Моделирование физических процессов в твёрдых телах
Цели использования прикладного программного обеспечения специального назначения. Решение задачи Коши методом прогонки. Разработка алгоритма прогонки. Задача Дирихле для уравнения Лапласа с данными граничными условиями. Листинг программы, окно результатов.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.12.2016 |
| Размер файла | 871,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Курсовая работа
по дисциплине "Прикладное программное обеспечение для математических исследований"
на тему: "Моделирование физических процессов в твёрдых телах"
Введение
Прикладное программное обеспечение (ППО) составляют программы конечного пользователя. Это самый обширный класс программного обеспечения. В настоящее время в большинстве сфер человеческой деятельности разработаны и применяются прикладные программные продукты. Везде, где требуется выполнить большие математические расчеты или производится обработка больших объемов разнообразных данных, или требуется быстрый анализ ситуации с принятием управляющего решения, - компьютеры под управлением прикладного программного обеспечения с успехом заменяют человека.
Прикладное программное обеспечения специального назначения используется для более узких задач, а также задач профессионального характера. К ним относятся СУБД информационных систем, программные средства для решения математических задач, экспертные системы и т.д. Рассмотрим программные средства для решения математических задач. Существуют различные программы для решения математических задач такие как Scilab, Maple, Matcad и другие. В этих программах выделяются различные операции: вычисление выражения в аналитическом и в комплексном виде, разложения в ряд, преобразования Лапласа, пределы, интегрирования и другие операций, включающие в эти программы. В данной курсовой работе рассмотрим два задания. В первом задание рассмотрим задачу Коши, решим задачу методом прогонки и вычислим точное решение. Целью данной работе будет подробное решение задачи Коши аналитическим методом, а так же методом прогонки, предварительно запрограммированном в системе wxMaxima.
Хочется заметить что задача Коши очень похожа на обыкновенное решение дифференциальных уравнений, основная разница заключается в том, что в нашей задаче требуется отыскать частное решение, такое решение которое будет удовлетворять какому то конкретному условию поставленной нам задачи.
Одной из интереснейших задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) является задача Коши, цель которой сводится к поиску правильного решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данным нам изначально так называемым начальным условиям (начальным данным).
Задача Коши в большинстве случаев предстаёт перед нами при пристальном рассмотрении анализа процессов, построенных на основании дифференциального закона эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие).
Во втором задание рассмотрим задачу Дирихледля уравнения Лапласа на прямоугольнике методом конечных разностей. Для решения использовать явную трёхслойную схему "крест". Построить диаграмму распределения значений функции в виде линий уровня. В итогемы получим пять линейных векторных уравнений с пятью неизвестными векторами.
Задания
Задание № 1.
1. Решить аналитически задачу Коши. Варианты взять из таблицы 1. Краевое условие в точке b: y (b) =B вычислить, решив аналитически соответствующую задачу Коши:
после нахождения точного решения поставить в него точку b=1, т.е. В=y (1)).
Значения a и b во всех вариантах равны 0 и 1, соответственно [a,b] = [0,1].
2. Решить задачу методом прогонки, шаг h= (b-a) /n.
3. Вычислить точное решение с тем же шагом и величину .
Таблица 1 - Исходные данные
Задание № 2
Формулировка задачи: решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольнике методом конечных разностей с шагом по осям x и y соответственно hx и hy., а uл, uп, uн, uв - соответственно значения функции на левой, правой, нижней и верхней сторонах прямоугольника. Для решения использовать явную трёхслойную схему "крест". Построить диаграмму распределения значений функции в виде линий уровня.
|
Вариант |
A |
b |
hx |
hy |
uл |
uп |
uн |
uв |
|
|
6 |
5 |
1.2 |
1 |
0.2 |
0 |
0 |
90 |
10 |
Задача 1
1. Постановка задачи и метод решения.
.
Уравнение
,
является линейным неоднородным уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид
,
где - общее решение соответствующего однородного уравнения , а - произвольное решение уравнения (1.2).
Характеристическим уравнением для однородного уравнения является . Его корни . Следовательно, общее решение уравнения имеет вид . Таким образом,
.
Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правая часть уравнения (1.2) имеет специальный вид. Будем искать частное решение как
.
Дифференцируя данное выражение
Находим, что . Приравнивая правую часть полученного выражения к правой части уравнения (1.2), находим, что . Таким образом, мы нашли частное решение уравнения (1.2) в виде .
Согласно формулам (1.3) и (1.4), общее решение уравнения (1.2) имеет вид
Имея данное общее решение легко получить решение задачи Коши (1.1).
Очевидно, что и . То есть .
Итак, решение задачи Коши (1.1): .
2. Метод прогонки.
Найдем приближенное решение задачи (1.1) на отрезке с шагом . Соответствующая разностная схема имеет вид.
где - номера узлов, - искомые значения аппроксимирующей функции в узлах, . Напомню, что последняя функция является функцией из условия.
Перепишем схему в виде.
(2.1)
Значения и нам известны, поэтому нам нужно решить линейную неоднородную систему из 9 уравнений (2.1).
Приведем ее к виду, пригодному к методу прогонки. Именно, перепишем первое и последнее уравнения:
(2.2)
где , и для остальных индексов.
Результатом метода прогонки, примененной к данной системе, являются соотношениями
,
в которых числа определяются соотношениями.
Далее приведены соответствующие массивы.
Таблица 1-массивы
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||
|
2 |
2.1207 |
2.2847 |
2.4955 |
2.7574 |
3.0751 |
3.454 |
3.9003 |
4.421 |
5.024 |
5.7183 |
||
|
2 |
2.1205 |
2.2843 |
2.495 |
2.7567 |
3.0744 |
3.4533 |
3.8996 |
4.4204 |
5.0236 |
5.7183 |
||
|
Модуль разности |
0 |
0.0002 |
0.0004 |
0.0006 |
0.0007 |
0.0007 |
0.0007 |
0.0007 |
0.0005 |
0.0003 |
0 |
Графики практически сливаются
Рисунок 1 - Значения в узлах приближенного и точного решений значения в узлах приближенного и точного решений
3. Листинг программы прогонки в системе wxMaxima
В последней таблице (окно результатов) первая и вторая колонки - это значения в узлах приближенного и точного решений. Последний столбец - абсолютные величины их разностей. Параметр здесь не число интервалов аппроксимации, а число узлов. В силу специфики программной среды - индексы начинаются с 1 - они сдвинуты, то есть , и т.д. Значения точного решения в точках сетки обозначены .
Задача 2
1. Постановка задачи и метод решения.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа с данными граничными условиями: найти функцию , определенную на прямоугольнике , для которой выполнены следующие условия:
.
Такая функция существует и единственна. В силу симметрии условий относительно прямой (вертикальная ось симметрии прямоугольника), решение, в силу своей единственности, также должно быть симметрично: .
Аппроксимационные данные:
· по оси абсцисс прямоугольник разбивается на интервалов
· по оси ординат прямоугольник разбивается на интервалов
Разностная схема строится для чисел , аппроксимирующих точное решение в точках с координатами , , .
Граничные условия:
.
То есть в точках границы прямоугольника все значения в узловых точках известны. Трехслойная схема "крест" во внутренних точках сетки выглядит следующим образом:
.
Слагаемые аппроксимируют вторые производные и точного решения задачи в точке с координатами . Таким образом, мы имеем дело с разностной схемой.
Рассмотрим уравнения схемы в точках как СЛУ относительно :
В силу упомянутой симметрии решения, для любого выполняются равенства.
и .
Таким образом, данная СЛУ сводится к
Решив эту систему относительно , мы выразим величины через величины линейно. Теперь, для , запишем соответствующие уравнения разностной схемы.
Согласно равенствам и , данная система принимает вид.
Перейдем к векторным обозначениям ():
.
В этих обозначениях полученные системы уравнений имеют вид.
.
При этом из граничных условий следует, что
и .
То есть мы имеем пять линейных векторных уравнений с пятью неизвестными векторами:
К подобным системам применим формализм метода прогонки.
Именно, предположим, что имеется последовательность матриц и векторов (), для которой выполнятся равенства.
Подставляя данное равенство во второе, третье и четвертое уравнение системы, получим.
,
Как и в выводе формул метода прогонки, полагаем.
Откуда следует, что
.
Подставляя равенство в первое уравнение системы, получим . Откуда, как и в классическом методе прогонки, можно заключить, что и .
Итак, последовательности матриц и векторов () определены следующей рекурсией
Эти последовательности легко вычисляются на ЭВМ.
Подставляя равенство в последнее уравнение системы, получим . Таким образом, обратный ход прогонки задается формулами.
Таблица 2 - Реализуя этот алгоритм на ЭВМ, мы получим следующий результат
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
|
90 |
71.86 |
56.43 |
43.01 |
31.08 |
20.19 |
10 |
||
|
90 |
76.16 |
62.49 |
49.06 |
35.88 |
22.89 |
10 |
Таким образом, решение разностной схемы имеет вид.
Таблица 3 - Решение разностной схемы
|
10 |
10 |
10 |
10 |
|||
|
0 |
20.19 |
22.89 |
22.89 |
20.19 |
0 |
|
|
0 |
31.08 |
35.88 |
35.88 |
31.08 |
0 |
|
|
0 |
43.01 |
49.06 |
49.06 |
43.01 |
0 |
|
|
0 |
56.43 |
62.49 |
62.49 |
56.43 |
0 |
|
|
0 |
71.86 |
76.16 |
76.16 |
71.86 |
0 |
|
|
90 |
90 |
90 |
90 |
(началу координат отвечает левая нижняя клетка таблицы).
Листинг программы (матрицы обозначены как )
Вывод
Выполнено подробное решение задачи Коши аналитическим методом, а так же методом прогонки:
1. Постановка задачи и метод решения.
2. Аналитическое решение.
3. Результаты решения: массивы и и величина .
4. Листинг программы и окно результатов.
Выполнено подробное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольнике методом конечных разностей:
1. Постановка задачи и метод решения.
2. Исследование аппроксимации и устойчивости.
3. Листинг программы и окно результатов
задача коши метод прогонка
Список используемых источников
1. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. Изд-во УРСС, 2005. (сьр11-15)
2. Самарский А.А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов.3-е изд., - СПб.: Издательство "Лань", 2005. (стр17)
3. Шмелева А.Г. Разностные схемы. Учебно-методическое пособие. М.: МГУПИ, 2007.
4. http://studopedia.ru/17_87611_prikladnoe-programmnoe-obespechenie.html
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Разработка программы на языке С++ для решения дифференциального уравнения Лапласа в прямоугольной области методом сеток. Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, построение сетки и итерационного процесса. Листинг и результат программы.
курсовая работа [307,5 K], добавлен 30.04.2012Решение конечно-разностной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области. Погрешность замены дифференциального уравнения разностным. Использование схемы узлов при получении сеточных уравнений. Сущность метода Зайделя. Листинг программы.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 26.04.2011Решение систем алгебраических линейных уравнений методом Крамера. Сущность метода прогонки. Программная реализация метода: блок-схема алгоритма, листинг программы. Проверка применимости данного способа решения для конкретной системы линейных уравнений.
курсовая работа [581,0 K], добавлен 15.06.2013Физическая и математическая модели уравнения движения материальной точки. Блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши и получения результатов с фиксированным количеством отрезков разбиения. Разработка программы для ЭВМ, ее листинг.
курсовая работа [212,3 K], добавлен 24.11.2014Особенности моделирования гемодинамики. Одномерная модель течения крови в артериях и ее взаимодействия с подвижными стенками. Численное решение дифференциального уравнения с граничными условиями одномерной модели методами прямых и ортогональной прогонки.
курсовая работа [3,9 M], добавлен 24.09.2012Математическое описание алгоритмов схемы и операций для уравнения Лапласа. Изучение разностной схемы "крест" для нахождения численного решения эллиптического уравнения, задача Дирихле. Использование указателей в среде Matlab для решений методом Гаусса.
дипломная работа [859,3 K], добавлен 23.10.2014Сетка, аппроксимация частных производных разностными отношениями. Операторная форма записи дифференциальных краевых задач. Нормы, погрешность приближённого решения. Сходимость и её порядок. Cмешанная краевая задача с граничными условиями третьего рода.
контрольная работа [501,6 K], добавлен 08.10.2011Создание и реализация алгоритма решения транспортной задачи методом наименьших стоимостей. Схема алгоритма основной программы. Основные шаги алгоритма решения транспортной задачи. Инструкция по эксплуатации программы и обзор результатов ее выполнения.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 12.02.2013Математическая модель, описание теории, применяемой к задаче. Обсчет точек методом Рунге-Кутта, модифицированным методом Эйлера, схема и листинг программы. Решение дифференциальных уравнений и построение графиков, решение уравнений в среде Turbo Pascal.
курсовая работа [76,7 K], добавлен 18.11.2009Разностная схема решения уравнения теплопроводности. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl и в пакете математических расчётов MathCAD. Расчёт методом прогонки. Изменение пространственной координаты.
дипломная работа [248,4 K], добавлен 15.03.2014Разработка прикладного программного обеспечения для решения расчетных задач для компьютера. Численное интегрирование - вычисление значения определённого интеграла. Проектирование алгоритма численного метода. Тестирование работоспособности программы.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 03.08.2011Решение задачи Коши для дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта и Адамса с автоматическим выбором шага и заданным шагом. Интерполирование табличной функции. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методами простой итерации.
методичка [35,8 K], добавлен 15.03.2009Решение биквадратного уравнения методом введения новой переменной. Создание программы с понятным интерфейсом. Математические и алгоритмические основы решения задачи. Алгебраическое уравнение четвертой степени. Программная реализация решения задачи.
курсовая работа [412,5 K], добавлен 02.02.2010Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа [532,9 K], добавлен 14.01.2014Основные подходы к математическому моделированию решений дифференциальных краевых задач. Метод конечных разностей и элементов. Графическая схема алгоритма метода прогонки, программное обеспечение. Оператор конвективного переноса и одномерность задачи.
курсовая работа [999,6 K], добавлен 22.12.2015Разработка программного обеспечения для решения нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам, методом деления Гаусса. Алгоритм определения и методика уточнения корней. Составление и тестирование программы, ее листинг и оценка эффективности.
контрольная работа [638,0 K], добавлен 16.12.2013Анализ метода касательных (метода секущих Ньютона), аналитическое решение нелинейного уравнения. Описание алгоритма решения задачи, пользовательских идентификаторов, блок-схем, программного обеспечения. Тестирование программы на контрольном примере.
курсовая работа [97,1 K], добавлен 10.01.2014Обзор существующих методов по решению нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений комбинированным методом и методом хорд на конкретных примерах. Разработка программы для решения нелинейных уравнений, блок-схемы алгоритма и листинг программы.
курсовая работа [435,8 K], добавлен 15.06.2013Отделение корней методом простых интеграций. Дифференцирование и аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов. Решение нелинейного уравнения вида f(x)=0 методом Ньютона. Решение системы линейных уравнений методом Зейделя и методом итераций.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 23.10.2011Численное и графическое моделирование динамических процессов в механической системе вибрационного типа. Обработка исходных данных и получение необходимых значений в MathCAD Professional. Решение задачи Коши модифицированным методом Эйлера в Excel.
курсовая работа [3,7 M], добавлен 27.08.2012
