Построение графиков функций в системах компьютерной математики

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра информатики и вычислительной техники

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ В СИСТЕМАХ

КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

Автор курсовой работы:

К.М. Бочкова,

студентка 3 курса группы МДМ-213

очной формы обучения

Руководитель:

С.И. Проценко, канд. пед. наук, доцент

Саранск 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Теоретические основы построения графиков в системах компьютерной математики

1.1 Сравнительная характеристика систем компьютерной математики

1.2 Типы графиков в системах компьютерной математики

2. Особенности построения графиков функций в системе MathCAD

2.1 Способы построения графиков в системе MathCAD

2.2 Построение графиков функций в системе MathCAD

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Универсальные математические пакеты предоставляют новые широкие возможности для совершенствования образования на всех, без исключения, его этапах от целенаправленного обучения и образования до комплексной подготовки обучаемого к профессиональной деятельности и самореализации. Велика роль пакетов прикладных программ в образовании, в том числе, при изучении математики. Облегчая решение сложных задач, они снимают психологический барьер в изучении математики и делают этот процесс интересным и более простым. При грамотном применении их в учебном процессе пакеты обеспечивают повышение уровня фундаментальности математического образования. Математические программы дают возможность реализовать стандартными средствами важнейшие с дидактической точки зрения принципы "От простого к сложному" и "Максимальная наглядность и удобство работы". Эти принципы развивают и формируют у учащихся навыки самостоятельной познавательной деятельности, необходимые при дальнейшем обучении в вузе. Использование математических программ дает возможность учащимся применять для решения текущей образовательной задачи различные способы, схематическое описание которых можно дать следующим образом:

- стандартное решение задачи(использование программы в качестве своеобразного "сверхмощного калькулятора" для выполнения расчетов по алгоритмам, предложенным преподавателем);

- углублённое решение задачи(стандартное решение задачи, сопровождающееся самостоятельным анализом и разработкой алгоритма решения задачи);

- углубленное изучение сущности исследуемых закономерностей (углубленное решение задачи, сопровождающееся "виртуальными экспериментами").

Реализация принципа "Наглядность и удобство" в определённой мере также обеспечивается стандартными возможностями, предоставляемыми большинством математических пакетов. При этом следует заметить, что общим недостатком этих пакетов является ограниченная возможность визуализации процесса решения.

Выполнение графических операций часто приводит к простейшим ошибкам. Поэтому системы компьютерной математики являются идеальным инструментом не только для построения графиков, но и других математических задач.

Изучение возможностей систем компьютерной математики при построении графиков функций определяет актуальность данного исследования.

Объектом курсовой работы являются системы компьютерной математики.

Предметом исследования - системы компьютерной математики как средство построения графиков.

Цель - исследовать возможности применения систем компьютерной математики для построения графиков функций.

Для достижения этой цели в курсовой работе необходимо решить следующие задачи:

1. Дать сравнительную характеристику систем компьютерной математики и выявить наиболее эффективную систему для построения графиков.

2. Изучить особенности построения графиков функций.

3. Проанализировать основные типы графиков функций в системе Mathcad.

4. Рассмотреть примеры построения графиков функций в системе Mathcad.

Для достижения поставленной цели и решения указанных задач исследования применялись следующие методы: анализ научной и методической литературы, Интернет-источников по проблеме исследования.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников. компьютерный математика график mathcad

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ В СИСТЕМАХ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

1.1 Сравнительная характеристика систем компьютерной математики

Математический пакет Mathcad

Пакет Mathcad можно отнести к математически универсальным системам. Помимо собственных вычислений (как численных, так и символьных), Mathcad позволяет подготавливать качественные тексты дипломные и курсовые проекты, диссертации, статьи с наглядным графическим представлением результатов вычислений (в том числе и анимации). К достоинствам пакета следует отнести возможность сохранения документов в формате Web-страниц, причем создание файлов с рисунками происходит автоматически.

Применение библиотек и пакетов расширений обеспечивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.

Пакет MathCAD, в отличие от других современных математических пакетов, построен в соответствии с принципом WYSIWYG (“What You See Is What You Get” - “Что видите, то и получите”). Поэтому он прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, а потом транслировать, компилировать и запускать ее на исполнение.[1]

Mathcad представляет собой интегрированную систему, включающую связанные между собой компоненты (такие как текстовый редактор, вычислительный процессор, символьный процессор).



Рисунок 1 - Программное окно пакета Mathcad

Математический пакет Matlab

MATLAB -- продукт компании MathWorks, Inc., представляющий собой язык высокого уровня для научно-технических вычислений. Среди основных областей применения MATLAB -- математические расчеты, разработка алгоритмов, моделирование, анализ данных и визуализация, научная и инженерная графика, разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя. MATLAB решает множество компьютерных задач -- от сбора и анализа данных до разработки готовых приложений. Среда MATLAB соединяет в себе математические вычисления, визуализацию и мощный технический язык. Встроенные универсальные интерфейсы позволяют легко работать с внешними информационными источниками, а также осуществлять интеграцию с процедурами, написанными на языках высокого уровня (C, C++, Java и др.). Мультиплатформенность MATLAB сделала его одним из самых распространенных продуктов -- он фактически стал принятым во всем мире стандартом технических вычислений. MATLAB имеет широкий спектр применений, в том числе цифровую обработку сигналов и изображений, проектирование систем управления, естественные науки, финансы, экономику, приборостроение и т.п.[4]

Рисунок 2- Программное окно Matlab

Математический пакет Mathematica

Система Mathematica -- компании Wolfram Research, Inc. имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. По сути дела, все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей математики технического вуза, заложены в память компьютерной системы Mathematica. В некоторых странах (например, в США) система высшего образования тесно связана с этим продуктом. Огромное преимущество системы Mathematica состоит в том, что ее операторы и способы записи алгоритмов просты и естественны. Mathematica имеет мощный графический пакет, с помощью которого можно строить графики очень сложных функций одной и двух переменных. Главное преимущество Mathmatica, делающее ее бесспорным лидером среди других систем высокого уровня, состоит в том, что эта система получила сегодня очень широкое распространение во всем мире, охватив огромные области применения в научных и инженерных исследованиях, а также в сфере образования.

Скриншот открытых окон запущенного приложения Mathematica. В зафиксированный момент на экране присутствуют главное меню, окно ввода, и окна палитр функций.[10]

Рисунок 3- Запущенное окно пакета Mathematica

Математический пакет Scilab

Scilab - это система компьютерной математики, которая предназначена для выполнения инженерных и научных вычислений, таких как:

* решение нелинейных уравнений и систем;

* решение задач линейной алгебры;

* решение задач оптимизации;

* дифференцирование и интегрирование;

* обработка экспериментальных данных (интерполяция и аппроксимация, метод наименьших квадратов);

* решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Кроме того, Scilab предоставляет широкие возможности по созданию и редактированию различных видов графиков и поверхностей.[20]

Рисунок 4- Основное окно Scilab

Как видно из сравнительного анализа, все математические пакеты сходны между собой. У них похожие принципы построения вычислений, графиков функций. И в Mathcad, и в MATLAB, и в Mathematica есть списки встроенных функций и операторов. Но имеются и отличия, например в интерфейсе, методах программирования. На данном уровне развития образования, я думаю, что без систем компьютерной математики обойтись нельзя. Иначе - зачем они тогда появились?

1.2 Типы графиков в системах компьютерной математики

Рассмотрим некоторые системы компьютерной математики, с точки зрения построения графиков функций.

Эффективное применение системы Mathematica при решении различных задач, особенно геометрии, моделирования, механики и инженерии, связано с ее графическими возможностями, включающими анимацию.

Перечислим графические функции и охарактеризуем их основные опции.

Построим простейший график функции одной переменной f(x)= sin x^2 на интервале [0;3] без использования опций.

Рисунок 5- график функции f(x)= sin x^2

Для визуализации поверхностей, заданных в трехмерном пространстве уравнениями и массивами данных, служат встроенные графические функции.

Plot3D, ParametricPlot3D, ListPlot3D. Приведем пример простейшего трехмерного графика с метками осей.

Plot3D[Sin[x y],{x,0,Pi},{y,0,Pi},AxesLabel {x,y,z}, AspectRatio 1];

Рисунок 6- трехмерный график с метками осей.

Приведем некоторые простые примеры построения графиков функций, заданных параметрическими уравнениями:

ParametricPlot[{Sin[2 t],Sin[3 t]},{t,0,2 Pi}] ;

Рисунок 7- параметрический график функции

Графика в Matlab

Графические возможности системы MATLAB являются мощными и разнообразными. В первую очередь целесообразно изучить наиболее простые в использовании возможности. Их часто называют высокоуровневой графикой. Это название отражает тот приятный факт, что пользователю нет никакой необходимости вникать во все тонкие и глубоко спрятанные детали работы с графикой.[7]

Например, можно построить график функции одной вещественной переменной. Следующие команды:

x = 0 : 0.01 : 2;

y = sin( x );

вычисляют массив y значений функции sin для заданного набора аргументов.

После этого одной единственной командой

plot( x , y )

удаётся построить вполне качественно выглядящий график функции:

Рисунок 8- график функции одной вещественной переменной

Рассмотрим построение графиков в полярных координатах. Например, если нужно построить график функции r = sin( 3f) в полярных координатах, то следующие несколько команд

phi = 0 : 0.01 : 2*pi; r = sin( 3* phi );

polar( phi , r )

решают эту задачу:

Рисунок 9- график функции r = sin( 3f) в полярных координатах

В системе MATLAB имеется специальная функция для получения двумерных массивов X и Y по одномерным массивам x, y.



Рисунок 10- функция получения двумерных массивов

Пусть по оси x задан диапазон значений в виде вектора

u = -2 : 0.1 : 2

а по оси y этот диапазон есть

v = -1 : 0.1 : 1

Для получения матриц X и Y, представляющих первые и вторые координаты получающейся прямоугольной сетки точек используют специальную функцию системы MATLAB:

[ X , Y ] = meshgrid( u, v )

Данная функция получает на входе два одномерных массива (вектора), представляющие массивы точек на осях координат, и возвращает сразу два искомых двумерных массива. На прямоугольной сетке точек вычисляем значения функции, например функции exp:

Z = exp( - X.^2 - Y.^2 )

Применяя описанную выше функцию plot3,получаем следующее изображение трёхмерного графика этой функции:

Рисунок 11- изображение трехмерного графика в Matlab.

Из этого рисунка видно, что функция plot3 строит график в виде набора линий в пространстве, каждая из которых является сечением трёхмерной поверхности плоскостями, параллельными плоскости yOz. По-другому можно сказать, что каждая линия получается из отрезков прямых, соединяющих набор точек, координаты которых берутся из одинаковых столбцов матриц X, Y и Z. То есть, первая линия соответствует первым столбцам матриц X, Y Z; вторая линия - вторым столбцам этих матриц и так далее.[13]

Графика в Mathcad

Для построения графика в декартовой системе координат необходимо:

1. ввести выражение, описывающее некоторую функцию;

2. вывести шаблон X-Y Plot с помощью меню или панели Graph;

3. заполнить две помеченные для ввода позиции: в первую ввести с клавиатуры f(x) (по оси Y), а во вторую ввести x (по оси X);

4. сделать щелчок мышью вне графика.[2]

Представим двумерный график функции

.

Рисунок 12- двумерный график функции f(x)=x^2-3x+0,5

Графики в полярной системе координат

В полярной системе координат каждая точка задается углом ц и модулем радиус- вектора r(ц). График функции обычно строится в виде линии, которую описывает конец радиус-вектора при изменении угла ц в определенных пределах (чаще всего от 0 до 2р). Опция Polar Plot выводит шаблон таких графиков в виде окружности с шаблонами данных. Перед построением таких графиков надо задать функцию r(ц). После вывода шаблона следует ввести в шаблон внизу ц, а в местозаполнитель справа - функцию r(ц). После построения графика надо вывести графический курсор мыши из области графика. Функция и переменная могут иметь другие имена. Если необходимо, то задаются пределы изменения переменной ц.

Представим график функции

.

Рисунок 13- график функции в полярной системе координат.

Графики двух переменных в PTC Mathcad схожи с 2D-графиками. Однако существуют различия, о которых следует знать. В PTC Mathcad есть два типа 3D-графиков:

1. Контурный график.

2. 3D-график поверхности, в трех осях.

Контурный график

Контурный график отражает изменение поверхности по высоте. Он представляет собой линий равных высот. Чтобы вставить контурный график, выберите Графики -> Кривые -> Вставить график -> Контурный график

рассмотрим элементы 3D-графика



Рисунок 14- элементы 3D графика

У графика есть три оси: X, Y и Z. Ось Z обычно вертикальная. Сам график (здесь - розовая поверхность с красной сеткой) заключена в прямоугольную область, ограниченную осями. В 2D-графиках были отдельные место заполнители для осей X и Y. Здесь есть только один место заполнитель для оси Z.

В правом верхнем углу есть кнопка для выбора осей. Выбранная ось будет подсвечена синим, как на кнопке выбора, так и в области графика. Вы можете изменять значение первой, второй и последней метки, как на 2D-графике. Так можно менять диапазоны по осям и число меток.[15]

Можно перемещать, сжимать и расширять область с графиком с помощью кнопок на границе области. С помощью кнопок в левом верхнем углу можно перемещать, вращать и масштабировать график, а также сбросить вид графика (что-то вроде кнопки «Отменить»).

Трудно переоценить значение наглядных образов в научном и инженерном творчестве. Графики и рисунки служат прекрасным средством для лучшего понимания особенностей поведения математических объектов, которые часто остаются скрытыми от исследователя в формульном или численном представлении. Mathematica, Matlab и Mathcad позволяют строить двух- и трехмерные графики функций и массивов численных данных, контурные и плотностные графики функций от двух аргументов и т.д., а также предоставляет в распоряжение пользователя более мощное средство визуализации - графические примитивы.

2. ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ В СИСТЕМЕ MATHCAD

2.1 Способы построения графиков в системе Mathad

Система MathCAD - пакет, предназначенный, для проведения математических расчетов, который содержит текстовый редактор, вычислитель, графический процессор.

Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 года является частью корпорации PTC (ParametricTechnologyCorporation).

Mathcad имеет простой и интуитивный для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.

Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах

Существует три способа построения графиков в системе MathCAD:

- позиция Главного меню Вставка (Insert), выбрать команду График (Graph) и в раскрывающемся списке - тип графика;

- выбрать тип графика на наборной панели График (Graph), которая включается кнопкой на панели Math;

- воспользоваться быстрыми клавишами ( они предусмотрены не для всех типов графиков).

X-Y Plot (X-Y Зависимость) клавиша [@]

Служит доля построения графика функции y=f(x) в виде связанных друг с другом пар координат (xi,yi) при заданном промежутке изменения для i.

Polar Plot (Полярные координаты)клавиши [Ctrl+7]

Служит для построения графика функции r(q), заданной в полярных координатах, где полярный радиус r зависит от полярного угла q.

Surface Plot (Поверхности) клавиши [Ctrl+2]

Служит для представления функции z=f(x,y) в виде поверхности в трехмерном пространстве. При этом должны быть заданы векторы значений xi и yj), а также определена матрица вида Ai,j=f(xi,yj). Имя матрицы A указывается при заполнении рамки-шаблона. С помощью этой команды можно строить параметрические графики.

Contour Plot (Контурный график)

Строит диаграмму линий уровня функции вида z=f(x,y), т.е. отображает точки, в которых данная функция принимает фиксированное значение z=const.



3D Scatter Plot (3D Точечный)

Служит для точечного представления матрицы значений Ai,j или отображения значений функции z=f(x,y) в заданных точках. Эта команда может также использоваться для построения пространственных кривых.

3D Bar Plot (3D Диаграммы)

Служит для представления матрицы значений Ai,j или отображения значений функции z=f(x,y) в виде трехмерной столбчатой диаграммы.

Vector Field Plot (Поле векторов)

Служит для представления двухмерных векторных полей V=(Vx, Vy). При этом компоненты векторного поля Vx и Vy должны быть представлены в виде матриц. При помощи этой команды можно построить поле градиента функции f(x,y).

Mathad предоставляет нам несколько вариантов построения графиков, что очень удобно. Варианты их использования зависят от цели и сложности поставленных задач.

2.2 Построение графиков функций в системе Mathad

Построим график функции y=x^2

Рисунок 15- график функции у(х)=х^2

Построим график полярных координат с=2б



Рисунок 16 - график полярных координат с=2б

Построение 3D-графика

Рисунок 17 - 3D-график

Построение точечного 3D-графика

Рисунок 18 - Точечный 3D-график

Рисунок 19- 3D-фигура вращения

Рассмотрев несколько графиков функций в Mathсad, можно сделать вывод о том, что для студентов вузов, Mathcad,как способ изображение графиков является самой универсальной и простой в использовании системой компьютерной математики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При рассмотрении различной литературы, научных статей, интернет-источников и сделанной работы можно сделать вывод, что по сравнению с другими системами Mathcad является наиболее доступной и эффективной системой для пользователя при построении различных видов графиков функций.

Таким образом, цель исследования достигнута и решены все поставленные задачи, а именно:

1. Дана сравнительная характеристика систем компьютерной математики, которая позволяет сделать вывод о том, что все математические системы сходны между собой. У них похожие принципы построения вычислений, графиков и функций. И в Mathcad, и в Matlab, и в Mathematica и в Scailab есть списки встроенных функций и операторов. Для построения графиков функций Mathcad является универсальной и массовой системой. Она представляет собой более удобную и эффективную систему для этой цели.

2. Изучены особенности построения графиков функций. Существует три способа построения графиков функций: позиция Главного меню Вставка (Insert), выбрать тип графика на наборной панели График (Graph), воспользоваться быстрыми клавишами.

3. Рассмотрены основные типы графиков функций в системе Mathcad, к ним относятся функции: двумерного графика, 3D-графики и функции, заданные параметрически.

4. Рассмотрены примеры построения графиков функций в системе Mathcad.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1) SCILAB Графика - [Режим доступа]: http://staff.ulsu.ru/semushin/_index/_pilocus/_gist/docs/mycourseware/10-optimeth/6-tools/SCILAB/DOC/scilab_5.pdf

2) Арефьев, В. В. 12 уроков по работе в Mathcad / В.В. Арефьев. - М.: Сокол, 2015. - 68 с.

3) Бидасюк, Ю. А. Mathcad 11 Самоучитель / Ю. А. Бидасюк. - М.: ДМК Пресс, 2010. - 122 с.

4) Википедия Mathcad - [Режим доступа]: https://ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad

5) Вознесенская, Н.В. Решение задач с помощью систем компьютерной математики: лабораторный практикум по MathCad. Издание 2-е, перераб. и доп. / Н. В. Вознесенская, С. И. Проценко ; Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2015. - 116 с

6) Воробьев, Е.М. Введение в систему Mathematica / М.: ДМК Пресс, 2012. - 95 с.

7) Гурский, Д. Е. Вычисления в Mathcad / Д.Е. Гурский. - СПб.: Питер, 2009. - 201 с.

8) Доев, В.С. Сборник заданий по теоретической механике на базе Mathcad / В.С. Доев. - Р. н/Д: Феникс, 2010. - 167 с.

9) Дьяконов, В.П. MATLAB / М.: ДМК Пресс, 2014. - 768 с.

10) Дьяконов, В.П. MATLAB / М.: ДМК Пресс, 2014. - 768 с.

11) Дьяконов, В.П. Компьютерная математика. Теория и практика / В.П. Дьяконов. - М.: Нолидж, 2001. -- 1296 с.

12) Дьяконов, В.П. Система MathCAD. Справочник. Справочное издание. - Москва. : Радио и связь, 1993 - 126 с.

13) Кирьянов, В.И. Самоучитель по Mathcad / В.И. Кирьянов. - М.: ДМК Пресс, 2010. - 213 с.

14) Кочетов, Е.О. Scilab - пособие / Е.О. Кочетов. - М.: Спутник, 2013. - 234 с.

15) Куприн, Е.М. Matlab / Е.М. Куприн. - М.: ДМК Пресс, 2005. - 571с.

16) Лекция №1 система Mathcad - [Режим доступа]: http://uchit.net/catalog/Informatika_programmirovanie/142207/#

17) Макаров, Е. О. Mathcad Учебный курс / Е.О. Макаров. - СПб.: Питер, 2010. - 147 с.

18) Макаров, Е.О. Инженерные расчеты в Mathcad / Е.О. Макаров. - СПб.: Питер,2011. - 400 с.

19) Моргун, А.М. Введение в Scilab / А.М. Моргун. - СПб.: Питер, 2011. - 198 с.

20) Основные характеристики в Mathcad - [Режим доступа]: http://www.allmathcad.com/ru/osnovnye-kharakteristiki.html

21) Охорзин, В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD. Учебное пособие / В.А. Охорзин. - СПб.: Лань, 2009. - 352с.

22) Очков, В.Ф. Теплотехнические этюды с Excel, Mathcad и Интернет / В.Ф. Очков. - ДМК Пресс, 2014. - 336 с.

23) Построение графиков в Mathcad - [Режим доступа]: http://eco.sutd.ru/mathcad/docs/mathcad/graphy.htm

24) Райхмист, Р. Б. Графики функций :справочное пособие для вузов / Р.Б. Райхмист. - СПб.: Высшая школа, 1991. - 160 с.

25) Рязанов, И. П. Графики в Mathad / И. П. Рязанов. - МЭИ.: Москва, 20011. - 139 с.

26) Селянкин, В.В. Учебное пособие по компьютерной графике / В.В. Селянкин. - Таганрог.: Юнис,2010. - 346 с.

27) Солодов, А.П. «Mathcad. Графическое изображение» / А.П. Солодов, В.Ф.Очков. МЭИ.: Москва, 2002. - 239 с.

28) Форматирование двумерных графиков - [Режим доступа]: http://www.exponenta.ru/educat/systemat/bolotsky/1.asp

29) Электронная библиотека студента / Использование программы Mathematica в учебном процессе - [Режим доступа]: http://bibliofond.ru/view.aspx?id=550593

30) Яньков, В.Ю. Лабораторный практикум по Маткаду. Учебное пособие / В.Ю. Яньков. - М.: Спутник, 2009. - 220 с.

Размещено на Allbest.ru

...