Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Политехнический институт

Кафедра: Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств

КУРСОВАЯ РАБОТА

Программирование инженерных задач

Тема: Исследование функций в Mathcad

Красноярск

2016

Введение

Mathcad создаёт удобную вычислительную среду для самых разнообразных математических расчётов и документирования результатов работы в рамках утверждённых стандартов.

Mathcad позволяет создавать корпоративные и отраслевые средства сертифицированных расчётов в различных отраслях науки и техники, обеспечивающие единую методологию для всех организаций, входящих в корпорацию или отрасль.

1. Mathcad - это приложение для математических и инженерных вычислений, промышленный стандарт проведения, распространения и хранения расчетов. Mathcad - продукт компании PTC - мирового лидера разработки систем САПР, PDM и PLM. Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники - везде, где применяются математические методы.

Документы Mathcad представляют расчеты в виде, очень близком к стандартному математическому языку, что упрощает постановку и решение задач. Mathcad содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной информации, как математической, так и инженерной. Редактор формул обеспечивает естественный «многоэтажный» набор формул в привычной математической нотации (деление, умножение, квадратный корень, интеграл, сумма и т.д.). Мощные средства построения графиков и диаграмм сочетают простоту использования и эффектные способы визуализации данных и подготовки отчетов.

Вычислительные средства Mathcad обеспечивают расчеты по сложным математическим формулам, включая численные методы и аналитические преобразования. Mathcad имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, интегралы, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, а также дифференциальные уравнения и системы, проводить минимизацию и максимизацию функций, выполнять векторные и матричные операции, статистический анализ и т.д. Автоматически ведётся контроль размерностей и пересчёт в разных системах измерения (СИ, СГС и др.)

1. Как выглядит кривая функции, у которой в некоторой точке первая производная терпит разрыв

Если первая производная в некоторой точке терпит разрыв, то кривая функции выглядит примерно следующим образом (Рисунок 1).

Рисунок 1 - График кривой функции

То есть если как мы видим если производная не дифференцируема в некоторой точке (x0), то мы получаем перегиб графика.

2. Почему значение интеграла в символьной форме определяется значительно дольше, чем в численной

Как мы знаем в программе Mathcad возможен и символьное получение решения функции или как в нашем случае интеграла для этого нужно воспользоваться оператором «символьное вычисление». Время нахождения интеграла в символьной форме вычисляется значительно дольше из-за того, что сначала находится первообразная интеграла, которая находится в результирующей области ответа. Пример нахождения интеграла показан на рисунке (Рисунок 2).



Рисунок 2 - Символьное вычисление интеграла

А при численном методе, первообразная была найдена численно. Пример показан на рисунке (Рисунок 3).

Рисунок 3 - Численное вычисление интеграла

3. Почему при использовании метода Симпсона отрезок интегрирования делится на четное число шагов

mathcad функция коэффициент интерполяция

При использовании метода Симпсона так же этот метод называют методом трапеций, отрезок интегрирования каждый раз делится делится на четное число шагов и через каждые 3 ближайшие точки проводится парабола (красная кривая) которая приближенно заменяет реальную функцию (синяя кривая) (Рисунок 4).

Рисунок 4 - Расчетная схема для демонстрации метода Симпсона

Запрограммированная в Mathcad функция Simps расчета интеграла по методу Симпсона (Рисунок 5).



Рисунок 5 - Функция для расчета интеграла по методу Симпсона

Вычисления по методу Симпсона прекращаются при достижении заданного заданного количества разбиений либо при достижении заданной точности если речь идет о вычисление интеграла с автоматическим выбором шага интегрирования.

4. Что такое "Осциллирующая функция"

Осциллирующая функция -- это любая функция совершающая некоторые беспорядочный колебания (например, функция косинус или синус) на определенном заданном промежутке с её помощью можно сгладить график каких-либо исходных данных (Рисунок 6).

Рисунок 6 - График исходных данных

После осцилляции наш график принимает более плавный вид (Рисунок 7)



Рисунок 7 - График после осцилляции

5. Как происходит обращение матрицы

Обращение матрицы - алгоритм, применяемый при численном нахождении обратной матрицы. Методом элементарных преобразований исходной матрицы таких как умножение сложение вычитание и деление столбцов и строк матрицы. В итоге элементарных преобразований у нас получается обратная матрица, при умножении которой на единичную матрицу мы получаем исходную так выполняется проверка (Рисунок 8).

Рисунок 8 - Исходная и обратная матрицы

6. Как определить коэффициенты полинома регрессии

Mathcad не содержит функцию определения коэффициентов полинома регрессии. Поэтому если необходимо знать вид такого полинома, то можно составить программу определения его коэффициентов. Для нашего примера с регрессией полиномом 3-го порядка программа в маткаде может использовать расчетные формулы (Рисунок 9)



Рисунок 9 - Расчетные формулы для коэффициентов полинома регрессии

Осталось лишь вывести найденные коэффициенты (Рисунок 10). И на их основе записать найденный полином (Рисунок 11)

Рисунок 10 - найденные коэффициенты

Рисунок 11 - Найденный полином

7. Опишите результат использования функции rnd(0.55) и цель ее применения

Исходные данные содержатся на отрезке x [0, 8]. Разобьем его на n = 40 частей. Выполним модулирование значений функции в отдельных точках x с помощью цикла по переменной i, выполнив расчет значений функции (Рисунок 12).

Рисунок 12 - Исходные данные

Функция rnd(x) происходит от английского слова (random) что переводится как случайный и нужен для моделирования равномерного закона распределения случайных чисел, дает случайное значение имеющее равномерное распределение между 0 и x.

8. Что означает словосочетание "порядок точности приближенных вычислений относительно шага"

При численном дифференцировании находят приближенно первую производную функции по формуле (Рисунок 13).

Рисунок 13 - Формула с первым порядком точности

Где - шаг дифференцирования. Эта формула имеет 1-й порядок точности относительно шага т.е. погрешность вычислений уменьшается приблизительно во столько раз, во сколько раз уменьшен шаг.

Существует более точная формула для приближенного конечно-разностного определения первой производной функции (Рисунок 14).

Рисунок 14 - Формула со вторым порядком точности

Она имеет 2-й порядок точности относительно шага дифференцирования, т. е. погрешность вычислений уменьшается приблизительно пропорционально квадрату шага.

То есть чем больше у нас порядок точности относительно шага дифференцирования, тем точнее мы сможем вычислить значение производной.

9. По какому условию подбираются коэффициенты полинома в МНК

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами полинома (Рисунок 15) считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функции (Рисунок 16) от значений (будет минимальной.

Рисунок 15 - Полином

Рисунок 16 - Сумма квадратов отклонений функции

10. Для чего в запрограммированной в MathCAD функции Simps имеется выражение k < 6 - k

В формуле, представленной на рисунке Рисунок 17 при значениях функций в концевых точках отрезка интегрирования коэффициенты равны единице, коэффициенты при значениях функций в нечетных точках равны 4, а при четных - 2.

Рисунок 17 - Формула Симпсона

Запрограммированная в маткаде функция Simps расчета интеграла по методу Симпсона имеет вид:

Рисунок 18 - Запрограммированная функция Simps

11. Является ли уравнение параболы линейным и почему

Для ответа на этот вопрос приведем пример линейного уравнения и его график, обычно линейные уравнения имеют примерно такой вид (Рисунок 19) и график такого уравнения имеет примерно следующий вид (Рисунок 20).

Рисунок 19 - Линейное уравнение

Рисунок 20 - График линейной функции

Как мы можем видеть график линейного уравнения абсолютно не похож на параболу, и мы делаем вывод что парабола не является графиком линейного уравнения - это график квадратного уравнения следующего типа:



Рисунок 21 - Квадратное уравнение

12. Что такое интерполяция

В математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например, полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами. Интерполяция осуществляется только на заданном интервале значений (a, b). Кривая интерполяционная интерполирующая функция представлена (Рисунок 22).

Рисунок 22 - Исходная функция и аппроксимирующая функция

13. Как для интерполяции используются кубические сплайны

Суть кубических сплайнов метода заключается в том, что через ближайшие 2 точки проводят кубическую параболу, затем пропускают одну точку и через следующие 2 точки строят новый сплайн и так дальше, пока не будет покрыта вся область точек интерполяции.

Изначально нам нужно задать некоторую функцию, которую мы будем интерполировать, затем задать отрезок, на котором мы будем работать с функцией также зададим количество разбиений этого отрезка (Рисунок 23) и найдем точки абсцисс и ординат соответственно если количество разбиений отрезка 6 то точек абсцисс и ординат будет по 7.

Рисунок 23 - Разбиение отрезка (a, b)

Рисунок 24 - Операторы

Рисунок 25 - График функций табличных точек и кубической сплайн функции

14. Когда прекращаются вычисления по методу дихотомии

Метод дихотомии (Рисунок 26). Сначала найдем середину интервала x = (a+b) /2 и вычислим в близких друг к другу точках x1 = x-e и x2 = x+e два значения функции f1 = f(x1) и f2 = f(x2). Если окажется f1 <f2, то функция в середине отрезка возрастает и, следовательно, дальнейший поиск ее минимума следует вести в интервале (a, x1), положив b = x1. Если f1> f2, то функция в середине отрезка убывает и поиск минимума следует вести в интервале (x2, b), положив a = x1. Таким образом, за два вычисления функции область поиска уменьшается примерно вдвое. К уменьшенному интервалу (a, b) вновь применим описанные действия. Процесс будем повторять до тех пор, пока длина интервала (a, b) не станет меньше заданной погрешности e.

Рисунок 26 - Метод дихотомии

15. Что такое экстраполяция

Экстраполяция или экстраполирование - это особый тип аппроксимации, при котором функция аппроксимируется не между заданными значениями отрезка, на котором функция известна, а напротив, находится вне него. Методы экстраполяции во многих случаях сходны с методами интерполяции. Если у нас уже есть заданная функция, то мы должны составить для нее следующие операторы (Рисунок 25) где k-область в которой мы экстраполируем функцию далее у нас идет оператор Лагранжа. Далее мы строим график где на отрезке от (0,55 до 0,8) расположен график экстраполирующей функции (Рисунок 28).

Рисунок 27 - Операторы для экстраполяции

Рисунок 28 - График функции с экстраполяцией

16. Поиск коэффициентов функции

Нужно выполнить поиск коэффициентов функции и выполнить её анализ, общий вид функции:

(1)

Создаем векторы переменной t и вектор функции fxt (Рисунок 29)



Рисунок 29 - Векторы

Затем, строим график функции по заданным точкам (Рисунок 30).

Рисунок 30 - График построенный по точкам

Вводим функцию f_t_, соответствующую заданному общему виду (Рисунок 31).

Рисунок 31 - Функция f_t_

Теперь нам нужно присвоить название функции (Рисунок 32).

Рисунок 32 - Присваиваем название функции

Далее мы построим график функции и график наших заданных точек (Рисунок 33).

Рисунок 33 - График функции и точек

Как мы видим на данном графике график функции уже максимально схож с графиком точек. Подгонка осуществляется при помощи варьирования коэффициентов (a, b, c) для более удобного варьирования коэффициентов используем график функции немного увеличивая его размах (Рисунок 34). Тем самым мы быстрее подгоним коэффициенты.

Рисунок 34 - Более расширенный график функции

Поиск коэффициентов мы осуществляем с помощью слайдеров (в слайдере содержатся числа от 1 до 100) затем путем элементарных преобразований значения з слайдера получаем нужную нам величину (Рисунок 35).



Рисунок 35 -Слайдеры и операции над их значениями

Путем манипулирования слайдерами и их значениями на выходе мы получаем вектор начальных приближений коэффициентов (Рисунок 36).

Рисунок 36 - Вектор начальных приближений

Когда мы максимально подогнали функции нам понадобиться вектор приближенных значений для поиска коэффициентов при помощи функции Genfit. Сперва используем вектор функции и частных производных (с использованием оператора Гамильтона) он находится в символьном виде и выглядит так (Рисунок 37).

Рисунок 37 - Вектор функции и частных производных

Далее мы можем вывести точные результаты поиска коэффициентов при помощи функции Genfit (Рисунок 38). Как мы можем заметить с помощью слайдеров мы почти достигли нужных значений.



Рисунок 38 - Точные значения коэффициентов

Теперь мы должны переопределить коэффициенты (a, b, c) (Рисунок 39) Строим график, совмещающий исходную функцию с найденными коэффициентами и заданный ряд точек (Рисунок 40).

Рисунок 39 - Переопределение коэффициентов

Рисунок 40 - График совмещающий исходные точки с найденными коэффициентами

Теперь осталось записать полученную функцию (Рисунок 41).

Рисунок 41 - Полученная функция

17. Исследование на экстремумы функции

Так как функция у нас логарифмическая то она не будет иметь экстремумов и соответственно точек минимума и максимума по той причине, что она не имеет никаких перегибов и она является бесконечной конечно с помощью метода дихотомии можно найти локальные точки минимума и максимума, но они не будут соответствовать правде. Для наглядности представляется график логарифмической функции (Рисунок 1).

Рисунок 42 - График логарифмической функции

18. Определение первой производной функции

Так как начальная функция у нас логарифмическая то в символьном виде первая производная будет иметь разрыв в точке 0 производная в символьном виде и график первой производной (Рисунок 43).

Рисунок 43 - Первая производная

Как мы может видеть из графика точек минимума и максимума нет потому что точек перегиба нет, а функция убывает и возрастает бесконечно.

19. Определение второй производной функции

Как и первая производная так и вторая будет иметь разрыв в точке 0 вторая производная в символьном виде и её график (Рисунок 44). Здесь мы можем найти только локальные точки Максимов и минимумов, как и график первой производной данный график убывает и возрастает бесконечно, и не имеет точек перегиба из чего можно сделать вывод что мы никак не сможем найти точки минимума и максимума так как таковых у данной функции нет.

Рисунок 44 - Вторая производная

20. Функция Genfit

Функция genfit (vx, vy, vg, F) создает вектор, содержащий параметры, которые создают функцию f(x) и n параметров u1...un наилучшей аппроксимации данных в vx и vy. Функция genfit по умолчанию работает по оптимизированной версии метода минимизации Левенберга-Марквардта. Хоть часто эта функция менее чувствительна к плохим приближенным значениям, чем другие функции, её реализация может провалиться в связи с проблемами при нахождении функции с множеством локальных минимумов, таких как рациональные функции. Она также более чувствительна к неправильным производным векторов. Оптимизированный метод позволяет решать поставленную задачу с помощью численных аппроксимаций для параметров производных. Можно изменить метод, щелкнув правой кнопкой мыши на функцию genfit и выбрав нужный способ из меню.

Аргументы:

vx и vy - векторы, состоящие из набора значений той же длины, что и значения x и y в наборе данных. Значений, входящих в вектор, должно быть, как минимум столько же, сколько и точек в наборе данных x и y.

Vg - вектор, состоящий из n-элементов приближенных вычислений параметров.

F(x, u) - это вектор, содержащий функцию f(x), а также её частные производные относительно искомых параметров. X является независимой переменной, U представляет собой вектор, состоящий из искомых параметров

21. Функция Stack

Stack (с английского куча кипа) функция которая совмещает несколько матриц в одну выставляя значения матрицы сверху вниз (Рисунок 45).

Рисунок 45 - Функция Stack

22. Оператор Гамильтона

Оператор создает градиент скалярной функции f относительно переменных a, b, с. Результатом является вектор-столбец, состоящий из частных производных (Рисунок 46).

Рисунок 46 - Оператор Гамильтона

Функция f является скалярной. Она может зависеть от любого числа переменных. Если какая-то переменная является численно неопределенной, то ее, возможно, оценить только в символьной форме (Рисунок 47).

Рисунок 47 - Оператор Гамильтона в символьной форме

23. Поиск коэффициентов, описывающих периодический и апериодический переходные процессы

Общий вид функции периодического процесса выглядит следующим образом (Рисунок 48).

Рисунок 48 - Общий вид функции для периодического процесса

Далее мы формируем векторы значений t и fxt изображение векторов не будет показано так как они достаточно массивны. Вместо них ми покажем график построенный по этим векторам (Рисунок 49).

Рисунок 49 - График периодического процесса построенный по векторам

Далее вводим функцию f_t_ и с помощью слайдеров и элементарных преобразований их значений мы подгоним наши коэффициенты таким образом, чтобы график векторов приближенно сошелся с графиком функций (Рисунок 50).



Рисунок 50 - Подгоняем график векторов к графику функции

Далее сформируем компоненты, необходимые для использования в функции genfit. Это вектор начальный приближений gu (Рисунок 51).

Рисунок 51 - Вектор приближенных значений

И вектор функции и частных производных с использованием оператора Гамильтона (Рисунок 52).

Рисунок 52 - Вектор функции и частных производных

Теперь выведем результат поиска коэффициентов при помощи функции genfit (Рисунок 53).

Рисунок 53 - Результаты поиска коэффициентов функцией genfit

Теперь мы можем построить совместный график функции на котором будет совмещена исходная функция и функция найденная с помощью функции genfit (Рисунок 54).

Рисунок 54 - Совместный график функций

И в конечном счёте нам останется лишь записать полученную функцию (Рисунок 55).

Рисунок 55 - Полученная функция

24. Апериодический процесс

Общий вид апериодического процесса представлен функцией (Рисунок 56).

Рисунок 56 - Функция апериодического процесса

Далее мы формируем векторы t и fxt данные нам по нашему варианту так как они достаточно массивны они не будут представлены здесь, но мы здесь покажем график построенный по данным векторам (Рисунок 57),

Рисунок 57 - График апериодического процесса построенный по векторам



Рисунок 58 - Подогнанный вид кривой для апериодического процесса

Далее вводим функцию f_t_ и с помощью слайдеров и элементарных преобразований их значений мы подгоним наши коэффициенты таким образом, чтобы график векторов приближенно сошелся с графиком функций для удобства, используем дополнительный график с более большим границами (Рисунок 58).

Далее сформируем компоненты, необходимые для использования в функции genfit. Это вектор начальный приближений gu (Рисунок 59).

Рисунок 59 - Вектор начальных приближений

И вектор функции и частных производных с использованием оператора Гамильтона (Рисунок 60).



Рисунок 60 - Вектор функции частных производных

Теперь выведем результат поиска коэффициентов при помощи функции genfit (Рисунок 61).

Рисунок 61 - Результаты поиска коэффициентов функцией genfit

Теперь мы можем построить совместный график функции на котором будет совмещена исходная функция и функция найденная с помощью функции genfit (Рисунок 62).

Рисунок 62 - Совмещенный график

И в конечном счёте нам останется лишь записать полученную функцию (Рисунок 63).

Рисунок 63 - Полученная функция

Заключение

Программа MathCAD универсальна, с помощью нее можно: дифференцировать функции, вычислять определенные и неопределенные интегралы, решать нелинейные уравнения, находить экстремумы функции, делать различные операции с векторами, матрицами и системой линейных алгебраических уравнений. Решать дифференциальные уравнения, использовать интерполяцию и экстраполяцию функций. И это только малая часть того, что умеет эта программа.

В самой лабораторной работе, я научился пользоваться функциями genfit, stack и оператором Гамильтона для поиска коэффициентов искомой функции.

Список использованной литературы

1. Конспект лекций по высшей математике: полный курс/ Д.Т. Письменный. - 9-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2009.

2. Программирование инженерных задач: учебное методическое. Пособие/ сост. В.А. Коднянко, А.С. Курзаков. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2014.

Размещено на Allbest.ru

...