Системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

1. Краткие сведения из теории

В общем случае система счисления представляет собой совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми и другими знаками.

Все системы представления чисел делят на непозиционные и позиционные.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание (базис) естественной позиционной системы счисления - это число знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем, так как за основание можно принять любое число, образовав новую систему счисления.

Для позиционной системы счисления справедливо равенство:

где A(q) - произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q;

аi- цифры (символы) системы счисления; n, m - число целых и дробных разрядов.

В ЭВМ для записи чисел используется двоичная система счисления. В этой системе всего две цифры: 0 и 1, основание системы равно 2.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 24 и 8 = 23. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе называется разрядностью числа. Например, десятичное число 1990 является четырёхразрядным.

Для перевода целых чисел и целых частей неправильных дробей используется метод, базирующийся на делении переводимого числа на основание новой системы счисления.

Целое число с основанием N1 переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного деления числа AN1на основание N2, записанного в виде числа с основаниемN1, до получения остатка. Полученное частное следует вновь делить на основаниеN2, и этот процесс надо повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном порядку деления. Сформированное число и будет являться числом с основаниемN2.

Дробное число (< 1) с основанием N1 переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного умноженияА(N1)на основание N2, записанное в виде числа с основанием N1. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющего числоА(N1) в системе счисления N2.

Так как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы связаны через степени числа 2, то преобразования между ними можно выполнять другим более простым способом.

Преобразуемое двоичное число разбивают вправо и влево от границы целой и дробной части на группы по четыре двоичные цифры (тетрады). Затем каждую группу двоичных цифр выражают одной шестнадцатеричной цифрой, где

Все современные ЭВМ имеют достаточно развитую систему команд, включающую в свой состав десятки и сотни машинных операций. Однако выполнение любой операции основано на использовании простейших микроопераций типа сложение и сдвиг. Это позволяет иметь единое арифметико-логическое устройство для выполнения любых операций, связанных с обработкой информации. Правила сложения двоичных цифр двух чиселА и В представлены в таблице 1.

Различают прямой код (ПК), обратный код (ОК) и дополнительный код (ДК) представления двоичных чисел.

Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (ноль или единица) перед его старшим числовым разрядом.

Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, то есть нули заменяются единицами, а единицы нулями.

Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда (20 - для целых чисел, 2-k -для дробных).

2. Решение задач

Задание №1

Переведите десятичную дробь A10 в двоичную систему счисления с точностью до пяти знаков после запятой.

Переведите двоичное число из предыдущего примера в шестнадцатеричную систему счисления.

Переведите двоичное число B2 в десятичную систему счисления.

Переведите десятичное число из предыдущего примера в двоичную систему счисления.

Переведите двоичное число из п. 4 в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Переведите десятичное число D10 в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Переведите восьмеричное и шестнадцатеричное числа, полученные в п. 5, в десятичную систему счисления.

Таблица 1 - Варианты для задания 1

Решение:

Необходимо перевести десятичную дробь A10=657,77в двоичную систему счисления с точностью до пяти знаков после запятой. Для этого переведем целую и дробную части отдельно: целую часть делением на основание новой системы, а дробную умножением.

Перевод целой части: Перевод дробной части:

То есть А2=1010010001.11000

Теперь необходимо перевести полученное двоичное число в шестнадцатеричную систему. Число разобьем число вправо и влево от границы целой и дробной части на тетрады. Затем каждую группу двоичных цифр выразим эквивалентной шестнадцатеричной цифрой.

10|1001|0001. |1100|0

2 | 9 | 1.|C| 0

A16= 291.C

Переведем двоичное число C2=11001101 в десятичную систему счисления, используя полную запись числа:

C2=11001101=27*1+26*1+25*0+24*0+23*1+22*1+21*0+20*1= 20510

C10=205

Переведем полученное число обратно в двоичную систему делением на основание бедующей системы:

C2=11001101, то есть мы вернулись к исходной записи числа.

Теперь переведем это число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы, методом деления на триады и тетрады:

11|001|1011100|1101

3| 1 | 5C|D

C8=315C16=CD

Переведем десятичное число D10=700 в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления. Для того, что бы упростить перевод, переведем число сначала в двоичную систему, а затем уже в необходимые нам.

D2= 1010111100

1|010|111|100=1|2|7|410|1011|1100=2|B |C

D8=1274D16=2BC

Переведем полученные числа в десятичную систему счисления при помощи полной записи числа:

D8=1274=83*1+82*2+81*7+80*4=700 10

D16=2BC=162*2+161*11+160*12 =700 10

Задание №2

Для двух двоичных чисел A2 и B2:

а) выберите разрядную сетку для представления этих чисел в форме с фиксированной запятой;

б) запишите числа в выбранной разрядной сетке;

Таблица 2 - Варианты для задания 2

Решение:

Число А отрицательное, поэтому знаковый бит будет равен единице. Для записи целой части числа необходимо 5 бит, для записи дробной - 4 бита.

Число В положительное, знаковый бит числа будет равен нулю. Разрядная сетка, выбранная для числа А, подойдет для записи числа В, так как оно меньше.

Таблица 3 - Представление числа А

Число В=1111 положительное и не превышает диапазон одного байта. Запишем его в разрядную сетку.

Задание №3

Получите прямой, обратный и дополнительный коды:

а) правильных двоичных дробей A2 и B2

б) целых двоичных чисел C2 и D2

Таблица 5 - Варианты для задания 3

Решение:

Получим прямой, обратный и дополнительный коды правильных двоичных дробей A2 и B2:

A(2) = 10001,001[ A(2) ]пк = [ C(2) ]ок = [ C(2)]дк=0|10011,001

B(2) =-10011,001[-D(2)]пк = 1|10011,001 [-D(2)]ок=1|01100,110

[-D(2)]дк=1|01100,111

Получим прямой, обратный и дополнительный коды целых двоичных чисел C2 и D2 :

С(2) = +11101101 [ C(2) ]пк = [ C(2) ]ок = [ C(2)]дк=0|11101101

D(2) = -11101101 [-D(2)]пк = 1|11101101 [-D(2)]ок=1|00010010

[-D(2)]дк=1|00010011

Задание № 4

Сложите в прямом, дополнительном и обратном кодах целые двоичные числа A2 и B2:

счисление код дробь двоичный

Таблица 6 - Варианты для задания 4

Решение:

A(2) = +110111[ A(2) ]пк = [ A(2) ]ок = [ A(2)]дк=0|110111

B(2) =-110001[-B(2)]пк = 1|110001 [-B(2)]ок=1|001110

[-D(2)]дк=1|001111

Таблица 7 - Сложение чисел в обратном и дополнительном кодах

Задание № 5

Сложите в двоичной системе счисления числа А и В (предварительно переведя число А из десятичной системы счисления в двоичную).

Используя числа, заданные в таблице, вычислите по правилам двоичной арифметики: А+ B, А - B, В - А для ЭВМ с длиной разрядной сетки, равной 16.

Таблица 8 - Варианты для задания 5

Переведем число А из десятичной в двоичную систему:

А2=1100011

Таблица 9 - Вычисления

Список использованных источников

1 Малашевская. Е.А. Методическое пособие/ Е.А. Малашевская. - 2015. - 27 с.

2 А.Н. Вылиток. Представление чисел в ЭВМ- М.: Говорящая книга, 2012. -570 с.

3 А.Г. Серебренникова, А.С. Верещагина, Е.Г. Кравченко, Д.Н. Кузнецов. Информатика. Компьютерный практикум: учеб.пособие, 2014.-146 с.

4 А.Г. Серебренникова, А.С. Верещагина, Е.Г. Кравченко, Д.Н. Кузнецов. Информатика: учеб.пособие, 2014.-174 с.

Размещено на Allbest.ru