Основы математической теории планирования эксперимента
Обзор математических методов в проектировании технических систем. Регрессионный анализ данных. Получение математической модели по результатам многофакторного пассивного эксперимента с помощью программы "Z1 + Z2.exe". Анализ статистической значимости.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.05.2016 |
| Размер файла | 445,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Основы математической теории планирования эксперимента
1.Математические методы в проектировании технических систем
математический модель технический программа
Цель: сгенерировать с помощью ЭВМ результаты опытов однофакторного пассивного эксперимента и, используя их, получить математическую модель объекта.
1. C помощью программы «Z1 + Z2.exe», сгенерируем результаты однофакторного эксперимента, таблицу со значениями x и y.
Рис.1.1. Результаты однофакторного эксперимента
Полученные значения занесём в таблицу 1.1
Таблица 1.1
|
Номер опыта |
Значение xi |
Экспериментальное значение yi |
Значение yрасч i, подсчитанное по модели |
Разность Дyi |
|||
|
y=ax+b |
y=bxa, b>0 |
y=beax, b>0 |
|||||
|
1 |
90,7 |
90,1 |
89,422059 |
89,95206 |
88,89206 |
0,68 |
|
|
2 |
97 |
87,4 |
87,974118 |
88,50412 |
87,44412 |
0,57 |
|
|
3 |
103,3 |
84,3 |
86,526176 |
87,05618 |
85,99618 |
2,23 |
|
|
4 |
109,6 |
84,4 |
85,078235 |
85,60824 |
84,54824 |
0,68 |
|
|
5 |
115,9 |
85,9 |
83,630294 |
84,16029 |
83,10029 |
2,27 |
|
|
6 |
122,2 |
82,4 |
82,182353 |
82,71235 |
81,65235 |
0,22 |
|
|
7 |
128,5 |
78,1 |
80,734412 |
81,26441 |
80,20441 |
2,63 |
|
|
8 |
134,8 |
82,4 |
79,286471 |
79,81647 |
78,75647 |
3,11 |
|
|
9 |
141,1 |
78,2 |
77,838529 |
78,36853 |
77,30853 |
0,36 |
|
|
10 |
147,4 |
79,1 |
76,390588 |
76,92059 |
75,86059 |
2,71 |
|
|
11 |
153,7 |
72,8 |
74,942647 |
75,47265 |
74,41265 |
2,14 |
|
|
12 |
160 |
73,3 |
73,494706 |
74,02471 |
72,96471 |
0,2 |
|
|
13 |
166,3 |
72,4 |
72,046765 |
72,57677 |
71,51677 |
0,35 |
|
|
14 |
172,6 |
69,1 |
70,598824 |
71,12882 |
70,06882 |
1,5 |
|
|
15 |
178,9 |
70,4 |
69,150882 |
69,68088 |
68,62088 |
1,25 |
|
|
16 |
185,2 |
66,7 |
67,702941 |
68,23294 |
67,17294 |
1,00 |
Для расчёта a и b используем следующие формулы:
2. На прямоугольную координатную сетку нанесём точки с координатами (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) и по виду диаграммы разброса (корреляционного поля) параметров х и y определимся с выбором трёх элементарных функций, с помощью которых можно описать зависимость между y и x. В число этих функций обязательно включим функцию вида y = ax + b (линейную модель).
Диаграмма.1.1. Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров x и y.
Выбираем линейную функцию:
3. Находим коэффициенты
|
Коэффициенты |
||
|
Y-пересечение |
109,7887982 |
|
|
Переменная х1(90,7) |
-0,22675737 |
Полученные значения занесём в таблицу 1.2
Таблица 1.2
|
Модель |
Коэффициент a |
Коэффициент b |
Критерий Фишера |
Решение о пригодности модели |
Относительная ошибка Д,% |
|||
|
Значение |
Значение |
Fрасч |
Fкр |
|||||
|
y=ax+b |
-0,23 |
110 |
45,08 |
291 |
20,1 |
Пригодна |
1,41 |
4. С помощью F-статистики Фишера выяснить соответствие линейной модели экспериментальным данным (принять г=0,95).
По условию F>Fкр - модель статистически значимая
Полученные значения занесём в таблицу 1.2
5. Выполним проверку статистической значимости коэффициентов a и b
Табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее доверительной вероятности г = 0,95 при числе степеней свободы f=n-2=16-2=14, составляет tг,n-2=2,14.
Оба коэффициента превышают табличное значение критерия Стьюдента и признаются статистически значимыми.
Полученные значения записываем в таблицу 1.2
6. В случае статистической значимости коэффициента a, независимо от принятого решения по коэффициенту b, по формуле подсчитаем коэффициент детерминации R2 и дать трактовку его значения. Если статистически незначимым окажется коэффициент a, то сделать вывод о степени корректности модели и наметить дальнейшие действия по получению модели.
Коэффициент детерминации R2 показывает, какая доля вариации отклика y объясняется изменениями фактора x. Чем ближе R2 к единице, тем лучше функция y=ц(x) описывает поведение отклика y.
7. Для выбранной нелинейной функции применим метод выравнивания, получим прямую линию и с помощью инструмента анализа Регрессия пакета Анализ данных программы Microsoft Excel определим вначале коэффициенты прямой линии. Затем по F-статистике Фишера выясним статистическую значимость этой линейной модели в целом и проверим статистическую значимость коэффициентов линейной модели. После чего с учётом преобразований, сделанных при выполнении выравнивания, наидём коэффициенты a и b искомой нелинейной функции и сделаем заключение о пригодности построенной нелинейной модели.
Применим метод выравнивания для показательной функции
Прологарифмировав равенство, получим
Введём обозначения . Получим
Уравнение есть уравнение прямой линии. Её коэффициенты a и B могут быть подсчитаны используя в качестве значений значения . Совокупность используется без изменения.
В результате коэффициент a определиться сразу, а коэффициент b определиться, как .
|
№ |
x |
y |
|
|
1 |
56,7 |
4,25 |
|
|
2 |
62 |
4,27 |
|
|
3 |
67,3 |
4,30 |
|
|
4 |
72,6 |
4,29 |
|
|
5 |
77,9 |
4,33 |
|
|
6 |
83,2 |
4,33 |
|
|
7 |
88,5 |
4,32 |
|
|
8 |
93,8 |
4,38 |
|
|
9 |
99,1 |
4,35 |
|
|
10 |
104,4 |
4,40 |
|
|
11 |
109,7 |
4,41 |
|
|
12 |
115 |
4,44 |
|
|
13 |
120,3 |
4,48 |
|
|
14 |
125,6 |
4,48 |
|
|
15 |
130,9 |
4,48 |
|
|
16 |
136,2 |
4,52 |
Применяем регрессионный анализ данных, получаем коэффициенты
по F-статистике Фишера выясним статистическую значимость этой линейной модели в целом
F>Fкр - модель статистически значимая
Проверим статистическую значимость коэффициентов
Оба коэффициента превышают табличное значение критерия Стьюдента и признаются статистически значимыми.
С учётом преобразований, сделанных при выполнении выравнивания, находим коэффициенты a и b искомой нелинейной функции
Модель адекватна и пригодна для описания зависимости значений y от x
Полученные значения записываем в таблицу 1.2
8. Повторим п.7 для другой нелинейной модели, из числа выбранных при выполнении п. 2.
Применим метод выравнивания для показательной функции
Предположим, что все значения и положительны. Прологарифмировать равенство при условии , получим
Обозначим: , тогда равенство примет вид
т.е. задача свелась к отыскиванию параметров a и B, линейной функции. Однако в данном случае в качестве значений и необходимо использовать значения и .
Значение коэффициента a функции будет получен сразу, а значение коэффициента b - с помощью выражения .
|
№ |
x |
y |
|
|
1 |
4,04 |
4,25 |
|
|
2 |
4,13 |
4,27 |
|
|
3 |
4,21 |
4,30 |
|
|
4 |
4,28 |
4,29 |
|
|
5 |
4,36 |
4,33 |
|
|
6 |
4,42 |
4,33 |
|
|
7 |
4,48 |
4,32 |
|
|
8 |
4,54 |
4,38 |
|
|
9 |
4,60 |
4,35 |
|
|
10 |
4,65 |
4,40 |
|
|
11 |
4,70 |
4,41 |
|
|
12 |
4,74 |
4,44 |
|
|
13 |
4,79 |
4,48 |
|
|
14 |
4,83 |
4,48 |
|
|
15 |
4,87 |
4,48 |
|
|
16 |
4,91 |
4,52 |
Применяем регрессионный анализ данных, получаем коэффициенты
по F-статистике Фишера выяснить статистическую значимость этой линейной модели в целом
F>Fкр - модель статистически значимая
Проверим статистическую значимость коэффициентов
Оба коэффициента превышают табличное значение критерия Стьюдента и признаются статистически значимыми.
С учётом преобразований, сделанных при выполнении выравнивания, находим коэффициенты a и b искомой нелинейной функции
Модель адекватна и пригодна для описания зависимости значений y от x
Полученные значения записываем в таблицу 1.2
9. Для адекватных моделей рассчитать характеристику точности: среднюю относительную ошибку (в процентах) по формуле
.
Для линейной функции
Для показательной функции
Для степенной функции
Полученные значения записываем в таблицу 1.2
По результатам исследования, очевидно, что показательная функция наиболее точно описывает зависимость x от y. показательной функции, S=26,99.
Модель адекватна и пригодна для использования.
Коэффициент детерминации линейной функции R2=0,95
2.Получение математической модели по результатам многофакторного пассивного эксперимента
1. C помощью программы «Z1 + Z2.exe» сгенерируем исходные данные - результаты пятифакторного эксперимента.
|
Номер опыта |
Фактор xj |
Экспериментальное значение y |
|||||
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|||
|
1 |
108,2 |
121,2 |
111,8 |
141,8 |
113,8 |
171,1 |
|
|
2 |
110,9 |
136 |
168,6 |
123,8 |
107,8 |
171,7 |
|
|
3 |
109,3 |
121,4 |
113,7 |
142,6 |
114 |
172,4 |
|
|
4 |
111,1 |
137 |
168,6 |
123,9 |
108,1 |
173,8 |
|
|
5 |
111,6 |
121,8 |
117,9 |
144,3 |
114,3 |
175,1 |
|
|
6 |
111,6 |
139,4 |
168,7 |
124,1 |
109,1 |
177,8 |
|
|
7 |
115,2 |
122,4 |
124,7 |
146,9 |
114,7 |
179,1 |
|
|
8 |
112 |
141,4 |
168,8 |
124,4 |
109,9 |
181,8 |
|
|
9 |
120,2 |
123,2 |
134,7 |
150,3 |
115,3 |
184,5 |
|
|
10 |
112,5 |
144 |
168,9 |
124,6 |
110,8 |
187,2 |
|
|
11 |
126,9 |
124,1 |
149,4 |
154,3 |
116,1 |
191,3 |
|
|
12 |
113,2 |
147,6 |
169 |
125 |
112,2 |
194 |
|
|
13 |
133,8 |
125,1 |
166,2 |
158,9 |
116,9 |
198 |
|
|
14 |
114 |
151,8 |
169,2 |
125,4 |
113,8 |
203,4 |
|
|
15 |
145,7 |
126,6 |
199,6 |
165,9 |
118,1 |
208,8 |
|
|
16 |
116,3 |
164,7 |
169,6 |
126,7 |
118,5 |
231,7 |
|
|
17 |
169,4 |
129,3 |
286,7 |
179,4 |
120,2 |
227,7 |
|
|
18 |
115,6 |
160,6 |
169,5 |
126,3 |
117 |
222,3 |
|
|
19 |
157 |
128 |
237,3 |
172,8 |
119,2 |
218,2 |
|
|
20 |
114,8 |
156,2 |
169,4 |
125,9 |
115,4 |
212,8 |
|
|
21 |
145,7 |
126,6 |
199,6 |
165,9 |
118,1 |
208,8 |
|
|
22 |
114 |
151,8 |
169,2 |
125,4 |
113,8 |
203,4 |
|
|
23 |
133,8 |
125,1 |
166,2 |
158,9 |
116,9 |
198 |
|
|
24 |
119,2 |
182,4 |
170,2 |
128,2 |
105,2 |
194 |
|
|
25 |
126,9 |
124,1 |
149,4 |
154,3 |
106,1 |
191,3 |
|
|
26 |
118,5 |
178 |
170,1 |
127,9 |
105,1 |
187,2 |
|
|
27 |
120,2 |
123,2 |
134,7 |
150,3 |
105,3 |
184,5 |
|
|
28 |
118 |
174,8 |
170 |
127,6 |
105,1 |
181,8 |
|
|
29 |
115,2 |
122,4 |
124,7 |
146,9 |
104,7 |
179,1 |
|
|
30 |
117,6 |
172,4 |
169,9 |
127,4 |
105 |
177,8 |
2. С помощью инструмента анализа Корреляция пакета Анализ данных программы Microsoft Excel определим коэффициенты парной корреляции между факторами. Используя полученную корреляционную матрицу, уточним, имеются ли пары параметров, образованные из факторов xi(i=1,2, …, 5), для которых |r|?0,8. При необходимости из каждой пары сильно коррелированных параметров для процедуры регрессионного анализа оставим по одному.
|
Столбец 1 |
Столбец 2 |
Столбец 3 |
Столбец 4 |
Столбец 5 |
y |
||
|
Столбец 1 |
1 |
||||||
|
Столбец 2 |
-0,2663435 |
1 |
|||||
|
Столбец 3 |
0,7833489 |
0,18929539 |
1 |
||||
|
Столбец 4 |
0,84516408 |
-0,6571501 |
0,34536365 |
1 |
|||
|
Столбец 5 |
0,51835172 |
-0,372954 |
0,3585422 |
0,51300686 |
1 |
||
|
y |
0,60487578 |
0,19330522 |
0,67595872 |
0,30828621 |
0,64556906 |
1 |
3. Используя результаты эксперимента, с помощью инструмента анализа Регрессия пакета Анализ данных программы Microsoft Excel получим точечные оценки коэффициентов a0, a1, …, ak уравнения множественной линейной регрессии вида . При этом фактор(ы), исключённый из регрессионного анализа в п. 2, не участвует в качестве исходных данных инструмента анализа Регрессия.
Уравнение регрессии после всех шагов анализа имеет вид:
y= a1x1 + a5x5= 0,45x1+1,23x5
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение расхода воздуха и необходимого давления греющего пара для непрерывно действующей противоточной сушилки, работающей по нормальному сушильному варианту. Порядок разработки программы, ее листинг. Проведение многофакторного эксперимента.
контрольная работа [383,0 K], добавлен 18.12.2012Определения и классификация математических моделей. Возможности системы, распечатка документа MathCAD. Описание математической модели. Анализ исходных данных и результатов. Графическая схема алгоритма и ее описание. Алгоритмический анализ задачи.
курсовая работа [621,4 K], добавлен 21.01.2013Анализ современного состояния общей проблемы синтеза моделей многофакторного оценивания и подходов к ее решению. Разработка математической модели метода компараторной идентификации модели многофакторного оценивания. Описание генетического алгоритма.
дипломная работа [851,7 K], добавлен 11.09.2012Метод решения математической модели на примере решения задач аналитической геометрии. Описание согласно заданному варианту методов решения задачи. Разработка математической модели на основе описанных методов. Параметры окружности минимального радиуса.
лабораторная работа [310,6 K], добавлен 13.02.2009Нахождение высоты конуса наименьшего объема, описанного около данного шара радиуса. Определение исследуемой функции, зависящей от одной переменной. Составление математической модели задачи. Построение графика заданной функции с помощью MS Excel.
задача [3,2 M], добавлен 15.02.2010Специфика работы терапевтического отделения. Разработка имитационной модели в среде AnyLogic. Выбор средств моделирования. Описание схемы моделирующего алгоритма. Организация вычислительного эксперимента над математической моделью, анализ его результатов.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.06.2015Методика, факторы, влияющие на определение области планирования. Определение значимости коэффициентов регрессии. Оценка адекватности модели, построение линий уровня. Матрица планирования эксперимента для центрального ортогонального композиционного плана.
контрольная работа [480,3 K], добавлен 11.03.2014Содержание термина "планирование эксперимента". Сущность метода наименьших квадратов. Разработка программы анализа статистической оценки качества проектируемой системы: составление и графическое представление алгоритма решения, листинг программы.
курсовая работа [4,1 M], добавлен 16.09.2011Разработка модели лифта, алгоритма и программы на языке JavaScript. Возможность использования модели при проектировании промышленных лифтов и отладки управляющих программ. Основные принципы построения модели лифта, выполнение вычислительного эксперимента.
курсовая работа [495,8 K], добавлен 09.06.2013Описание математической модели определения тока в электрической цепи с помощью решения системы алгебраических уравнений методом Гаусса. Описание и разработка блок-схемы программы. Ввод данных задачи, составление программы и анализ результатов решения.
контрольная работа [231,8 K], добавлен 15.08.2012Структура математической модели линейной задачи, алгоритм симплекс-метода. Разработка программы: выбор языка программирования, входные и выходные данные, пользовательский интерфейс. Описание программы по листингу, тестирование, инструкция по применению.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 31.05.2013Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование факторов. Ортогональное планирование эксперимента. Планы полного и дробного факторного эксперимента. Насыщенные планы первого порядка с единичной областью планирования, рототабельные планы.
курс лекций [1,0 M], добавлен 04.06.2009Разработка и программная реализация математической модели симметричного шифра "Пирамида". Проектирование программы, реализующей демонстрацию возможностей разработанного алгоритма и предоставляющей полноценный интерфейс пользователя по работе с ним.
дипломная работа [519,0 K], добавлен 19.06.2015Этапы построения математической модели статического объекта, использование полиномов Чебышева. Характеристика и основное предназначение программы Matlab. Анализ функциональной модели Брюле, Джонсоном и Клетским. Методы исследования динамических объектов.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 21.05.2012Общая характеристика и свойства системы Matlab - пакета прикладных программ для решения задач технических вычислений. Разработка математической модели в данной среде, программирование функций для задающего воздействия. Проектирование GUI-интерфейса.
курсовая работа [1023,2 K], добавлен 23.05.2013Разложение на простые сомножители. Понятия теории сравнений. Вычисление мультипликативного обратного. Существование конечного поля. Шифрование потока данных. Принцип работы RSA-криптосистемы. Криптографический анализ асимметричных систем шифрования.
дипломная работа [390,4 K], добавлен 14.08.2015Понятие математической модели, свойства и классификация. Характеристика элементов системы Mathcad. Алгоритмический анализ задачи: описание математической модели, графическая схема алгоритма. Реализация базовой модели и описание исследований MathCAD.
реферат [1,0 M], добавлен 20.03.2014Общее описание программы Statistica. Архитектура и интерфейс системы. Регрессионный анализ в Statistica. Решение задачи регрессионного анализа с помощью пакета анализа данных табличного процессора MS Excel. Многомерный дисперсионный анализ в SPSS.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 22.01.2013Обзор моделей анализа и синтеза модульных систем обработки данных. Модели и методы решения задач дискретного программирования при проектировании. Декомпозиция прикладных задач и документов систем обработки данных на этапе технического проектирования.
диссертация [423,1 K], добавлен 07.12.2010Практические навыки моделирования законов движения многосвязных механических систем на примере трехзвенного манипулятора. Основные этапы моделирования: исходная система; формирование исходных данных, геометрической, динамической и математической модели.
презентация [535,0 K], добавлен 25.06.2013
