Передаточні функції, їх використання в задачах аналізу та синтезу автоматичних систем керування

Размещено на http://www.allbest.ru

Міністерство освіти і науки України

Національний університет харчових технологій

Кафедра автоматизації та інтелектуальних систем керування

Реферат

з дисципліни «Теорія автоматичного керування»

на тему «Передаточні функції,

їх використання в задачах аналізу та синтезу АСР»

Виконав:

студент групи АКС 2-2

Костенко Е.

Перевірив викладач:

проф. Ладанюк А.П.

Київ 2016

Визначення передаточних функцій елементів САК

У ТАК елементи автоматичних систем з точки зору їх динамічних властивостей зображують за допомогою динамічних ланок. Під динамічною ланкою розуміють математичну модель штучно виділеної частини системи, яка характеризується певним алгоритмом передачі сигналу зі входу ланки на її вихід (мал. 1).

автоматичний керування передаточний ланка

Вхідна x_вх. і вихідна x_вих. величини відповідають фізичним величинам, що зображують дію попередньої ланки на дану ланку (x_вх.) і дію даної ланки на наступну (x_вих.). Рівняння динаміки елементу системи (ланки) визначає залежність його вихідної величини x_вх. від вхідної величини x_вих. і, як правило, подається в диференціальній формі. Ланка САК може являти собою технічний пристрій будь-якої фізичної природи, конструкції та призначення. Тому складання рівняння динаміки конкретної ланки є предметом відповідної галузі технічних наук (механіки, електротехніки, теплотехніки і т.ін.), до яких і слід звертатися кожного разу.

Якщо задано диференціальне рівняння, що описує залежність вихідної величини елементу від вхідної, передаточна функція ланки W(p)визначається за допомогою перетворення Лапласа за нульових початкових умов.

Розглянемо визначення передаточної функції ланки на прикладі диференціального рівняння електричного RL - ланцюжка (мал. 2):



Запишемо початкове диференціальне рівняння в операційній формі (тобто в зображеннях за Лапласом), використовуючи такі теореми перетворення Лапласа:

1. Теорема про додавання (лінійність перетворення)

L{a₁ f₁(t) + a₂ f₂(t)}= a₁L{f₁(t)}+ a₂L{f₂(t)}.

2. Теорема про інтегрування

3. Теорема про диференціювання (за нульових початкових умов)

L{f ⁽ⁿ⁾(t)}= pⁿF(p) _.

f (t) ; p = у + jщ - комплексна змінна перетворення Лапласа.

Відповідно до наведених теорем, функції часу, що входять до диференціального рівняння, замінюються на їх зображення за Лапласом, а операції диференціювання (інтегрування) у випадку нульових початкових умов - множенням (діленням) на комплексну змінну p зображень функцій, від яких береться похідна (інтеграл).

Диференціальне рівняння (1) в операційній формі для випадку нульових початкових умов має вигляд:

(Tp + 1)Uвих(p) = KUвх(p) . (2)

Передаточна функція ланки (системи) W(p) являє собою відношення зображень за Лапласом вихідної X_вих(p) і вхідної X_вх(p) величин за нульових початкових умов:

тобто передаточна функція може бути визначена із рівняння ланки, записаного в операційній формі, і для рівняння (2) має вигляд:



Якщо елемент системи має дві вхідних величини, необхідно визначити дві передаточні функції (за кожним входом). Нехай диференціальне рівняння елемента:

де у(t) - вихідна величина; x(t), f(t) - відповідно регулююче і збурююче діяння (знак “-” показує, що за зростання f(t) відбувається зменшення y(t)).

Покладаємо, у = у_х + у_f тоді рівняння (5) розбивається на два рівняння:

яким відповідають дві передаточні функції:

де уx - вихідна величина, що зумовлена регулюючим діянням х за f = 0 ; уf - вихідна величина, що зумовлена збурюючим діянням f за x = 0 .



Часові характеристики елементів (системи)

Перехідна функція ланки h(t)

Перехідною функцією ланки (системи) h(t) зветься реакція ланки

(системи) на одиничне ступінчасте діяння (мал. 3,а), тобто перехідний процес на виході x_вих(t) за одиничного стрибка на вході x_вх(t) за нульових початкових умов.

Перехідна функція h(t) може бути визначена вирішенням диференціального рівняння ланки (системи) звичайним або операційним методами. Для визначення h (t) операційним методом в рівнянні (3) підставимо зображення одиничної ступінчастої функції

і знайдемо зображення перехідної функції:

Для розглядуваного прикладу ланки з передаточною функцією (4) перехідну функцію визначаємо з виразу:



Методи визначення оригіналу функції за відомим її зображенням наведені в п. 2.3.

Імпульсна перехідна (вагова) функція ланки (системи) w(t)

Ваговою функцією w(t) зветься реакція ланки (системи) на одиничний імпульс (t)д на вході ланки (системи), тобто на миттєвий імпульс нескінченно великої амплітуди і одиничної площі (мал.3,б).

Оскільки одиничний імпульс д(t)може бути отриманий

диференціюванням одиничного стрибка , або ж в операційній формі то зображення вагової функції ланки (системи) дорівнює відповідній передаточній функції:

L{w(t)}=W(p)?д(p) =W(p). (13)

Таким чином, щоб отримати вагову функцію w(t) , треба знайти оригінал (обернене перетворення Лапласа), що відповідає передаточній функції:



де L^?1{*} знак оберненого перетворення Лапласа.

Для ланки з передаточною функцією (4) вираз для визначення вагової функції (14) запишемо у вигляді:



Визначення оригіналу функції за її зображенням (обернене перетворення Лапласа)

Розглянемо деякі способи оберненого перетворення Лапласа, які дозволяють на практиці досить просто визначати оригінал функції за її зображенням, тобто такі, що є простими інженерними методами визначення перехідної h(t) і вагової w(t) функцій ланки (системи) за відомою передаточною функцією W(p).

1. В найпростішому випадку оригінал функції можна визначити за таблицею перетворень Лапласа, якщо зображення є табличним.

В таблиці 1 наведені оригінали і зображення Лапласа для деяких простих функцій, що найчастіше зустрічаються в задачах ТАК.

2. Якщо зображення за Лапласом є дробово-раціональною функцією р, то таку функцію можна розкласти на елементарні дроби і, скориставшись теоремою про додавання, обмежитись оберненим перетворенням Лапласа елементарних зображень, наведених в табл. 1.



Аналіз та синтез САР

Головними задачами теорії автоматичного керування є дві - аналізу та синтезу. В першому випадку задається система та її параметри і необхідно визначити властивості системи, в другому випадку задаються вимоги і необхідно створити систему, яка відповідала б цим вимогам. Друга задача є більш складною і, як правило, не має однозначного розв'язку. Названі задачі розв'язуються на основі математичного опису елементів та системи в цілому, що дає можливість дослідити усталені та перехідні процеси в них. Одним з підходів отримання математичного опису системи є розбиття її на окремі ланки, для кожної з яких визначаються закономірності перетворення вхідного сигналу у вихідний. При цьому виділення ланок здійснюється, виходячи із зручності математичного опису.

При формалізованому описі елементів і систем виконуються такі положення:

· система розглядається як ланцюг взаємодіючих (фізично та інформаційно) елементів, які характеризуються можливістю передавати

· фізичні діяння та інформаційні сигнали в одному , чітко визначеному, напрямі;

· кожен конструктивний елемент системи розглядається як перетворювач вхідного діяння у вихідну реакцію;

· на основі апріорних даних щодо фізичної природи кожного елемента та закономірностей його функціонування складається математична модель, яка відображає найбільш суттєві для даного випадку взаємозв'язки між вхідними та вихідними змінними елемента;

· при складанні математичної моделі елементів чи системи в цілому завжди виникає необхідність деякої ідеалізації реальних фізичних процесів, певних спрощень фізичних закономірностей, відкидання другорядних факторів. Для цього потрібні глибокі знання процесу (об'єкта), фундаментальних законів, та експериментальна перевірка.

Реальні системи є нелінійними, і тому проводиться операція лінеаризації, тобто наближеної заміни нелінійних залежностей лінійними. Розглянемо приклад лінеаризації статичної характеристики елемента, схема якого показана на рис.2.1,а

Рис.2.1 Схема елемента - а); статична лінійна характеристика - б); статична нелінійна характеристики - в)

В теорії автоматичного керування використовуються такі методи лінеаризації: аналітичні та графоаналітичні.

Предаточні функції

В теорії автоматичного керування зручною і найбільш наочною формою визначення закономірностей перетворення вхідних сигналів є предаточна функція. В операторному вигляді - це відношення оператора дії до власного оператора, причому кількість передаточних функцій дорівнює кількості вхідних сигналів:

тобто



Передаточні функції мають нулі (корені рівняння R(p)=0) і полюси (корені рівняння D(p)=0). На основі виразів (2.20)-(2.22) визначається фундаментальна залежність:

Таким чином, передаточні функції мають чіткий фізичний зміст: показують як перетворюється вхідний сигнал (передається з входу на вихід). Передаточні функції зручно отримувати з диференціальних рівняннь в операторному вигляді, наприклад рівняння (2.16) можна записати так:

тоді

Передаточні функції можуть бути також в формі зображень Лапласа:це відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної за нульових початкових умов. Формально це можна отримати підстановкою в р=s (s-комплексне число), але це справедливо лише для стаціонарних систем, тоді

Типові елементарні ланки та їх характеристики

В автоматичних системах використовуються різні функціональні елементи ( автоматичні регулятори, датчики, перетворювачі і інш.), які мають різну природу і конструкцію, але їх поведінка описується однаковими математичними залежностями, що дає можливість виділити порівняно невелику кількість типових ланок. Кожній такій ланці відповідає математична модель як залежність між вхідною та вихідною величинами, при цьому ця залежність є достатньо простою, і ланки називають елементарними. Елементарна ланка (ЕЛ) - це виділена дільниця (частка, елемент), яка має однонаправлену дію з відомою залежністю .

Рис. Елементарна ланка

В теорії автоматичного керування введені такі ЕЛ, щоб з їх допомогою можна було представити та описати систему різної природи та призначення. Використовуються такі елементарні ланки: аперіодична, підсилювальна, коливальна, інтегральна, диференціююча, із запізнюванням. Всі ці ЕЛ є мінімально-фазовими елементами. При аналізі властивостей елементарних ланок необхідно знати: рівняння, передаточну функцію, часові та частотні характеристики, а також реальні об'єкти, властивості яких описуються конкретною елементарною ланкою.

Підсилювальна ланка. Рівняння ланки має вигляд:

де: - коефіцієнт передачі.

Аперіодична ланка. Диференціальне рівняння ланки:



де: Т - постійна часу, - коефіцієнт передачі.

Інтегрувальна:

Диференціювальна:

Коливальна:

Із запізнюванням:

Загальні властивості об'єктів регулювання

Об'єкти мають різне призначення, в них протікають різні процеси, вони відрізняються конструкцією, але з точки зору процесу керування ними можна виділити деякі загальні особливості і властивості :

· самовирівнювання - властивість об'єкта переходити самостійно з одного рівноважного стану в інший після нанесення певного вхідного сигналу, збурення. Наприклад, теплообмінні процеси при змінюванні навантаження самостійно переходять з одного стану рівноваги в інший з різними температурами середовища, збірники, в яких відбувається вільний витік рідини. Самовирівнювання - це наслідок внутрішнього від'ємного зворотнього зв'язку в стійкому об'єкті, що проявляється як вплив значення регульованої координати на приток та (чи) виток речовини або енергії. Ця властивість об'єкта полегшує процес регулювання, зменшує відхилення регульованих координат;

· інерційність, що проявляється в тривалості перехідних процесів і оцінюється постійними часу Т. Як відзначалось вище, тривалість перехідного процесу t _n = (3-4)Т;

· ємкість - кількість речовини чи енергії, яку може накопичувати та витрачати об'єкт в процесі регулювання. Для гідравлічних об'єктів - маса речовини, для теплових - кількість теплоти, для рухомих - момент інерції.

· запізнювання - час між подачею вхідного сигналу та моментом появи вихідної змінної. Розрізняють транспортне (чисте) запізнювання Т_зп = ( - довжина шляху, v - швидкість) та перехідне, або ємкісне, яке викликається наявністю в об'єкті кількох ємкостей та опорів між ними.

Методи отримання математичних моделей об ' єктів можна поділити на ряд класів в результаті чого отримують :

· аналітичні ММ (неформальні). При їх виведенні використовуються фундаментальні закони перетворення речовини та енергії, тепло- та масообміну, гідродинаміки та інше. В результаті отримують ММ, які описують клас об'єктів, є універсальними, і саме в цьому їх значущість і перевага перед іншими моделями.В той же час отримання аналітичних ММ потребує розкриття природи та механізмів процесів, що приводять до громіздких і незручних для використання математичних моделей. Крім того, при виведенні аналітичних ММ не можна обійтись без певних спрощень, що зменшує цінність цих ММ. В теорії автоматичного керування аналітичні моделі розробляють для елементарних об'єктів і приводять до зручного виду, наприклад до стандартної форми диференціальних рівнянь;

· Формальні моделі, для отримання яких використовується метод “чорного ящика”, коли не розкривається природа процесів, які протікають в об'єкті, а знаходяться такі математичні залежності, які з прийнятною точністю описують зв'язок між вхідними і вихідними змінними. Формальні моделі отримують експериментальним шляхом та перевіряють їх методами комп'ютерного моделювання;

· Комбіновані, які певною мірою об'єднують аналітичні та формальні методи, наприклад структура моделі визначається після вивчення природи об'єкта, а параметри моделі оцінюються експериментально.

Порядок отримання аналітичних ММ для елементарних об'єктів може бути таким:

· вивчаються в загальному вигляді природа об'єкта, процеси, які протікають в ньому, визначаються регульовані координати, збурення та можливі дії керування, складається так звана параметрична схема. Кількість регульованих координат визначає порядок математичної моделі;

· складаються рівняння матеріального та енергетичного балансів, визначаються математичні моделі для розкриття складових цих балансів;

· виконуються процедури лінеаризації нелінійних залежностей, приймаються припущення, які можуть спростити математичну модель, наприклад щодо зосередженості параметрів, постійних значень констант процесів і інш.;

· розглядаються порушення балансів і приймається припущення, що швидкість змінювання регульованих координат пропорційна величині небалансу. Диференціальні рівняння приводяться, по можливості, до стандартної форми;

· аналізуються отримані математичні моделі, складаються структурні схеми, проводиться комп'ютерне моделювання.

Аналітичні ММ повинні бути адекватними (відповідними) об'єкту та задачі, з необхідною точністю відтворювати статичні та динамічні властивості, бути зручними, наочними та, по можливості, простими.

Размещено на Allbest.ru

...