Решение прикладных задач средствами табличного процессора Excel

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение прикладных задач средствами табличного процессора Excel



Содержание

• Тема 1. Графический редактор
• Тема 2. Технология обработки документов средствами табличного процессора Excel
• Тема 3. Решение линейных и нелинейных задач в среде табличного процессора Excel
• Тема 4. Решение задач математического программирования в Excel
• Тема 5. Математическая система автоматизированного проектирования MathCAD
• Тема 6. МathCAD. Матрицы и системы линейных уравнений
• Список приложений
• Тема 1. Графический редактор

Контрольное задание

1.Создать схемы в соответствие с вариантом (табл. 1.1 и 1.2) и напечатать их.

Таблица 1.1. Варианты заданий

Вариант	Схема 1	Схема 2	Схема 3
8	A	B	D

Решение

Рисунок 1.1 - Усилитель. Схема электрическая принципиальная

Рисунок 1.2 - Асинхронный электропривод. Схема электрическая принципиальная нелинейный задача программирование проектирование

Рисунок 1.3 - Главная понизительная подстанция. Схема электрическая общая

• Тема 2. Технология обработки документов средствами табличного процессора Excel

Контрольное задание

2.1 Создать и напечатать таблицу потребления электроэнергии (табл. 2.1).

2.2 Построить и напечатать диаграмму потребления электроэнергии.

2.2 Построить и напечатать линию тренда потребления электроэнергии.

2.3 Сделать прогноз потребления электроэнергии на январь-март месяц следующего года.

Таблица 2.1. Показания счетчика электроэнергии (МВт*час)

Вариант	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь	январь
8	32520	32961	33418	33818	34205	34584	34977	35350	35764	36199	36627	37089	38520

Выполнение

Добавим в таблицу строку "Потребление", в которую внесем разницу показаний счетчика двух смежных месяцев:

Месяц	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь	январь	февраль	март
Показания	32520	32961	33418	33818	34205	34584	34977	35350	35764	36199	36627	37089	38520
Потребление	441	457	400	387	379	393	373	414	435	428	462	1431

Построим диаграмму с помощью мастера диаграмм. В качестве данных для диаграммы выбираем строку "Потребление" и "Месяц":

Построим линию тренда потребления электроэнергии. Выбираем тип линии тренда - "Линеная", устанавливаем прогноз на "три периода" и отмечаем "показывать уравнение (линии тренда) на диаграмме":

По линии тренда можно сделать прогноз энергопотребления на январь-март следующего года:

Месяц	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь	январь	февраль	март
Показания	32520	32961	33418	33818	34205	34584	34977	35350	35764	36199	36627	37089	38520	39300	40100
Потребление	441	457	400	387	379	393	373	414	435	428	462	1431	760	800	840

• Тема 3. Решение линейных и нелинейных задач в среде табличного процессора Excel

Контрольное задание

3.1. Рассчитать параметры электрической схемы для участка цепи (табл. 3.1).

3.2. Построить график переходного тока J(t) (табл. 3.2).

3.3. Решить уравнение J(t) = 0 с точностью 0,001.3.1. Рассчитать параметры электрической схемы для участка цепи (табл. 3.1).

3.2. Построить график переходного тока J(t) (табл. 3.2).

3.3. Решить уравнение J(t) = 0 с точностью 0,001.

Таблица 3.1

Вариант	Рис	R1	R2	R3	R4	E
8	2	63	24	13	44	45

Таблица 3.2

Вариант	Функция J(t)
8	5е-0.2tSin(t+0.2)-t3

Составим систему из 4-х уравнений, используя законы Кирхгофа, для контуров I-III и узла 1 (см. рис.3.1):

R₁I₁ + R₄I₄ = E

R₁I₁ + R₃I₃ = E

R₁I₁ + R₂I₂ = E

I₁ - I₂ - I₃ - I₄ = 0

Рисунок 3.1 - Расчетная схема

Подставим исходные данные в систему уравнений:

63I₁ + 44I₄ = 45

63I₁ + 13I₃ = 45

63I₁ + 24I₂ = 45

I₁ - I₂ - I₃ - I₄ = 0

Эту систему можно представить в матричном виде:

AX = b,

где

-

матрица коэффициентов (R_i)

- вектор неизвестных (I_i)

- вектор правых частей (E)

Решим систему уравнений методом обратной матрицы, используя возможности табличного процессора Excel.

Систему линейных алгебраических уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к А.

Система уравнений примет вид:

A^-1AX=A^-1b,

EX=A^-1b,

(E - единичная матрица)

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A^-1b.

Внесем матрицу А в диапазон ячеек В1:Е4, вектор b в диапазон Н1:Н4

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	А=	63	0	0	44		b=	45
2		63	0	13	0			45
3		63	24	0	0			45
4		1	-1	-1	-1			0
5
6	А-1=	0,002294995	0,007767676	0,004207491	0,100979786		I=	0,64216
7		-0,006024362	-0,020390149	0,030622003	-0,265071939			0,18934
8		-0,0111219	0,039279725	-0,020390149	-0,48936358			0,34955
9		0,019441257	-0,0111219	-0,006024362	-0,144584694			0,10327

Для вычисления обратной матрицы применяем математическую функцию =МОБР(В1:Е4). В ячейке с формулой появится некое число. Теперь необходимо преобразовать результат вычислений в матричную формул. Для этого выделяем диапазон под обратную матрицу вместе с ячейкой, в которой забита наша формула (она должна быть в верхнем левом углу выделенного диапазона) равный диапазону исходной матрицы. Далее необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9. Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию =МУМНОЖ(В6:Е9;Н1:Н4), которая предназначена для умножения матриц:

X=	0,64216
	0,18934
	0,34955
	0,10327

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор X и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции =МУМНОЖ(В1:Е4;Н6:Н9).

Таким образом:

I₁ = 0,64А, I₂ = 0,19А, I₃ = 0,35А, I₄ = 0,10А

Построим график переходного тока J(t).

Зададимся пределами построения (a;b) и шагом построения h:

	C	D	E
13	a	b	h
14	-60	10	1

Заполним столбец значений для t по следующему:

t1=а=-60 =$C$14

t2=t1+h=-59 =A14+$E$14

t3=t2+h =A15+$E$14

… …

t61=t60+h=10 =A73+$E$14

Далее запишем формулу для функции J(t1) в виде:

=5*EXP(-0,2*t1)*SIN(t1+0,2)-t1^3

и "растянем" ее на весь указанный диапазон:



Таблица 3.3

В результате получим график функции:

Найдем корни уравнения

5е^-0.2tSin(t+0.2)-t³=0.

Из построенного выше графика видно что данное уравнение имеет множество корней в интервале (-?;-50). Для нахождения корней их первоначально надо локализовать, то есть найти интервалы, на которых они существуют.

Такими интервалами локализации корней могут служить промежутки, на концах которых функция имеет противоположный знак. Из табл. 3.3 и графика функции видно, что полином меняет знак на интервалах: [-60; -59], [-58; -57], [-53; -52], [-52; -51], [-2; -1], [-1; 0], [0; 1] и [1; 2], и поэтому на каждом из этих интервалов имеется свой корень.

Для нахождения корней применим команду "Подбор параметра" во вкладке "Данные / Работа с данными /Анализ "Что, если".

Прежде чем приступить к нахождению корней при помощи Подбора параметра, необходимо выполнить некоторую подготовительную работу:

· Установить точность, с которой находится корень. Корень при помощи подбора параметра находится методом последовательных приближений. Для этого в Настройке панели быстрого доступа / Другие команды, и на вкладке Формулы диалогового окна Параметры Exel зададим в Параметрах вычислений относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,001 и 1000, соответственно.

· Отвести на рабочем листе ячейку (A87), под искомый корень.

· Корень при помощи подбора параметра находим методом последовательных приближений.

Поэтому в ячейку надо ввести значение, являющееся приближением к искомому корню.

В нашем случае, первым отрезком локализации корня является [-60;-59].

Следовательно, за начальное приближение к корню разумно взять среднюю точку этого отрезка -59,5.

· Отвести ячейку (В87), под функцию, для которой ведется поиск корня, причем вместо неизвестной у этой функции должна указываться ссылку на ячейку, отведенную под искомый корень (А87). Таким образом, в ячейку В87 ввести формулу: =5*EXP(-0,2*A87)*SIN(A87+0,2)-A87^3.

	А	В
86	Корень	Функция
87	-59, 5	-69477,80
88	-57, 5	-146813,94
89	-52,5	-17698,76
90	-51,5	8797,71
91	-1,5	-3,13
92	-0,5	-1,51
93	0,5	2,79
94	1,5	0,30

Теперь можно переходить к нахождению первого корня уравнения.

Выбираем команду Подбор параметра. На экране отобразится диалоговое окно Подбор параметра. В поле Установить в ячейке вводим ссылку на ячейку В87. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которой введена формула. В поле Значение вводим 0. В поле Изменяя значение вводим А87. В данном поле приводится ссылка на ячейку, отведенную под переменную. Нажимаем кнопку OK.

На экране отображается окно Результат подбора параметра с результатами работы команды Подбор параметра. Кроме того, рассматриваемое средство помещает найденное приближенное значение корня в ячейку А87. В данном случае оно равно -59,605. Аналогично в остальных ячейках А88 .. А94 находятся оставшиеся корни. Они равны:

	А	В
86	Корень	Функция
87	-59,605	0,00
88	-57,165	0,00
89	-52,726	0,00
90	-51,599	0,00
91	-1,937	0,00
92	-0,202	0,00
93	-0,202	0,00
94	1,536	0,00

• Тема 4. Решение задач математического программирования в Excel

Контрольное задание

1. Шинный завод выпускает шины для легковых (Л) и грузовых (Г) автомобилей по цене ЦЛ и ЦГ соответственно. Для изготовления единицы изделия требуется электроэнергия (Э), пар (П) и сжатый воздух (В), ресурсы которых (РЭ, РП и РВ) ограничены. Построить оптимальный план выпуска продукции, соответствующий максимальной прибыли (табл.4.1).

2.Необходимо передать электроэнергию трех станций в два пункта, причем вся электроэнергия должна быть передана во все пункты (непрерывность производства и потребления электроэнергии). Выработка (ЭС1, ЭС2 и ЭС3), потребность (П1 и П2) и стоимость передачи электроэнергии (ЭС1-П1, ЭС2-П1, ЭС3-П1 и ЭС1-П2, ЭС2-П2, ЭС3-П2) заданы в таблице 4.2. Составить оптимальный план передачи электроэнергии, соответствующий минимуму затрат, по варианту таблицы 2. ЭС1-П1, ЭС2-П2, ЭС3-П3.

Таблица 4.1

Вариант	ЦЛ	ЦГ	ЭЛ	ПЛ	ВЛ	ЭГ	ПГ	ВГ	РЭ	РП	РВ
8	453	1492	18	36,2	4,23	56,55	471	49,8	248 000	5729000	26300

Таблица 4.2

Вариант	ЭС1	ЭС2	ЭС3	Стоимость передачи электроэнергии	П1	П2
				ЭС1-П1	ЭС2-П1	ЭС3-П1	ЭС1-П2	ЭС2-П2	ЭС3-П3
8	32	1631	248	13,3	1,6	20,8	33,8	18,3	19,2	29	1882

Решение

Задание 4.1 Создадим таблицу с исходными данными и свяжем их формулами (табл.4.3):

Прибыль = B5*B6+C5*C6;

Расход =(Bi*$B$6+Ci*$C$6),



i=2..4.

Таблица 4.3 - Таблица с исходными данными для решения задачи

	A	B	C	D	E
1	Ресурс	Шины Л	Шины Г	Запас	Расход
2	Эл.эн.	18	56,55	248000	0
3	Пар	36,2	471	5729000	0
4	Возд.	4,23	49,8	26300	0
5	Цена	453	1492	Прибыль	0
6	План	0	0

Зададим для ячеек "План" формат "Число", количество знаков после запятой - 0 (план по выпуску не может быть дробным), для целевой ячейки "Прибыль" зададим формат "Число", количество знаков после запятой - 2.

Выделим целевую ячейку, которая должна принять необходимое значение, и выберем команду: Сервис > Поиск решения. Поле Установить целевую ячейку открывшегося диалогового окна надстройки будет содержать адрес целевой ячейки "Прибыль" - Е5.

Установим переключатели Равной, задающие значение целевой ячейки, - максимальному значению.

Укажем в поле Изменяя ячейки, в каких ячейках программа должна изменять значения в поисках оптимального результата - "План" ($B$6:$C$6).

Зададим ограничения в списке Ограничения. Для этого щелкним на кнопке Добавить и в диалоговом окне Добавление ограничения определим ограничения: Расход <= Запасу ($E$2:$E$4 <= $D$2:$D$4).

Щелкним на кнопке на кнопке Параметры, и в появившемся окне установим переключатель Неотрицательные значения (переменные должны быть положительными числами), Линейная модель (задача, которую мы решаем, относится к линейным моделям).

Щелкнув на кнопке Выполнить, запустим процесс поиска решения.

Когда появится диалоговое окно Результаты поиска решения, выберем переключатель Сохранить найденное и нажмем кнопку ОК.

Результаты решия задачи приведены в табл.4.4.

Таблица 4.4 - Таблица решения задачи

	A	B	C	D	E
1	Ресурс	Шины Л	Шины Г	Запас	Расход
2	Эл.эн.	18	56,55	248000	111 914,89
3	Пар	36,2	471	5729000	225 073,29
4	Возд.	4,23	49,8	26300	26 300,00
5	Цена	453	1492	Прибыль	2 816 524,820
6	План	6 217	0

Задание 4.2

Создадим таблицу с исходными данными и свяжем их формулами (табл.4.5):

Затраты передачи\Пункт 1 = Bi*Di, i = 3..5;

Затраты передачи\Пункт 2 = Ci*Ei, i = 3..5;

Итого\Потребление\Пункт 1 =СУММ(D3:D5);

Итого\Потребление\Пункт 2 =СУММ(E3:E5);

Итого\Потребление =СУММ(F3:F5)

Потребление\Всего =Di+Ei; i = 3..5;

Итого\Выработка (ЭС) =СУММ(G3:G5); - для наглядности

Итого\Затраты передачи\ Пункт 1 =СУММ(H3:H5);

Итого\Затраты передачи\ Пункт 2 =СУММ(I3:I5);

Потребность\Всего =D6+E6; - для наглядности

Всего\Потребление =D7+E7;

Всего\Выработка =F7;

Всего\Затраты передачи =G7+H7 - целевая функция.

Оптимизируем целевую функцию до минимума, изменяя ячейки $D$3:$E$5.

Согласно условию, вся электроэнергия должна быть передана во все пункты, т.е. электроэнергия каждой станции должна быть передана в каждый пункт. Таким образом, поставим ограничения для изменяемых ячеек >0. Но в инструменте Поиск решения нет строго неравенства, поэтому:

$D$3>=0,01;

$D$4>=0,01;

$D$5>=0,01;

$E$3>=0,01;

$E$4>=0,01;

$E$5>=0,01.

Таблица 4.5 - Таблица с исходными данными для решения задачи

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1		Стоимость передачи (ЭС-П)	Потребление	Выработка (ЭС)	Затраты передачи
2		Пункт 1	Пункт 2	Пункт 1	Пункт 2	Всего		Пункт 1	Пункт 2
3	Станция 1	13,30	33,80	0,00	0,00	0,00	32	0,00	0,00
4	Станция 2	1,60	18,30	0,00	0,00	0,00	1631	0,00	0,00
5	Станция 3	20,80	19,20	0,00	0,00	0,00	248	0,00	0,00
6	Потребность (П)			29,00	1882,00
7	Итого:			0,00	0,00		1911	0,00	0,00
8	Всего:			0,00		1911	0,00

По условию задачи суммарное потребление пункта должно равняться его потребности:

$D$7=$D$6;

$E$7=$E$6.

Электроэнергия должна быть передана без остатка (непрерывность производства и потребления электроэнергии). Очевидно, что суммарная энергия переданная станцией не может быть больше ее выработки:

$F$3=$G$3;

$F$4=$G$4;

$F$5=$G$5;

Результат поиска решения представлен в табл.4.6.

Таблица 4.6 - Таблица решения задачи

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1		Стоимость передачи (ЭС-П)	Потребление	Выработка (ЭС)	Затраты передачи
2		Пункт 1	Пункт 2	Пункт 1	Пункт 2	Всего		Пункт 1	Пункт 2
3	Станция 1	13,30	33,80	28,98	3,02	32,00	32,00	385,43	102,08
4	Станция 2	1,60	18,30	0,01	1 630,99	1 631,00	1 631,00	0,02	29 847,12
5	Станция 3	20,80	19,20	0,01	247,99	248,00	248,00	0,21	4 761,41
6	Потребность (П)			29,00	1 882,00	1 911,00
7	Итого:			29,00	1 882,00	1 911,00	1 911,00	385,66	34 710,60
8	Всего:			1 911,00	1 911,00	1 911,00	35 096,26

• Тема 5. Математическая система автоматизированного проектирования MathCAD
• Контрольное задание
• 1. По варианту (таблица 5.1) рассчитайте параметры электрической схемы.
• 2. Постройте диаграмму напряжений электрической схемы.
• Таблица 5.1.

№п.п.	Рис.	E1, В	r1, Ом	E2, В	r2, Ом	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом
8	2	6	1.0	3	0.5	45	23	5	39

• Рисунок2
• Решение
• Составим систему из 3-х уравнений, используя законы Кирхгофа, для контуров I-II и узла 1 (см. рис.5.1):
• E₁ = I₁(R₁+r₁)+I₃R₃
• E₂ = I₂(R₂+r₂)-I₃R₃ (5.1)
• I₁-I₂-I₃ = 0
• Рисунок 5.1 - Расчетная электрическая схема
• Подставим в систему уравнений (5.1) значения из таблицы 1:
• (45+1) I₁+5I₃ = 6
• (23+0,5)I₂-5I₃ = 3
• I₁-I₂-I₃ = 0
• 46I₁+5I₃ = 6
• 23,5I₂-5I₃ = 3 (5.2)
• I₁-I₂-I₃ = 0
• Решим данную систему уравнений, используя математическую систему MathCAD и конструкцию Given-Find.
• Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:
• · задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений;
• · напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCAD, что далее следует система уравнений;
• · ввести уравнения в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа "=";
• · ввести любое выражение, которое включает функцию Find;
• · вывести решения.
• Find(I1,I2,I3) возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.
• Рисунок 5.2 - Решение системы уравнений в среде MathCAD
• Построим диаграмму напряжений (потенциальную диаграмму).
• Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс откладывают сопротивление вдоль контура, начиная с произвольной точки, по оси ординат - потенциалы.
• При построении диаграммы контур обходим по часовой стрелке, начиная с точки 1, заканчивая точкой 6 (см.рис. 5.3).
• Рисунок 5.3 - Контур для построения диаграммы напряжений
• Рассчитаем значения потенциалов для каждой точки контура начиная с точки 1. Потенциал точки 1 примем за нулевой. При составлении выражений необходимо учитывать, что ток протекает от большего потенциала к меньшему, направление ЭДС указывает от меньшего потенциала к большему (см. рис. 5.3).
• Чтобы построить графики в MathCAD, нам потребуется создать при помощи пиктограммы [::] две матрицы с одним столбцом. Длины матриц должны быть одинаковы. В одной будут храниться координаты по оси X (в нашем случае это значения сопротивлений на соответствующем участке контура) точек, по которым программа построит график, в другой будут координаты точек по оси Y (это будут значения потенциала в соответствующей точке). Присвоим эти матрицы двум новым переменным Ф и R соответственно.
• Затем мы создаем шаблон для графика при помощи инструмента Plot с панели Math. Вписываем в подготовленные поля для осей Y и X переменные, содержащие наши матрицы (Ф в Y, и R в Х). После этого происходит прорисовка нашего графика в автоматическом масштабе.
• Зададим диапазон по оси X и Y, в котором будет рисоваться график, вручную в соответствующих полях. Для оси X - [0;25], для оси Y - [-4;7].
• После двойного щелчка на графике можно задать шаг сетки и сделать так, чтобы отображался шаг сетки, сделать текстовые подписи для осей, включить логарифмический масштаб по оси, задать количество отображаемых нулей, форму представления чисел, цвет линий и так далее. Дважды щелкнем на поле графика и поставим шаг для каждой оси. Для оси X зададим количество сеток 10, для оси Y - 11 (см.рис. 5.4).
• Рисунок 5.4 - Построение диаграммы напряжений
• Тема 6. МathCAD. Матрицы и системы линейных уравнений

Контрольное задание

1. На основе законов Кирхгофа составьте систему линейных уравнений для расчета токов электрической схемы (табл.6.2), параметры которой заданы в (табл. 6.1).

2. Решение полученной системы линейных уравнений в среде МathCAD произведите тремя способами:

а) определение корней уравнений с помощью расчета определителей матриц;

б) в виде решения матричного уравнения;

в) в виде решения системы линейных уравнений с помощью блока Given - Find.

3. По найденным значениям токов определите остальные параметры электрической схемы.



Таблица 6.1

№ п/п	Номер рисунка	R1	R2	R3	R4	R5	R6	E1	E2	E3
		Ом	В
8	1-20	6	5	8	14	7	8	-	20	14

Рис. 1-20

Решение

Для расчета электрической схемы (см.рис. 6.1) составим систему линейных уравнений на основе законов Кирхгофа:

Для контура I: E₂=I₂R₂+I₄R₄+I₅R₅;

Для контура II: E₃=I₃R₃+I₄R₄+I₆R₆;

Для контура III: E₂=I₁R₁+I₂R₂-I₆R₆; (6.1)

Для узла a: I₃-I₄+I₅=0;

Для узла b: I₁-I₃+I₆=0;

Для узла d: I₁-I₂+I₅=0.



Рисунок 6.1 - Расчетная электрическая схема для составления системы уравнений

Представим систему уравнений (6.1) в матричном виде:

R•I=E, (6.2)

Где

- матрица коэффициентов;

- матрица токов;

- матрица ЭДС.

Выразим корни уравнения через определители соответствующих матриц:

,

где ? - главный определитель матрицы коэффициентов

?_i - определитель матрицы коэффициентов, где вместо i-го столбца стоит матрица ЭДС.

Произведем вышеуказанные расчеты в среде MathCAD:

Ток I₆ получился отрицательным, значит, мы ошиблись при выборе его направления.

Решим наше матричное уравнение (6.2) методом обратной матрицы:

,

где

- обратная матрица R;

- определитель матрицы R;

R^T - транспонированная матрица R.

Произведем вышеуказанные расчеты в среде MathCAD:

Альтернативным вариантом решения системы уравнений (6.1) является использование блока Given-Find. Система уравнений вписывается после солужебного слова Given, а решение выводится с помощью функции Find(I1,I2,I3,I4,I5,I6) (см.рис.6.2).

По найденным значениям токов определим значения потенциалов в точках схемы (см. рис.6.3). Потенциал точки а примем за ноль:

Рисунок 6.2 - Решение системы уравнений с помощью блока Given-Find

Рисунок 6.3 - Расчетная схема для нахождения значений потенциалов


• Список приложений

1. Приложение 1. Файл с выполнением заданий по программе Excel.

2. Приложение 2. Файлы с выполнением задания по программе sPlan.

3. Приложение 3. Файлы с выполнением заданий по программе MathCAD.

Размещено на Allbest.ru

...