Контрольные вопросы

Какое Правило счета присуще сложению в двоичной системе?

Что необходимо сделать, если при сложении получился избыток?

Как осуществляется умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления?

Что необходимо сделать, если при вычитании разряд уменьшаемого числа равен нулю?

Существует ли какая-нибудь разница между осуществлением деления в десятичной системе счисления и любой другой? Если да, то какая?

Задание

Оформление отчета

Название, цель работы;

Задание;

Письменные ответы на контрольные вопросы;

Краткий вывод по работе.

3. «Представление целых чисел в компьютере»

При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

А и В положительные.

При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.

Например,

Получен правильный результат.

А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А.

Например,

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются:

1 0000111= -710.

А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.

Например,

Компьютер исправляет полученный первоначальный неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряд в младший разряд суммы.

А и В отрицательные.

Например,

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1110 вместо обратного кода числа -1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

При переводе результата в прямой код биты цифровой части инвертируются: 1 0001010= -1010.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведённой для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа.

Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2n-1, где n - количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2n-1=27=128).

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210=101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше либо равна 2n-1.

Например,

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:

А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А.

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица:

1 0000110+1=1 0000111=-710.

А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

А и В отрицательные.

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов - образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливаемым сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нём поочерёдно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершению операции - окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нём число уменьшается, пока не достигнут нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путём многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

Представление вещественных чисел

Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называется числа, имеющие дробную часть.

При их написании вместо запятой принято писать точку. Так, например, число 5 - целое, а числа 5.1 и 5.0 - вещественные.

Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть, как очень маленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 можно в этой форме представить так:

1.25*100=0.125*101=0.0125*102=… ,

12.5*10-1=125.0*10-2=1250.0*10-3=… .

Если «плавающая» точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:

Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание - в десятичной системе.

Примеры нормализованного представления:

Вещественные числа в компьютерах различных типах записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи - с использованием четырёх, шести или десяти байтов.

В качестве примера приведём характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами.

Из этой таблицы видно, что форма представления чисел с плавающей точкой позволяет записывать числа с высокой точностью из весьма широкого диапазона.

При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в четырёхбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.

Число -0.12510= -0.0012= -0.1*2-10 (отрицательный порядок записан в дополнительном коде):

Арифметические действия над нормализованными числами

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

При сложении и вычитании чисел с плавающей точкой они предварительно выравниваются таким образом, чтобы порядок большего по величине числа становился порядком результата.

Рассмотрим такой пример.

Необходимо выполнить операцию алгебраического сложения над следующими двоичными числами

X = 0.11000001•211 и Y = -0.10000110•2110.

Допустим, под мантиссу в машине отведено 9 разрядов (8 - цифровые разряды, 1 - под знаковый разряд) и под порядок - 4 разряда (3 разряда - величина порядка, 1 разряд - знак порядка), т.е. заданные числа в прямом коде можно записать так:

Процесс сложения заданных чисел состоит из следующих шагов:

1-й шаг - выравнивание порядков для того, чтобы порядок числа X стал равен большему порядку числа Y:

X > 0 110 0 00011000

2-й шаг - перевод обеих мантисс в обратный код:

мантисса числа X 0 00011000

мантисса числа Y 1 01111001

3-й шаг - сложение мантисс:

0 00011000

+ 1 01111001

1 10010001

4-й шаг - перевод результата операции в прямой код:

1 01101110

5-й шаг - нормализация результата, сдвиг мантиссы влево на один разряд:

1 11011100

порядок уменьшается на единицу, вместо 110 становится равным 101.

6-й шаг - окончательно получаем результат, который расположится в ячейке таким образом:

? > 0 101 1 11011100

Эта запись выражает число следующего вида:

- 0. 11011100•2+101

При умножении порядки двух чисел складываются, а мантиссы перемножаются в соответствии с соотношением

x•y=2Px+Py•(mx•my)

При делении чисел о плавающей запятой порядки вычитаются, а мантиссы делятся, т.е.х/у=2Px-Py•(mx/my).

Если мантисса m результата арифметических операций умножения и деления выходит за пределы, указываемые неравенством (4), то она подвергается нормализации.В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.

В случае необходимости полученный результат нормализуется путём сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111*2-1 и 0.11011*210. Разность порядков слагаемых здесь равна трём, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*210 и 0.11101*21. Разность порядков уменьшается и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101*20.

Умножение

Пример 3. Выполним умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101*2101)*(01001*211)=(0.11101*0.1001)*2(101+11)=0.100000101*21000

Деление

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

0.1111*2100 : 0.101*211=(0.1111 : 0.101)*2(100-11)=0.11*210

Использовать представление чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.

Контрольные вопросы

Какая разница между целыми числами без знака и со знаком?

Для чего предназначены обратный и дополнительный коды?

Как из прямого кода получить обратный и дополнительный?

В чем особенность получения обратного и дополнительного кодов отрицательных чисел?

Как получить модифицированные обратный и дополнительный коды?

Для чего предназначены вещественные числа и как они записываются?

Что такое нормализованное представление вещественных чисел и для чего оно используется?

Задание

Оформление отчета

Название,...