Численные методы решения уравнений и систем уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова»

Кафедра «Программное обеспечение»

Отчёт по лабораторной работе №1

по теме «Численные методы решения уравнений и систем уравнений»

Выполнил А.С. Варламов

Принял А.В. Коробейников

Ижевск 2016



1. ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

Вариант №10

Цель работы: закрепление теоретического материала по разделам: численное решение уравнений и численное решение систем уравнений.

Задание на выполнение работы:

1) решение уравнения одним из методов Ньютона при a = -1 и b = 0;

2) решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.



2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ЗАДАНИЯМ

2.1 Задание 1

Метод секущих является модификацией метода Ньютона, позволяющий находить корни функции, не прибегая к вычислению производной. Значение производной в итерационной формуле заменяется её оценкой по двум предыдущим точкам итераций.

Метод Ньютона (также известный как метод касательных) -- это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643--1727).

Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. В отличие от метода Ньютона, метод секущих имеет меньшую скорость сходимости. Порядок сходимости метода равен «золотому сечению», ? 1.618033.

линейный алгебраический уравнение корень

2.1.1 Алгоритм

Задается начальное и конечное приближение x₀ и х_n.

Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять |x_n+1 -x_n| < (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение:

2.2 Задание 2

Метод Гаусса -- классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса разделяется на два этапа.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.



3. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

3.1 Решение уравнения

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <conio.h>

#include <iomanip>

using namespace std;

double F (double x) {

return (sin(0.2*x - 3))/(pow(x, 2)+1);

}

int main()

{

setlocale(LC_ALL, "rus");

double a, b, E = 0.0001;

int n=0;

cout << "Метод секущих" << endl;

cout << "Введите начало и конец отрезка (через пробел)" << endl;

cin >> a >> b;

if((F(a)*F(b) < 0) && (a<b)) {

double xa = a;

double xb = b;

while(abs(F(xa)) > E) {

n++;

double p1 = F(xa);

xa = xb-F(xb)*((xb-xa)/(F(xb)-F(xa)));

xb=p1;

cout << "Ответ x=" << xa << endl << "Найден на " << n << "-ой итерации" << endl << "Значение функции при данном х: ";

cout << F(xa);

} else {

cout << "Что-то пошло не так (нет корня или начало отрезка больше конца)" << endl;

}

getch();

return 0;

}

3.2 Решение СЛАУ

#include <iostream>

#include <math.h>

#include <stdlib.h>

#include <locale.h>

#include <conio.h>

using namespace std;

int main()

{

int i, j, n, m;

setlocale(LC_ALL, "rus");

n=3;

m=4;

float **matrix = new float *[n];

for (i=0; i<n; i++)

matrix[i] = new float [m];

matrix[0][0] = -9.11;

matrix[0][1] = -1.06;

matrix[0][2] = 0.67;

matrix[0][3] = -1.56;

matrix[1][0] = 7.61;

matrix[1][1] = 6.35;

matrix[1][2] = -2.42;

matrix[1][3] = 2.33;

matrix[2][0] = -4.64;

matrix[2][1] = 1.23;

matrix[2][2] = -8.88;

matrix[2][3] = -3.75;

cout << "matrix: " << endl;

for (i=0; i<n; i++)

{

for (j=0; j<m; j++)

cout << matrix[i][j] << " ";

cout << endl;

}

cout << endl;

float tmp, *xx = new float[m];

int k;

for (i=0; i<n; i++)

{

tmp=matrix[i][i];

for (j=n;j>=i;j--)

matrix[i][j]/=tmp;

for (j=i+1;j<n;j++)

{

tmp=matrix[j][i];

for (k=n;k>=i;k--)

matrix[j][k]-=tmp*matrix[i][k];

}

}

xx[n-1] = matrix[n-1][n];

for (i=n-2; i>=0; i--)

{

xx[i] = matrix[i][n];

for (j=i+1;j<n;j++) xx[i]-=matrix[i][j]*xx[j];

}

for (i=0; i<n; i++)

cout << xx[i] << " ";

cout << endl;

delete[] matrix;

getch();

return 0;

}



4. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ

4.1 Решение уравнения =0

На графике (рис. 1) видно, что уравнение имеет решение на отрезке [-2 ; 0].

Рис. 1

Корень уравнения был найден с точностью 0.0001.

Корень уравнения: .

4.2 Решение СЛАУ

Решим систему методом Гаусса:

Результат работы программы:



Таблица 1

-9.11	-1.06	0.67	-1.56
7.61	6.35	-2.42	2.33
-4.64	1.23	-8.88	-3.75

Корни системы уравнений:



ВЫВОД

В ходе работы были написаны две программы на языке C++, одна из которых реализует метод секущих, а вторая - метод Гаусса.

Решение уравнения =0 методом секущих дало достаточно точный результат . Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса дало следующие результаты:

Полученные ответы получились достаточно точными и удовлетворяют запрашиваемым требованиям к погрешности результата. В процессе работы были закреплены на практике теоретические сведения по разделам «численное решение уравнений» и «численное решение систем уравнений».

Размещено на Allbest.ru

...