з тим, до числа важливих для практики задач моделювання відносять задачі дослідження багатозв'язних систем, для опису яких використовуються непараметричні динамічні характеристики (перехідні, імпульсні, передатні функції, частотні характеристики). Ефективним математичним апаратом для опису даних систем є інтегральні рівняння типу Вольтерри та їх системи. Зокрема, опис багатозв'язних динамічних систем (БЗДС) на основі інтегральних рівнянь знайшов застосування в таких задачах динаміки, як аналіз, дослідження та проектування систем управління, елементами яких є ланки з розподіленими параметрами тощо. Інтегральний метод опису БЗДС має такі позитивні властивості, як зручність та компактність математичного опису динамічних систем; високий рівень універсальності моделей; достатньо висока стійкість методів чисельної реалізації інтегральних залежностей.

Однак сучасні серійні типові програмні пакети, які призначені для моделювання динамічних систем, не охоплюють своїми можливостями даний клас динамічних моделей. Наявність програмних засобів, які забезпечують розв'язання задач дослідження багатозв'язних динамічних систем на основі розв'язання систем інтегральних рівнянь, дозволяє значно розширити клас задач динаміки, які розв'язуються комп'ютерними засобами.

Створення програмних засобів комп'ютерного дослідження багатозв'язних динамічних систем на основі інтегральних моделей становить собою достатньо складну задачу в зв'язку з необхідністю аналізу особливостей певних видів інтегральних рівнянь з метою охоплення різноманітних класів динамічних об'єктів, розробки ефективних алгоритмів розв'язання систем інтегральних рівнянь і способів організації відповідного комплексу програм. Таким чином, проблема створення програмних засобів комп'ютерного моделювання багатозв'язних динамічних систем на основі інтегральних рівнянь є актуальною і потребує проведення ряду наукових досліджень та практичних розробок.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є створення алгоритмічних основ та побудова прикладних програмних засобів дослідження багатозв'язних динамічних об'єктів, які описуються системами інтегральних рівнянь Вольтерри.

Для досягнення поставленої мети повинні бути розв'язані наступні задачі:

1. Аналіз можливостей серійних універсальних середовищ інженерних та науково-технічних обчислень для реалізації інтегральних моделей багатозв'язних динамічних систем. Порівняльний аналіз та вибір інструментального середовища розробки прикладних програмних засобів реалізації інтегральних моделей та формування вимог до прикладних програмних засобів.

2. Аналіз особливостей різних класів інтегральних динамічних моделей; вибір та вдосконалення чисельних методів розв'язання систем інтегральних рівнянь; аналіз можливостей та шляхів алгоритмізації цих методів.

3. Розробка алгоритмів розв'язання різних видів систем інтегральних (інтегро-диференціальних) рівнянь Вольтерри та створення відповідних програмних модулів, як самостійних, так і таких, що розширюють можливості прикладних науково-інженерних комп'ютерних середовищ засобами дослідження багатозв'язних динамічних систем за заданими інтегральними моделями.

4. Створення структури комплексу програм для розв'язання інтегральних рівнянь Вольтерри та їх систем, яка передбачає можливості сумісного використання з іншими комплексами, застосування розроблених програм в якості шаблонів для розробки інших програмних засобів, використання довільних обчислювальних платформ.

5. Оцінка прикладних можливостей розроблених програмних засобів шляхом розв'язання тестових та практичних задач.

1. Принципи формування та аналіз особливостей багатозв'язних динамічних систем, які описуються за допомогою інтегральних рівнянь

Проведено огляд найбільш розповсюджених типів інтегральних динамічних моделей і підходів до їх чисельної реалізації. Визначено галузі ефективного використання інтегральних моделей багатозв'язних динамічних систем. Проведено огляд алгоритмічних та програмних засобів дослідження інтегральних моделей. Зроблено порівняльний аналіз серійних пакетів комп'ютерної математики, описано їх основні можливості та характеристики та обґрунтовано вибір пакету MATLAB в якості інструментального програмного середовища розробки.

За допомогою динамічних характеристик у вигляді перехідних або імпульсних перехідних функцій отримують математичний зв'язок виходів і входів багатозв'язних об'єктів у вигляді системи інтегральних рівнянь Вольтерри. До найбільш поширених рівнянь цього типу належать наступні рівняння.

Лінійні рівняння. Система лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри (СЛІРВ) I роду:

, (1)

де Kij(x,s) -- ядра інтегральних рівнянь; fi(x) -- вільні члени, yj(s) -- шукані функції, .

Система лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри II роду:

. (2)

Важливим для практики чисельного розв'язання є випадок вироджених (що розділяються) ядер . В цьому випадку система лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри I роду запишеться у вигляді:

. (3)

Система лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри II роду з виродженим ядром записується у вигляді:

. (4)

Нелінійні рівняння. Система нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри-Урисона (СНЛІРВ) I роду:

. (5)

Система нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри-Гамерштейна I роду:

. (6)

Система нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри-Урисона II роду:

. (7)

Система нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри-Гамерштейна II роду:

(8)

Система лінійних інтегро-диференціальних рівнянь (СЛІДРВ):

(9)

де коефіцієнти рівнянь ai,j (i=1, 2, …, m, j=0, 1, 2, …) -- постійні величини, ni -- порядок i-го інтегро-диференціального рівняння.

За наявності достатньо складних математичних моделей ефективність обчислювального експерименту визначається якістю алгоритмічного і програмного забезпечення. У роботі наведено результати порівняльного аналізу найпоширеніших пакетів комп'ютерної математики. Пакети порівнювалися за функціональними можливостями, швидкістю роботи з великими наборами даних при їх математичній, статистичній та графічній обробці, можливостями підтримки різних операційних систем. Проведений аналіз дозволив вибрати систему MATLAB як інструментальну основу для розробки програмних засобів дослідження багатозв'язних динамічних систем на основі розв'язання систем інтегральних рівнянь.

На основі аналізу серійних систем комп'ютерної математики показано, що найчастіше в задачі обчислення визначеного інтегралу використовується формула трапецій, також достатньо популярними є методи Ньютона-Котеса високих порядків, у тому числі метод Сімпсона, методи Гауса, Кленшо-Куртіса, метод сплайн-интерполяції. Важливою сучасною тенденцією є створення адаптивних алгоритмів для отримання ефективних програм та якісних розв'язків задач динаміки.

2. Розробка алгоритмів чисельної реалізації динамічних моделей у вигляді інтегральних рівнянь Вольтерри та їх систем

Аналізуються особливості запропонованих алгоритмів на ряді модельних задач.

У сучасній літературі вкрай недостатньо висвітлена проблема створення ефективних алгоритмів розв'язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри. Разом з тим такі показники ефективності алгоритмів, як швидкодія та точність, для систем інтегральних рівнянь набувають особливого значення, оскільки відмінною рисою чисельного розв'язання систем інтегральних рівнянь є необхідність проведення великої кількості обчислювальних операцій. З ростом розмірності систем відбувається значне зростання кількості операцій і накопичення похибок, що висуває особливі вимоги до вибору чисельних методів, структури, точності й швидкодії відповідних алгоритмів і програмних засобів.

У рамках проведених досліджень виконано ряд експериментів з алгоритмами, які ґрунтуються на різних чисельних процедурах. Високу ефективність показали наступні методи: метод квадратур із застосуванням формул трапецій; метод квадратур із застосуванням комбінацій формул Ньютона-Котеса замкнутого й відкритого типу; метод колокацій із застосуванням кусково-гладких поліномів; ітераційні методи, у тому числі метод простої ітерації й метод Ньютона-Канторовича; комбінація методів квадратур і Рунге-Кутти. Кожний з цих методів має свої характеристики, що відповідає різним напрямкам їх застосування.

Алгоритми розв'язання систем інтегральних рівнянь II роду. Алгоритми на основі методу квадратур достатньо ефективні при розв'язанні систем інтегральних рівнянь II роду, зокрема в задачах чисельного аналізу динаміки технічних об'єктів. Згідно методу квадратур для рівнянь виду (1) отримується алгебраїчна система:

, (10)

де Al -- коефіцієнти квадратурної формули. Розв'язками системи є значення шуканих функцій у вузлах апроксимації.

Використання формули трапецій для розв'язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри II роду ефективне на невеликому проміжку та у випадку використання дрібного кроку апроксимації. Експерименти з різними комбінаціями квадратурних формул Ньютона-Котеса високого порядку показали, що алгоритми на їх основі є нестійкими до похибок вихідних даних.

Підвищення точності розв'язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри II роду досягається за допомогою методу колокацій з застосуванням кусково-гладких поліномів, використання якого до рівнянь (7) дозволяє отримати розрахункові вирази:

, (11)

де:

(12)

З (11)-(12) отримуються значення Сi,k,1, Сi,k,2,…,Сi,k,m, .

В ряді випадків ефективним для розв'язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри II роду є метод простої ітерації. Стосовно до систем лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри II роду він полягає в одержанні послідовності функцій:

yr0(x), yr1(x), ..., yrk(x), …; , k=0, 1, 2,…,

де yrj(x) -- j-те наближення r-ї шуканої функції, шляхом використання рекурентних співвідношень:

. (13)

Якщо позначити:

, (14)

то наближення шуканої функції yr(x) являє собою нескінченний ряд:

, (15)

який сходиться, якщо елементи Krj(x,s) і fr(x) задовольняють відповідним обмеженням.

Для закінчення ітераційного процесу використовується умова:

 (16)

де , е -- задана відносна похибка.

Проведені дослідження свідчать, що при розв'язанні систем нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри II роду доцільно застосовувати метод Ньютона-Канторовича, що полягає в здійсненні наступного ітераційного процесу:

(17)

(18)

(19)

Алгоритми розв'язання систем інтегральних рівнянь I роду. Одним з ефективних методів наближеного розв'язання систем лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри I роду є метод квадратур на основі формули трапецій, при використанні якого отримуються апроксимуючі системи алгебраїчних рівнянь:

, (20)

де Al -- коефіцієнти квадратурної формули. Розв'язання системи (20) дає значення шуканих функцій у вузлах апроксимації.

Ефективними для досягнення високої точності є алгоритми на основі методу колокацій з використанням кусково-гладких поліномів. У випадку використання методу колокацій для розв'язання системи нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри I роду отримуємо рівняння:

, (21)

де:

(22)

розв'язуючи які знаходимо значення Сi,k,1, Сi,k,2,…,Сi,k,m, .

Алгоритми розв'язання систем інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерри. Ефективними при розв'язанні систем інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерри є поєднання методу квадратур і методу Рунге-Кутти для інтегральної та диференціальної частин відповідно. Так, застосувавши квадратурну формулу трапецій для апроксимації інтегралів, отримуємо наступні коефіцієнти модифікованої формули Рунге-Кути розв'язання рівняння (9):

(23)

Алгоритми на основі методу вироджених ядер. При дрібному кроці апроксимації алгоритм на основі методу квадратур має незадовільні характеристики швидкодії. Ефективним для підвищення швидкодії є використання особливостей вироджених ядер, використання яких дозволяє кількість обчислень на кожному кроці залишити незмінною. Застосувавши квадратурну формулу для розв'язання систем лінійних інтегральних рівнянь з виродженими ядрами (3), отримуємо наступний рекурентний вираз для знаходження системи алгебраїчних рівнянь:

(24)

де , бrjl=бrj(xl), вrjl=вrj(xl), розв'язання якої дозволяє знайти значення yr в точцах xi.

Адаптивні алгоритми. Для розв'язання задач із швидкозмінними ділянками шуканих розв'язків ефективими є адаптивні алгоритми, які адаптують сітку апроксимації відповідно до поведінки розв'язків системи. Алгоритми полягають в наступній послідовності дій:

1) при відомих значеннях шуканих функцій yr в точках xi за допомогою деякого чисельного методу обчислюють значення yr в точці xi+1 з кроком h;

2) обчислюють значення yr в точці xi+1 з кроком h/2;

3) якщо значення шуканих функцій, отриманих на першому та другому кроках, відрізняються менш ніж на е (допустиме значення похибки), то застосувавши до них поправку Річардсона, заносять отриману величину в таблицю значень шуканих функцій; в іншому випадку крок h ділять навпіл і процес повторюється з кроку 1.

В основу адаптивних алгоритмів закладено чисельні методи трапецій та колокацій.

Апробація та оцінка результатів обчислювальних експериментів дозволили розробити рекомендації з вибору алгоритмів при розв'язанні систем інтегральних і інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерри I і II роду.

3. Комплекс програм для розв'язання систем інтегральних (інтегро-диференціальних) рівнянь Вольтерри, який отримав назву SVIE (System of Volterra Integral Equations)

Програми, що ввійшли в комплекс, базуються на алгоритмах, описаних у другому розділі дисертації.

Програми комплексу SVIE поділяються на основні програми та допоміжні підпрограми. За своїм призначенням основні програми структуровано на 6 груп: SLVIE2 (розв'язання систем лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри II роду), SLVIE1 (розв'язання систем лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри I роду), SNLVIE2 (розв'язання систем нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри II роду), SNLVIE1 (розв'язання систем нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри I роду), SLVIDE (розв'язання систем лінійних інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерри), SNLVIDE (розв'язання систем нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерри). Допоміжні підпрограми увійшли у групу COMMON.

Основними вхідними параметрами програм є: n -- кількість точок розбиття; m -- розмірність системи рівнянь; x -- сітка розбиття; a -- ліва границя відрізку інтегрування; b -- права границя відрізку інтегрування; h --крок обчислень; f -- права частина системи інтегральних рівнянь; K -- ядра системи інтегральних рівнянь; alfa, beta -- масиви, що містять роздільні ядра системи інтегральних рівнянь; E -- необхідна точність розв'язків; minH -- мінімальне значення кроку для адаптивного алгоритму; maxCountIter -- обмеження на кількість ітерацій; B -- масив коефіцієнтів при для інтегральних рівнянь Вольтерри II роду; y0 -- вектор початкових умов розмірністю m.

Можливі два варіанти задання ядер і правих частин: у табличному й аналітичному вигляді. При табличному заданні дані передаються для обробки у вигляді сформованих масивів чисельних даних. Таке представлення даних потребує більше пам'яті обчислювальної системи, однак витрати машинного часу при обчисленнях будуть меншими в порівнянні із другим підходом.

При аналітичному представленні ядер і правих частин передбачається формування спеціальних функцій або файлів, у яких утримуються дані у функціональному вигляді. Такий підхід дозволяє заощаджувати пам'ять обчислювальної системи, однак потребує більше часу для обчислень. При користуванні програмами комплексу SVIE можна скористатися кожним із цих підходів, оскільки передбачено представлення даних як в аналітичному вигляді, так і в табличному.

У модулях, призначених для використання в системі MATLAB, реалізований метод опису ядер і правих частин у вигляді анонімних функцій. Анонімна функція двох аргументів x і s записується в такому вигляді: @(x,s)ц(x,s), де ц(x,s) -- аналітична функція двох змінних.

Всі основні модулі як результат повертають масив розв'язків y, а адаптивні модулі -- ще й масив x, що містить сітку вузлів, на яких знайдені розв'язки. Крім того, функції, що реалізують ітераційні алгоритми, повертають параметр countIter, що містить число ітерацій, проведених для досягнення заданої точності.

Відповідно до вимог, які висуваються до пакетів прикладних програм комп'ютерного моделювання, в усіх розроблених програмах здійснюється перевірка правильності задання вхідних даних, їхня відповідність розв'язуваній задачі, а також забезпечується коректне завершення роботи програми у випадку виникнення помилки в ході обчислень.

У програм, призначених для розв'язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри II роду, можливі два види інтерфейсу, що залежить від виду вихідної системи рівнянь: для систем з постійною матрицею коефіцієнтів при y необхідно ввести масив коефіцієнтів y і вектор початкових умов y0; для систем з одиничною матрицею коефіцієнтів ці два параметри передавати не обов'язково.

Для адаптивних алгоритмів розв'язки шукаються на інтервалі [a,b] з початковим кроком h. У процесі роботи крок зменшується вдвічі при великих обчислювальних помилках.

Модулі, призначені для знаходження розв'язків на фіксованій сітці x розмірності n, за результатом своєї роботи повертають масив розмірності mЧn значень функцій . Програми, що містять адаптивні алгоритми розв'язання, другим параметром повертають сітку x, на якій знайдені розв'язки.

Висновки

інтегральний алгоритм диференціальний багатозв'язний

У дисертаційній роботі вирішена наукова задача створення алгоритмічних основ та побудовано прикладні програмні засоби дослідження багатозв'язних динамічних об'єктів, які описуються системами інтегральних рівнянь. Зокрема отримані наступні результати.

1. Проведено аналіз засобів комп'ютерної реалізації інтегральних динамічних моделей в сучасних середовищах комп'ютерної математики, який дозволив встановити недостатню розвинутість даного напрямку наукових досліджень і розробок, що значно обмежує можливості аналізу багатьох видів динамічних об'єктів та стримує застосування інтегральних динамічних моделей на практиці. Проаналізовано властивості основних видів непараметричних динамічних моделей у вигляді інтегральних рівнянь Вольтерри та їх систем, сформульовано особливості, що впливають на вибір методів і розробку алгоритмів для чисельного розв'язання рівнянь і створення програмних засобів їх комп'ютерної реалізації.

2. Аналіз методів розв'язання інтегральних рівнянь Вольтерри засвідчив, що для створення ефективних програмних засобів перспективними є метод квадратур, метод колокацій, метод вироджених ядер, метод простої ітерації та метод Ньютона-Канторовича, які забезпечують ефективну комп'ютерну реалізацію інтегральних динамічних моделей. При розв'язанні задачі доцільного вибору методів, алгоритмів та програмних засобів чисельного інтегрування встановлено, що в серійних системах комп'ютерної математики найпоширенішими методами чисельного інтегрування є квадратурні формули Ньютона-Котеса, в тому числі формули трапецій та Сімпсона, квадратурні формули Гауса, в тому числі формула Гауса-Кронрода, формула Кленшо-Куртіса, метод сплайн-інтерполяції; для інтегрування швидкозмінних на інтервалі інтегрування функцій ефективними є адаптивні методи.

3. Порівняльний аналіз найбільш поширених “математичних” пакетів комп'ютерного моделювання дозволив вибрати систему MATLAB як інструментальну основу для розробки програмних засобів реалізації розглянутих типів непараметричних моделей. Вибрана інструментальна система забезпечує високу функціональність при розробці високопродуктивних додатків. Основними перевагами системи є: внутрішнє С-подібне програмне середовище, орієнтоване на векторно-матричні операції; модульна структура пакету; можливість використання програм, написаних на мовах С, FORTRAN; висока математична забезпеченість; широкі можливості візуалізації даних.

4. Вперше розроблено групу алгоритмів розв'язання систем лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри I і II роду, що враховує широкий діапазон вимог до точності отриманих розв'язків при комп'ютерному дослідженні процесів у технічних системах. В основу алгоритмів розв'язання інтегральних рівнянь Вольтерри II роду закладено наступні чисельні методи: метод квадратур, в тому числі формула трапецій та комбіновані формули Ньютона-Котеса високих порядків; метод колокацій з застосуванням кусково-гладких поліномів; метод простої ітерації. В основу алгоритмів розв'язання інтегральних рівнянь Вольтерри I роду закладено: метод трапецій, метод колокацій з застосуванням кусково-гладких поліномів. Вказана група алгоритмів забезпечує альтернативний підхід до створення та застосування програмних засобів різної якості.

5. Розроблено набір алгоритмів розв'язання систем нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри II роду, який забезпечує ефективну комп'ютерну імплементацію при застосуванні наступних чисельних методів: методу квадратур з використанням комбінацій формул Ньютона-Котеса відкритого та закритого типів; методу колокацій; методу простої ітерації та ітераційного методу Ньютона-Канторовича.

6. Розвинуто алгоритмічні основи побудови швидкодіючих обчислювальних процесів розв'язання інтегральних рівнянь типу Вольтерри на основі врахування властивостей вироджених ядер з забезпеченням незмінної кількості операцій на кожному обчислювальному кроці.

7. На основі чисельних методів квалратур і колокацій вперше створені адаптивні алгоритми розв'язання лінійних інтегральних рівнянь типу Вольтерри з швидкозмінними ділянками шуканих розв'язків, що забезпечує автоматичний вибір кроку інтегрування в залежності від отриманої в ході обчислень похибки.

8. Розроблено комплекс програм SVIE (System of Volterra Integral Equations), що реалізує запропоновані групи алгоритмів та призначений для дослідження багатозв'язних динамічних об'єктів за допомогою розв'язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри в середовищі MATLAB. Методом обчислювального експерименту на тестових прикладах перевірено ефективність запропонованих алгоритмів та розроблених на їх основі програм.

9. За допомогою створених програм розв'язано ряд прикладних задач, в тому числі: задача комп'ютерного дослідження нелінійних коливань та динамічної стійкості механічних об'єктів типу вязкопружних прямокутних пластин та циліндричних панелей, вязкопружних ортотропних пластин з врахуванням розповсюдження пружних хвиль, вязкопружної пластини з зосередженими масами; задача комп'ютерного дослідження віброзахисних систем, які встановлюються в транспортних засобах.

Література

1. Николаенко Ю.Е. Метод параметризации интегральных характеристик и выделения диагностических признаков элементов радиоэлектронных изделий / Ю.Е. Николаенко, А.В. Олецкий, В.А. Тихоход // Моделювання та інформаційні технології: зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України. -- К., 2005. -- Вип. 35. -- С. 52-61.

2. Федорчук В.А. Итерационные алгоритмы реализации интегральных моделей нелинейных динамических объектов / В.А. Федорчук, С.Н. Одокиенко, В.А. Тихоход // Моделювання та інформаційні технології: зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України. -- К., 2006. -- Вип. 39 -- С. 119-125.

3. Верлань А.А. Квадратурные алгоритмы численного моделирования нелинейных динамических объектов с обратными связями / А.А. Верлань, С.Н. Одокиенко, В.А. Тихоход // Моделювання та інформаційні технології: зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України. -- К., 2006. -- Вип. 38. -- С. 89-95.

4. Митько Л.А. Математическое описание биологических популяций с учетом возрастной структуры / Л.А. Митько, В.А. Тихоход // Зб. наук. праць ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України. -- К., 2006. -- Вип. 36. -- C. 132-137.

5. Ситник О.О. Математичне моделювання і динамічна корекція системи вимірювання потоків теплового вимірювання / О.О. Ситник, О.А. Дячук, C.М. Одокієнко, В.О. Тихоход // Зб. наук. праць “Вісник ЧДТУ” міжнар. наук.-техн. конф. “Датчики, прилади, системи -- 2006” (Черкаси, 18-22.09.2006 р.) -- Черкаси, 2006. -- С. 72-75.

6. Горошко И.О. Компьютерная реализация решения систем интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных динамических объектов / И.О. Горошко, В.А. Тихоход // Электронное моделирование. -- К., 2007. -- Т. 29, №3. -- С. 101-107.

Размещено на Allbest.ru