Цифровая обработка изображений

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Рязанский государственный радиотехнический университет»

Контрольная работа

По курсу «Цифровая обработка изображений»

Рязань 2015



1. Теоретическая часть

1.1 Растровая графика

Растровые изображения, применяемые в системе MATLAB, могут быть сле дующего типа:

* бинарные (binary);

* полутоновые (grayscale и intensity);

* палитровые (palette);

* полноцветные (True Color, High Color, RGB).

Пиксель бинарных изображений представлен всего двумя цветами -- обычно белый (пиксель не виден на белом фоне) и черный (пиксель виден). Каждый элемент матрицы имеет значение 0 или 1 и может быть представлен в виде I(r,с), где r -- номер строки и с -- номер столбца элемента, соответствующего заданному пикселю.

Полутоновые изображения (grayscale и intensity) могут иметь пиксели с рядом оттенков серого цвета. Эти изображения хранятся в виде двумерных массивов -- матриц (рисунок 1.2). Индексы матриц задают положение каждого пикселя на экране дисплея, а значение соответствующего элемента матрицы I(r,с) задает его яркость -- оттенок серого цвета. Бинарное изображение можно рассматривать как вариант полутонового изображения, в связи с чем в Matlab оно самостоятельного значения не имеет.

В цветных палитровых изображениях используются две матрицы (рисунок 1.3). Одна хранит значения индексов, которые задают обращение к строке матрицы палитр. Матрица палитр, именуемая цветовой картой, имеет тип double и содержит три группы столбцов -- красного R, зеленого G и синего В цветов со значениями элементов от 0 до 1.0. Они и задают цвет соответствующего пикселя.

Цветовая карта или просто палитра изображения представляет собой массив вещественных чисел с плавающей точкой в диапазоне [0-1.0] размера mЗ. В большинстве внешних файлов с графическим форматом цветовая карта сохраняется в целочисленном виде, однако, Matlab такой формат представления данных не поддерживает, и при записи или считывании изображения из внешнего файла цветовая карта кон вертируется автоматически. бинаризация изображение цифровой программа

Полноцветные изображения или RGB-изображения строятся в формате RGB (Red, Green, Blue). В этом формате изображения хранятся в трехмерном массиве I, фактически содержащем три матрицы (рисунок 1.4). Каждая из них со держит индексированные переменные со значением, соответствующим относи тельной яркости соответственно красного (Red), зеленого (Green) и синего (Blue) цветов. Элемент массива I(r,c,n), где r и с -- номер строки и столбца, задающих положение пикселя, и n -- номер матрицы, задает доступ к той или иной матрице трехмерного массива: 1 -- для R-матрицы, 2 -- для G-матрицы и 3 -- для В-матрицы.

Полноцветное изображение не использует цветовую карту. В данном слу чае, цвет каждого пикселя будет представлен триплетом RGB. Отметим, что свойство CData (цветовые данные) полноцветного изображе ния является трехмерным массивом размера m*n*З. Этот массив состоит из трех матриц размера m*n, содержащих, соответственно, интенсивности красного, зеленого и голубого цветов каждого пикселя. Наиболее часто используются цветные изображения, имеющие 16, 256, 65536 (High Color) и 16.7 миллиона (True Color) цветов.

Необходимо заметить, что изображения могут храниться в Matlab в виде массивов целых чисел, имеющих 8 бит/пиксель и 16 бит/пиксель. Однако наиболее перспектив ный метод хранения -- в виде массива чисел с плавающей запятой с двойной точностью 64 бит/пиксель.



1.2 Бинаризация

При бинаризации изображения яркость каждого пикселя B(x,y) сравнивается с пороговым значением яркости B_T(x,y); если значение яркости пикселя выше значения яркости порога, то на бинарном изображении соответствующий пиксель будет «белым», или «черным» в противном случае. Необходимость устранения большого числа ошибок процесса бинаризации повлекла за собой появление большого числа методов бинаризации, которые делятся на две группы по принципу построения пороговой поверхности: методы глобальной и локальной бинаризации. Пороговой поверхностью является матрица размерностью M*N, соответствующей размерности исходного изображения, каждая ячейка матрицы задает порог яркости бинаризации для соответствующего пикселя на исходном изображении. В методах глобальной бинаризации пороговая поверхность является плоскостью с постоянным значением пороговой яркости, а в методах локальной бинаризации значение пороговой яркости меняется от точки к точке изображения, и рассчитывается на основе некоторых локальных признаков в окрестности пикселя.

Элементы бинарного изображения могут принимать только два значения - 0 или 1. Природа происхождения таких изображений может быть самой разнообразной. Но в большинстве случаев, они получаются в результате обработки полутоновых, палитровых или полноцветных изображений методами бинаризации с фиксированным или адаптивным порогом. Бинарные изображения имеют то преимущество, что они очень удобны при передаче данных.

1.3 Разложение в RGB

В RGB-системе все опенки спектра получаются из сочетания трех основных цветов: красного, синего и зеленого (Red, Green и Blue), заданных с разным уровнем яркости. Эта система является аддитивной, то есть в ней выполняются правила сложения цветов. Сумма трех основных цветов при максимальной насыщенности даст белый цвет, а при нулевой - черный. Красный и зеленый цвета образуют желтый, а зеленый и синий - голубой.

Эта система применима для всех изображений, видимых в проходящем или прямом свете. Она адекватна цветовому восприятию человеческого глаза, рецепторы которого тоже «настроены» на красный, синий и зеленый цвета. Поэтому построение изображения на экранах мониторов, в сканерах и других оптических приборах соответствует системе RGB. В компьютерной RGB-системе каждый основной цвет может иметь 256 градаций яркости. (Это связано с особенностями обработки информации в компьютере. 256 градаций соответствуют 8-битовому режиму.)

1.4 Работа с пикселями

1.4.1 Пространственная фильтрация

Главный подход к определению пространственной окрестности вокруг точки (x, у) состоит в использовании квадратной или прямоугольной области с центром в точке (x, у). Центр заданной шаблонной подобласти перемещается от пикселя к пикселю, начиная из верхнего левого угла, и на своем пути он накрывает различные окрестности. Преобразование Т применяется в каждой точке (x, у), давая в результате выходное (обработанное) значение g для данной точки. В процессе вычислений используются только пиксели внутри заданной окрестности с центром в (x, у).

Таким образом, окрестностная обработка изображений состоит из следующих действий:

определение центральной точки (x, у);

совершение операции, которая использует лишь значения пикселов в зара нее оговоренной окрестности вокруг центральной точки;

назначение результата этой операции «откликом» совершаемого процесса в этой точке;

повторение всего процесса для каждой точки изображения.

В результате перемещения центральной точки образуются новые окрестности, отвечающие каждому пикселю изображения. Для описанной процедуры принято использовать термины окрестностная обработка и пространственная фильтрация, причем последний является более употребимым. Если операции, совершаемые над пикселями окрестности, являются линейными, то вся процедура называется линейной пространственной фильтрацией также иногда используется термин пространственная свертка, в противном случае она называется нелинейной пространственной фильтрацией.

1.4.2 Линейная пространственная фильтрация

Понятие линейной фильтрации тесно связано с преобразованием Фурье при об работке сигналов в частотной области. Здесь рассматриваются операции фильтрации, непосредственно применяемые к пикселям изображения. Использование термина линейная про странственная фильтрация подчеркивает отличие этого процесса от фильтра ции в частотной области.

Линейные операции, рассматриваемые в настоящей главе, состоят из множе ния каждого пикселя окрестности на соответствующий коэффициент и суммиро вание этих произведений для получения результирующего отклика процесса в каждой точке (x, у). Если окрестность имеет размер m*n, то потребуется mn коэффициентов. Эти коэффициенты сгруппированы в виде матрицы, которая называется фильтром, маской, фильтрующей маской, ядром, шаблоном или окном, причем первые три термина являются наиболее распространенными.

Механизм линейной пространственной фильтрации проиллюстрирован на рисунке 1.6. Процесс заключается в перемещении центра фильтрующей маски w от точки к точке изображения f. В каждой точке (х,у) откликом фильтра является сумма произведений коэффициентов фильтра и соответствующих пикселов окрестности, которые накрываются фильтрующей маской. Для маски размера mхn обычно предполагается, что m = 2а + 1 и n = 2b+1, где а и b -- неотрицательные целые числа, то еесть основное внимание уделяется маскам, имеющим нечетные раз меры, причем наименьшим содержательным размером маски считается размер 3x3 (маска 1x1 исключается как тривиальная). Преимущественное обращение с масками нечетных размеров является вполне обоснованным, поскольку в этом случае у маски имеется выраженная центральная точка.

Увеличенный рисунок показывает маску 3х3 и соответствующий фрагмент изображения под ней, кото рый несколько смещен для удобства прочтения формул

Имеется две тесно связанные концепции, которые необходимо хорошо пони мать при совершении линейной пространственной фильтрации. Первая -- это корреляция, а вторая -- свертка. Корреляция состоит в прохождении маски w по изображению f, показанному на рисунке 1.6. С точки зрения механики процесса, свертка делается так же, но маску w надо повернуть на 180° перед прохождением по изображению f. Две эти концепции лучше всего объяснить на простых примерах.

Изображена одномерная функция f и маска w. Началом функции f считается ее самая левая точка. Чтобы совершить корреляцию этих двух функций, перемещаем w так, чтобы ее самая правая точка совпала с началом f. Заметим, что имеются точки на обеих функциях, которые не перекрываются. Для решения этой проблемы предполагается, что функция f равна нулю везде, где это необходимо, чтобы гарантировать наличие соответствующих точек на f при прохождении над ней маски w.

Теперь все готово для совершения корреляции. Первым значением корреля ции является сумма поэлементных произведений двух функций в положении. В этом случае сумма произведений равна 0. Затем маска w перемещается на один шаг вправо и процесс вычисления повторяется Сумма произведений опять равна 0. После четырех сдвигов нам встретится первое ненулевое значение 2x1 = 2. Продолжая так же до тех пор, пока w полностью пройдет f мы получим результат. Эта строка чисел и является корреляцией w и f. Отметим, что если бы мы зафиксировали w, а перемещали бы f, то результат был бы иным, так что порядок операции здесь имеет значение.

Метка 'full' над результатом корреляции является флагом (он будет обсуждаться позже), который предписывает применение корреляции с расширением изображения. Пакет имеет и другую опцию, 'same' когда вычисляется корреляция, размер которой совпадает с размером исходного изображения f. Эти вычисления так же используют расширение нулями, но начальная позиция центральной точки маски (это точка с отметкой 3) совмещается с началом f. Последнее вычисление производится, когда центральная точка маски совмещается с концом f.

Для совершения свертки необходимо повернуть маску w на 180° и совместить ее самый правый конец с началом f. Затем процесс скольжения/вычисления совершается как при получении корреляции. Он проиллюстри рован от л) до о). Результаты свертки с флагами 'full' и 'same' показаны, соответственно.

Функция f является дискретным единичным импульсом, т. е. она равна 1 только в одной координате, а во всех остальных она равна 0. Из ре зультатов, (п или р) видно, что свертка просто «копирует» w в то место, где был единичный импульс. Это простое свойство копирования (называ емое сдвигом) является фундаментальной концепцией теории линейных систем, чем объясняется необходимость поворота одной из функций на 180° при выполне нии операции свертки. Перестановка порядка функций при свертке даст тот же самый результат, чего не происходит при корреляции. Если сдвигае мая функция является симметричной, то, очевидно, корреляция и свертка дают одинаковые результаты.

Представленные концепции легко обобщаются на двумерные функции. Начало находится в верхнем левом углу изображения f(x, у). Для совершения корреляции надо поместить нижнюю правую точку w(x, у) так, чтобы она совпала с началом f(x, у). Для совершения корреляции надо перемещать w(x, у) по всем возможным положениям, так чтобы хоть один пиксел маски перекрывался с пикселами изображения f(x,y). Резуль тат корреляции 'full). Чтобы получить корреляцию 'same' необходимо перемещать маску так, чтобы ее центр перекрывал исходное изображение f(x,y).

Для совершения свертки необходимо сначала повернуть w(x,y) на 180° и со вершить ту же процедуру, что и при вычислении корреляции. Свертка дает одинаковый результат независимо от того, какая из двух функций подвергается переме щению. При нахождении корреляции порядок функций имеет значение. Результаты корреляции и свертки получаются друг из друга поворотом на 180°. В этом нет ничего удивительного, так как свертка это не что иное, как корреляция с повернутой фильтрующей маской.

1.5 Преобразование Фурье

1.5.1 Непрерывные преобразования Фурье для изображений

Изображения можно представить в виде функции двух переменных f(m,n). Для такой функции двумерное прямое преобразование Фурье определяется следующей формулой:

В результате этого преобразования функция f(m,n) переводится в частотную область и становится функцией F(щ₁, щ₂,) двух переменных -- частот, которые измеряются в радианах/с и имеют период, равный 2р. В точке, где частоты равны 0 получается сумма всех значений f(m,n), которая определяет «постоянную составляющую» изображения.

Инверсное двумерное преобразование Фурье определяется следующей фор мулой:

В результате этого преобразования происходит полное восстановление исходной функции. Однако это требует выполнения суммирования в бесконеч ных пределах при прямом преобразовании Фурье, что на практике нереально. Кроме того, точное прямое и обратное преобразования Фурье практической ценности не представляет, поскольку мы получает ту же самую функцию, что и исходная функция.

Практический интерес представляет приближенное преобразование Фурье, при котором m и n меняются в конечных пределах. Это означает применение преобразований Фурье в ограниченном диапазоне частот, т. е. фильтрацию изо бражения. При этом обратное преобразование Фурье приближенно восстанав ливает исходную функцию.

С проблемами, возникающими при проведении преобразований Фурье для изображений, можно разобраться на следующем эксперименте. Представим себе, что функция f(m,n) описывает прямоугольную область.

Можно вычислить модуль амплитуды частот спектра для такого сигнала (изображения) -- |F(щ₁, щ₂,)|. Эта зависимость в трехмерной форме. Нетрудно заметить, что по мере повышения частот амплитуды их довольно быстро убывают. Это говорит о возможности ограничения часто спектра в ходе преобразований Фурье, что и лежит в основе алгоритмов о сигналов изображений и их фильтрации.

Часто используется представление спектра в логарифмическом масштбе. зависимости log|F(щ₁, щ₂,)|. Для примера представлен такой с в виде контурного графика. Хотя он представляет только частотную зависимость спектра изображения при некото ром навыке можно узреть связь графика с исходным изо бражением.

Это остается справедливым и для некоторых простых гра фических объектов. Нетрудно заме тить, что контурный график спектра простых графических объектов позволяет выявлять их характерные особенности, например наличие наклонных линий и точек.

1.5.2 Дискретные преобразования Фурье для изображений

Непрерывные преобразования Фурье требуют больших затрат времени при реализации на компьютерах. Фактически их точная реализация просто невозможна из-за бесконечных пределов интегрирования при прямом преобразовании. В связи с этим на практике используется дискретное преобразование Фурье. При нем исходной является функция двух переменных f(m,n) определенная при конечных m и n: Тогда двумерные прямое и обратное дискретные преобразования Фурье размера М на N определяются выражениями:

где р = 0, 1, …, М-1 и q = 0, 1, ..., N-1,

где m = 0, 1, …, М-1 и n = 0, 1, .., N-1.

Главное достоинство дискретного преобразования Фурье заключается в про стоте его реализации на компьютерах. В нем отсутствуют операции суммирова ния с бесконечными пределами и вычисления интегралов. Кроме того, сущест вуют специальные алгоритмы быстрого Фурье преобразования (БПФ), позво ляющие резко уменьшить время проведения дискретного Фурье преобразования. Кроме того, дискретное преобразование Фурье идеально подходит для изображений растровой графики, составленных из большого числа точек -- пикселей.

Между коэффициентами F(p,q) дискретного преобразования Фурье и функцией F(щ₁, щ₂,) существует следующие соотношение:

где р= 0,1, М-1 и q = 0, 1, ..., N-1. [4]

1.6 Вейвлеты

Всем известно, что Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам), выделяя таким образом частотные компоненты. Однако данное преобразование обладает некоторыми недостатками.

Недостаток Фурье анализа в том, что он обладает разрешением по частоте, но не имеет разрешения по времени: можно определить какие частоты присутствуют в сигнале, но невозможно определить, когда они в нем появляются. Это объясняется тем, что Фурье-преобразование представляет собой разложение сигнала на сумму функций, который перекрывают собой всю временную ось.

Решением проблемы является разбиение сигнала на части и анализ их по отдельности, но это приводит к обратной проблеме - наличию разрешения по времени, но потере разрешения в частотной области.

Проблема объясняется принципом Хэйзинберга, который утверждает, что невозможно знать точно частоту и точное время присутствия этой частоты (появления ее) в сигнале - сигнал не может быть представлен как точка в частотно-временном пространстве.

Недавно появившимся решением является вейвлет-анализ, в котором используется масштабируемое окно, передвигаемое по всему сигналу с расчетом спектра для каждой его позиции. Процесс повторяется множественно с изменением размера окна для каждого нового цикла. Такой подход называется многомасштабным анализом.

В вейвлет-анализе частотно-временное пространство заменяют на масштабно-временное пространство. Чем больше масштаб, тем меньше различимы детали сигнала, таким образом, масштаб обратнопропорционален частоте сигнала.

1.6.1 Непрерывное вейвлет-преобразование

Подход, представленный выше, известен под именем непрерывное вейвлет-преобразование. Формула преобразования имеет вид:

(1.1)

* означает комплексное сопряжение. Базовые функции называются вейвлетами. Выражение (1.2) - запись обратного вейвлет-преобразования.

(1.2)

Вейвлеты генерируются из начальной функции (t), материнского вейвлета, методом масштабирования и сдвига.



(1.3)

В (1.3) s - коэффициент масштабирования, коэффициент s^-1/2 вводится для нормализации энергии сигнала при разных масштабах.

Важно отметить, что в (1.1), (1.2) (1.3) не уточняется вид функции вейвлета. В этом состоит отличие вейвлет-анализа от анализа Фурье. Вейвлет-анализ строится не на определенном виде функций-вейвлетов, а на определенных свойствах этих функций.

1.6.2 Свойства вейвлета.

Самыми важными свойствами вейвлета являются допустимость и регулярность. Квадратно-интегрируемая функция (t), удовлетворяющая условию допустимости,

(1.4)

может быть использована для анализа, а затем для восстановления сигнала без потери информации. В (1.4) () означает преобразование Фурье функции (t). Условие допустимости подразумевает, что преобразование Фурье функции (t) становится равным нулю на нулевой частоте

Это значит, что вейвлеты должны иметь полосу частот как спектр. Нулевое значение на нулевой частоте также значит, что среднее значение вейвлета на всей временной оси должно быть равно нулю (в отличие от среднего значения гармоник Фурье-анализа). Из этого утверждения легко сделать вывод, что по виду вейвлет-функции представляют собой волны

Из (1.1) вытекает, что частотно-временной результат вейвлет-преобразования равен квадрату входного сигнала, что для большинства приложений нежелательно. Для этого на вейвлет накладывают еще некоторые ограничения, чтобы результат вейвлет-преобразования убывал вместе с уменьшением масштаба s. Эти ограничения называют ограничениями регулярности, которые состоят в том, чтобы вейвлет-функция была гладкой и концентрировалась как во временной, так и в частотной области. Условие регулярности можно объяснить, используя понятие исчезающих моментов.

Если вейвлет-преобразование (1.1) представить как разложение в ряд Тейлора при t = 0 до порядка n ( = 0 для простоты), мы получим:

(1.5)

Здесь f ^(p) - производная порядка p функции f и O(n+1) представляет собой остаток разложения.

Обозначив моменты вейвлета как M_p,

можно переписать (1.5) как конечную сумму

Из условия допустимости следует равенство 0 момента M₀ = 0, т.е. первое слагаемое в правой части (1.6) равно 0. Если теперь удастся сделать нулевыми остальные моменты до M_n, коэффициенты вейвлет-преобразования (s,) будут убывать также быстро как sⁿ⁺² в случае гладкого сигнала f(t). Это называют исчезающими моментами. Если у вейвлета N исчезающих моментов, то порядок приближения вейвлет-преобразования равен N. Моменты необязательно должны быть равны 0, очень маленькое значение часто считают достаточным.

Таким образом, условие допустимости дает волну, регулярность и исчезающие моменты дают нам быстрое убывание, и вместе эти два условия дают нам вейвлет.

1.6.3 Дискретные вейвлеты

Зная, что такое вейвлет-преобразование, необходимо сделать его теперь применимым на практике. Однако, есть три свойства преобразования, которые делают сложным его применение в виде (1.1).

Первое - избыточность непрерывного вейвлет-преобразования (НВП).

Второе - бесконечное количество вейвлетов (масштаб можно изменять бесконечно).

Третье - для большинства функций вейвлет-преобразование не может быть вычислено аналитически, только при помощи численных методов и аналоговых компьютеров. Так возникает необходимость решить эти три проблемы и создать быстрый алгоритм вычисления вейвлет-преобразования.

Избавимся от избыточности.

НВП преобразует одномерный сигнал в двумерное представление по частоте и по времени, которое является избыточным. Для решения проблемы избыточности вводят понятие дискретных вейвлетов. Дискретные вейвлеты не могут быть масштабированы и сдвигаемы по временной оси непрерывно. Эти две операции над дискретными вейвлетами можно проводить только дискретными шагами. Это достигается преобразованием вейвлет-функции (1.3) к следующему виду



(1.7)

Хотя это называется дискретным вейвлетом, обычно это представляет собой (кусочно) непрерывную функцию. В (1.7) j и k - целые числа, а s₀ > 1 - шаг расширения.

Коэффициент сдвига ₀ зависит от шага расширения. Эффект дискретизации вейвлета заключается в том, что теперь выборка в частотно-временной области осуществляется дискретными интервалами. Обычно принимают s₀ = 2. Коэффициент сдвига принимают ₀ = 1.

Когда для преобразования непрерывного сигнала используют дискретные вейвлеты, результат представляет собой ряд вейвлет-коэффициентов и называется разложением в вейвлет-ряд. При этом обязательным является условие восстановления сигнала по коэффициентам разложения. достаточным для восстановления сигнала является ограничение (1.8) для энергии вейвлет-коэффициентов.

(1.8)

|| f ||² -энергия f(t), A > 0, B < ; A, B не зависят от f(t). Когда (1.8) выполняется, семейств базовых функций _j,k(t) где j, k ? Z называют фреймом с границами A и B. Если A = B, фрейм называют узким и дискретные вейвлеты представляют собой ортонормальный базис. Если A ? B, точное восстановление сигнала возможно с условием использования двойного фрейма, в котором вейвлет, используемый при разложении, отличается от вейвлета, используемого при восстановлении сигнала.

Вернемся от фреймов к удалению избыточности. Приведем дискретные вейвлеты к ортонормальному базису. Дискретные вейвлеты могут быть ортогональны своим собственным расширениям и сдвигам благодаря специальному выбору материнского вейвлета, что значит:

Начальный сигнал может быть восстановлен суммированием ортогональных базисных вейвлет-функций, умноженных на коэффициенты вейвлет-преобразования

(1.9)

обратное дискретное вейвлет-преобразование.

Ортогональность все же не является непременным условием вейвлет-преобразования сигналов. В некоторых приложениях выбор неортогональных вейвлетов (избыточное преобразование) помогает уменьшить чувствительность к шумам и улучшить нечувствительность к сдвигу сигнала. Одним из недостатков дискретного вейвлет-преобразования является его чувствительность к сдвигу во времени исходного сигнала. Вейвлет преобразования сигнала и его версии, сдвинутой во времени не будут являться копиями друг друга, только сдвинутыми по времени.

1.6.4 Пакетные вейвлеты

При обычном алгоритме Маллата на каждом шаге «отрезается» половина НЧ-части диапазона сигнала х слева. Реализация алгоритма исходит из представления о большей информационности низкочастотной части спектра сигнала.

Р. Койфманом и М. Викерхаузером был предложен усовершенствованный алгоритм Маллата, дерево которого также представлено (справа). При усовершенствованном алгоритме операция «расщепления» (splitting) применяется к любому из получающихся ВЧ-компонентов. Этой схеме можно дать истолкование применительно к вейвлетам. Дерево справа соответствует замене вейвлета ш(t) на два новых вейвлета:

ш₁(t) = Уh_n ш(t-n) и ш₂(t) = Уg_n ш(t-n).

Новые вейвлеты тоже локализованы в пространстве, но на вдвое более широком отрезке, чем исходный вейвлет.

Можно нарисовать бинарное дерево разложения, и ему будет соответствовать набор подпространств с базисами, построенными по аналогичному рецепту. Функции, порождающие эти базисы, называются вейвлет-пакетами (wavelet-packets).

Достоинством (а в какой-то мере и недостатком) вейвлет-пакетов и адаптивных алгоритмов их реализации является отсутствие необходимости в обучении системы (характерном, например, для систем на основе нейронных сетей) и даже в оценке статистических характеристик сигналов. Все, что нужно, -- это ввести оценку стоимости вейвлет-коэффициентов, мерой которой может служить энтропия -- концентрация числа вейвлет-коэффициентов М, требующихся для описания сигнала с некоторой заданной точностью (или погрешностью).

1.6.5 Двумерные вейвлеты

Для работы с изображениями необходимо обрабатывать двумерные массивы данных. Для общности пусть они по-прежнему задаются в пространстве V, но теперь как функции двух переменных х и у. В этом случае вместо выражения для одномерной вейвлет-функции вида , записанной с независимой переменной х, можно воспользоваться ее двумерным аналогом, учитывая, что теперь по каждому измерению (х и у) пространства сигнала V имеются свои значения а и b. Обозначив их как а1 и а2, а также b1 и b2, можно записать выражение для двумерного непрерывного вейвлета в виде:

,

где V = х, y ? R2. Для двумерного дискретного вейвлет-анализа непрерывных сигналов необходимо также задать условия дискретизации:

(j,k)?Z², a=2^j, b=k2^j=ka,

Ш_j,k=2^-j/2ш(2^-jV-k), ц_j,k=2^-jц(2^jV-k).

Попробуем распространить описанные выше положения частотно-временного представления вейвлет-анализа на случай сигналов в виде функций двух переменных х и у. В данном случае можно воспользоваться тензорным произведением одномерного кратномаштабного анализа, и в качестве мерной масштабирующей функции взять

Ф(х,у)=ц(х)ц(у).

Тогда, с учетом известного соотношения для тензорного произведения, вместо одного вейвлета теперь возникают три:

Ш_LH(x,y)=ц(x)ш(y), Ш_HL(x,y)=ш(x)ц(y), Ш_HH(x,y)=ш(x)ш(y).

Здесь по-прежнему L означает реализацию фильтра низких частот,

H -- реализацию фильтра высоких частот.



1.7 Энтропия

Энтропия сигнала используется при выборе оптимального пакетного вейвлет-разложения.

Полное дерево пакетного вейвлет-разложения содержит много коэффициентов. Изучение всех полученных коэффициентов пакета затруднительно ввиду их большого числа. Кроме того, некоторые из коэффициентов могут быть малоинформативны. Поэтому важно получить не все дерево, а некоторое поддерево оптимальной величины в смысле числа коэффициентов и их информативности. Представляет интерес нахождение оптимального разложения относительно удобного критерия. Как известно, энтропия - общая концепция оценки информативности во многих областях, главным образом в обработке сигналов; Поэтому для оценки дерева разложения естественно использовать классические критерии на основе энтропии, которые обладают свойством аддитивности (объединения) по отношению к сигналам и дают информационные оценки сигнала.

Рассмотрим четыре различных критерия энтропии. В следующих выражениях s является сигналом, a s_i являются значениями сигнала s. Во всех формулах используется сумма, поскольку она обладает свойством аддитивности по отношению к объединению массивов, задающих сигналы.

Энтропия Шеннона ('shannon')

при следующем соглашении: 0 * log(0) = 0.

Норма пространства



Энтропия логарифм энергии ('log energy')

при следующем соглашении: log(0) = 0.

Пороговая энтропия ('threshold') E4(s_i) = 1, если | s_i | > е и 0 - в противном случае, тогда E4(s) есть число элементов сигнала, величина которых больше по рогового значения е.

1.8 Медианная фильтрация

Медианный фильтр реализует нелинейную процедуру подавления шумов. Медианный фильтр представляет собой скользящее по полю изображения окно W, охватывающее нечетное число отсчетов. Центральный отсчет заменяется медианой всех элементов изображения, попавших в окно. Медианой дискретной последовательности x1, x2, ..., xL для нечетного L называют такой ее элемент, для которого существуют (L ? 1)/2 элементов, меньших или равных ему по величине, и (L ? 1)/2 элементов, больших или равных ему по величине. Другими словами, медианой является средний по порядку член ряда, получающегося при упорядочении исходной последовательности.

Например, med(20, 10, 3, 7, 7) = 7.

Двумерный медианный фильтр с окном W определим следующим образом:

Медианный фильтр используется для подавления аддитивного и импульсного шумов на изображении. Характерной особенностью медианного фильтра является сохранение перепадов яркости (контуров). Особенно эффективным медианный фильтр является в случае импульсного шума. На показано воздействие сглаживающего и медианного фильтров с трехэлементным окном на зашумленный аддитивным шумом перепад яркости для одномерного сигнала.

Что касается импульсного шума, то, медианный фильтр с окном 3 x 3 полностью подавляет одиночные выбросы на равномерном фоне, а также группы из двух, трех и четырех импульсных выбросов. В общем случае для подавления группы импульсных помех размеры окна должны быть по меньшей мере вдвое больше размеров группы помех.

Среди медианных фильтров с окном 3х3 наиболее распространены следующие:

Координаты представленных масок означают, сколько раз соответствующий пиксель входит в описанную выше упорядоченную последовательность.

Одним из эффективных путей устранения импульсных шумов на изображении является применение медианного фильтра.

Для каждого пикселя в некотором его окружении (окне) ищется медианное значение и присваивается этому пикселю. Определение медианного значения: если массив пикселей отсортировать по их значению, медианой будет серединный элемент этого массива. Размер окна соответственно должен быть нечетным, чтобы этот серединный элемент существовал.

Медиану также можно определить формулой:

где W - множество пикселей, среди которых ищется медиана, а fi - значения яркостей этих пикселей.

Для цветных изображений используется векторный медианный фильтр (VMF):

где Fi - значения пикселей в трехмерном цветовом пространстве, а d - произвольная метрика (например, евклидова).

Однако в чистом виде медианный фильтр размывает мелкие детали, величина которых меньше размера окна для поиска медианы, поэтому на практике практически не используется.

1.9 Маски фильтров

Усредняющий фильтр 'average'

Усредняющий фильтр относится к классу фильтров низких частот. Он может использоваться для уменьшения влияния шума на изображение, однако его применение приводит к размытию изображения и ухудшению его четкости. Каждый элемент маски такого фильтра равен

1/(m*n)



где m и n -- размеры маски (число строк и столбцов).

Фильтр Гаусса 'gaussian'

Это также фильтр нижних частот, но, по сравнению с усредняющим фильт ром, он меньше размывает изображения. Центральный элемент маски такого фильтра имеет максимальное значение, что соответствует пику распределения Гаусса. Последнее описывается выражением

определяющим двумерное распределение Гаусса. В нем m и n -- размеры маски, а -- среднеквадратичное отклонение распределения.

Фильтр Лапласа 'laplacian'

Фильтр Лапласа -- это фильтр высоких частот. Он может использоваться дли выделения границ (перепадов) изображений по всем направлениям. Маска фильтра задается в виде:

где а -- параметр, выбираемый в пределах от 0 до 1. Фильтр Лапласа-Гаусса -- 'log'. Этот комбинированный фильтр высоких частот (последовательно включенные фильтры Лапласа и Гаусса) способен выделять более резкие переходы изображения, чем фильтр Лапласа. Маска фильтра определяется выражением:



где М и N -- размеры маски, а -- среднеквадратичное отклонение. Формула для h_g(r,c) уже приводилась.

Фильтр Собеля 'sobel'

Фильтр Собеля служит для выделения горизонтальных границ объектов изображения с помощью маски, задаваемой выражением:

Для выделения вертикальных границ этим фильтром достаточно транспонировать маску h.

Фильтр Превитта 'prewitt'

Этот фильтр также используется для выделения горизонтальных границ изображений с помощью маски:

Для выделения вертикальных границ изображения также можно транспортировать маску этого фильтра h.

Фильтр повышения резкости 'unsharp'

Этот фильтр, повышающий резкость изображения, имеет маску, определяемую следующим выражением:



,

где параметр а выбирается в пределах от 0 до 1.

1.10 Сегментация изображений

Сегментация изображения представляет собой разделение или разбиение изображения на области по сходству свойств их точек. Наиболее часто сегментацию проводят по яркости для одноцветного изображения и цветовым координатам для цветного изображения. Применяется также сегментация, основанная на контурах, сегментация, при которой в качестве разделительного признака используется текстура и сегментация по форме. Существует возможность просмотра шести основных цветов изображения: фоновый цвет, красный, зеленый, пурпурный (фиолетовый), желтый и красно-фиолетовый. Визуально эти цвета очень легко различаются между собой. Цветовое пространство L*a*b* (еще известное как CIELAB или CIE L*a*b*) позволяет четко отмечать эти визуальные различия.

Цветовое пространство L*a*b* получено на основе трехцветных значений CIE XYZ. Пространство L*a*b* включает информацию о значении интенсивности 'L*', значении цветности 'a*' (показывает какой цвет выбран на красно-зеленой оси) и значении цветности 'b*' (показывает какой цвет выбран на голубо-желтой оси).

При анализе цветов используются окрестности небольших размеров и при их вычислении берется усреднение в пространстве L*a*b*. Эти цветовые метки можно использовать при классификации каждого пикселя.

Каждый цветовой маркер представляется некоторыми значениями 'a*' и 'b*'. Поэтому существует возможность классификации каждого пикселя изображения на основе вычисления евклидового расстояния между пикселем и цветовым маркером. Минимальное евклидовое расстояние соответствует минимальному расстоянию между рассматриваемыми пикселями и маркером. Например, если дистанция между двумя пикселями и красным цветовым маркером является минимальной, то пиксели будут отмечены как красные.

2. Алгоритм комплекса программ исследования цифровых изображений

Комплекс программ можно разделить на четыре основных направления исследований:

Представление и первичная обработка изображений.

Вейвлеты и преобразование Фурье.

Фильтрация изображений.

Построение графика корреляции.

В первое исследование включаются простейшие методы представления и первичной обработки изображений:

бинаризация;

разложение в RGB;

построение гистограммы;

гистограммный метод улучшения изображения

работа с пикселями;

вычисление среднего значения изображения среднеквадратичного отклонения;

поворот изображения;

выделение фрагмента изображения;

масштабирование;

арифметика изображений.

Второе исследование включает в себя:

дерево вейвлет-разложения;

наилучшее дерево вейвлет-разложения;

вычисление энтропии;

дискретное двумерное вейвлет-преобразование;

преобразование Фурье.

В третьем исследовании проводится фильтрация изображений:

наложение шума;

медианная фильтрация;

специальные фильтры;

выделение границ сюжетов изображения;

сегментация изображений.

Из приведенного алгоритма следует, что после выбора изображения производится его обработка. Преобразованное изображение выводится на экран и предоставляется возможность сохранения изменений.

Так же реализована возможность изменения пороговых значений там, где это необходимо.

После считывания значение проверяется на принадлежность допустимому диапазону (при необходимости). Если введенное значение превышает допустимый диапазон, то происходит автоматическая подстановка максимального из допустимых значений. Если введенное значение меньше минимального числа из допустимого диапазона, то автоматически подставляется минимальное из допустимых значений. Далее идет пересчет с новым значением и вывод результата на экран.



3. Практическая часть

3.1 Инструкция пользователя

Перед началом работы необходимо скопировать содержимое папки work в рабочую папку MATLAB (..\work). Далее нужно запустить MATLAB и в командном окне выполнить команду open menu.m.

Откроется редактор m-файлов. Для запуска программы необходимо нажать F5 или кнопку на панели задач (Run).

Сначала необходимо выбрать изображение для работы. Для этого нужно нажать кнопку «Выбор изображения».

Для того, чтобы просмотреть изображения, уже находящиеся в списке, нужно щелкнуть левой кнопкой мыши по названию изображения. Если необходимо добавить в этот список свое изображение, то его нужно скопировать в папку ..\work\ Images, и перезапустить программу. Для примера возьмем изображение 12.jpg. Это полноцветное изображение размером 640х614 точек. Для подтверждения выбора изображения необходимо нажать кнопку «ОК». После этого окно выбора изображения автоматически закрывается.

Все полученные изображения можно сохранить, нажав кнопку «Сохранить изображение». Они сохраняются в папку ..\work\сохранение изображений. Далее по исследованиям. Сохраненное изображение имеет то же название, что и произведенная над ним операция.

Для доступа в меню исследования 1, необходимо нажать кнопку «Исследование 1: Представление и первичная обработка изображений».

Для доступа в меню исследования 2, необходимо нажать кнопку «Исследование 2: Вейвлеты и преобразования Фурье».

Для доступа в меню исследования 3, необходимо нажать кнопку «Исследование 3: Фильтрация изображений».



3.2 Бинаризация

Для того, чтобы бинаризировать выбранное изображение, нужно нажать кнопку «Бинаризация».

По умолчанию порог бинаризации установлен 0.2. При необходимости его можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter».

Преобразование в бинарное изображение позволяет резко выделить отдельные фрагменты исходного изображения. Однако в большинстве случаев такое выделение оказывается слишком грубым. Исключением является выделение изображений с текстовыми надписями.

3.3 Разложение в RGB

Для того, чтобы выбранное изображение разложить на RGB составляющие, нужно нажать кнопку «Разложение в RGB».

3.4 Построение гистограммы

Для построения гистограммы, нужно нажать кнопку «Построение гистограммы».

3.5 Гистограммный метод улучшения изображения

Для гистограммного метода улучшения изображения нужно нажать кнопку «Гистограммный метод улучшения изображения». Сверху представлено исходное изображение. Его гистограмма показывает неравномерность линий. После обработки отчетливо видно улучшение качества преобразованного изображения, что и показывает гистограмма.



3.6 Работа с пикселями

Для работы с пикселями изображения нужно нажать кнопку «Работа с пикселями».

3.7 Вычисление среднего значения изображения среднеквадратичного отклонения

Для вычисления среднего значения изображения среднеквадратичного отклонения нужно нажать кнопку «Вычисление среднего значения изображения среднеквадратичного отклонения».

3.8 Поворот изображения

Для поворота изображения нужно нажать кнопку «Поворот изображения». По умолчанию угол поворота изображения установлен 30 градусов. При необходимости его можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter».

3.9 Выделение фрагмента изображения

Для выделения фрагмента изображения нужно нажать кнопку «Выделение фрагмента изображения». Отсчет начинается от верхнего левого угла. По умолчанию Xmin = 10 пикселей, Ymin = 10 пикселей (начало отсчета), высота 40 пикселей, ширина 40 пикселей. При необходимости его можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter»



3.10 Масштабирование

Для изменения масштаба изображения нужно нажать кнопку «Масштабирование». По умолчанию изображение масштабируется в пять раз. При необходимости его можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter».

3.11 Арифметика изображений

Для выполнения арифметических действий с изображением, нужно нажать кнопку «Арифметика изображений».

Для выполнения сложения числа с изображением, нужно нажать кнопку «Сложение». По умолчанию изображение складывается с числом 5. При необходимости это число можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter» .

Складывать и вычитать можно с любыми числами, но при сложении с 255 и выше получается полностью белое изображение, а при вычитании 255 - полностью черного, поэтому не имеет смысла брать число, больше 255 по модулю.

Для выполнения операции умножение числа с изображением, нужно нажать кнопку «Умножение». По умолчанию изображение умножается на 5. При необходимости это число можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter».

Для выполнения операции деления изображения на число, нужно нажать кнопку «Деление». По умолчанию изображение делится на 5. При необходимости это число можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter» .



3.12 Дерево вейвлет-разложения

Для построения дерева вейвлетов заданного изображения, нужно нажать кнопку «Дерево вейвлет-разложения». Для просмотра изображения в каком-либо узле необходимо выбрать данный узел дерева.

3.13 Наилучшее дерево вейвлет-разложения

Для построения наилучшего дерева вейвлетов заданного изображения, нужно нажать кнопку «Наилучшее дерево вейвлет-разложения» Для просмотра изображения в каком-либо узле необходимо выбрать данный узел дерева.

3.14 Вычисление энтропии

Для вычисления энтропии изображения изображения, нужно нажать кнопку «Вычисление энтропии». По умолчанию для нормы пространства степень P = 1.1, для пороговой энтропии пороговое значение Р = 0.2. При необходимости это число можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter» .

3.15 Двумерное дискретное вейвлет-преобразование

Для двумерного дискретного вейвлет-преобразования заданного изображения, нужно нажать кнопку «Двумерное дискретное вейвлет-преобразование».



3.16 Преобразование Фурье

Для преобразования Фурье заданного изображения, нужно нажать кнопку «Преобразование Фурье».

Нетрудно заметить, что после прямого двумерного преобразования Фурье с перегруппировкой выходного массива полученное изображение разительно отличается от исходного изображения, и найти между ними сходство практически невозможно. Тем не менее, такое преобразование может быть полезно для оценки особых свойств исходного изображения. Для возврата в главное меню необходимо закрыть открытые окна исследований.

3.17 Наложение шума

Для наложения шума на изображение, нужно нажать кнопку «Наложение шума». При необходимости значения по умолчанию можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter» .

3.18 Медианная фильтрация

Для выбора медианной фильтрации, нужно нажать кнопку «Медианная фильтрация». По умолчанию маска для медианной фильтрации 8х8. При необходимости это число можно изменить. Для этого нужно в поле значения ввести нужное значении и нажать клавишу «Enter»..

3.19 Выделение границ сюжетов изображения

Для выделения границ сюжетов изображения нужно нажать кнопку «Выделение границ сюжетов изображения».



3.20 Сегментация изображения

Для выделения сегментации изображения нужно нажать кнопку «Сегментация изображения».

Здесь изображение на кластеры разбивается по цветам по методу k-средних.

Для возврата в главное меню необходимо закрыть открытые окна исследований.

3.21 Построение графика корреляции

Для доступа в меню исследования 4 необходимо нажать кнопку «Исследование 4: Построение графика корреляции». В появившемся окне необходимо выбрать второе изображение, с учетом того, что первое изображение должно быть меньше или равно по размерам со вторым. Для примера построим сначала график автокорреляции. Для этого выбираем это же изображение, кликнув по его названию.

После этого нужно нажать кнопку «Построение графика корреляции».

График можно повернуть, используя кнопку на панели задач, увеличить или уменьшить, используя кнопки , найти координаты нужной точки, отметив ее с помощью кнопки .

Размещено на Allbest.ru

...