Моделирование динамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тверской государственный технический университет»

Кафедра электронных вычислительных машин

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Моделирование»

Тема работы: «Моделирование динамических систем. Численное интегрирование дифференциальных уравнений»

Выполнила:

Воронков Р.В.

Проверил: к.т.н.,

Чернышев О.Л.

Тверь 2016

Цель работы

Знакомство с простейшими численными методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Содержание работы

Изучить модифицированный метод Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка и способ достижения требуемой точности получаемого приближенного решения. Составить блок-схему алгоритма решения поставленной задачи, программу, представить полученные результаты.

Вычислить переходную характеристику заданной функции. Составить блок-схему алгоритма решения поставленной задачи, программу, представить полученные результаты.

Вариант задания

№ варианта	f(x, y)	а	b	y0
3	,	2,7	4	4

Постановка задачи

Найти численное решение дифференциального уравнения на заданном отрезке при начальном условии . Обеспечить получение результатов на каждом шаге с заданной точностью и беря начальный шаг , а . Значения величин и вид выбраны для варианта №10.

Получить график переходного процесса для инерционного звена первого порядка со следующей передаточной функцией.

,

где параметр - равен значению номера студента в группе (№15), а Т равен разности числа 20 и номера студента в группе (). Таким образом, , а .

Выполнение работы

Пусть требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию .

,

Выберем приращения равные так, чтобы . Далее обозначим , , где

В качестве приближенного решения (1) примем ломанную Эйлера (2).

,

Опишем правило, по которому будем выбирать величину приращения , а также обеспечивать требуемую точность решения на -том «шаге».

В узле возьмем в качестве шага , где - заданное значение. Вычислим в узлеприближенные значения решения и по формуле Эйлера (2), соответственно, используя шаг и .

Если погрешность , то примем в качестве значения в узле величину .

Если погрешность , то повторим вычисления начиная от с уменьшенным вдвое шагом. Последнее действие будем выполнять до тех пор, пока не выполнится условие .

Далее осуществляется расчет следующей точки ломаной Эйлера. Для следующего узла получаем значение , исходя из , а величину шага выбираем на основании ее предыдущего значения:

а) если - предыдущий шаг удваивается;

б) если - предыдущий шаг остается.

Аналогично, получаем решения для остальных узлов.

Для точного выхода в узел на каждом шаге необходимо проверять неравенство и в случае его выполнения положить .

Для представления результатов целесообразно построить график с помощью ЭВМ. Для построения графика необходимо предусмотреть выдачу на печать не более 30 - 50 координат , , автоматически.

После получения решения для заданного уравнения, целесообразно получить график переходного процесса для инерционного звена первого порядка с передаточной функцией:

,

где параметр - равен значению номера студента в группе (№15), а - разности между числом 20 и номером студента в группе (т.е. ). Таким образом, , .

Для выполнения поставленных задач - решение исходного уравнения модифицированным методом Эйлера и получение графика переходного процесса передаточной функции, были реализованы консольные приложения на языке java на платформе NetBeans IDE.

модифицированный интегрирование дифференциальный уравнение

График точностью

Представленная программа записывает выходные данные в файл График переходного процесса для инерционного звена первого порядка с передаточной функцией ; , при .

График переходного процесса

Блок-схема алгоритма решения дифференциального уравнения модифицированным методом Эйлера



Листинг кода программы 1 с комментарием

package equationeyler1;

import java.io.File;

import java.io.IOException;

import jxl.Workbook;

import jxl.write.Number;

import jxl.write.NumberFormat;

import jxl.write.WritableCellFormat;

import jxl.write.WritableFont;

import jxl.write.WritableSheet;

import jxl.write.WritableWorkbook;

import jxl.write.WriteException;

import jxl.write.biff.RowsExceededException;

public class EquationEyler {

private static WritableWorkbook workbook;

private static WritableSheet sheet;

private static float A, B, Y1, Y2, E, H;

private static float X, Y;

private static float H1, H2;

private static int SH = 0;

public static void main(String[] args) throws RowsExceededException,

WriteException, IOException {

createWorkbookSheet();

initializeVariable();

calculationValues();

}

private static void initializeVariable() {

System.out.print("Инициализация входных параметров системы...");

//задаем исходные значения, согласно варианту №10

A = 2,7;

B = 4;

E = (float) 0.01;

H = (B - A) / 10000;

X = A;

Y = (float) 4;

H1 = H;

H2 = H / 2;

System.out.println("Параметры заданы!");

}

private static void calculationValues() throws WriteException, IOException {

while (X <= B && SH < 40) {

SH++;

// находим y' по формуле Эйлера

Y1 = Y + mathFunction(X, Y, H1);

// находим y'' по формуле Эйлера

Y2 = Y + mathFunction(X, Y, H2);

while (Math.abs(Y2 - Y1) >= E) /* Цикл пока b > = e */

{

H1 = H1 / 2;

H2 = H2 / 2;

// повторяем нахождение y' по формуле Эйлера

Y1 = Y + mathFunction(X, Y, H1);

// повторяем нахождение y'' по формуле Эйлера

Y2 = Y + mathFunction(X, Y, H2);

}

addRowValue(SH, X, Y);

// примем в качестве значения y в узле x величину y''

Y = Y2;

if (Math.abs(Y2 - Y1) < E / 4) {

H1 = H1 * 2;

H2 = H2 * 2;

}

X = X + H1; // следующее значение x равно x + h1

}

saveFile();

}

private static float mathFunction(float X, float Y, float H) {

return (float) ((1+Y)/(1-X))*H; //уравнение заданной функции

}

private static void createWorkbookSheet() {

System.out.print("Создание нового файла...");

File excelFile = new File("Laba1");

System.out.println("Файл создан!");

try {

workbook = Workbook.createWorkbook(excelFile);

System.out.print("Создание рабочего листа...");

sheet = workbook.createSheet("export", 0);

} catch (IOException e) {

e.printStackTrace();

}

System.out.println(" Рабочий лист создан!");

}

private static void addRowValue(int pos, float X, float Y)

throws WriteException {

//зададим шрифт

WritableFont numberFont = new WritableFont(WritableFont.ARIAL);

//зададим фомат данных

WritableCellFormat numberFormat = new WritableCellFormat(numberFont,

new NumberFormat("#0.00000"));

//зададим столбцы для каждой из осей

sheet.addCell(new Number(0, pos, X, numberFormat));

sheet.addCell(new Number(1, pos, Y, numberFormat));

}

private static void saveFile() throws IOException, WriteException {

System.out.print("Записываем данные на лист, сохраняем файл...");

workbook.write();

workbook.close();

System.out.println(" Готово!");

}

}

Блок-схема алгоритма получения графика переходного процесса для инерционного звена первого порядка с передаточной функцией

Листинг кода программы 2 с комментарием

package TransfFunction;

import java.io.File;

import java.io.IOException;

import jxl.Workbook;

import jxl.write.Number;

import jxl.write.NumberFormat;

import jxl.write.WritableCellFormat;

import jxl.write.WritableFont;

import jxl.write.WritableSheet;

import jxl.write.WritableWorkbook;

import jxl.write.WriteException;

import jxl.write.biff.RowsExceededException;

public class TransfFunc1 {

private static WritableWorkbook workbook;

private static WritableSheet sheet;

private static double k,T;

private static int tt, i;

private static double E,h;

public static void main(String[] args) throws RowsExceededException,

WriteException, IOException {

createWorkbookSheet();

initializeVariable();

calculationValues();

}

private static void initializeVariable() {

System.out.print("Инициализация входных параметров системы...");

//задаем исходные значения, согласно варианту №3

k = 15;

T = 5;

t = 20;

System.out.println("Параметры заданы!");

}

private static void calculationValues() throws WriteException, IOException {

for (i = 0; i <= tt; i++) {

E = Math.pow(Math.E, -1 * (i / T));

h = k * (1 - E); //формула передаточной функции

addRowValue(i, i, h);

}

saveFile();

}

private static void createWorkbookSheet() {

System.out.print("Создание нового файла...");

File excelFile = new File("Laba2");

System.out.println("Файл создан!");

try {

workbook = Workbook.createWorkbook(excelFile);

System.out.print("Создание рабочего листа...");

sheet = workbook.createSheet("export", 0);

} catch (IOException e) {

e.printStackTrace();

}

System.out.println(" Рабочий лист создан!");

}

private static void addRowValue(int pos, int X, double Y)

throws WriteException {

//зададим шрифт

WritableFont numberFont = new WritableFont(WritableFont.ARIAL);

//зададим формат данных

WritableCellFormat numberFormat = new WritableCellFormat(numberFont,

new NumberFormat("#0.00000"));

//зададим столбцы для каждой из осей

sheet.addCell(new Number(0, pos, X, numberFormat));

sheet.addCell(new Number(1, pos, Y, numberFormat));

}

private static void saveFile() throws IOException, WriteException {

System.out.print("Записываем данные на лист, сохраняем файл...");

workbook.write();

workbook.close();

System.out.println(" Готово!");

}

}

Размещено на Allbest.ru

...