Методы решения жестких и нежестких краевых задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы решения жестких и нежестких краевых задач

Москва



Актуальность проблемы.

Решение проблемы снижения веса конструкций связано с их усложнением и использованием тонкостенных элементов. Даже простейший вариантный способ конструктивной оптимизации требует параметрических исследований на ЭВМ с использованием численных методов решения краевых задач. Самыми известными среди них являются:

-конечно-разностные методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных аппроксимаций производных;

-различные модификации метода конечных элементов, метод Бубнова-Галеркина, метод Релея-Ритца, основу которых составляют аппроксимации решений дифференциальных уравнений конечными линейными комбинациями заданных функций: полиномов, тригонометрических функций и т.п.;

-методы численного определения интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений Рунге-Кутты, Вольтерра, Пикара и т.п.

Хотя всегда системы строятся по узловым точкам заданного интервала изменения аргумента, смысл решения этих систем совершенно различный. В конечно-разностных методах - это приближения к значениям решения дифференциальных уравнений в точках сетки. В методах с аппроксимациями решений - это коэффициенты представления приближенного решения. В методах с численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений - это приближенные их решения в точках интервала интегрирования для выбранного способа разделения переменных.

Широчайшее использование конечно-разностных методов для решения краевых задач строительной механики основано на их глубоко разработанной теории, достаточно полно изложенной в работах [12,13,24,27,66,92,93,117].

Основы теории различных модификаций метода конечных элементов представлены в книгах [81,82,96,121]. Применение метода конечных элементов для решения задач теории оболочек и пластин очень широкое. Оно показано работами [68,101,103,111,112,113].

Главным успехом этих двух методов является то, что на их основе построены универсальные алгоритмы и созданы пакеты прикладных программ расчета сложных пространственных силовых конструкций. Построенные вычислительные средства способны выявить поток сил в конструкции и, следовательно, самые напряженные ее элементы. Тем не менее, они требуют неоправданно высоких затрат усилий программиста и мощнейших вычислительных средств, когда ставится задача определения напряжений в местах их концентрации.

Основы теории и применения методов Бубнова-Галеркина и Релея-Ритца, предложенных ранее других, приводятся в работах [8,87,101,119]. Они обладают тем же недостатком, что и метод конечных элементов.

Методам численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравненийпосвященыработы [2,7,18,28,29,35,47,56,65,78,84], а их применению в строительной механике - работы [1,3,4,14,15,16,26,30,31,39-46,48-55,57-59,73- 75,77,79,84,95,97]. Наиболее очевидная эффективность их использования состоит в расчете отдельных частей сложных пространственных конструкций и их отдельных тонкостенных элементов с уточнением напряженно-деформированного состояния в местах его быстрого изменения. Эффективность определяется малыми затратами труда программиста, малыми затратами машинного времени и оперативной памяти ЭВМ.

В работах [10,26,56,61,63,90] предлагается матричная форма изложения теории дифференциальных уравнений и ее применение для решения краевых задач теории оболочек и строительной механики, которые использовались при работе над диссертацией.

Остальные работы списка литературы использовались как для построения теории переноса краевых условий, так и для обоснования эффективности использования такой теории для решения краевых задач теории пластин и оболочек.

Таким образом, самыми универсальными, получившими широкое применение, являются конечно-разностные методы и различные модификации метода конечных элементов. Однако, не всегда оправдано использование построенных на их основе мощных программных средств для исследования прочности отдельных наиболее нагруженных несущих элементов конструкций.

Для решения краевых задач механики деформирования тонкостенных элементов конструкций более эффективными являются методы, в основу которых заложено численное интегрирование дифференциальных уравнений. К ним относятся методы Абрамова, Годунова, Гельфанда-Локуциевского и т.п.

Таким образом, повышение эффективности известных численных методов, построение их модификаций и построение новых методов, является актуальной задачей исследований.

Целью настоящей работы являются повышение эффективности известных численных методов для решения задач деформирования оболочек и пластин, в основу которых положено численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, а также, построение их модификаций и построение новых методов.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Усовершенствован метод ортогональной прогонки С.К. Годунова,

2. Предложен метод «переноса краевых условий» (прямой вариант метода) для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,

3. Предложен метод «дополнительных краевых условий» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,

4. Предложен метод «половины констант» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,

5. Предложен метод «переноса краевых условий» (пошаговый вариант метода) для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,

6. Предложен простейший метод решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями без ортонормирования - метод «сопряжения участков интервала интегрирования», которые выражены матричными экспонентами,

7. Предложен простейший метод расчета оболочек составных и со шпангоутами.

8. Усовершенствован метод дифференциальной прогонки А.А. Абрамова.

9. Предложен метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений только с четными производными.

Достоверность основных научных результатов следует из математической строгости выкладок и преобразований при доказательствах научных положений, построении вычислительных процедур и из совпадения полученных и известных результатов решения краевых задач.

Практическая ценность работы состоит в том, что предлагаются:

Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К. Годунова, 3 метода для нежестких случаев краевых задач, 2 метода для жестких случаев краевых задач, 1 метод расчета оболочек составных и со шпангоутами, усовершенствование метода дифференциальной прогонки А.А.Абрамова, метод для краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений только с четными производными.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численные процедуры усовершенствования метода ортогональной прогонки С.К. Годунова,

2. Численные процедуры метода «переноса краевых условий» (прямого варианта метода) для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,

3. Численные процедуры метода «дополнительных краевых условий» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,

4. Численные процедуры метода «половины констант» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,

5. Численные процедуры метода «переноса краевых условий» (пошагового варианта метода) для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями,

6. Численные процедуры простейшего метода решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями без ортонормирования - метода «сопряжения участков интервала интегрирования», которые выражены матричными экспонентами,

7. Численные процедуры простейшего метода расчета оболочек составных и со шпангоутами,

8. Численные процедуры усовершенствования метода дифференциальной прогонки А.А. Абрамова,

9. Численные процедуры метода решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений только с четными производными,

10. Коды программ на С++, размещенные в 3 приложениях.

Краткое содержание работы:

В первой главе кратко приводятся известные формулы теории матриц для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Во второй главе работы получены результаты, позволяющие значительно усовершенствовать метод дискретной ортогональной прогонки С.К. Годунова.

В третьей главе приводятся формулы предлагаемого метода «переноса краевых условий» (прямого варианта метода) для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В четвертой главе приводятся формулы предлагаемого метода «дополнительных краевых условий» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В пятой главе приводятся формулы предлагаемого метода «половины констант» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В шестой главе приводятся формулы предлагаемого метода «переноса краевых условий» (пошагового варианта метода) для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В седьмой главе приводятся формулы предлагаемого простейшего метода решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями без ортонормирования - метода «сопряжения участков интервала интегрирования», которые выражены матричными экспонентами.

В восьмой главе приводятся формулы предлагаемого простейшего метода расчета оболочек составных и со шпангоутами.

В девятой главе приводятся формулы предлагаемого усовершенствования метода дифференциальной прогонки А.А. Абрамова.

В десятой главе приводятся формулы предлагаемого метода решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений только с четными производными.

В приложении 1 приводится программа на С++ расчета цилиндрической оболочки - для метода из главы 6.

В приложении 2 приводится программа на С++ расчета сферической оболочки (переменные коэффициенты) - для метода из главы 6.

В приложении 3 приводится программа на С++ расчета цилиндра - для метода из главы 7.

В приложении 4 приводится метод главы 7 и программа на С++ для этого метода на английском языке.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты ранее защищенной кандидатской диссертации докладывались и обсуждались (в то время 1993-1996 гг.) на XVI и XVII Международных конференциях по теории оболочек и пластан (Нижний Новгород, 1993; Казань, 1995); на Белорусском Конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-95" (Минск, 1995); на Международном Симпозиуме "Advances in Structured and Heterogeneous Continua II" (Москва, 1995); на научном семинаре Института Прикладной механики Российской Академии Наук (Москва, 1995); на Международной научно-технической конференции "Современные проблемы машиноведения" (Гомель, 1996).

Сейчас по теме этой диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук опубликовано 26 работ.

Некоторые работы опубликованы совместно с д.ф.-м.н. Ю.И.Виноградовым.

Вклад д.ф.-м.н. Ю.И. Виноградова в эти совместные публикации заключался либо 1) в обсуждении результатов проверочных расчетов тех формул и методов, которые предложил А.Ю. Виноградов, либо в том, что 2) в дополнение к методам А.Ю. Виноградова было предложено Ю.И. Виноградовым указание, что матрицы Коши можно вычисять не только в виде матричных экспонент, а дополнительно есть возможность их вычислять в смысле функций Коши-Крылова, используя для этого полученные кем-либо аналитические решения систем дифференциальных уравнений строительной механики пластин и оболочек, либо в том, что 3) Ю.И. Виноградов предложил свою, отличную от формулы А.Ю. Виноградова, формулу вычисления вектора частного решения неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая выглядит, однако, гораздо более сложной по сравнению с простой формулой А.Ю. Виноградова.

Наиболее заметная публикация метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования написана д.ф.-м.н. Ю.И.Виноградовым и опубликована в Докладах Академии наук РФ - это статья «Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Метод переноса краевых условий функциями Коши-Крылова для жестких линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. // ДАН РФ, - М.: 2000, т. 373, №4, с. 474-476.» В этой публикации первым автором указан к.ф.-м.н. А.Ю. Виноградов, так как именно ему принадлежит авторство переноса краевых условий в любую точку, пошаговый алгоритм этого переноса и идея пошагового построчного ортонормирования переносимых краевых условий. А д.ф.-м.н. Ю.И. Виноградову принадлежит указание, что в этом методе матрицы Коши могут быть вычислены в смысле функций Коши--Крылова очень легко, если известны кем-либо полученные аналитические решения системы ОДУ краевой задачи. Авторство же этого метода переноса краевых условий впервые было закреплено за к.ф.-м.н. А.Ю.Виноградовым в 2 статьях:

1) «Виноградов А.Ю. Вычисление начальных векторов для численного решения краевых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995. -Т.З5. -№1. -С. 156-159.» - в этой статье предложено построчное ортонормирование матричных краевых условий;

2) «Виноградов А.Ю. Приведение краевых задач механики элементов приборных устройств к задачам Коши для выбранной точки// Прикладная механика в приборных устройствах. Меж вуз. сб. научных трудов. -Москва: МИРЭА, 1996.» - в этой статье предложен собственно пошаговый перенос матричных краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования.

Здесь следует сказать и привести пример публикаций об одном из методов, который предлагается в этой работе - «методе переноса краевых условий», который впервые был предложен А.Ю. Виноградовым.

В том виде, в каком метод «переноса краевых условий» представляется наиболее просто изложенным, причем изложенным в первоначальном виде, как и это предлагалось тогда еще аспирантом А.Ю. Виноградовым (в 1993-1996 гг.), является статья к.ф.-м.н. А.Ю. Виноградова - «Виноградов Ю.И., Виноградов А.Ю. Уточненный метод Виноградовых переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования для решения жестких краевых задач // Современные проблемы науки и образования. - 2016. - №8». (Находится в стадии публикации.)

В этой публикации первым автором указан д.ф.-м.н. Ю.И. Виноградов на основании того, что он был официальным руководителем кандидатской диссертации А.Ю. Виноградова и после этого развивал применение указанного метода в различных задачах строительной механики тонкостенных оболочек во время его руководства 2-мя последующими кандидатскими диссертациями.

Статья эта в 2016 году оказалась необходимой с точки зрения к.ф.-м.н. А.Ю. Виноградова, так как в процессе работы над одной из диссертаций в метод переноса краевых условий были внесены изменения не в лучшую сторону. Речь идет о работе д.ф.-м.н. Ю.И Виноградова и Ю.А. Гусева «Виноградов Ю.И., Виноградов А.Ю., Гусев Ю.А. Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики // Журнал "Математическое моделирование", изд-во РАН, Институт математического моделирования, - М.: 2002, Т. 14, №9, с.3-8.» - в этой статье приводятся составленные Ю.А. Гусевым формулы ортонормирования на основе формул ортонормирования из метода ортогональной прогонки С.К.Годунова, в то время как А.Ю. Виноградов предлагал использовать хорошо известные из различных учебников проверенные формулы построчного ортонормирования без необходимости преобразований их из формул С.К.Годунова; кроме того в этой работе указана слишком сложная формула вычисления вектора частного решения неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получена д.ф.-м.н. Ю.И. Виноградовым и которая приводится без вывода, что осложняет ее понимание, в то время как можно пользоваться простейшими выкладками для частного вектора, которые предложены к.ф.-м.н. А.Ю. Виноградовым.

Так же в соавторах отдельных статей указаны еще Ю.А. Гусев и Ю.И. Клюев. Их вклад в материал публикаций состоял в выполнении многовариантных проверочных расчетов в соответствии с формулами, алгоритмами и методами, которые предложил А.Ю Виноградов в своей кандидатской диссертации.

Дополнительно можно сказать, что на основе материла из кандидатской диссертации А.Ю. Виноградова были выполнены еще 2 кандидатских физико-математических диссертации под руководством Ю.И. Виноградова, материал которых состоит в основном в многовариантном применении и в проверке рассчетами того, что было предложено А.Ю. Виноградовым в его кандидатской диссертации. В применении к различным конкретным задачам строительной механики тонкостенных оболочек с выявлением и анализом свойств формул, алгоритмов и методов из кандидатской диссертации А.Ю. Виноградова.

Вот данные этих 2 диссертаций:

Год: 2003

Гусев, Юрий Алексеевич

«Мультипликативные алгоритмы переноса краевых условий в задачах механики деформирования оболочек» Ученая степень: кандидат физико-математических наук Код cпециальности ВАК: 01.02.04

Специальность: Механика деформируемого твердого тела

Год: 2008

Петров, Виталий Игоревич

«Приведение краевых задач к начальным и исследование концентрации напряжений в тонкостенных конструкциях мультипликативным методом»

Ученая cтепень: кандидат физико-математических наук

Код cпециальности ВАК: 05.13.18

Специальность: Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Кроме того, в соответствии с современными возможностями интернета и при наличии новых диссертаций в открытом доступе было замечено применение материалов из кандидатской диссертации А.Ю. Виноградова с соответствующими ссылками на соответствующие статьи А.Ю. Виноградова в следующих кандидатских и докторских диссертациях технических и физико-математических наук:

"Методы и алгоритмы определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных подкрепленных конструкций вращения из нелинейно-упругого материала"

Автор научной работы: Кочетов, Сергей Николаевич

Ученая cтепень: кандидат технических наук

Место защиты диссертации: Москва

Код cпециальности ВАК: 05.23.17

Специальность: Строительная механика

Год: 1998

«Развитие метода суперэлементов применительно к задачам статики и динамики тонкостенных пространственных систем» Автор научной работы: Чеканин, Александр Васильевич

Ученая cтепень: доктор технических наук

Место защиты диссертации: Москва

Код cпециальности ВАК: 05.23.17

Специальность: Строительная механика

Год: 2005

Автор научной работы: Голушко, Сергей Кузьмич

«Прямые и обратные задачи механики упругих композитных

пластин и оболочек вращения»

Ученая cтепень: доктор физико-математических наук

Место защиты диссертации: Новосибирск

Код cпециальности ВАК: 01.02.04

Специальность: Механика деформируемого твердого тела

Год: 2003

Автор научной работы: Газизов, Хатиб Шарифзянович

«Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости

составных оболочек вращения»

Ученая cтепень: доктор технических наук

Место защиты диссертации: Уфа

Код cпециальности ВАК: 01.02.04

Специальность: Механика деформируемого твердого тела

Год: 2001

Автор научной работы: Шленов, Алексей Юрьевич

«Динамика структурно-неоднородных оболочечных конструкций с учетом

упруго-пластических свойств материала»

Ученая cтепень: кандидат физико-математических наук

Место защиты диссертации: Москва

Код cпециальности ВАК: 01.02.04

Специальность: Механика деформируемого твердого тела

Год: 1996

Автор научной работы: Рогов, Анатолий Алексеевич

«Динамика трубопровода после разрыва»

Ученая cтепень: кандидат физико-математических наук

Место защиты диссертации: Москва

Код cпециальности ВАК: 01.02.04

Специальность: Механика деформируемого твердого тела

Статьи А.Ю. Виноградова опубликованы в таких журналах ВАК как:

Доклады Академии наук РФ - 2 статьи Механика твердого тела РАН - 2 статьи

Журнал вычислительной математики и математической физики РАН - 1 статья

Математическое моделирование РАН - 2 статьи

Фундаментальные исследования - 1 статья

Современные проблемы науки и образования - 2 статьи (одна - в стадии публикации)

ВАК монография - 1 штука (в стадии публикации).

Итого 11 ВАК публикаций. Включая же и не только ВАК издания - всего опубликовано 26 работ.

Если же использование формул, алгоритмов и методов А.Ю. Виноградова в различных успешно защищенных диссертациях можно так же приравнять к ВАК публикациям, то следует добавить еще 9 ВАК публикаций (9 успешно защищенных кандидатских и докторских диссертаций технических и физико-математических наук, где либо напрямую используются, либо развиваются формулы, алгоритмы и методы, предложенные А.Ю. Виноградовым).

Всего заимствованные в этой работе формулы решения краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений были взяты только из 4 источников:

2.Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки)// Журшш вычислительной математики и математической физики, 1961. - T.I. -N3. -С.542-545.

13.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.:Физматгиз, 1962. -Т.2. - 635 с.

63.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М,:Наука, 1988. - 548 с,

65.Годунов С,К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Успехи математических паук, i96!. -Т. 16, вып. 3, (99). -СЛ 71.-174.

Следует сказать, что объем заимствованных и приведенных в работе формул других авторов составляет 5 страниц, а объем предложенных А.Ю.Виноградовым собственных формул составляет 45 страниц. Плюс написанные А.Ю. Виноградовым программы (коды) на современном и наиболее популярном языке программирования С++ составляют 34 страницы. Всего же в данной работе 134 страницы, из которых, как можно видеть, 79 страниц предложенных А.Ю. Виноградовым формул и программ.



Глава 1. Введение - известные формулы теории матриц для обыкновенных дифференциальных уравнений

Изложение всех методов ведется на примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты - системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных методом Фурье).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

,

где - искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, - производная искомой вектор-функции размерности 8х1, - квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, - вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами

Краевые условия имеют вид:

где - значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, - вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

- значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, - вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами =const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

,

где ,

где - это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

.

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

,

где это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами , решение задачи Коши предлагается, как это известно, искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

,

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

, где .



Глава 2. Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К. Годунова для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями

2.1 Формула для начала счета методом прогонки С.К. Годунова

Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.

Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.

Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде [Годунов]:

,

или можно записать в матричном виде:

,

где векторы - это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор - это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Здесь это матрица размерности 8х4, а это соответствующий вектор размерности 4х1 из искомых констант .

Но вообще-то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов , а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:

И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.

То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений векторов , чтобы можно было начать прогонку с левого края =0, то есть чтобы удовлетворялись условия на левом крае при любых значениях констант .

Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.

Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова.

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:

,

где матрица прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.

В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:

,

где в результате ортонормирования матрицы вектор преобразован в вектор .

Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу до квадратной невырожденной матрицы :

,

где матрица размерности 4х8 должна достраивать матрицу до невырожденной квадратной матрицы размерности 8х8.

В качестве строк матрицы можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.

Завершим ортонормирование построенной матрицы , то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу размерности 8х8 с ортонормированными строками:

.

Можем записать, что

.

Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова, получим:

или

.

Подставим эту последнюю формулу в краевые условия и получим:

.

Отсюда получаем, что на левом крае константы уже не на что не влияют, так как

и остается только найти вектор из выражения:



.

Но матрица имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:

,

где - любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:

.

Тогда формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова имеет вид:

.

Из теории матриц [Гантмахер] известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:

,

,

,

.

2.2. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К. Годунова

Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий до квадратной невырожденной:

.

Начальные значения находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:

,

где - вектор из нулей размерности 4х1.

2.3 Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова

В методе С.К.Годунова, как показано выше, решение ищется в виде:

.



На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутты пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:

.

Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, так как в случае постоянных коэффициентов достаточно вычислить один раз матрицу Коши на малом участке и в последующем лишь умножать на эту однажды вычисленную матрицу Коши.

И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутты, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутты.

2.4 Матрично-блочные выводы и реализация алгоритмов начала вычислений для метода С.К.Годунова

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, выражающую краевые условия при х=0

Пусть имеется построенная квадратная невырожденная матрица

.

Аналогично запишем вектор , где введенный вектор является неизвестным.

Запишем систему линейных алгебраических уравнений

или в блочном виде

.

Отсюда следует, что

.

Представим .

Тогда

.

В тоже время помним, что решение краевой задачи ищется в виде

.

Сравнивая

и

при том, что здесь вектор неизвестных констант это , то получаем начальные значения векторов для начала интегрирования в методе С.К. Годунова:



и .

Другой матричный вывод можно изложить в следующем виде. Преобразуем систему

путем построчного ортонормирования к эквивалентной системе с ортонормированными строками

.

Тогда можно записать

.

Делая сравнение двух выражений:

и из того, что - вектор неизвестных констант, получаем:

и .

Заметим, что возможен еще один матрично-блочный вывод формул.

Переход от системы

к системе

можно осуществить еще одним способом, заменив построчное ортонормирование на следующее ортонормированное разложение матрицы G [80]

где матрица J имеет ортонормированные столбцы, а матрица L верхнетреугольная.

Тогда, учитывая правило транспонирования произведения матриц [80], можем записать

.

В результате получим

, , .

Здесь строки матрицы ортонормированные.

Сравнивая



получаем

, .

Таким образом, опять получаем ортонормированные начальные значения искомых вектор-функций решения.

2.5 Сопряжение частей интервала интегрирования для метода С.К. Годунова

Для автоматизации вычислительного процесса на всем интервале интегрирования, который составлен для сопряженных оболочек с различными физическими и геометрическими параметрами, деформирование которых описывается различными функциями, необходимо иметь процедуры сопряжения соответствующих функций.

В общем случае разрешающие функции различных частей интервала интегрирования задачи не имеют физического смысла, а физические параметры задачи выражаются различным образом через эти функции и их производные. Вместе с этим сопряжение смежных участков должно удовлетворять кинематическим и силовым условиям в точке сопряжения.

Решить задачу сопряжения частей интервала интегрирования можно следующим образом. Вектор Р, содержащий физические параметры задачи формируется при помощи матрицы М коэффициентов и искомой вектор-функции Y(x):



где М - квадратная невырожденная матрица.

Тогда в точке сопряжения х=х* можем записать выражение

,

где - вектор, соответствующий дискретному изменению физических параметров при переходе через точку сопряжения от левого участка к правому; индекс "-" означает "слева от точки сопряжения", а индекс "+" означает "справа от точки сопряжения".

В методе прогонки Годунова вектор-функция задачи на каждом участке ищется в виде

Предположим, что точка сопряжения не совпадает с точкой ортогонального преобразования. Тогда выражение условий сопряжения смежных участков

примет вид

.

Если теперь потребовать

то при прямом ходе метода прогонки продолжить интегрирование при переходе точки сопряжения слева направо можно по следующим выражениям:

,

.

2.6 Свойства переноса краевых условий в методе С.К. Годунова

При решении краевой задачи для системы "жестких" линейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом С.К. Годунова говорят, что осуществляется дискретная ортогонализация по методу Грамма-Шмидта применительно к вектор-функциям, образующим многообразие решений данной задачи, с целью преодоления тенденции вырождения этих вектор-функций в линейно зависимые.

Вместе с тем, при реализации метода Годунова одновременно происходит и перенос краевых условий от начального для интегрирования края к другому. Покажем свойства этого переноса.?

Ранее было записано

и .

Тогда можно сказать, что:

-вектор w*, который неизвестен, является вектором констант с,

-в тоже время вектор w* имеет физический смысл неизвестного на краю х=0 внешнего воздействия на деформируемую систему,

-матрица W* является матрицей краевых условий, неизвестных на краю х=0.

Из сформулированных положений следует, что перенос граничных условий в методе С.К. Годунова имеет следующий смысл.

Продолжение интегрирования, начиная с вектора , означает перенос "свертки" матричного уравнения краевых условий при х=0 к правому краю х=1.

Продолжение интегрирования, начиная с векторов в матрице означает, что матрица краевых условий W*, которые неизвестны на краю х=0, переносится на край х= 1.

Интегрирование дифференциальных уравнений ведется с целью переноса на край х=1 вектора с, а значит вектора w*, который выражает условия неизвестные на краю х=0.

Перенос матрицы W* и вектора w* означает, что матричное уравнение краевых условий, которые неизвестны на краю х=0, переносится на край х=1.

2.7 Модификация метода С.К. Годунова

Решение в методе С.К. Годунова ищется, как это записано выше, в виде формулы

.

Можем записать эту формулу в двух вариантах - в одном случае формула удовлетворяет краевым условиям левого края (индекс L), а в другом - условиям на правом крае (индекс R):

,

.



В произвольной точке имеем

.

Тогда получаем

,

,

.

То есть получена система линейных алгебраических уравнений традиционного вида с квадратной матрицей коэффициентов для встречного вычисления векторов констант .



Глава 3. Метод «переноса краевых условий» (прямой вариант метода) для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями

Предлагается выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:

,

.

Подставим формулу для в краевые условия левого края и получим:

,

,

.

Аналогично для правых краевых условий получаем:

,

,

.

То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку :

,



.

Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения в любой рассматриваемой точке :

.



Глава 4. Метод «дополнительных краевых условий» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями

Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:

.

В качестве строк матрицы можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи - 8. Вектор правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор из выражения:

,

то есть вектор находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков и .

Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:



,

где матрица записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор неизвестен.

Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:

.

Запишем и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:

,

,

,

.

Запишем вектор через обратную матрицу:

и подставим в предыдущую формулу:



Таким образом, мы получили систему уравнений вида:

,

где матрица известна, векторы и известны, а векторы и неизвестны.

Разобьем матрицу на естественные для нашего случая 4 блока и получим:

,

откуда можем записать, что

Следовательно, искомый вектор вычисляется по формуле:

А искомый вектор вычисляется через вектор :

,

.



Глава 5. Метод «половины констант» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями

Формула для начала счета с левого края только с половиной возможных констант:

,

.

Таким образом, записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.

Далее запишем и совместно:

,

и подставим в эту формулу выражение для Y(0):

.

Таким образом, мы получили выражение вида:

,

где матрица имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:

.

Тогда можем записать:

.

Отсюда получаем, что:

.

Таким образом, искомые константы найдены.



Глава 6. Метод «переноса краевых условий» (пошаговый вариант метода) для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями

6.1 Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

.

Или можно записать:

.

Подставляем это выражение для в краевые условия левого края и получаем:

,

,

.

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку :

,

где и .

Далее запишем аналогично



И подставим это выражение для в перенесенные краевые условия точки :

,

,

.

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку :

,

где и .

И так в точку переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края.

Покажем шаги переноса краевых условий правого края.

Подставляем это выражение для в краевые условия правого края и получаем:

,

,

Или получаем краевые условия правого края, перенесенные в точку :

,

где и .

Далее запишем аналогично

И подставим это выражение для в перенесенные краевые условия точки :

,

,

.

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку :

,

где и .

И так во внутреннюю точку интервала интегрирования переносим матричное краевое условие, как показано, и с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:

,

.

Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

.

6.2 Случай «жестких» дифференциальных уравнений

В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].

То есть, получив

применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

.

И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем

.

И получаем



,

.

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку :

,

где и .

Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

И так далее.

И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается методом Гаусса с выделением главного элемента для получения решения в рассматриваемой точке :

.



6.3 Формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:

.

Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:

,

,

,

,

,

,



что и требовалось подтвердить.

Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов =const.

Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор на участке приближенно в виде постоянной величины , что позволяет вынести этот вектор из под знаков интегралов:

Известно, что при T=(at+b) имеем

В нашем случае имеем



Тогда получаем

.

Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке :

Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами для каждого участка может использоваться осредненная матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений.

Если рассматриваемый участок интервала интегрирования не мал, то предлагаются следующие итерационные (рекуррентные) формулы.

Приведем формулы вычисления вектора частного решения, например, на рассматриваемом участке через вектора частного решения , , соответствующих подучастков

, , .

Имеем .

Также имеем формулу для отдельного подучастка:



.

Можем записать:

,

.

Подставим в и получим:

.

Сравним полученное выражение с формулой:

и получим, очевидно, что:

и для частного вектора получаем формулу:

.

То есть вектора подучастков



не просто складываются друг с другом, а с участием матрицы Коши подучастка.

Аналогично запишем

и подставим сюда формулу для и получим:

Сравнив полученное выражение с формулой:

очевидно, получаем, что:

и вместе с этим получаем формулу для частного вектора:

То есть именно так и вычисляется частный вектор - вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор на рассматриваемом участке через вычисленные частные вектора , , соответствующих подучастков , , .



6.4 Применяемые формулы ортонормирования

Взято из [Березин, Жидков]. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений порядка n:

=.

Здесь над векторами поставим черточки вместо их обозначения жирным шрифтом.

Будем рассматривать строки матрицы системы как векторы:

=(,,…,).

Ортонормируем эту систему векторов.

Первое уравнение системы = делим на

При этом получим:

++…+=, =(,,…,),

где =, =, =1.

Второе уравнение системы заменяется на:

++…+=, =(,,…,),



где =, =,

=-(,), =-(,).

Аналогично поступаем дальше. Уравнение с номером i примет вид:

++…+=, =(,,…,),

где =, =,

=-(,)-(,)-…-(,),

=-(,)-(,)-…-(,).

Процесс будет осуществим, если система линейных алгебраических уравнений линейно независима.

В результате мы придем к новой системе , где матрица будет с ортонормированными строками, то есть обладает свойством , где - это единичная матрица.



Глава 7. Простейший метод решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями без ортонормирования - метод «сопряжения участков интервала интегрирования», которые выражены матричными экспонентами

Идея преодоления трудностей вычислений путем разделения интервала интегрирования на сопрягаемые участки принадлежит д.ф.-м.н. профессору Ю.И.Виноградову, а реализация этой идеи через формулы теории матриц принадлежит к.ф.-м.н. А.Ю.Виноградову.

Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), включая края:

.

Имеем краевые условия в виде:

Можем записать матричные уравнения сопряжения участков:

,

,

.

Это мы можем переписать в виде, более удобном для нас далее:

,



,

.

где - единичная матрица.

Тогда в объединенном матричном виде получаем систему линейных алгебраических уравнений в следующей форме:

.

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

В точках, расположенных между узлами, решение находиться при помощи решения задач Коши с начальными условиями в i-ом узле:

.

Применять ортонормирование для краевых задач для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается не надо, так как на каждом участке интервала интегрирования вычисление каждой матричной экспоненты выполняется независимо и от начальной единичной (ортонормированной) матрицы, что делает ненужным применение ортонормирования в отличие от метода Годунова, что значительно упрощает программирование по сравнению с методом Годунова.

Вычислять матрицы Коши можно не в виде матричных экспонент, а при помощи методов типа Рунге-Кутты от стартовой единичной матрицы, а вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений вычислять на каждом участке методами типа Рунге-Кутты следует от стартового нулевого вектора. В случае применения методов типа Рунге-Кутты оценки погрешностей хорошо известны, что означает, что вычисления можно выполнять с заранее известной точностью.



Глава 8. Расчет оболочек составных и со шпангоутами простейшим методом «сопряжения участков интервала интегрирования»

8.1 Вариант записи метода решения жестких краевых задач без ортонормирования - метода «сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами» - через положительные направления формул матричного интегрирования дифференциальных уравнений

Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), включая края:

.

Имеем краевые условия в виде:

Можем записать матричные уравнения сопряжения участков:

,

,

.

Это мы можем переписать в виде, более удобном для нас далее:

,

,



.

где - единичная матрица.

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений:

.

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

Оказывается, что применять ортонормирование не нужно, так как участки интервала интегрирования выбираются такой длинны, что счет на них является устойчивым.

В точках вблизи узлов решение находится путем решения соответствующих задач Коши с началом в i-ом узле:

.

8.2 Составные оболочки вращения

Рассмотрим сопряжения участков составной оболочки вращения.

Пусть имеем 3 участка, где каждый участок может выражаться своими дифференциальными уравнениями и физические параметры могут выражаться по-разному - разными формулами на разных участках:



В общем случае (на примере участка 12) физические параметры участка (вектор ) выражаются через искомые параметры системы обыкновенных дифференциальных уравнений этого участка (через вектор ) следующим образом:

,

где матрица - квадратная невырожденная.

При переходе точки сопряжения можем записать в общем виде (но на примере точки сопряжения ):

,

где - дискретное приращение физических параметров (сил, моментов) при переходе с участка «01» на участок «12», а матрица квадратная невырожденная диагональная и состоит из единиц и минус единиц на главной диагонали для установления правильного соответствия принятых положительных направлений сил, моментов, перемещений и углов при переходе с участка «01» на участок «12», которые могут быть разными (в разных дифференциальных уравнениях разных сопрягаемых участков) - в уравнениях слева от точки сопряжения и в уравнениях справа от точки сопряжения.

Два последних уравнения при объединении образуют уравнение:

.



В точке сопряжения аналогично получим уравнение:

.

Если бы оболочка состояла бы из одинаковых участков, то мы могли бы записать в объединенном матричном виде систему линейных алгебраических уравнений в следующей форме:

.

Но в нашем случае оболочка состоит из 3 участков, где средний участок можно считать, например, шпангоутом, выражаемым через свои дифференциальные уравнения.

Тогда вместо векторов , , , мы должны рассмотреть вектора:

.

Тогда матричные уравнения

,

,

примут вид:

,

,

,

,

.

После перестановки слагаемых получаем:

,

,

,

,

.

В итоге мы можем записать итоговую систему линейных алгебраических уравнений:

...