Главная Коллекция "Revolution" Программирование, компьютеры и кибернетика Оптимальное управление распределенной колебательной системой

Оптимальное управление распределенной колебательной системой

Отклонение от состояния равновесия и задача оптимального управления. Метод разделения переменных. Определение успокаивающего управления. Эффективность визуального компьютерного моделирования для систем с распределенными параметрами уравнениями.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 09.03.2016
Размер файла 34,5 K
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 681.3 (075)

Оптимальное управление распределенной колебательной системой

Нургулжанова Асель Нургулжановна

соискатель (Алматы, КазАТК)

Состояние распределенной колебательной системой, т.е. ее отклонение от состояния равновесия, пусть описывается функцией которая подчиняется при и волновому уравнению

(1)

со следующими начальными и граничными условиями:

Q(x, 0)=Q0(x), , 0 ? x ? ? (2)

Q(0, t)=u(t), Q(?,t) = 0, t?0 (3)

Задача оптимального управления ставится следующим образом: требуется найти такое управляющее воздействие u(t), 0 ? t ? T, норма которого ограничена числом l>0, т.е.

(4)

Чтобы за минимально возможное время Т успокоить колеблющуюся от воздействия ненулевых начальных условий (2) систему (1), т.е. чтобы при минимальном Т выполнялись условия равновесия

Q(x, T)=0, 0?x?? (5)

Будем предполагать, что Q0 (x), 0<x<?, дважды (непрерывно) дифференцируема и имеет кусочно- непрерывную третью производную. Что касается функции Q1 (x), 0<x<?, то предположим, что она (непрерывно) дифференцируема и имеет кусочно- непрерывную вторую производную, причем будем считать Q0 (0) = Q0 (?)= Q1 (0)= Q1 (?)= 0 . Функцию u(t) будем предполагать принадлежащей пространству Lp[0, T] при 1<p<. Решение

Q(x, t) уравнения (1) с условиями (2), (3) будем понимать в обобщенном смысле как предел при n> решений Qn (x, t) уравнений (1) - (3) , соответствующих функциям управления un(t) , дважды непрерывно дифференцируемым при условии un(0) = u'n(0) = 0 , когда { un(t) } сходится на [0, T] в пространстве Lp[0, T] к функции u(t).

В этом случае, воспользовавшись методом разделения переменных, решение уравнения (1) с условиями (2), (3)можно записать в виде

(6)

где и , n=1, 2, …,- коэффициенты разложения в ряд по синусам соответственно функций Q0 (x) и Q1 (x), на отрезке [0,?], или, по-другому, , n=1, 2, …, суть коэффициенты ряда Фурье соответственно функций Q0 (x) и Q1 (x) на отрезке [-?, ?], когда с отрезка [0,?] на отрезок [-?, 0] эти функции продолжены нечетным образом (т.е. графики этих функций симметричны относительно точки начала координат оси х).

Выражение (6) есть обычное решение уравнения (1) с условиями (1), (3) при u(t)L2[0, T] внутри прямоугольника 0?х??, 0?t?T. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно два раза проинтегрировать по частям интеграл

и воспользоваться равенством

при .

С учетом решения (6) условия успокоения системы (5) примут вид

(7)

(8)

0<х<?.

Так как система функций {sin nx} на отрезке [0,?] является полной, то для того, чтобы выполнялись условия (7) и (8), необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты при sin nx, n=1,2, . . , в уровнениях (7) и (8) были равны нулю. Отсюда получаем бесконечную систему равенств

(9)

(10)

n = 1, 2, . . .

Умножая уравнение (9) при фиксированном n на j и складывая его с уравнением (10) при том же фиксированном n, а затем сокрощая на ejnT и снова разделяя вещественные и мнимые части, получим новую систему равенств, выполнение которых необходимо и достаточно для выполнения условий успокоения (5):

n=1, 2, ... (11)

n=1, 2 (12)

Таким образом, задача об определении успокаивающего управления u(t) оказалась эквивалентной задаче о разрешимости бесконечной проблемы моментов (11), (12).

Далее, задача определения оптимального управления u(t) по минимуму времени Т тесно связана с l - проблемой моментов, которая состоит в том, чтобы найти такое u(t), 0?t?T, удовлетворяющее всем моментным неравенствам (11), (12), чтобы еще выполнялось дополнительное условие - условие ограниченности нормы функции u(t) в пространстве , т.е. условие (4).

Заметим сразу, что так как пространство слабо бикомпактно, то решение l- проблемы моментов (11), (12), (4) должно принадлежать пространству и, следовательно, быть периодическим с периодом 2?.

Представим Т в виде Т=2?k + ?, где k - одно из чисел k=0, 1, 2, . . . и 0??<2?. Тогда равенства (11), (12) с учетом периодичности u(t) с периодом 2? можно записать в виде

n=1, 2, . . . , (13)

n=1, 2, . . . , (14)

где

(15)

Но из условий (13), (14) функция определяется однозначно, правда, с точностью до некоторой произвольной аддитивной постоянной С, так как из (13) и (14) видно, что и суть коэффициенты Фурье функции на отрезке [0, 2?] (нет среди (13) и (14) только условия на постоянную составляющую функции , чем и обусловлено наличие произвольной постоянной С).

Итак,

(16)

В силу условий, наложенных на функции Q0(x) и Q1(x), ряд в (16) сходится равномерно.

Из равенства (15) тогда получаем, что при k ? 0 искомое управление равно (на отрезке времени [0, 2?])

(17)

Выводы

1 Показаны эффективность визуального компьютерного моделирования для систем с распределенными параметрами уравнениями в частных производных с использованием различных инструментальных программных средств: «Stratum-2000», MatLAB.

2. Получена расчетная формула в виде разностного уравнения путем замены выражения производных их дискретным аналогом, реализуемая на цифровой вычислительной машине для расчета значения параметра y в любой точке (x, t).

3. Рассмотрены подходы для обеспечения устойчивости (точности) с использованием шаблонов.

равновесие управление компьютерный моделирование

Литература

1. Утепбергенов И.Т., Нургулжанова А.Н. Об одной задаче управления с использованием уравнения колебания струны Материалы международной научно-практической конференции «Наука и инновации на железнодорожном транспорте».- Алматы, КазАТК, 2005.

2. Утепбергенов И.Т., Нургулжанова А.Н. Моделирование управления, описываемого уравнениями с распределенными параметрами // Алматы, Вестник КазАТК, 2008, №5.

Размещено на Allbest.ur

...

Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены