Методика проверки статистических гипотез методом программного моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задание на работу

регрессионный файл вычислительный программный

Выполнить качественный анализ объектов моделирования, указанных в задании:

- для каждого объекта показать на блок-схеме число входных факторов и выходных параметров ;

- определить количество уравнений статики, необходимых для математического описания объекта;

- определить в первом приближении общий вид уравнений статики.

По экспериментальным данным определить:

сколько серий параллельных измерений выполнено при наблюдении каждого выхода объекта; сколько опытов в одной серии;

- допущения, необходимые для использования методов регрессионного анализа (проверить их справедливость).

Изучить методику проверки статистических гипотез.

Разработать файл-сценарий, воспроизводящий расчеты оценок уравнения математической модели и проверки статистических гипотез по формулам (4 - 15). Предусмотреть вывод графиков в координатах , на который нанесены экспериментальные точки и расчетные. Для каждого уравнения отдельный график с расчетными и экспериментальными точками.

Осуществить расчеты на ЭВМ. Получить оценки коэффициентов регрессии и выполнить проверки статистических гипотез для каждого уравнения. В случае необходимости скорректировать первоначальный вид уравнений. По результатам сформировать n уравнений статики для математической модели объекта, приведённой в задании.

2. Основные расчетные соотношения

Математическая модель статического режима работы объекта с сосредоточенными координатами задается в виде конечных уравнений, устанавливающих зависимость выходных координат объекта от входных. На рисунке 1, 2 показаны блок-схемы наиболее распространенных объектов моделирования.

Если объект имеет выходную координату и несколько входных (рис. 1), то возможно построение математической модели статики в виде специального полинома, так называемого уравнения регрессии

(1)

где - оценка выходного параметра (выходной координаты объекта), - оценки коэффициентов регрессии, - факторы (входные координаты объекта).

При моделировании объекта с выходами и входами (рис. 2) необходимо сформировать уравнений регрессии (для каждого из выходов):

(2)

Математическую модель объекта в форме уравнения регрессии можно создавать на основе результатов пассивного эксперимента, проводя по определенным правилам наблюдения за входами и выходом в статическом режиме работы. При постановке статического эксперимента принимаются следующие допущения:

найденные экспериментальные значения Y отвечают нормальному закону распределения;

относительные ошибки измерения (1) незначительны, т.е. среднее квадратичное отклонение ошибки измерения каждого не больше трёх процентов от диапазона измерения ;

выборочные дисперсии параллельных измерений являются однородными.

В зависимости от числа факторов на основе выражения (1) можно сформировать конкретные уравнения регрессии. Выбор вида уравнения осуществляется путем экспериментального подбора.

Если выходной параметр зависит только от одного фактора, то для ориентировочного задания вида уравнения можно воспользоваться графиком , построенным по экспериментальным данным. Например, для приведённых на рис. 3 графиков следует использовать уравнение прямой (а) или уравнение параболы

(б)



При числе факторов больше одного экспериментатор не может осуществить выбор уравнения статики на основе геометрической интерполяции результатов измерений.

В этом случае модель создают в ходе итерационной процедуры, используя результаты проверки статистических гипотез и правила коррекции уравнений модели. Для аппроксимации экспериментальных данных используем метод наименьших квадратов (МНК), позволяющий найти коэффициенты уравнения (2) из условия:

(3)

На основании экспериментальных данных и (3) по МНК рассчитываются оценки коэффициентов регрессии [I]. Для линейного уравнения

значения оценок коэффициентов регрессии определяются соотношениями: для уравнения без свободного члена используют выражение:

(4)

(5)



Уравнения (3) показывают, что между b0 и b1 существует корреляционная связь. Для ее оценки используют выборочный коэффициент парной корреляции:

(6)

Регрессионный анализ найденного уравнения включает проверку статистических гипотез об однородности выборочных дисперсий параллельных измерений, о значимости коэффициентов регрессии, об адекватности уравнения модели. Справедливость первой гипотезы устанавливается по критерию Кохрена:

(7)

где - максимальное значение выборочной дисперсии (). Если (f₁ = N и f₂ = m-1), то выборочные дисперсии однородны, а среднее их значение определяет дисперсию воспроизводи мости:

(8)

Оценка значимости каждого коэффициента уравнения осуществляется по критерию Стьюдента:



(9)

где - среднее квадратичное отклонение .

(10)

(11)

Если , (), коэффициент значимо отличается от нуля.

В противном случае () исключается из уравнения (). Так как все члены уравнения взаимно коррелированны, удаление одного из них приводит к необходимости пересчитать заново значения оставшихся.

Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера:

(12)

где - остаточная дисперсия.

(13)



Если , то найденное уравнение регрессии адекватно исследуемому объекту.

При отсутствии параллельных измерений () вместо проверки адекватности уравнения регрессии осуществляют оценку качества аппроксимации:

(14)

где - дисперсия выходного параметра относительно среднего.

(15)

Если (), уравнение обеспечивает удовлетворительную точность аппроксимации. При отсутствии параллельных измерений гипотезы об однородности выборочных дисперсий и значимости коэффициентов не проверяются.

3. Текст программы

clc; clear; close all;

n = 1

m = 4

N = 30

A = xlsread('Вариант №1.xlsx');

x1 = A(:,1);

y = A(:,3:6);

y_cp = mean(y,2);

xx =x1.*x1;

xy = x1.*y_cp;

mx = sum(x1)/N;

my = sum(y_cp)/N;

disp('Коэффициенты:')

b1 = (N*sum(xy)-sum(x1)*sum(y_cp))/(N*sum(xx)-sum(x1)*sum(x1))

b0 = my-b1*mx

y_ras = b0+x1*b1;

Xmx2 = (x1 - mx).*(x1 - mx);

Ymy2 = (y_cp - my).*(y_cp - my);

vub_disp = ((y(:,1)-y_cp).^2+(y(:,2)-y_cp).^2+(y(:,3)-y_cp).^2+(y(:,4)-y_cp).^2)/(m-1);

raz = (y_cp-y_ras).^2;

disp('Корреляционная связь между коэффициентами:');

sx = sqrt(sum(Xmx2)/(N-1))

sy = sqrt(sum(Ymy2)/(N-1))

ryx = b1*sx/sy

for i=1:length(x1)

plot(x1(i),y_cp(i),'--rs')

hold on

end

plot(x1, y_ras)

disp('Критерий Кохрена:')

f1 = N

f2 = m-1

G = max(vub_disp)/sum(vub_disp)

G_tab = 0.1593

if G<G_tab

disp('Воспроизводимость хорошая. Выборочные дисперсии параллельных измерений однородны..')

end

disp('Критерий Стъюдента:')

s2_vosp = sum(vub_disp)/N

znam = N*sum(xx)-sum(x1)*sum(x1)

Sb0 = sqrt(s2_vosp*sum(xx)/znam)

Sb1 = sqrt(s2_vosp*N/znam)

tb0 = b0/Sb0

tb1 = b1/Sb1

tb_tab = 2.042

if tb0>tb_tab && tb1>tb_tab

disp('Коэффициенты значимо отличаются от нуля..')

end

disp('Критерий Фишера:')

q1 = N*m-n-1

q2 = N*(m-1)

s2_ost = m/f1*sum(raz)

F_ras = s2_ost/s2_vosp

F_tab = 1.39

if F_tab>F_ras

disp('Найденное уравнение адекватно объекту..')

end

grid on

4. Результаты проверок статистических гипотез и выводы по ним

n =1

m =4

N =30

Коэффициенты:

b1 =10.2391

b0 =2.0446

Корреляционная связь между коэффициентами:

sx =0.0099

sy =0.1042

ryx =0.9725

Критерий Кохрена:

f1 =30

f2 =3

G =0.0382

G_tab =0.1593

Воспроизводимость хорошая.

Выборочные дисперсии параллельных измерений однородны..

Критерий Стъюдента:

s2_vosp =0.0398

znam =0.0852

Sb0 =0.7457

Sb1 =3.7460

tb0 =2.7420

tb1 =2.7334

tb_tab =2.0420

Коэффициенты значимо отличаются от нуля..

Критерий Фишера:

q1 =118

q2 =90

s2_vosp =0.0398

s2_ost =0.0023

F_ras =0.0572

F_tab =1.3900



Найденное уравнение адекватно объекту..

Размещено на Allbest.ru

...