Системы счисления

Размещено на http: //www. allbest. ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОУ ВПО ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ И ИНФОРМАЦИОННО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

РЕФЕРАТ ПО КУРСУ "Информатика"

ТЕМА: "Системы счисления"

Выполнила студентка 1 курса

Специальность «Менеджмент. Маркетинг»

ФИО Татарникова Нина Сергеевна

Москва 2013

Содержание

Введение

1. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления

2. Двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная СС

3. Правила перевода целых чисел

Литература

Введение

Тема реферата по курсу «Информатика-1» - «Системы счисления».

Цель написания реферата: Ознакомится с понятием системы счисления и классификацией; переводом чисел из одной системы счисления в другую.

1. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления

целый число алгебраический двоичный

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

Система счисления:

даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);

даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы - римская система счисления.

Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах очень громоздкая и алфавит системы чрезвычайно велик.

В вычислительной технике непозиционные системы не применяются. 3

Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра может принимать различные численные значения в зависимости от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих заданное число. Пример такой системы - арабская десятичная система счисления.

Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы.

В настоящее время позиционные системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем - это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Приведем примеры, где можно встретить употребление позиционных систем счисления:

двоичная в дискретной математике, информатике, программировании;

десятичная - используется повсеместно;

двенадцатеричная - счёт дюжинами;

шестнадцатеричная - используется в программировании, информатике;

шестидесятеричная - единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты.

2. Двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная СС

Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне.

Шестнадцатеричная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь - специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOS. Используемые знаки для представления числа - десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита - A, B, C, D, E, F.

Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь - неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа - цифры от 0 до 9.

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех четырех систем счисления представлено в таблице перевода:

Для различения систем счисления, в которых представлены числа, в обозначение двоичных и шестнадцатеричных чисел вводят дополнительные реквизиты:

для двоичных чисел - нижний индекс справа от числа в виде цифры 2 или букв В либо b (binary - двоичный), либо знак B или b справа от числа. Например, 1010002 = 101000b = 101000B = 101000B = 101000b;

для шестнадцатеричных чисел - нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H либо h (hexadecimal - шестнадцатеричный), либо знак H или h справа от числа. Например, 3AB16 = 3ABH = 3ABh = 3ABH = 3ABh.

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила. Они различаются в зависимости от формата числа - целое или правильная дробь. Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера. Двоичную цифру называют битом.

Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу ( 1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие. Большинство современных электронно-вычислительных машин используют в своей работе именно эту систему чисел.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе.

Восьмеричная система счисления - система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7

Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на триплет двоичных цифр.

Пример 1: 25418 = [ 28 | 58 | 48 | 18 ] = [ 0102 | 1012 | 1002 | 0012 ] = 0101011000012

В программировании для указания восьмеричного числа используется однобуквенный префикс O (Octal) или двухбуквенный &O. Например: O22.

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа)- позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.

Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему.

3. Правила перевода целых чисел

Результатом является целое число. Чтобы из десятичной системы счисления перевести в двоичную и шестнадцатеричную:

a. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;

b. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

c. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

d. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

e. Пример 2: Выполнить перевод числа 25 в двоичную систему счисления:

Пример 3: Выполнить перевод числа 393 в шестнадцатеричную 8 систему счисления:

Чтобы из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления перевести в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.

Пример 4: Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления.

1316 = 1*161 + 3*160 = 16 + 3 = 19.

Таким образом, 1316 = 19.

Пример 5: Выполнить перевод числа 100112 в десятичную систему счисления.

100112 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16+0+0+2+1 = 19.

Таким образом, 100112 = 19.

Чтобы из двоичной системы счисления перевести в шестнадцатеричную:

a. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

b. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей

Пример 6: Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления. Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. В соответствии с таблицей 00112 = 112 = 316 и 00012 = 12 = 116. Тогда 100112 = 1316.

Чтобы из шестнадцатеричной системы счисления перевести в двоичную:

a. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

b. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Пример 7: Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы 10 счисления в двоичную числа 0,2А16.

По таблице имеем 216 = 00102 и А16 = 10102. Тогда 0,2А16 = 0,001010102.

Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0,2А16 = 0,00101012.

С системами счисления также возможны операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Литература

1. Гашков С. Б. Системы счисления и их применение. - М.: МЦНМО, 2004.

2. Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987.

3. Л.З.Шауцукова, "Основы информатики в вопросах и ответах", Издательский центр "Эль-Фа", Нальчик, 1994

4. Учебник информатики, Калининградский Государственный Технический Университет http://www.klgtu.ru/students/literature/inf_asu/1740.html

Размещено на Аllbest.ru