Компьютерное моделирование

Размещено на http://allbest.ru

Решение уравнений в работе происходит 3 методами (Метод Гаусса, Метод Крамера и матричным методом решения СЛАУ). Рассмотрим каждый метод и подставим свои значения для их решения каждым методом. И в конце сделаем проверку, при правильном решении значения должны быть одинаковыми в каждом методе.

Решение производиться в Excel и после делаю отчет в Worde.

1. Метод Гаусса - это просто

уравнение компьютерный моделирование гаусс

Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно - просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении - портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА. Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного - всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1)Иметь единственное решение. 2)Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной).

Метод Гаусса - наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья Несовместные системы и системы с общим решением. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений? и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:

По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла - это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы - это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы - это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае:

Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай - одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу

В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них:

.

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка - это строка, в которой одни нули.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу .

Здесь целесообразно первую строку разделить на -3, а вторую строку - умножить на 2:

.

Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: .

Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на -2:

,

и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на -2:

.

Теперь первую строку можно разделить «обратно» на -2:

Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ - не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на -2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку:

»

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на -2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (-2) = 0. Записываю результат во вторую строку:

»

«Теперь второй столбец. Вверху -1 умножаю на -2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку:

»

«И третий столбец. Вверху -5 умножаю на -2: . Ко второй строке прибавляю первую: -7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку:

»

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем. Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений ! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на -2. И снова: почему первую строку умножаем именно на -2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований - привести матрицу к ступенчатому виду:

.

В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении - снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Ответ:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

а) Решение системы линейных уравнений методом Гауса своего варианта.

Рис.1 Решение методом Гауса в программе Excel

2. Метод Крамера (правило Крамера) -- метод решения с количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера:

где Д - определитель матрицы системы,

Д_i - определитель матрицы системы, в котором вместо i-го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы. Когда D?0, значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера:

;;;

б) Решение системы линейных уравнений методом Крамера своего варианта.

Рис.3 Решение СЛАУ методом Крамера в Excel

Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.

Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.

Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:

Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):

Значит, её легко перевести в матричную форму:

AX=B, где A -- основная матрица системы, B и X -- столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A^?1 -- обратную матрицу к матрице A: A^?1(AX)=A^?1B.

Т.к. A^?1A=E, значит, X=A^?1B. Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть не вырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A:

detA?0.

Для однородной системы линейных уравнений, т.е. если вектор B=0, выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле . Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы A^?1.

Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A^?1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю. Невзирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.

в) Решение СЛАУ матричным методом своего варианта.

Рис. 6 Формулы решение СЛАУ матричным методом

Проверка:

Рис.3 Проверка решений

Вывод: в ходе решения все три метода показали одинаковый результат. При проверке результаты выявлен, как верный.

Размещено на Allbest.ru