Имитационное моделирование как средство решения задач организационно-технологического проектирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное бюджетное государственное образовательное учреждение высшего образования Воронежский ГАСУ

Кафедра управления строительством

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине:

«Основы научных исследований в управлении социально-экономическими системами»

на тему: «Имитационное моделирование как средство решения задач организационно-технологического проектирования»

Выполнила: студентка гр.2141б

Родионова Н.С.

Принял: доц., к.т.н. Порядина В.Л.

Воронеж 2015

Содержание

Введение

Глава 1. Понятие имитационной модели. Понятие имитационного моделирования. Структура и виды имитационного моделирования

Глава 2. Понятие организационно-технологического проектирования, его показатели

Глава 3. Имитационное моделирование решений организационно-технологических задач по критерию надежности в строительных системах

Глава 4. Практическая часть

4.1 Задача о раскрое материала методами линейного программирования

4.2 Моделирование и расчет целочисленных параметров управленческих решений

4.3 Комплексный анализ управления решениями по абсолютным и относительным критериям

4.4 Алгоритм решения построения календарного плана с минимальной продолжительностью проекта

4.5 Построение календарного плана с минимальными дополнительными затратами (метод дихотомического программирования)

4.6 Построение календарного плана заданной продолжительности при минимальном увеличении затрат

Заключение

Список литературы



Введение

Быстрое развитие информационных технологий и их преобразующая роль в управлении общественными процессами сделали область IT катализатором управленческого прогресса, процесса грузоперевозок, строительства.

В России в последнее время активно предпринимаются шаги, направленные на превращение страны в современное высокотехнологичное государство с конкурирующими системами управления. Мировая практика принятия сложных решений в различных системах перешла на новый уровень методологической и инструментальной поддержки, когда те или иные варианты решений должны быть сначала проанализированы не на реальных объектах и людях, а на их моделях, которые максимально имитируют реальный объект. В этой связи предварительные оценки финишных результатов осуществляются при помощи имитационного моделирования, посредством построения логико-математической модели.

Таким образом, актуальность темы данной курсовой работы в том, что именно имитационное моделирование и имитационные модели позволяют проанализировать развитие тех или иных вариантов решения задач.

Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может вмешиваться человек, задачей которого стоит улучшение процесса, приводящего к максимальной выгоде. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от обстановки, принимать те или другие решения, которые на его взгляд кажутся оптимальными. Затем приводится в действие математическая модель, показывающая, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет (к прибыли и убыткам) и стоит ли вводить данное решение в действие. Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной обстановки. В результате многократного повторения процедуры руководитель «набирает опыт», и постепенно выучивается принимать оптимальные или максимально приближенные к оптимальному решения.

Цель курсовой работы - раскрытие сущности и содержания метода имитационного моделирования как средство решение задач организационно-технологического проектирования.

Обозначенная цель будет достигнута в ходе решения следующих задач, поставленных перед работой:

1. Определить понятия имитационной модели и имитационного моделирования, цели и область применения.

2. Выделить этапы и структуру процесса имитационного моделирования.

3. Изучить историю становления имитационного моделирования в Российской Федерации.

4. Проанализировать динамику развития и применения метода имитационного моделирования в Российской Федерации.

5. Определить понятие организационно-технологического проектирования.

6. Определить, как и какие основные системы имитационного моделирования используются при решении задач организационно-технологического проектирования.

Цель имитационного моделирования состоит в разработке симулятора исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов с целью нахождения оптимального решения. Плюсом имитационного управления является то, что время в модели управляемо: можно замедлять и ускорять.



Глава 1. Понятие имитационной модели. Понятие имитационного моделирования. Структура и виды имитационного моделирования

Слово имитация (от лат.-подражание) подразумевает воспроизведение каким-либо иным образом явлений, событий, действий объектов и т. д. Термин «имитация» - синоним «модели» ( от лат. - мера, образец) означает любой материальный или нематериальный образ (изображение, схема, воспроизведение, материальное воплощение, представитель, объекты организационно-технологической задачи и т.п.).

Словосочетание «имитационная модель» некорректно, т.к., по сути, это тавтология, однако в середине XX века оно было введено в практику физического и математического моделирования.

Имитационные модели, являющиеся особым классом математических моделей, отличаются от аналитических тем, что использование ЭВМ в процессе их реализации играет определяющую роль. Имитационные модели не накладывают жестких ограничений на используемые исходные данные, которыми выступают интересующие объекты исследования, а позволяют в процессе работы использовать всю собранную информацию вне зависимости от ее формы представления и степени ее формализации.

Имитационное моделирование - метод исследования, который основан на замене изучаемой системы - имитирующей. Именно с имитирующей системой проводят эксперименты (на реальном объекте эксперименты не проводятся, чтобы не испортить его в случае нерентабельности решения, и дабы сократить временные затраты) и в результате получают информацию об изучаемой системе, желаемом объекте. Метод позволяет имитировать, например, работу моделей бизнес-процессов так, как они происходили бы в действительности, с учетом графиков рабочего времени и занятости временных ресурсов и наличия необходимого количества материальных ресурсов. В результате, можно оценить реальное время выполнения как одного процесса, так и заданного их множества, а так же просчитать ошибки и увидеть возможные риски при решении данным способом той или иной организационно-технической задачи.

Имитационная модель - математическое описание объекта с применением логики, которое может быть использовано для проведения экспериментов на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта, неподдающегося наблюдению в настоящее время или требующего больших затрат такого ресурса, как время.

Структура имитационного моделирования является последовательно-циклической. Последовательность определяется процессом имитационного моделирования, который можно разбить на ряд последовательных этапов, выполнение которых осуществляется от предыдущего к последующему. Цикличность проявляется в необходимости возвращения к предыдущим этапам и повторении уже однажды пройденного пути с некоторыми измененными в силу необходимости данными и параметрами модели, поставленной задачи.

Этапы имитационного моделирования:

Первый этап такой же, как и в любом исследовании. Он необходим для того, чтобы была оценена потребность изучения объекта или проблемы, возможность и способы решения поставленных задач, ожидаемые результаты, прогнозированные затраты и прибыль. Этот этап важен для практического применения метода моделирования. Часто к этому этапу возвращаются после окончания исследования модели и обработки результатов для изменения постановки задачи, а иногда и модернизации цели моделирования.

Второй этап включает в себя формализацию описания моделируемого объекта на основе выбранной теоретической базы, то есть на основе каких-либо выбранных показателей, характеризующих объект и его окружение. На этом этапе, на естественном языке дается описание исследуемого объекта, взаимодействия между элементами объекта и объекта с внешней средой. На основе описания объекта выбирается концепция его формального определения, и то, как он будет отображаться в имитационном моделировании. Таким образом, в конце данного этапа словесное описание исследуемой системы превращается в абстрактную математическую структуру. Заканчивается второй этап проверкой соответствия имитационной модели с реальной системы. Если этого нет, то следует провести коррекцию в определении теоретической базы модели.

Третий этап - проведение исследования на разработанной модели путем «прогона» ее на ЭВМ. Перед началом исследования полезно составить такую последовательность модели, которая позволила бы получить необходимый объем информации при данном составе и достоверности первоначальных данных. Далее на основе разработанного плана эксперимента осуществляют пробы имитационной модели на ЭВМ, т.е. первые «прогоны» этой модели. В конце этого этапа осуществляется обработка результатов с целью представления их в виде, наиболее удобном для анализа.

Четвертый этап приводит к анализу результатов исследования. На этом этапе определяются свойства реальной системы, которые наиболее важны для исследователя. На основе результатов подготавливаются окончательные выводы по проведенному моделированию, по работе программы, по заданному объекту, а также по оптимальности решения, заложенных в программе.

Пятый этап - это заключительный этап. Здесь формулируются окончательные выводы по заданному объекту, заложенного в имитационной модели, и разрабатываются рекомендации по использованию результатов моделирования для достижения поставленных предприятием целей. Часто на основе этих выводов возвращаются к началу процесса моделирования для необходимых изменений в теоретической и практической части модели и повторным исследованиям с измененной моделью для проверки наиболее оптимального решения. В результате нескольких подобных циклов получают имитационную модель, наилучшим образом удовлетворяющую поставленным целям и приводящая к полноценному описанию решаемой задачи и к ответу на нее.

Имитационные модели позволяют проверить, правильность понимания процессов в исследуемом объекте, допустимые риски и ошибки. Знание последних и дает возможность строить простые модели сложных в реальности явлений.

Имитационное моделирование подразделяется на несколько видов имитационного моделирования:

- агентное моделирование

- дискретно-событийное моделирование

- системная динамика

- статическое имитационное моделирование.

Рассмотрим каждый вид подробнее:

Агентное моделирование (1990-е - 2000-е гг.) - направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных (разобщенных) систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами узкой направленности, а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей -- получить представление об глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении ее отдельных активных объектов и их взаимодействии в системе. Агент -- сущность, обладающая активностью, автономным поведением, которая может принимать решения в соответствии с определенном набором правил, взаимодействовать с окружающей средой, а также самостоятельно изменяться.

Дискретно-событийное моделирование -- подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы («ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие). Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений - от систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов, например, в строительстве. Он был основан Джеффри Гордоном в 60-х гг. XX века.

Системная динамика-- парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие, изменяющиеся во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель, которая в последствие имитируется на компьютере. Такой вид моделирования качественней других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, строительства всевозможных объектов, модели производства. Метод был основан Джеем Форрестером в 1950 годах.

Статистическое имитационное моделирование - это моделирование, позволяющее воспроизводить на ЭВМ функционирование сложных хаотичных процессов.

При исследовании сложных систем, более всего подверженных случайным возмущениям, используются вероятностные аналитические модели и вероятностные имитационные модели. В вероятностном имитационном моделировании оперируют с конкретными случайными числовыми значениями параметров процесса или системы. При этом результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели рассматриваемого объекта, процесса, являются случайными реализациями. Поэтому для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение, с последующей статистической обработкой полученных в результате исследования данных. Именно поэтому исследование сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, которыми и являются задачи организационно-технологического характера, с помощью имитационного моделирования принято называть статистическим моделированием. При реализации на ПК статистического имитационного моделирования возникает задача получения на ПК случайных числовых последовательностей с заданными вероятностными характеристиками. Численный метод, решающий поставленную задачу генерирования последовательности случайных чисел с заданными законами распределения ресурсов, получил название "метод статистических испытаний" или "метод Монте-Карло".

Таким образом, метод имитационного моделирования при исследовании сложной проблемной ситуации, сложной организационно-технологической задачи предполагает выполнение всего пяти этапов, основанных на составлении математической модели, ее проверки и перепроверки ее работы с новыми данными.



Глава 2. Понятие организационно-технологического проектирования, его показатели

Организационно-технологическое проектирование -- это сложный процесс, целью которого является обеспечение направленности организационных, технических и технологических решений на достижение конечного результата - ввода в действие объектов с необходимым качеством, в установленные сроки с максимальной прибылью подрядчика.

Одним из важнейших показателей в организационно-технологическом проектировании является надежность. Обеспечение надежности ОТП (организационно-технологического проектирования) приобретает особо важное значение в рыночной экономике, когда у заказчика появилась возможность диктовать исполнителю свои требования к качеству возводимых объектов, поставки материально-технических ресурсов, обеспечении машинами и механизмами, рабочей силой и т.д.

Надежность ОТП определяется вероятностью реализации разработанных организационно-технологических решений, в том числе календарных планов строительства объектов. Надежность определяется возможностью ликвидации строительных отклонений в ходе строительства от действия дестабилизирующих факторов нужен маневрирование имеющимися ресурсами.

В настоящее время известны многочисленные методы эффективных способов по улучшению показателей надежности ОТП. Одним из таких методов и является имитационное (компьютерное) моделирование.



Глава 3. Имитационное моделирование решений организационно-технологических задач по критерию надежности в строительных системах

На сегодняшний день вопросы о повышении ОТН (ОТН - организационно-технологическая надежность) на основе определения с учетом различных факторов оказывают сильное влияние на эффективность строительного производства, а методы управления этими факторами приобретают повышенную актуальность.

Добиться увеличения организационно-технологической надежности (ОТН - способность технологических, организационных, управленческих решений обеспечивать достижение заданного результата строительного производства в условиях факторов-риска, присущих строительству, как сложной стохастической системе) жизнедеятельности строительных систем можно следующими способами:

· минимизации факторов, нарушающих ОТН строительных систем;

· выработкой систем, устойчивой к условиям воздействия этих факторов.

Эти способы не являются оппонентами друг другу и могут быть использованы как по отдельности, так и в слиянии.

Практика показывает, что второй путь является более предпочтительным. Он позволяет на основе имитационного моделирования (имитационное моделирование - воспроизведение процессов, происходящих в строительной системе, с искусственной имитацией величин, от которых зависят эти процессы, с помощью датчика случайных чисел)[2] возведения строительных объектов проектировать решения с определенным уровнем надежности.

Имитационное моделирование подразумевает построение модели для задачи, требующей решения, и проведение исследовательских и проектных разработок для реальной производственной строительной системы.

В качестве критерия функционирования систем строительства может быть взята величина «затрат ресурсов» (например, мощностей) при нормативном сроке строительства.

Чтобы построить математическую модель, необходимо характеризовать объекты строительства и средства, с помощью которых будет происходить его возведение, специальными понятиями, обеспечивающими необходимую при проектировании организации строительства точность его описания (например, виды и объемы работ, пространственные параметры технологических процессов, интенсивность и т. д.). При выборе данных понятий и построения модели необходимо обеспечить ее многогранность или блочный принцип, что обеспечит описывать возведение различных типов объектов и решать большой круг организационно-технологических задач без коренной ее перестройки.

Для анализа строительных систем с очень большим числом элементов (машин, людей, материалов и других ресурсов) со сложными взаимодействующими связями случайных факторов целесообразнее всего использовать метод статистических испытаний.

Использование метода статистических испытаний применительно к проектированию возведения строительных объектов может быть проведено на основе календарного плана, который может иметь различную форму (линейный график, сетевой график, сетевая циклограмма, векторная диаграмма, циклограмма и др.).

Календарный план строится с учетом технологии и экономики строительного производства, устанавливающих четкую последовательность выполнения работ на пространственных участках объекта, требований и ограничений организации. При этом не полностью учитываются варианты выполнения работ, их взаимосвязи в процессе построения объектов, не определяется порядок перераспределения ресурсов между участками и работами и другие особенности организации производства. Отсюда следует, что существует некоторое количество неучтенных и неоцененных степеней свободы в структуре строительного процесса, передаваемого в календарном плане с помощью детерминированных параметров.

Элементами, составляющими основу системы возведения объекта, являются:

· объект строительства;

· средства построения объекта;

· нормирование правил, обеспечивающих целенаправленное взаимодействие объекта со средствами его возведения.

В имитационной модели каждый элемент данной системы представляется совокупностью своих основных характеристик.

Характеристики объекта строительства:

где a - количество участков; s - количество работ; W - матрица объемов работ на участках; wij - объем j-й работы на i-м участке (элементы матрицы W); - технологическая последовательность выполнения работ на i-ом участке, выраженная графом и представленная в матричной форме; - элемент технологической матрицы.

Характеристики средств построения объекта:

к = {k1, k2, ..., kj, …, km}; F = {fij}; G = {g1, g2, …, gj, …, gm}, (2)

где к - матрица-вектор имеющегося количества ресурсов типа мощностей (бригад с машинами) каждого типа на объекте; kj - имеющееся число ресурсов j-го типа (элемент матрицы-вектора к); F - матрица максимального технологически допустимого количества ресурсов каждого типа на всех участках; fij - максимальное технологически допустимое число ресурсов j-го типа на i-ом участке при условии их одновременной производительной работы (элемент матрицы F); G - матрица-вектор интенсивностей работы одной бригады каждого типа за смену; gj - интенсивность работы (выработка) одного ресурса j-го типа за смену (элемент матрицы G).

Набор управляющих правил:

Н = {Н1, Н2, Н3, Н4}, (3)

Позволяющих рассмотреть все возможные варианты организации построения объекта и производственных работ в процессе статистических испытаний модели.

Каждое управляющее правило представляется в имитационной модели соответствующим алгоритмом и определенными программами.

Случайными величинами в данной модели выступают продолжительности отдельных работ комплекса. При этом характер функции распределения времени выполнения каждой из работ будем считать известным. Также считается, что для полного вероятностного описания указанных случайных величин достаточно знание двух величин: математического ожидания и дисперсии.



Глава 4. Практическая часть

4.1 Задача о раскрое материала методами линейного программирования

Из листа стекла размером 2Ч4 метров требуется нарезать заготовки размером 1,2Ч0,5 метра и 0,6Ч0,8 в количестве 200 и 150 штук соответственно.

Решение:

1. Согласно 1 схеме получается:

- 13 листов 1-го типа

- 0 листов 2-го типа

- отходы составляют 0,2 м2

2. Согласно 2 схеме получается:

- 0 листов 1-го типа

- 16 листов 2-го типа

- отходы составляют 0,32 м2

3. Согласно 3 схеме получается:

- 5 листов 1-го типа

- 10 листов 2-го типа

- отходы составляют 0,2 м2

4. Согласно 4 схеме получается:

- 8 листов 1-го типа

- 6 листов 2-го типа

- отходы составляют 0 м2

Для формализации поставленной задачи введём следующие обозначения:

xi - число листов стекла, раскраиваемых по i-тому методу;

ai - число заготовок первого типа в количестве 200шт.;

bi - число заготовок второго типа в количестве 150шт.

В этом случае все способы раскроя удобно представить в виде таблицы, называемой матрицей раскроя:

Типы заготовок	Способы раскроя и число заготовок
	1схема	2схема	3схема	4схема
1	13	0	5	8
2	0	16	10	6

Целевая функция может быть определена по-разному. Допустим, в задаче требуется использовать минимальное количество листов, тогда целевая функция будет выглядеть следующим образом:

Подставим значения из таблицы.

Приведем к канонической форме исходную задачу:

Решим задачу симплекс методом:



Базис	С0	х	-1	-1	-1	-1	0	0
			А1	А2	А3	А4	А5	А6
Х5	0	-200	-13	0	-5	-8	1	0
Х6	0	-150	0	-16	-10	-6	0	1
Д			1	1	1	1	0	0
Х5	0	-200	-13	0	-5	-8	1	0
Х2	-1	150/16	0	1	10/16	6/16	0	-1/16
Д			1	0	3/8	5/8	0	1/16
Х1	-1	200/13	1	0	5/13	8/13	-1/13	0
Х2	-1	150/16	0	1	10/16	6/16	0	-1/16
Д			0	0	3/104	1/104	1/13	1/16

В задаче достигнут экстремум, при этом оптимальное решение будет иметь вид: Х=(200/13; 150/16;0;0).

Это означает, что по 1 схеме раскроя должно быть разрезано 200/13 листов, а по 2 схеме -150/16.

Такой раскрой даёт 200/13Ч13=200 заготовок 1-го типа и 150/16Ч16=150 заготовок 2-го типа, что соответствует условиям задачи. Заметим, что сверхплановых заготовок нет, так как х5 и х6 равны 0. Отходы составляют 200/13Ч0,2 + 150/16Ч0,32=16,3м2. Основная масса отходов 13,3 м2 образовалась от раскроя заготовок 1-го типа.

Ответ: Х=(200/13; 150/16;0;0)

4.2 Моделирование и расчет целочисленных параметров управленческих решений

Вариант 2

Предположим, что администрация фирмы желает увеличить производство за счет привлечения дополнительных производственной площади объемом 15 м2, а так же покупки современных станков-автоматов по производству аналогичной продукции на сумму 94 млн. руб.

После изучения соответствующих рекламных проспектов, подходящими для покупки признаны:

1. Автоматы фирмы А: S1=1 м2, С1 = 5 млн. руб. и с производительностью P1 = 14 изд/час;

2. Автоматы фирмы В: S2=1 м2, C2 = 8 млн. руб. и с производительностью P2 = 22 изд/час.

В каких количествах нужно приобрести автоматы данных фирм, чтобы созданная дополнительно мощность имела наибольшую производительность.

Решение:

Составим экономико-математическую модель расчета оптимальной стратегии закупки станков.

Пусть

х1 - это количество станков A,

х2 - это количество станков В

Тогда под стратегией закупки будем понимать вектор (х1, х2), удовлетворяющий следующим ограничениям:

по площади:

по финансам:

неотрицательность:

Целевая функция модели выражает суммарную производительность всех закупочных станков:

.

Расчет целочисленной закупки станков методом ветвей и границ. Решение вспомогательной задачи №1. Она получена путем игнорирования требования целочисленности исходной задачи ЦЛП. Последующие вспомогательные задачи нижнего уровня получаются разбиением вспомогательных задач верхнего уровня и тоже не включают требование целочисленности.

Решим графически вспомогательную задачу №1:



.

Найдем область допустимых значений:

	15	0
	0	15
	2	18,8
	10,5	0

Построим график:

График 1. Область допустимых значений целевой функции.

Rmax - точка максимума, лежит на пересечении двух прямых: . С помощью системы уравнений найдем точные значения R (max): 

,

,

Так как у нас не получилось целочисленного решения, то делаем ветвление задачи на четыре вспомогательных:



По графику можно увидеть, что точка максимума это R1 (8;6), при таких значения целевая функция равна Fmax = 14*8+22*6=244. Эти данные нас полностью удовлетворяют, т.к. все числа получились целыми. Но нужно проверить еще 3 вспомогательные задачи, т.к. среди них может оказаться решение, которое даст наибольшее значение целевой функции.

Решения этой системы лежат за ОДЗ, т.е. данная дополнительная задача не имеет, в нашем случае, решений.



Точка R3 - это точка максимума. Она получилась пересечением двух прямых: .

Найдем координаты точки R3:

Точка максимума R3 (7,6;7).

Fmax=260,4

Получившиеся значения не являются целочисленными, следовательно, необходимо разбиение вспомогательной задачи 1.3 на еще две задачи.

рассмотрим последнюю дополнительную задачу:



Точка максимума R4 (9;6) лежит на пересечении двух прямых: х1=9 и х2=6, отсюда целевая функция будет принимать значение 258. Получившиеся значения являются целочисленными.

Разбиваем вспомогательную задачу 1.3 на две вспомогательные задачи.



Точка максимума R5 находится на пересечении прямых: и . Отсюда , а

Fmax= 260,25

Условие целочисленности не соблюдено, следовательно, необходимо разбиение. проектирование имитационный моделирование надежность

Решений нет.

Разбиваем задачу 1.3.1 на две вспомогательные подзадачи.



Получаем, что точка R5 (7;7). Fmax=252 Значения являются целочисленными.

Получаем, что точка R6 (6;8) - точка максимума находится на пересечении прямых: и . Следовательно, ,

Fmax=260. Значения являются целочисленными.

1.1 Fmax= , .	1.2 нет решений	1.3 Fmax= .	1.4 Fmax= , .

1.3.1 Fmax= .	1.3.2 нет решений

1.3.1.1 Fmax= .	1.3.1.2 Fmax= .

Наибольшее значение целевой функции Fmax=260 достигается при , .

Таким образом, max суммарная производительность всех закупочных станков 260 изд/час будет достигнуто, если у фирмы А приобрести 6 станков, а у фирмы В - 8 станков.

4.3 Комплексный анализ управления решениями по абсолютным и относительным критериям

Предположим, что администрации компании необходимо установить еженедельную программу производства фасонных отливок А и В, которая дает максимум чистого дохода на 1 руб. всех сделанных затрат.

Отливка А гарантировано реализуется по цене 519,43 руб., а В по цене 194,86 руб.

Расход электроэнергии на отливку А=3 , а на отливку В=2.

Расход угля на А=2 ., а на В=4 . Минимальные затраты электроэнергии и угля, при которых не произойдет остановка литейного производства составляют соответственно 500 и 600 . Недельный запас компании: 1000 - электроэнергии и 1200 - угля.

Себестоимости отливок А и В без учета заработной платы: А=334,2 руб. и В=100 руб. Сумма оплаты труда рабочих и служащих компании вместе с другими накладными расходами 13,16 тыс. рублей в неделю.

Администрация компании желает исследовать еженедельную программу выпуска изделий А и В по 3 критериям:

1. Максимальный объем продаж;

2. Минимальные затраты;

3. Максимум чистого дохода на рубль всех сделанных затрат.

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть x1 - программа выпуска изделий А,

x2 - программа выпуска изделий В.

Под производственной программой будем понимать вектор искомых неизвестных . Эта программа должна удовлетворять следующей системе ограничений:

- Ограничения по расходам электроэнергии:

- Ограничение на расход угля:



Приведем полученную систему ограничений к стандартному виду:

Целевая функция этой модели выражает ожидаемый максимальный объема продаж:

Найдем область допустимых значений:

	0	400
	500	-100

	0	200
	250	-50

	0	600
	300	0



	0	300
	150	0

Проведем линию уровня:

( )

Найдем координаты вектора-градиента:

и

Нарисуем график для нахождения области допустимых значений по имеющимся ограничениям.

Точка, приводящая к максимуму целевой функции (R), лежит на пересечении линии 1-го ограничения и x1, то есть точка R имеет следующие координаты:



R (333,33;0), при ней целевая функция равна

Целевая функция второй модели выражает себестоимость выпущенной продукции и заработную плату рабочих, которые минимизируются:

Рисуем на первом графике вторую линию уровня ( ):

,

Точка, приводящая к минимизации затрат лежит на пересечении прямой второго ограничения с x2. Найдем ее координаты:

Эту точку назовем L=(166,7;0), при которой целевая функция равна:

Выразим предполагаемый чистый доход компании за неделю, как разницу ожидаемой выручки и ожидаемых затрат:

Эквивалентная замена дробно-линейной модели:

Целевая функция 3-ей модели является нелинейной и рассчитывает отношение чистого недельного дохода ко всем затратам компании, приходящихся на эту неделю:

Полученная экономико-математическая модель представляет собой задачу дробно-линейного программирования. Введем замену переменной (для сведения задачи к эквивалентной задаче линейного программирования)

:

Умножим имеющиеся ограничения на , что сохраняет направление всех неравенств и сделаем заявленную замену переменной, при этом из условия получим дополнительное ограничение:



Выразим из дополнительного ограничения

Исключим переменную из других ограничений:

В стандартной форме записи задача будет иметь вид:

Строим график.

Рисуем линию уровня ( )

Точка, дающая максимум целевой функции F, лежит на пересечении прямых, отображающие ограничения 1 и 3, чтобы найти точные значения этой точки М, решим систему уравнений:

,

Точка М (2,01;1,97) - точка max, при ней функция достигает значения:

F=0,51923*2,01+0,19486*1,97-1=0,43.

Для перехода к исходным переменным х1 и х2 найдем значение переменной

Максимизация по дробно-линейному критерию показывает, что максимум отношения дохода на рубль затрат Fmax=0,43 возможен при программе .

Сведем для анализа результаты решений в таблицу №1.



Таблица №1

Показатели недельной Производственной программы компании	При max объеме продаж	При min совокупных затрат	При max чистом доходе на 1 руб. затрат
Объем выпускаемой продукции А	333	0	201
Объем выпускаемой продукции В	0	250	197
Уровень объема продукции, руб.	173143	48715	142858
Уровень совокупных затрат руб.	124548	38160	100000
Уровень чистого дохода на 1 руб. зат.	0,39	0,28	0,43

4.4 Алгоритм решения построения календарного плана с минимальной продолжительностью проекта

Присвоим всем работам сетевого графика начальные индексы продолжительностью равной , где i=1,n. Рассмотрим каждую работу i. Обозначим через множество работ, предшествующих работе i, т.е. в сетевом графике существует дуга ij, для j. Обозначим через число дуг, заходящих в вершину i. Рассмотрим все подмножества из элементов.

Для каждого подмножества, содержащего вершину вычисляем:

.

Определим новые индексы:

- новый индекс вершины i.

Алгоритм заканчивается, когда все индексы установятся. Конечность алгоритма следует из того, что последовательность индексов для каждого и является возрастающей. С другой стороны ограничивается величинами .

Решение:

1 шаг.

Присвоим всем работам сетевого графика начальные индексы продолжительностью равной , где i=1,n.

2 шаг.

Рассмотрим вершины:

Вершина 3: Так как в нее заходит только одна дуга (4-3), то для определения индекса у данной вершины будем рассматривать два случая:

- если соответствующая зависимость (4-3) не учитывается, то продолжительность работы будет равна:

,

- если эта зависимость учитывается, то продолжительность работ будет равна:

.

Из полученных данных выбираем минимальное значение. Оно и будет являться индексом для вершины 3. Оба значения одинаковые.

.

Вершина 4: Так как в нее заходит только одна дуга (5-4), то для определения индекса у данной вершины будем рассматривать два случая:

- если соответствующая зависимость (5-4) не учитывается, то продолжительность работы будет равна:

,

- если эта зависимость учитывается, то продолжительность работ будет равна:

.

Из полученных данных выбираем минимальное значение. Оно и будет являться индексом для вершины 4.

.

Вершина 5: Так как в нее заходит только одна дуга (9-5), то для определения индекса у данной вершины будем рассматривать два случая:

- если соответствующая зависимость (9-5) не учитывается, то продолжительность работы будет равна:

,

- если эта зависимость учитывается, то продолжительность работ будет равна:

.

Из полученных данных выбираем минимальное значение. Оно и будет являться индексом для вершины 5.

.

Вершина 6: Так как в нее заходит только одна дуга (4-6), то для определения индекса у данной вершины будем рассматривать два случая:

- если соответствующая зависимость (4-6) не учитывается, то продолжительность работы будет равна:

,

- если эта зависимость учитывается, то продолжительность работ будет равна:

.

Из полученных данных выбираем минимальное значение. Оно и будет являться индексом для вершины 6.

.

Вершина 7: Так как в нее заходит только одна дуга (6-7), то для определения индекса у данной вершины будем рассматривать два случая:

- если соответствующая зависимость (6-7) не учитывается, то продолжительность работы будет равна:

,

- если эта зависимость учитывается, то продолжительность работ будет равна:

.

Из полученных данных выбираем минимальное значение. Оно и будет являться индексом для вершины 7.

.

Вершина 9: Так как в нее заходит только одна дуга (10-9), то для определения индекса у данной вершины будем рассматривать два случая:

- если соответствующая зависимость (10-9) не учитывается, то продолжительность работы будет равна:

,

- если эта зависимость учитывается, то продолжительность работ будет равна:

.

Из полученных данных выбираем минимальное значение. Оно и будет являться индексом для вершины 9.

.

Вершина 10: Так как в нее заходит только одна дуга (1-10), то для определения индекса у данной вершины будем рассматривать два случая:

- если соответствующая зависимость (1-10) не учитывается, то продолжительность работы будет равна:

,

- если эта зависимость учитывается, то продолжительность работ будет равна:

.

Из полученных данных выбираем минимальное значение. Оно и будет являться индексом для вершины 10.

.

Вершина 2. В нее заходит две дуги (3-2) и (7-2). В этом случае будем рассматривать четыре разных варианта: когда зависимости обе учитываются, обе не учитываются, (3-2) учитывается, а (7-2) не учитывается и, наоборот, (3-2) не учитывается, а (7-2) учитывается:

Минимальное значение равно 10, а значит, что индекс вершины 2 равен 10.

Вершина 8. В нее заходит две дуги (7-8) и (2-8). В этом случае будем рассматривать четыре разных варианта: когда зависимости обе учитываются, обе не учитываются, (7-8) учитывается, а (2-8) не учитывается и, наоборот, (7-8) не учитывается, а (2-8) учитывается:

Минимальное значение равно 13, а значит, что индекс вершины 8 равен 13.

Вершина 1. В нее заходит две дуги (2-1) и (8-1). В этом случае будем рассматривать четыре разных варианта: когда зависимости обе учитываются, обе не учитываются, (2-1) учитывается, а (8-1) не учитывается и, наоборот, (2-1) не учитывается, а (8-1) учитывается:

Минимальное значение равно 10, а значит, что индекс вершины 1 равен 10.

Так как индексы установлены, то алгоритм закончен.

4.5 Построение календарного плана с минимальными дополнительными затратами (метод дихотомического программирования)

Решение:

Применим метод дихотомического программирования к решению данной задачи.

Рассмотрим сетевой график без контуров, в котором некоторое множество Q зависимостей является мягкими (---). При построении дихотомического представления учитываются только моменты окончания тех работ j, которые связаны мягкими зависимостями хотя бы с одной работой, то есть существует работа i, такая что ij?Q (3, 6 и 7 работа).

Построим дихотомическое представление сетевого графика.

Построим соответствующие матрицы для t3, t6 и t7.

0 7	7 7	2 16
3 0	7 0	5 12
t1 t2	5 0	0 9

Опишем метод построения этой матрицы для мягких зависимостей.

Возможны 4 варианта:

9 0	12 0	8 6	8 8
t4 t3	7 0	7 6	4 8

- Зависимости (1-3) и (2-3) учитываются:

Тогда момент завершения работы 3 равен: . Дополнительных затрат нет.

- Зависимость (1-3) учитывается, а зависимость (2-3) не учитывается:

Тогда момент завершения работы 3 равен: . Дополнительные затраты равны 9.

- Зависимость (1-3) не учитывается, а зависимость (2-3) учитывается:

Тогда момент завершения работы 3 равен: . Дополнительные затраты равны 7.

- Обе зависимости не учитываются:

Тогда момент завершения работы 3 равен: . Дополнительные затраты равны 7+9=16.

0 9	14 9	12 15	9 17
9 0	16 0	16 6	16 8
t5 t3	7 0	5 6	2 8



Теперь можно решить задачи оптимизации дополнительных затрат для любого T.

1. Возьмём T ? 16

Из матрицы t7 получаем, что t5=9, t3=7, следовательно, зависимость (5;7) учитывается;

Из матрицы t3 получаем, что при t3=7, t1=3, t2=5. Т.е. зависимости (1;3) и (2;3) учитываются;

Из матрицы t6 получаем: t3=7, t4=9, т.е. зависимость (3;6) учитываются

Таким образом, учитываются все зависимости и дополнительные затраты равны S(16)=0.

2. Возьмём T ? 14

Из матрицы t7 получаем, что t5=0, t3=7 - это удовлетворяет ограничению T ? 14. Зависимость (5;7) не учитывается;

Из матрицы t6 получаем, что при t3=7, t4=9.

Из матрицы t4 получаем, что при t3=7, t1=3, t2=5.

Таким образом, учитываются все зависимости, кроме (5;7) и дополнительные затраты равны S(14)=9.

3. Возьмём T ? 12

Из матрицы t7 получаем, что t5=0, t3=5, следовательно, зависимость (5;7) не учитывается;

Из матрицы t6 получаем, что при t3=5, t4=9,т.е. зависимость (3;6) учитывается;

Из матрицы t4 получаем: t2=0, t1=3, т.е. зависимость (2;3) не учитывается, а зависимость (1;3) учитывается.

Дополнительные затраты равны S(12)=9+9=18.

4. Возьмём T ? 9

Из матрицы t7 получаем, что t5=0, t3=2, следовательно, зависимость (5;7) не учитывается;

Из матрицы t6 получаем, что при t3=2, t4=9,т.е. зависимость (3;6) учитывается;

Из матрицы t4 получаем, что при t3=2, t2=0, t1=0, т.е. обе зависимости не учитываются.

Дополнительные затраты равны S(9)=7+9+9=25.

4.6 Построение календарного плана заданной продолжительности при минимальном увеличении затрат

Рассмотрим сетевой график без контуров, в котором некоторое множество Q зависимостей является мягкими.

Метод дихотомического программирования можно обобщить на задачу 7. Изменение только в том, что при формировании матриц дихотомического представления необходимо учитывать увеличение продолжительности работ.

Примем следующее значение aij для мягких зависимостей:

(i,j)	(1;3)	(2;3)	(3;6)	(5;7)
aij	7	9	9	6

0 7	15 7	18 16
3 0	7 0	14 9
t1 t2	5 0	0 9

9 0	10 0	26 4,5
t4 t3	7 0	14 9,5
0 9	19 9	36 13,5
9 0	16 0	30 4,5
t5 t3	7 0	14 4,5



Решим задачу:

Т < 16

Из матрицы t7 получаем: t3=7, t5=9, следовательно, зависимость (5;7) учитывается;

Из матрицы t6 получаем: t4=9, t3=7, следовательно, зависимость (3;6) учитывается;

Из матрицы t3 получаем: t1=3, t2=5, следовательно, зависимости (2;3) и (1;3) - учитывается;

S16=0

По итогам, дополнительных затрат не оказалось, соответственно продолжительность не изменится.



Заключение

В данном курсовом проекте мы исследовали различные операции в социально-экономических системах и научились решать задачи о раскрое материала, что важно уметь делать в повседневной практике строительства, так как стоимость материалов составляет до 60% в структуре себестоимости строительной продукции. Важно использовать ресурсосберегающие технологии, что позволит получать дополнительную прибыль за счет экономии материалов на этапе подготовки производства.

Также научились решать задачи целочисленного программирования, которые имеют большое применение в ситуациях, где управляемые переменные могут принимать лишь вполне определённые значения. Целочисленное программирование имеет большое применение в таких задачах как распределение капиталовложения, задача коммивояжёра, задача о ранце, задача о назначениях и другие. Для ее решения мы использовали метод ветвей и границ, который заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определённым признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Провели анализ модели расчета производственной программы по разным экономическим критериям ( абсолютный и относительный), рассмотрели оптимизационные модели управления проектами при различных зависимостях между работами, решили, используя метод дихотомического программирования, который заключается в последовательном вычислении значений функций двух переменных.

А также научились распределять единицы проектирования во времени в строительных организациях. Данное распределение позволяет получать оптимальные планы работы всей проектной организации.



Список литературы

1. Базилевич С.В., Чулкова И.Л., Кузнецов С.М., Сироткин Н.А. Повысим надёжность строительства объектов // Механизация строительства. 2009. № 6. С. 12 - 14

2. Баркалов С.А., Буркова И.В., Колпачев В.Н., Потапенко А.М. Модели и методы распределения ресурсов в управлении проектами ? М. 2004 (Научное издание / Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН).

3. Баркалов С.А., Курочка П.Н., Федорова И.В. Исследование операций в экономике: лаб. Практикум/ Воронеж.гос. арх.-строит. ун-т. - Воронеж, 2006 - 343 с.

4. Шалягин, Г.Л. Организационно-технологическая надежность: метод. пособие по проведению практических занятий / Г.Л. Шалягин, И.В. Потапова - Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2006.- 52 с

Размещено на Allbest.ru

...