Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

Кафедра теоретической физики и компьютерных технологий

ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ В ГЭК

Заведующий кафедрой

д-р физ.-мат. наук, профессор

_______________Е. Н. Тумаев

____________________2015 г.

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА

исследование и программная реализация моделей систем массового обслуживания

Работу выполнила Кучеренко Галина Анатольевна

Факультет Физико-технический

Направление 09.03.02 Информационные системы и технологии

Научный руководитель

д-р техн. наук, профессор А. И. Приходько

Нормоконтролер

канд. физ-мат.наук, доцент А. А. Мартынов

Краснодар 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Обозначения и сокращения

Введение

1. Основные понятия теории массового обслуживания

1.1 Определение и классификация СМО

1.2 Марковские случайные процессы и потоки событий

1.3 Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

1.4 Процесс гибели и размножения

2. Основные модели СМО

2.1 СМО с отказами

2.1.1 Одноканальная система с отказами

2.1.2 Многоканальная система с отказами

2.2 СМО c неограниченной длиной очереди

2.2.1 Одноканальная система с неограниченной очередью

2.2.2 Многоканальная СМО с неограниченной очередью

2.3 СМО с ограниченной очередью

2.3.1 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

2.3.2 Многоканальная СМО с ограниченной очередью

3. Описание программ расчета характеристик СМО

3.1 Описание программы расчета характеристик СМО с отказами в MATLAB

3.2 Описание программы расчета характеристик СМО с отказами на VBA

3.3 Описание программы расчета характеристик СМО с неограниченной длиной очереди в MATLAB

3.4 Описание программы расчета характеристик СМО с неограниченной длиной очереди на VBA

3.5 Описание программы расчета характеристик СМО с ограниченной длиной очереди в MATLAB

3.6 Описание программы расчета характеристик СМО с ограниченной длиной очереди на VBA

Заключение

Список использованных источников

Приложение А Текст программы расчета характеристик СМО с отказами в MATLAB

Приложение Б Текст программы расчета характеристик СМО с отказами на VBA

Приложение В Текст программы расчета характеристик СМО с неограниченной очередью в MATLAB

Приложение Г Текст программы расчета характеристик СМО с неограниченной очередью на VBA

Приложение Д Текст программы расчета характеристик СМО с ограниченной очередью в MATLAB

Приложение Е Текст программы расчета характеристик СМО с ограниченной очередью на VBA

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

СМО	система массового обслуживания
	интенсивность потока
А	абсолютная пропускная способность
Q	относительная пропускная способность
Ротк	вероятность отказа
Рзан	Вероятность того, что канал занят
	среднее число занятых каналов
Lсист	среднее число заявок в системе
Lоч	среднее число заявок в очереди
Тсист	среднее время пребывания заявки в системе
Точ	среднее время пребывания заявки в очереди

ВВЕДЕНИЕ

В данной выпускной квалификационной работе мы будем рассматривать различные системы массового обслуживания (СМО). Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы.

Объектом исследования данной выпускной квалификационной работы являются системы массового обслуживания (СМО).

Целью работы является анализ методов описания и разработка программ расчета характеристик СМО

Поставленная цель раскрывается через следующие задачи:

- анализ методов математического описания и определение характеристик СМО;

- разработка программ расчета характеристик СМО.

1. Основные понятия теории массового обслуживания

1.1 Определение и классификация СМО

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы - систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские и т.п.

В системах массового обслуживания различают три основных этапа, которые проходит каждая заявка:

- появление заявки на входе в систему;

- прохождение очереди;

- процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему

На каждом этапе используются определенные характеристики. Рассмотрим их.

Начнем с характеристик входа.

Вход в любую систему массового обслуживания имеет три основные характеристики:

1 число заявок на входе (размер популяции);

2 режим поступления заявок в систему обслуживания;

3 поведение клиентов.

Рассмотрим подробнее эти характеристики:

1 Число потенциально возможных заявок может считаться либо бесконечным, либо конечным. Если число заявок, поступивших на вход системы с момента времени является лишь малой частью потенциально возможного числа клиентов, популяция на входе рассматривается как неограниченная. Примером неограниченных популяций может служить покупатели в супермаркете.

Если число заявок, которое может поступить в систему, сравнимо с числом заявок, уже находящимся в системе массового обслуживания, популяция считается ограниченной. Примером ограниченной популяции могут служить компьютеры, принадлежащие конкретной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую.

2 Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответствии с определенным графиком (один пациент на прием к стоматологу каждые пятнадцать минут), или они появляются случайным образом. Появления клиентов считаются случайными, если они независимы друг от друга и точно не предсказуемы. Часто в задачах массового обслуживания число появлений в единицу времени может быть оценено с помощью пуассоновского распределения.

3 Большинство моделей очередей основываются на предположении, что каждая поступающая в систему заявка встает в очередь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор, пока не будет обслужена. Это означает, что клиент (человек или машина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока не будет обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очереди в другую. На практике клиенты могут покинуть очередь. Может возникнуть и другая ситуация: клиенты дожидаются своей очереди, но по каким-то причинам уходят не обслуженными. Эти случаи также являются предметом исследования теории массового обслуживания.

Основными характеристиками очереди являются:

- длина;

- правило обслуживания.

Длина очереди может быть ограничена или не ограничена.

Длина очереди считается ограниченной, если она не может увеличиваться до бесконечности по каким-либо причинам. Когда очередь достигает своего максимального размера, следующая заявка в систему не допускается и в заявке отказывается. Бывают СМО с отказами, когда очередь имеет нулевую длину. Длина очереди не ограничена, если в очереди может находится любое количество заявок.

Вторая характеристика очереди - правило обслуживания. Для классификации СМО большое значение имеет дисциплина обслуживания, определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами. По этому признаку обслуживание заявки может быть организовано по принципу «первая пришла - первая обслужена», «последняя пришла - первая обслужена» или обслуживание с приоритетом. Приоритет может быть, как абсолютным, когда более важная заявка «вытесняет» из-под обслуживания обычную заявку, так и относительным, когда более важная заявка получает лишь «лучшее» место в очереди.

Основными характеристиками процесса обслуживания являются:

- конфигурация систему обслуживания;

- режим обслуживания.

Конфигурация системы обслуживания. Системы обслуживания различаются по числу каналов обслуживания. Обычно количество каналов можно определить, как число клиентов, обслуживание которых может быть начато одновременно. Например, число касс в супермаркете. Другая характеристика системы - число фаз обслуживания или последовательных этапов обслуживания одного клиента.

Примером одноканальной однофазной системы обслуживания может служить банк, в котором открыто только единственное окошко для обслуживания клиентов. Если же в банке открыто несколько окошек для обслуживания, и клиент, ожидая в общей очереди, подходит к первому освободившемуся окну, то мы имеем дело с многоканальной однофазной системой обслуживания. Большинство банков, также как авиакассы, сейчас являются многоканальными системами обслуживания.

Однофазными являются системы, в которых клиент обслуживается в одном пункте и затем покидает систему. Если же клиент проходит через несколько пунктов, то мы имеем дело с многофазной системой обслуживания.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.

В качестве показателей эффективности СМО используются: среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; вероятность отказа в обслуживании без ожидания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.

многоканальный система отказ очередь

1.2 Марковские случайные процессы и потоки событий

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс. Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3… можно заранее перечислить, а переходы системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: система S - счетчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров, пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t0 счетчик показывает S0. Вероятность того, что в момент t>t0 счетчик покажет то или иное число километров (точнее соответствующее число рублей) S1 зависит от S0, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента t0.

Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например, процесс игры в шахматы.

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой - так называемой графом состояний. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние - стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния (рис. 1).



Рисунок 1 - Граф состояний

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятности - понятием потока событий.

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени

Примерами могут быть:

- поток вызовов на телефонной станции;

- поток включений приборов в бытовой электросети;

- поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию:

- поток неисправностей (сбоев) вычислительной машины;

- поток выстрелов, направляемых на цель.

Поток характеризуется интенсивностью л - частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но представляет определенный интерес как предельный случай.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: .

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени и _ число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последствия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последствия (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени ?t двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последствия.

Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям ) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью л, равной сумме интенсивностей входящих потоков:



Рассмотрим на оси времени простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек. (Рис. 2)

Рисунок 2 - Поток событий

Можно показать, что для простейшего потока число m событий (точек), попадающих на произвольный участок времени ф, распределено по закону Пуассона

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии:

В частности, вероятность того, что за время ф не произойдет ни одного события (m = 0), равна

Найдем распределение интервала времени T между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.

В соответствии с формулой вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна



а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины T, есть

Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения:

Распределение, задаваемое плотностью вероятности или функцией распределения , называется показательным (или экспоненциальным). Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению случайной величины

и обратно по величине интенсивности потока л.

Важнейшее свойство показательного распределения (присуще только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время ф, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (Т-ф): он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.

Иначе говоря, для интервала времени Т между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части.

Для простейшего потока с интенсивностью л вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени ?t хотя бы одного события потока равна согласно

1.3 Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере графа, изображенного на рисунке 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния Si в Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями ??ij (i, j=0, 1, 2, 3); так, переход системы из состояния S0 в S1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S1 в S0 -- под воздействием потока "окончаний ремонтов" первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным. Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S0, S1, S2, S3.

Вероятностью i-го состояния называется вероятность pi(f) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si. Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице:

Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток ?t, найдем вероятность p0(t+?t) того, что система в момент t+?t будет находиться в состоянии S0. Это достигается разными способами.

- Система в момент t с вероятностью p0(t) находилась в состоянии S0, а за время ?t не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (л01+л02), т.е. в соответствии с формулой , с вероятностью, приближенно равной (л01+л02)?t. А вероятность того, что система не выйдет из состояния S0, равна [l-(л01+л02)?t]. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 по первому способу, равна по теореме умножения вероятностей:

- Система в момент t с вероятностями p1(t) (или p2(t)) находилась в состоянии S1 или S2 и за время ?t перешла в состояние S0.

Потоком интенсивностью л10 система перейдет в состояние S0 с вероятностью, приближенно равной ??10?t (или ??20?t). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 по этому способу, равна p1(t)??10?t. Применяя теорему сложения вероятностей, получим

(11)

откуда

(12)

Переходя к пределу при ?t>0 (приближенные равенства, связанные с применением формулы , перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную (обозначим ее для простоты ):

(13)

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы S, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

(14)

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части -- сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (14) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение .

Нужно задать начальные условия. Так, например, систему уравнений (14) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии S0, т.е. при начальных условиях p0(0)=1, p1(0)=p2(0)=p3(0)=0.

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы рi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t>?, которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния Si имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния S0, т.е. p0=0.5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S0.

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с графом состояний, изображенном на рисунке 1, такая система уравнений имеет вид:

(15)

Систему (15) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния рi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа -- сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-e состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

1.4 Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов -- так называемый процесс гибели и размножения.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рисунке 3.

Рисунок 3 - Граф состояний процесса гибели и размножения

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1, S2, ..., Sk. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk, возможны переходы только либо в состояние Sk-1, либо в состояние Sk+1.

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями или .

По графу, представленному на рисунке 3, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний.

В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния S0

(16)

для состояния , которое с учетом (16) приводится к виду

(17)

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

(18)

к которой добавляется нормировочное условие

(19)

Решая систему (18),(19), можно получить

(20)

(21)

Легко заметить, что в формулах (21) для p1,p2,…,pn коэффициенты при p0 есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (20). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния Sk (k=1, 2, ...,n), а знаменатели -- произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния Sk.

2. Основные модели СМО

2.1 СМО с отказами

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А -- абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q -- относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Ротк -- вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

-- среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

2.1.1 Одноканальная система с отказами

Рассмотрим задачу:

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью л. Поток обслуживаний имеет интенсивность м1. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет два состояния: S0 -- канал свободен, S1 -- канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рисунке 4.

Рисунок 4 - Граф состояний

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид

 (22)

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие , найдем из (22) предельные вероятности состояний

(23)

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S0 (когда канал свободен) и S1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно пропускную способность Q системы и вероятность отказа Pотк:

(24)

(25)

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

(26)

2.1.2 Многоканальная система с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью л. Поток обслуживании имеет интенсивность м. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): So, S1, S2,…, Sk, ... Sn,где Sk -- состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке 5.

Рисунок 5 - Граф состояний гибели и размножения

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью л. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет 2м. Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность 3м т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле (20) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

(27)

Где члены разложения …, будут представлять собой коэффициенты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, р2, ..., pk,…,pn. Величина

(28)

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

(29)

(30)

Формулы (29) и (30) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

(31)

Относительная пропускная способность -- вероятность того, что заявка будет обслужена:

 (32)

Абсолютная пропускная способность:

(33)

Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:

(34)

где рk -- предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (29), (30).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем м заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

(35)

или, учитывая (33), (28):

(36)

2.2 СМО c неограниченной длиной очереди

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей -- абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа Ротк, среднего числа занятых каналов (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: Lсист -- среднее число заявок в системе; Тсист -- среднее время пребывания заявки в системе; Lоч -- среднее число заявок в очереди (длина очереди); Точ -- среднее время пребывания заявки в очереди; Рзан, -- вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

2.2.1 Одноканальная система с неограниченной очередью

На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.

Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность л, а поток обслуживании -- интенсивность м. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1,S2,… по числу заявок, находящихся в СМО: S0 -- канал свободен; S1 -- канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; S2 -- канал занят, одна заявка стоит в очереди; ... Sk -- канал занят, (k-- 1) заявок стоят в очереди и т.д.

Граф состояний СМО представлен на рисунке 6.

Рисунок 6 - Граф состояний одноканальной СМО

Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна л, а интенсивность потока обслуживании м.

Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t>?, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ?? < 1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ?? > 1, очередь растет до бесконечности.

Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (20), (21) для процесса гибели и размножения. Получим:

(37)

Так как предельные вероятности существуют лишь при с < 1, то геометрический ряд со знаменателем с< 1, записанный в скобках в формуле (37), сходится к сумме, равной . Поэтому

(38)

и с учетом соотношений (21)

(39)

найдем предельные вероятности других состояний

 (40)

Предельные вероятности p0, р1, p2,..., pk, ... образуют убывающую геометрическую профессию со знаменателем с < 1, следовательно, вероятность p0 -- наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при с < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.

Среднее число заявок в системе Lсист. определим по формуле математического ожидания, которая с учетом выражения (40) примет вид

(41)

Можно показать, что формула (41) преобразуется (при с < 1) к виду

(42)

Найдем среднее число заявок в очереди Loч. Очевидно, что

(43)

где Lоб -- среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):

Среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:

 (44)

В силу (38)

(45)

Теперь по формуле (43) с учетом (42) и (45)

(46)

Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.

(47)

(48)

Формулы (47) и (48) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность л.

На основании формул (47) и (48) с учетом (42) и (46) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:

 (49)

а среднее время пребывания заявки в очереди --

(50)

2.2.2 Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим задачу. Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность л., а поток обслуживаний -- интенсивность м. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ..., нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 -- в системе нет заявок (все каналы свободны); S -- занят один канал, остальные свободны; S2-- заняты два канала, остальные свободны; Sk -- занято k каналов, остальные свободны; Sn -- заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 -- заняты все п каналов, в очереди одна заявка; Sn+r -- заняты все п каналов, r заявок стоит в очереди.

Граф состояний системы показан на рисунке 7. Обратим внимание на то, что в отличие от предыдущей СМО, интенсивность потока обслуживаний (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины м до n??, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nм.



Рисунок 7 - Граф состояний многоканальной СМО

Можно показать, что при с/n < 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью

(51)

(52)

(53)

Вероятность того, что заявка окажется в очереди,

(54)

Для n-канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти:

среднее число занятых каналов

(55)

среднее число заявок в очереди

(56)

среднее число заявок в системе

(57)

Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе, как и ранее, находятся по формулам Литтла (48) и (49).

Замечание. Для СМО с неограниченной очередью при с < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, относительная пропускная способность Q=1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.

2.3 СМО с ограниченной очередью

СМО с ограниченной очередью отличаются лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного m). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО необслуженной, т.е. получает отказ.

2.3.1 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Предельные вероятности:

(58)

(59)

Вероятность отказа:

(60)

Абсолютная пропускная способность

(61)

Относительная пропускная способность

(62)

Среднее число заявок в очереди

(63)

Среднее число заявок под обслуживанием (среднее число занятых каналов)

 (64)

Среднее число заявок в системе

(65)

2.3.2 Многоканальная СМО с ограниченной очередью

Предельные вероятности:

(66)

(67)

Вероятность отказа:

(68)

Абсолютная пропускная способность

(69)

Относительная пропускная способность

 (70)

Среднее число заявок в очереди

(71)

Среднее число заявок под обслуживанием(среднее число занятых каналов)

(72)

Среднее число заявок в системе

(73)

3. Описание программ расчета характеристик СМО

3.1 Описание программы расчета характеристик СМО с отказами в MATLAB

Программа составлена на интерпретируемом языке Matlab в среде Matlab. Текст программы с подробными комментариями представлен в приложении А.

Программа включает в себя следующие фрагменты:

- ввод исходных данных - числа каналов обслуживания, интенсивности потока заявок, интенсивности потока обслуживаний;

- расчет основных характеристик СМО - коэффициента нагрузки канала, вероятностей состояний, вероятности отказа, относительной пропускной способности и среднего числа занятых каналов;

- вывод результатов расчетов;

- вывод диаграммы вероятностей состояний СМО.

Окно диалога программы представлено на рисунке 10.

Для проведении расчетов необходимо:

- открыть программу MATLAB;

- открыть скрипт с программой;

- запустить скрипт;

- в появившемся диалоговом окне программы (рис. 10) в поля «Число каналов СМО», «Интенсивность потока заявок», «Интенсивность потока обслуживаний» ввести требуемые значения;

- в диалоговом окне нажать кнопку «OK», в новом окне построится диаграмма вероятностей состояний (рис.11), а в командном окне MATLAB появятся результаты расчета (рис.12).



Рисунок 10 - Окно диалога программы расчета характеристик СМО с отказами

Рисунок 11 - Диаграмма вероятностей состояний СМО с отказами



Рисунок 12- Результаты расчета СМО с отказами

3.2 Описание программы расчета характеристик СМО с отказами на VBA

Программа составлена на алгоритмическом языке Visual Basic for Applications (VBA) в среде Microsoft Office Excel. Текст программы с подробными комментариями представлен в приложении Б.

Программа включает в себя следующие фрагменты:

- объявление динамических массивов и переменных;

- ввод исходных данных - числа каналов обслуживания, интенсивности потока заявок, интенсивности потока обслуживаний;

- расчет основных характеристик СМО - коэффициента нагрузки канала, вероятностей состояний, вероятности отказа, относительной пропускной способности и среднего числа занятых каналов;

- вывод результатов расчетов (при необходимости также выводится диаграмма вероятностей состояний СМО).

Основная программа содержит подпрограмму _ функцию, реализующую расчет основных характеристик СМО

Для вычисления факториала с помощью оператора «Application.WorksheetFunction.Fact(I)» в программе используется стандартная математическая функция Fact(I), входящие в состав библиотеки Microsoft Office Excel.

Окно диалога программы представлено на рисунке 13.

При проведении расчетов необходимо:

- открыть документ Microsoft Office Excel с программой;

- на открывшемся листе нажать кнопку «Расчет характеристик СМО с отказами»;

- в появившемся диалоговом окне программы (рис. 13) в поля «Число каналов обслуживания», «Интенсивность потока заявок», «Интенсивность потока обслуживаний» ввести требуемые значения;

- при необходимости поставить флажок в поле «Добавить диаграмму вероятностей состояний»;

- в диалоговом окне нажать кнопку «OK», и на листе появятся результаты расчета.



Рисунок 13 _ Окно диалога программы расчета характеристик СМО с отказами

3.3 Описание программы расчета характеристик СМО с неограниченной длиной очереди в MATLAB

Программа составлена на интерпретируемом языке Matlab в среде Matlab. Текст программы с подробными комментариями представлен в приложении В.

Программа включает в себя следующие фрагменты:

- ввод исходных данных - числа каналов обслуживания, интенсивности потока заявок, интенсивности потока обслуживаний, число выводимых дополнительных вероятностей состояний СМО по количеству заявок, стоящих в очереди;

- расчет основных характеристик СМО - коэффициента нагрузки канала, вероятностей состояний, вероятности отказа, относительной пропускной способности, среднего числа занятых каналов, среднего числа заявок в очереди;

- вывод результатов расчетов;

- вывод диаграммы вероятностей состояний СМО.

Окно диалога программы представлено на рисунке 14.

Для проведении расчетов необходимо:

- открыть программу MATLAB;

- открыть скрипт с программой;

- запустить скрипт;

- в появившемся диалоговом окне программы (рис. 14) в поля «Число каналов обслуживания», «Число выводимых вероятностей нахождения в очереди», «интенсивность потока заявок», «Интенсивность потока обслуживаний», ввести требуемые значения;

- в диалоговом окне нажать кнопку «OK», в новом окне построится диаграмма вероятностей состояний (рис.15), а в командном окне MATLAB появятся результаты расчета (рис.16).

.

Рисунок 14 - Окно диалога программы расчета характеристик СМО с неограниченной длинной очереди



Рисунок 15 - Диаграмма вероятностей СМО с неограниченной длиной очереди

Рисунок 16 - Результаты расчета СМО с неограниченной длиной очереди

3.4 Описание программы расчета характеристик СМО с неограниченной длиной очереди на VBA

Программа составлена на алгоритмическом языке Visual Basic for Applications (VBA) в среде Microsoft Office Excel. Текст программы с подробными комментариями представлен в приложении Г.

Программа включает в себя следующие фрагменты:

- объявление динамических массивов и переменных;

- ввод исходных данных - числа каналов обслуживания, интенсивности потока заявок, интенсивности потока обслуживаний, число выводимых дополнительных вероятностей состояний СМО по количеству заявок, стоящих в очереди;

- расчет основных характеристик СМО - коэффициента нагрузки канала, вероятностей состояний, вероятности отказа, относительной пропускной способности, среднего числа занятых каналов, среднего числа заявок в очереди;

- вывод результатов расчетов (при необходимости также выводится диаграмма вероятностей состояний СМО).

Окно диалога программы представлено на рисунке 17.

При проведении расчетов необходимо:

- открыть документ Microsoft Office Excel с программой;

- на открывшемся листе нажать кнопку «Расчет характеристик СМО с неограниченной длиной очереди»;

- в появившемся диалоговом окне программы (рис. 17) в поля «Число каналов обслуживания», «Интенсивность потока заявок», «Интенсивность потока обслуживаний», «Число выводимых дополнительных вероятностей состояний СМО по количеству заявок, стоящих в очереди» ввести требуемые значения;

- при необходимости поставить флажок в поле «Добавить диаграмму вероятностей состояний»;

- в диалоговом окне нажать кнопку «OK», и на листе появятся результаты расчета.

.

Рисунок 17_ Окно диалога программы расчета характеристик СМО с неограниченной длинной очереди

3.5 Описание программы расчета характеристик СМО с ограниченной длиной очереди в MATLAB

Программа составлена на интерпретируемом языке Matlab в среде Matlab. Текст программы с подробными комментариями представлен в приложении Д.

Программа включает в себя следующие фрагменты:

- ввод исходных данных - числа каналов обслуживания, интенсивности потока заявок, интенсивности потока обслуживаний, наибольшего числа заявок в очереди;

- расчет основных характеристик СМО - коэффициента нагрузки канала, вероятностей состояний, вероятности отказа, относительной пропускной способности, среднего числа занятых каналов, среднего числа заявок в очереди;

- вывод результатов расчетов;

- вывод диаграммы вероятностей состояний СМО.

Окно диалога программы представлено на рисунке 18.

Для проведении расчетов необходимо:

- открыть программу MATLAB;

- открыть скрипт с программой;

- запустить скрипт;

- в появившемся диалоговом окне программы (рис. 18) в поля «Число каналов обслуживания», «Число мест в очереди», «Интенсивность потока заявок», «Интенсивность потока обслуживаний» ввести требуемые значения;

- в диалоговом окне нажать кнопку «OK», в новом окне построится диаграмма вероятностей состояний (рис.19), а в командном окне MATLAB появятся результаты расчета (рис.20).

Рисунок 18 - Окно диалога программы расчета характеристик СМО с ограниченной длинной очереди



Рисунок 19 - Диаграмма вероятностей СМО с ограниченной длиной очереди

Рисунок 20 - Результаты расчета СМО с ограниченной длиной очереди

3.6 Описание программы расчета характеристик СМО с ограниченной длиной очереди на VBA

Программа составлена на алгоритмическом языке Visual Basic for Applications (VBA) в среде Microsoft Office Excel. Текст программы с подробными комментариями представлен в приложении Е.

Программа включает в себя следующие фрагменты:

- объявление динамических массивов и переменных;

- ввод исходных данных - числа каналов обслуживания, интенсивности потока заявок, интенсивности потока обслуживаний, наибольшего числа заявок в очереди;

- расчет основных характеристик СМО - коэффициента нагрузки канала, вероятностей состояний, вероятности отказа, относительной пропускной способности, среднего числа занятых каналов, среднего числа заявок в очереди;

- вывод результатов расчетов (при необходимости также выводится диаграмма вероятностей состояний СМО).

Окно диалога программы представлено на рисунке 21.

При проведении расчетов необходимо:

- открыть документ Microsoft Office Excel с программой;

- на открывшемся листе нажать кнопку «Расчет характеристик СМО с ограниченной длиной очереди»;

- в появившемся диалоговом окне программы (рис. 21) в поля «Число каналов обслуживания», «Интенсивность потока заявок», «Интенсивность потока обслуживаний», «Наибольшее число заявок в очереди» ввести требуемые значения;

- при необходимости поставить флажок в поле «Добавить диаграмму вероятностей состояний»;

- в диалоговом окне нажать кнопку «OK», и на листе появятся результаты расчета.

Рисунок 21 _ Окно диалога программы расчета характеристик СМО с ограниченной длинной очереди

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты выпускной квалификационной работы состоят в следующем:

1 Рассмотрены наиболее распространенные модели СМО;

2 Проведен анализ методов их математического описания и вычисления их основных характеристик эффективности;

3 Для реализации рассмотренных методов были разработаны программы расчета характеристик СМО на интерпретируемом языке Matlab и на алгоритмическом языке Visual Basic for Applications (VBA)

Программы включают в себя:

- объявление динамических массивов и переменных;

- ввод исходных данных;

- расчет основных характеристик СМО;

- вывод результатов расчетов;

- вывод диаграммы вероятностей состояний СМО.

Разработанные программы могут быть использованы при расчете характеристик СМО, а также в учебном процессе.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Афанасьев М.Ю. Прикладные задачи исследования операций / М.Ю. Афанасьев, К.А. Багриновский, В.М. Матюшок. - М.: Инфра-М, 2014. - 352 с.

2 Вентцель Е.С. Исследование операций: Учеб. пособие для студ. высших учебных заведений / Е.С. Вентцель. - М.: Высшая школа, 2012. - 208 с.

3 Горлач Б.А. Исследование операций / Б.А. Горлач. - М.: Лань, 2013. - 448 с.

4 Зибиров В.В. Visual Basic 2012 на примерах / В.В. Зиборов. - СПб: БХВ-Петербург, 2012.- 448 с.

5 Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. - М.: Юрайт, 2013. - 448 с.

6 Климов Г.П. Теория массового обслуживания / Г.П. Климов. - М.: Изд-во МГУ, 2011. - 312 с.

7 Слепцова Л.Д. Программирование на VBA в Microsoft Office 2010 / Л.Д. Слепцова - М.: ООО «ИД Вильямс», 2010. - 432 с.

8 Шапкин А.С. Математические методы и модели исследования операций: Учебник / А.С. Шапкин, В.А. Шапкин. - М.: Дашков и Ко, 2011. - 398 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Текст программы расчета характеристик СМО с отказами в MATLAB

%Характеристики многоканальной СМО с отказами

%M/M/n:Lost

clc

clear all, close all

%Ввод исходных данных

prompt = {'Число каналов СМО M/M/n:Lost:',...

'Интенсивность потока заявок:',...

'Интенсивность потока обслуживаний:'};

dlg_title = 'Ввод данных';

num_lines = 1;

def = {'4','3','1'};

answer = inputdlg(prompt,dlg_title,num_lines,def);

%--------------------

if isempty(answer)~=1

%--------------------

n=str2num(answer{1});

lambda=str2num(answer{2});

mu=str2num(answer{3});

%Расчет характеристик СМО M/M/n:Lost

rho=lambda/mu;

k=1:n;

pv=rho.^k./factorial(k);

p0=1/(1+sum(pv));

p=[p0 pv*p0];

figure('Name','Вероятности состояний СМО M/M/n:Lost',...

'NumberTitle','off')

bar(0:1:n,p), grid

xlim([-1 n+1])

P_idle=p0; P_block=p(end); Q=1-P_block; A=lambda*Q;

k_mean=A/mu; t_mean=k_mean/lambda;

xlabel('k')

ylabel('p_k')

title(['\lambda = ',num2str(lambda),', \mu = ',num2str(mu)])

disp('Характеристики СМО M/M/n:Lost')

disp('-----------------------------')

disp('Исходные данные')

disp('---------------')

disp(['Число каналов: ',num2str(n)])

disp(['Интенсивность потока заявок: ',num2str(lambda)])

disp(['Интенсивность потока обслуживаний: ',num2str(mu)])

disp(['Коэффициент нагрузки канала: ',num2str(rho)])

disp(['Приведенный коэффициент нагрузки канала: ',num2str(rho/n)])

disp('------------------')

disp('Результаты расчета')

disp('------------------')

disp('Вероятности состояний:')

for k=0:n;

disp(['p(',num2str(k),') = ',num2str(p(k+1))])

end

disp(['Вероятность простоя: ',num2str(P_idle)])

disp(['Вероятность отказа: ',num2str(P_block)])

disp(['Относительная пропускная способность: ',num2str(Q)])

disp(['Абсолютная пропускная способность: ',num2str(A)])

disp(['Среднее число занятых каналов: ',num2str(k_mean)])

disp(['Среднее время обслуживания: ',num2str(t_mean)])

%--------------------

end

%--------------------

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Текст программы расчета характеристик СМО с отказами на VBA

Private Sub UserForm_Click()

End Sub

Private Sub ПолеЗаявки_Change()

End Sub

Private Sub ПолеОбслуживания_Change()

End Sub

Private Sub ФлажокДиаграмма_Click()

End Sub

Private Sub КнопкаОтмена_Click()

РасчетСМО.Hide

End Sub

Private Sub КнопкаРасчет_Click()

Dim N, L, M, R, S As Double

Dim I, IC As Integer

Dim P(), X() As Double

If IsNumeric(ПолеКаналы.Text) = False Then

ICh = MsgBox("Введите правильно значение числа каналов!", vbExclamation)

ПолеКаналы.SetFocus

Exit Sub

End If

If IsNumeric(ПолеЗаявки.Text) = False Then

ir = MsgBox("Введите правильно значение интенсивности потока заявок!", vbExclamation)

ПолеЗаявки.SetFocus

Exit Sub

End If

If IsNumeric(ПолеОбслуживания.Text) = False Then

ir = MsgBox("Введите правильно значение интенсивности потока обслуживаний!", vbExclamation)

ПолеОбслуживания.SetFocus

Exit Sub

End If

N = CInt(ПолеКаналы.Text)

L = CDbl(ПолеЗаявки.Text)

M = CDbl(ПолеОбслуживания.Text)

R = L / M

ReDim P(N), X(N)

S = 0

For I = 0 To N

X(I) = I

S = S + R ^ I / Application.WorksheetFunction.Fact(I)

Next I

P(0) = 1 / S

For I = 1 To N

P(I) = R ^ I / Application.WorksheetFunction.Fact(I)

P(I) = P(I) / S

Next I

Worksheets(1).Cells(5, 1).Value = "Исходные данные:"

Worksheets(1).Cells(6, 1).Value = "-число каналов:"

Worksheets(1).Cells(6, 4).Value = N

Worksheets(1).Cells(7, 1).Value = "-интенсивность потока заявок:"

Worksheets(1).Cells(7, 4).Value = L

Worksheets(1).Cells(8, 1).Value = "-интенсивность потока обслуж.:"

Worksheets(1).Cells(8, 4).Value = M

Worksheets(1).Cells(9, 1).Value = "-коэффициент нагрузки канала:"

Worksheets(1).Cells(9, 4).Value = R

Worksheets(1).Cells(10, 1).Value = "Результаты расчета:"

Worksheets(1).Cells(11, 1).Value = "-вероятность отказа:"

Worksheets(1).Cells(11, 4).Value = P(N)

Worksheets(1).Cells(12, 1).Value = "-отн. пропускная способность:"

Worksheets(1).Cells(12, 4).Value = 1 - P(N)

Worksheets(1).Cells(13, 1).Value = "-ср. число занятых каналов:"

Worksheets(1).Cells(13, 4).Value = R * (1 - P(N))

Worksheets(1).Cells(14, 1).Value = "-вероятности состояний:"

For I = 0 To N

IC = I + 15

Worksheets(1).Cells(IC, 1).Value = I

Worksheets(1).Cells(IC, 2).Value = P(I)

Next I

If ФлажокДиаграмма = True Then

For I = 0 To N

If P(I) <= 0.000001 Then P(I) = 0

Next I

Call Diagramma(N, X, P)

End If

End Sub

Private Sub ПолеКаналы_Change()

End Sub

Sub Diagramma(N, X, P)

Range("E20").Select

Charts.Add

ActiveChart.ChartType = xlColumnClustered

ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("Лист1").Range("E13")

ActiveChart.SeriesCollection.NewSeries

ActiveChart.SeriesCollection(1).XValues = X

ActiveChart.SeriesCollection(1).Values = P

ActiveChart.SeriesCollection(1).Name = "Вероятности состояний СМО"

ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject, Name:="Лист1"

ActiveChart.HasLegend = False

End Sub

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Текст программы расчета характеристик СМО с неограниченной очередью в MATLAB

%Характеристики многоканальной СМО

%с неограниченной длиной очереди M/M/n

clc

clear all, close all

%Ввод исходных данных

prompt = {'Число каналов СМО M/M/n:',...

'Число выводимых вероятностей нахождения в очереди',...

'Интенсивность потока заявок:',...

'Интенсивность потока обслуживаний:'};

dlg_title = 'Ввод данных';

num_lines = 1;

...