Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание,-- вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Поясним существо этого способа исследования на примере решения какой-либо физической проблемы. Пусть требуется изучить некоторый физический процесс. Математическому исследованию предшествует выбор физического приближения, т. е. решение вопроса о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. После этого проводится исследование проблемы методом вычислительного эксперимента.

Разработка и исследование вычислительных алгоритмов, и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики - вычислительной математики.

Вычислительную математику определяют в широком смысле этого термина как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ, и в узком смысле - как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных математических задач.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т. е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи надо построить вычислительный алгоритм, т. е. указать последовательность арифметических и логических действий, выполняемых па ЭВМ и дающих за конечное число действий решение дискретной задачи. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи. электронный экстремум вычислительный

При решении задачи па ЭВМ мы всегда получаем не точное решение исходной задачи, а некоторое приближенное решение. Чем же обусловлена возникающая погрешность? Можно выделить три основные причины возникновения погрешности при численном решении исходной математической задачи. Прежде всего, входные данные исходной задачи (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений) всегда задаются с некоторой погрешностью. Погрешность численного метода, обусловленную неточным заданием входных данных, принято называть неустранимой погрешностью. Далее, при замене исходной задачи дискретной задачей возникает погрешность, называемая погрешностью дискретизации или, иначе, погрешностью метода. Наконец, конечная разрядность чисел, представляемых в ЭВМ, приводит к ошибкам округления, которые могут нарастать в процессе вычислений

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов - дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства.

Решение уравнения методом половинного деления

Метод половинного деления заключается в последовательности вложенных отрезков, каждый из которых получается путем деления каждого отрезка пополам. На каждом шаге оставляем часть отрезка, где функция имеет разные знаки, процесс деления продолжаться до тех пор, пока величина отрезка не станет меньше некоторого малого заранее заданного числа "е".

· Решение квадратного уравнения через дискриминант

Решим квадратное уравнение вида

,

где

Зададимся функцией

,

при

Найдем корни квадратного уравнения

,

по формуле

· Решение квадратного уравнения графическим способом

Построим график функции

Для построения графика воспользуемся программой Microsoft Excel ®.

Из полученного графика видно, что уравнение имеет 2 корня "-8" и "7".

· Решение квадратного уравнения в Microsoft Basic

Для решения квадратного уравнения с помощью программы Microsoft Basic построим алгоритм в виде блок-схемы.

Напишем программу для решения квадратного уравнения методом половинного деления.

REM

CLS

INPUT "введите интервал локализации корня "; a, b

EPS = 1E-6

k = 0

fa = a ^ 2 + 1 * a - 56

fb = b ^ 2 + 1 * b - 56

IF fa * fb > 0 THEN PRINT "ошибка интервала" ELSE GOTO 20

20: x = (a + b) / 2

k = k + 1

fx = x ^ 2 + 1 * a - 56

IF fx = 0 THEN GOTO 30

IF fa * fx < 0 THEN b = x: GOTO 40

a = x

40: IF ABS(b - a) > EPS THEN GOTO 20

30: PRINT "корень"; x

PRINT "значение функции в точке корня"; fk

PRINT "количество делений отрезка пополам"; k

10: END

Запустим программу

Запустим программу

Вывод: корни уравнения, найденные с помощью языка программирования, математическим и графическим методами совпадают.

Нахождение экстремумов функции методом перебора

Метод перебора заключается в локализации экстремума на "n" одинаковых частей. В каждой из 2-х рядом стоящих точек деления вычисляется значение функции, которые сравниваются между собой, при поиске min оставляется наименьшее значение, при поиске max наибольшее. При достаточно малом шаге и сканировании всего интервала удаётся найти достаточно точно точки экстремума.

· Нахождение экстремумов функции математическим способом

Найдем производную первого порядка функции

,

· Нахождение экстремумов функции графическим способом

Построим график функции

Для построения графика воспользуемся программой Microsoft Excel ®. Добавим к ранее построенному графику подписи данных и увидим .

Из построенного графика видно, что при

· Нахождение экстремумов функции в Microsoft Basic

Для нахождения экстремумов функции с помощью программы Microsoft Basic построим алгоритм в виде блок-схемы.

Напишем программу для нахождения экстремумов функции в Microsoft Basic

REM

CLS

INPUT "введите интервал локализации экстремумов и шаг сканирования интервала"; a, b, dx

ymin = 1E+20

FOR x = a TO b STEP dx

y = x ^ 2 + x - 56

PRINT x, y

IF y < ymin THEN ymin = y: XP = x

NEXT x

PRINT "минимальное значение функции равно"; -ymin

PRINT "pri x="; XP

END

Запустим программу

Запустим программу

Запустим программу

Вывод: Экстремумы функции найдены с помощью языка программирования и графическим способом, точность значения высокая. Чем меньше шаг сканирования, тем точнее значение функции.

Вычисление определенного интеграла по методу правых прямоугольников

· Решение математическим способом

Задача: вычислить определенный интеграл по методу правых прямоугольников по формуле Ньютона-Лейбница. Теорема: если известна первообразная подинтегральной функции f(x), то точное значение интеграла вычисляются по следующей формуле:

Вычислим первообразную функцию

· Решение графическим способом

Построим для функции

её первообразную.

- Площадь определенного интеграла

Для решения первообразной функции графическим способом нужно посчитать площадь на заданном интервале (-10,10), что является достаточно трудоемким способом.

· Решение в Microsoft Basic

Для нахождение экстремумов функции с помощью программы Microsoft Basic построим алгоритм в виде блок-схемы.

REM

CLS

INPUT "введите приделы интегрирования и количество разбиений интервала интегрирования"; a, b, n

dx = (b - a) / n

s = 0

x = a

FOR I = 1 TO n

s = s + dx * (x ^ 2 + x - 56)

x=x+dx

NEXT I

PRINT "значение интеграла равно"; s

END

Запустим программу

Запустим программу

Запустим программу

Запустим программу

Вывод: вычисление определенного интеграла математическим способом и с помощью языка программирования дало высокую точность результатов, графический метод имеет высокую трудоемкость.

Список используемой литературы