Системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕФЕРАТ

по информатике

Системы счисления (двоичная, пятеричная, десятеричная, восьмеричная, шестнадцатеричная). Применение, время, страны

Красноярск 2016



Содержание

Введение

1. Общие определения

2. Непозиционные системы счисления

2.1 Единичная система

2.2 Десятичная древнеегипетская система счисления

2.3 Римская система счисления

2.4 Алфавитные системы счисления

3. Позиционные системы счисления

3.1 Двоичная система

3.2 Пятеричная система

3.3 Восьмеричная система

3.4 Десятеричная система

3.5 Шестнадцатеричная система

Заключение

Список использованной литературы



Введение

система счисление позиционный двоичный

«Система счисления - способ записи чисел по определенным правилам с помощью знаков, именуемых цифрами» [1, с. 107]. А число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов [7, c. 514]. Различные системы счисления - это различные способы записи количества чего-либо. Они используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений первоклассника, выполняемых карандашом на бумаге, кончая вычислениями, выполняемыми на компьютерах.

Актуальность этой темы очевидна, современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с потребностью в числовых расчетах, даже в простейших автоматических машинах, с которыми мне придется работать в будущем, будут задействованы системы счисления.

Цель исследования: изучение систем счисления для дальнейшего упрощения работы с ними в учебе, профессии, жизни.

Для достижения этой цели я должна решить следующие задачи:

- изучить основные понятия, связанные с системами счисления;

- изучить влияние на жизнь человека непозиционных систем счисления;

- изучить влияние на жизнь человека позиционных систем счисления.



1. Общие определения

Потребность в записи чисел появилась в древние времена, соответственно и появилась потребность в системах счисления.

«Система счисления - способ записи чисел по определенным правилам с помощью знаков, именуемых цифрами» [1, с. 107]. Различные системы счисления делятся на две группы:

- позиционные (количественное значение каждой цифры зависит от ее позиции в числе, используется в арабской системе счисления.);

- непозиционные (количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа, используется при римской системе счисления).

Современные системы являются позиционными, именно на них построено стандартное представление о числах у среднестатистического человека и именно на позиционной системе построены алгоритмы компьютера.



2. Непозиционные системы счисления

2.1 Единичная система

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Археологи находили на стоянках первобытных людей свидетельства того, что изначально почти любое количество записывалось просто тождественным ему количеством значков: палочек, точек, черточек. Такая система называется единичной (унарной). Любое число в этой системе записывается повторением одного знака, который символизирует единицу.

Не смотря на древность этой системы она используется и по сей день, первоклассников учат считать на палочках, а для определения курса, на котором сейчас обучается курсант военного училища следует посчитать количество полосок, нашитых на его рукаве.

Унарная система - не самый удобный способ записи чисел, запись занимает много места и монотонность записи приводит к ошибкам, поэтому с течением времени начали появляться более удобные системы счисления [5].

2.2 Десятичная древнеегипетская система счисления

У Древних Египтян была весьма удобная система счисления, в ней были знаки обозначающие ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. Остальные числа записывали с помощью сложения. Обозначения некоторых чисел представлено в рисунке 1 [2].



Рисунок 1 - Некоторые числа древнеегипетской десятичной системы счисления

Сейчас система не используется.

2.3 Римская система счисления

Эта система сохранилась без изменений до наших дней. Появилась она более чем две с половиной тысячи лет назад в Древнем Риме. В ее основе лежали знаки I (палец руки) для числа 1, V (пятерня) для числа 5, X (две руки) для числа 10. А для обозначения 100, 500 и 1000 применяли первые буквы латинских названий (centum - сто, demimille - половина тысячи, mille - тысяча). Для того чтобы записать число римляне использовали не только суммы, как египтяне, но и разность. Для этого применялось простое правило: каждый меньший знак стоящий после большего прибавляется к его значению, а стоящий перед большим знаком отнимается от его значения. Таким образом IX - обозначает 9, а XI - 11 [3].

Римскими цифрами пользуются по сей день, и з используют для наименования разделов, подразделов книг, веков, так же их часто пишут на часах.



2.4 Алфавитные системы счисления

К таким системам относятся: греческая, славянская, финская и другие. Здесь числа от 1 до 9, от 10 до 90 и от 100 до 900 обозначались буквами алфавита. В Древней Греции цифры обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита. Числа от 10 до 90 - следующими девятью. И от 100 до 900 - последними девятью буквами римского алфавита. У славян числовые значения соответствовали буквам по порядку. Сначала для этого использовалась глаголица, а потом и кириллица. В России такая нумерация сохранилась до конца XVII века. Потом Петр I привез из-за границы арабскую нумерацию, которую мы используем по сей день [5].



3. Позиционные системы счисления

3.1 Двоичная система

Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, - это 2. Соответствующая этому основания система, называется двоичной, - одна из очень старых. «В этой системе всего 2 цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д.» [5, c. 68] Самая первая цифра показывает число единиц, следующая число двоек, следующая - число четверок и т. д. Двоичная система счислении позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представить не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы, аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

На сегодняшний день именно эта система используется в компьютерных алгоритмах. Самая простая бинарная система: «да» или «нет», «белое» или «черное», «быть» или «не быть» и т. д. Почему же двоичная система столь удобна? Главное достоинство двоичной системы -- простота алгоритмов сложения, вычитания умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требует ничего запоминать: ведь любое число, умноженное на нуль равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе. Таблица деления сводится к двум равенствам 0/1=0, 1/1=1, благодаря чему деление столбиком многозначных двоичных чисел делается гораздо проще, чем в десятичной системе, и по существу сводится к многократному вычитанию.

Таблица сложения как ни странно чуть сложнее, потому что 1+1=10 и возникает перенос в следующий разряд. В общем виде операцию сложения однобитовых чисел можно записать в виде x+y=2w+v, где w, v -- биты результата. Внимательно посмотрев на таблицу сложения, можно заметить, что бит переноса w -- это просто произведение xy, потому что он равен единице лишь когда x и y равны единице. А вот бит v равен x+y, за исключением случая x=y=1, когда он равен не 2, а 0. Таким образом, сложение битов выполняется фактически не одной, а двумя операциями. Если отвлечься от технических деталей, то именно с помощью этих операций и выполняются все операции в компьютере. Для выполнения сложения однобитовых чисел делают обычно даже специальный логический элемент с двумя входами x, y и двумя выходами w, v, как бы составленный из элемента умножения (его часто называют конъюнкцией, чтобы не путать с умножением многозначных чисел) и элемента сложения по модулю 2. Этот элемент часто называют полусумматором. [7]

Древние конечно не использовали эту систему в технике, они находили другое применение бинарным системам, например древние китайцы гадали с помощью двоичной системы, для этого была написана целая книга - «Книга Перемен». Написана она задолго до начала нашей эры, предположительно 2700 лет назад [2].

А во Франции слепой мальчик Луи Брайль в 1824 г. изобрел на основе бинарной системы шрифт для слепых людей, позволяющий не только писать, но и читать, известный ныне как шрифт Брайля [2].

Первое применение в технике двоичная система получила с изобретением телеграфа, всем известная «морзянка», изобретенная в Америке в 1836 году, ведь ни что иное, как шифр, построенный на бинарной системе. Применение в телеграфии именно двоичной системы связанно, очевидно, с удобством превращения двоичного числа в систему электрических сигналов. Все просто наличие импульса - единица, его отсутствие - ноль. Теперь к каждой буквы алфавита прикрепить пятизначный двоичный код и можно передавать сигналы на дальние расстояния.

20 октября 1949 года в Америке был изобретен штриховой код, который используется по сей день. Черные и белые полоски, которые можно найти на всем, что можно купить или продать - тоже пример использования двоичной системы.

Ну и конечно компьютеры. От ЭВМ первого поколения, до современных сверхЭВМ. В них привычные нам биты содержат единицы или ноли. Именно из этих нолей и единиц складывается картинка на мониторе, из двух цифр состоит музыка, вырывающаяся из динамиков и в двоичной системе хранится, ожидая своего часа, сериал, скачанный почти месяц назад.

Как же это происходит? Как комбинации из двух цифр превращаются в привычный рабочий стол, в любимую песню, в известный фильм? Как из двух цифр составить все цифровое пространство? Это сложный вопрос, но интересный.

Начнем разбираться с текста, тут все более или менее понятно, каждому символу соответствует битный или двухбитный код, в зависимости от стандарта (восьмибитовый или шестнадцатибитовый) и текст - просто комбинация этих кодов [3].

Кодирование графической информации сложнее. В графическом режиме экран разделяется на отдельные светящиеся точки (пиксели), от количества которых зависит разрешающая способность. Любое графическое изображение хранится в памяти в виде информации о каждом пикселе на экране. Если пиксель не участвует в изображении картинки, то он не светится, если участвует, то светится и имеет определенный цвет. Поэтому состояние каждого пикселя описывается последовательностью нулей и единиц. В зависимости от того, сколькими цветами (размер палитры) мы можем высветить каждый пиксель, рассчитывается размер информации, отводимый под каждый пиксель. Если монитор может работать с 16 цветами, то цвет каждого пикселя описывается 4 битами. Для работы с 256 цветами под каждый пиксель надо будет отвести 8 бит, или 1 байт.

Посчитаем, сколько байт занимает при хранении в памяти картинка, если на экран можно вывести 640 * 480 пикселей, и монитор поддерживает 256 цветов:

640*480*1 байт = 307200 байт = 300 Кбайт.

Компьютерное кодирование видеоинформации, также как кино и телевидение, основаны на том, что человеческое зрение позволяет создавать иллюзию движения при частой смене кадров (более 15 раз в секунду), на которых изображены последовательные фазы движения. Для записи 1 секунды цветного изображения без звука (25 кадров размером 1024 * 768 пикселей) потребуется примерно 60 Мбайт. При этом на запись двухчасового фильма потребуется более 400 Гбайт.

Из-за больших размеров графических и видео файлов они очень редко хранятся в компьютере в неупакованном виде.

Простейший методов упаковки графических изображений RLE-кодирование -- кодирование путем учета числа повторений, позволяющее компактно кодировать длинные последовательности одинаковых байтов. Упакованная последовательность состоит из управляющих байтов, за каждым из которых следуют один или несколько байтов данных. Если старший (самый левый) бит управляющего байта ранен 1, то следующий байт надо при распаковке повторить несколько раз (сколько именно -- записано в оставшихся семи битах управляющего байта) [3].

Другие алгоритмы сжатия графической и видео информации основываются на том, что человеческий глаз более восприимчив к яркости отдельной точки, чем к её цветности.

Поэтому можно при упаковке выбросить данные о цвете каждой второй точки изображения (сохранив только ее яркость), a при распаковке -- брать вместо выброшенного цвет соседней точки. Формально распакованное изображение будет отличаться от исходного, однако это отличие будет практически незаметно на глаз. При таком методе упаковки экономия составляет менее 50%. Более сложные методы упаковки изображений позволяют добиться значительно лучших результатов. Например, алгоритм JPEG способен упаковывать графические изображения в несколько десятков раз без заметной потери качества.

Чтобы решить проблему большого объёма информации при записи фильмов, например, сохраняют не кадры, а изменения кадров. К тому же, при упаковке видеоинформации допустимы большие искажения, чем при сжатии статических изображений: кадры меняются быстро, и зритель не успевает рассматривать их детально [2].

Хранение в компьютере технических чертежей и им подобных графических изображений осуществляется по-другому. Любой чертеж содержит отрезки, окружности, дуги. Например, положение каждого отрезка на чертеже можно задать координатами двух точек, определяющих его начало и конец. Окружность -- координатами центра и длиной радиуса. Дугу -- координатами конца и начала, центра и длиной радиуса. Кроме того, для каждой линии указывается ее тип: тонкая, штрихпунктирная и т. д. Такая информация о чертеже вводится в компьютер как обычная буквенно-цифровая и обрабатывается в дальнейшем специальными программами. Эта форма представления изображения называется векторной [2].

И наконец хранение звука. Развитие аппаратной базы современных компьютеров параллельно с развитием программного обеспечения позволяет сегодня записывать и воспроизводить на компьютерах музыку и человеческую речь. Существуют два способа звукозаписи:

- цифровая запись, при которой реальные звуковые волны преобразуются в цифровую информацию путем измерения звука тысячи раз в секунду;

- MIDI-запись, при которой, вообще говоря, записывается не реальный звук, а определенные команды-указания (какие клавиши надо нажимать, например, на синтезаторе).

MIDI-запись является электронным эквивалентом записи игры на фортепиано.

Для того чтобы можно было воспользоваться первым указанным способом, в компьютере должна быть звуковая карта (плата).

Звук представляет собой звуковую волну с непрерывно меняющейся амплитудой (сила, интенсивность звука) и частотой (высота тона звука). Частота волны (количество «волн» в секунду) измеряется в герцах (Гц). Чем больше амплитуда сигнала, тем громче звук, чем больше частота сигнала, тем выше тон. Человек воспринимает звуковые волны с частотой из диапазона от 20 Гц до 20 000 Гц.

Для того чтобы компьютер мог обрабатывать звук, непрерывный звуковой сигнал должен быть превращен в цифровую последовательность, состоящую из нулей и единиц. Данную функцию выполняет специальный блок, входящий в состав звуковой карты и называемый аналого-цифровым преобразователем (АЦII).

Реальные звуковые волны имеют весьма сложную форму, и для получения их высококачественного цифрового представления требуется высокая частота дискретизации [4].

АЦП производит дискретизацию звукового сигнала по времени путем измерения уровня интенсивности звука несколько тысяч раз в секунду (через равные пpомежyтки). Частота, с которой производят измерения звукового сигнала, называется частотой дискретизации. Например, при записи музыкальных компакт-дисков используют частоту дискретизации 44 кГц, а при записи речи вполне достаточно частоты дискретизации 8 кГц.

В результате дискретизации амплитуды звукового сигнала непрерывная зависимость амплитуды от времени А(t) заменяется на дискретную последовательность стандартных (заранее определенных) уровней громкости. Графически это выглядит как замена гладкой кривой на последовательность «ступенек». Число разрядов, используемых для записи уровней громкости звука, определяет качество звучания

Таким образом, в ходе оцифровки звука мы получаем поток целых чисел, представляющих собой номера стандартных амплитуд сигналов. Получившиеся значения записываются в виде 0 и 1 в память компьютера (в файлы с расширением. WAV) [2].

Аналоговый электрический сигнал (запись на грампластинке, магнитной ленте) теоретически представляет собой точную копию исходной звуковой волны, а цифровой код -- лишь более или менее точное приближение. Тем не менее, цифровая звукозапись имеет множество преимуществ. Так, например, цифровые копии всегда идентичны цифровым оригиналам, а это значит, что записи можно копировать много раз без ухудшения качества.

При воспроизведении записанного в компьютерный файл звука имеет место обратное преобразование: из дискретной цифровой формы -- в непрерывную аналоговую. Это преобразование осуществляет устройство, находящееся на звуковой плате и называемое цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).

MIDI-запись была разработана в начале 80-х годов ХХ века (MIDI -- MusicalInstrumentDigitalInterfase -- интерфейс цифровых музыкальных инструментов). MIDI-иxформация представляет собой команды, а не звуковую волну. Эти команды -- инструкции синтезатору. В качестве команды музыкальному синтезатору может передаваться указание нажать или отпустить определенную клавишу, изменить высоту или тембр звучания, изменить силу давления на клавиатуру, включить или выключить полифонический режим и т. п. MIDI-команды делают запись музыкальной информации более компактной, чем цифровая запись. Однако для записи MIDI-команд вам потребуется устройство, имитирующее клавишный синтезатор, которое воспринимает MIDI-команды и при их получении может генерировать соответствующие звуки.

Из всех видов информации, представимых и обрабатываемых в компьютерах, звуковая информация хуже всего поддается упаковке. Это связано с тем, что звуковые сигналы обладают малой избыточностью (в частности, в закодированных звуковых фрагментах редко появляются повторяющиеся последовательности байтов) [3].

На сколько оказывается способны всего две цифры.



3.2 Пятеричная система

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. Так же ее использовали в Древнем Китае и в России, даже в знаменитой сказке Ершева «Конек-горбунок» главный герой считает в пятеричной системе, а более просветленный царь переводит в десятеричную.

На сегодняшний день пятеричная система почти нигде не применяется, эта система, основанная на количестве пальце одной руки - ни более ни менее, чем пережиток прошлого. До последнего времени у некоторых африканских племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.

3.3 Восьмеричная система

«В восьмеричной системе используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, записанная в младшем разряде, означает, как и в десятичном числе, просто единицу, а в следующем разряде она означает 8₁₀, в следующем - 64₁₀ и т.д.» [5, с. 69] Эту систему применяют в основном в технике, для компактной записи двоичных чисел. В прошлом она была очень популярна, но на сегодняшний день ее почти полностью вытеснила шестнадцатеричная система, она лучше ложится на современные устройства/

Ее популярность легко объяснить, число из двоичной системы очень легко перевести в восьмеричную, и наоборот с помощью таблицы 1.

Таблица 1 - Перевод двоичных чисел в восьмеричные.

Двоичная система	Восьмеричная система
0002	08
0012	18
0102	28
0112	38
1002	48
1012	58
1102	68
1112	78

В 1716 году король Швеции Карл XII предложил известному шведскому философу Эмануэлю Сведенборгу разработать числовую систему, основанную на 64 вместо 10. Однако Сведенборг считал, что для людей с меньшим интеллектом, чем король, оперировать такой системой счисления будет слишком трудно и предложил в качестве основания число 8. Система была разработана, но смерть Карла XII в 1718 году помешала ввести ее как общепринятую, данная работа Сведенборга не опубликована [5]

3.4 Десятеричная система

Эта система на сегодняшний день именно эта система наиболее используемая в мире. Нет достоверных сведений о том где впервые появиласть эта система, может в Китае, может в Индии, так же есть мнения о том, что современную систему счета изобрел аль-Хорезми на основе непозиционной древнеегипетской, однако в ней не было нуля, в отличие от современной.

Цифра 0 в первые появилась именно в десятичной системе. Это очень удобно, потому что ноль, несмотря на то, что символизирует пустоту, ничто, способен поддержать разрядность числа, дабы оно не потеряло свой смысл. Например: 100000 и 1. Первое число включает в себя 6 цифр, первая из которых - единица, а пять последних обозначают пустоту, отсутствие, а второе число - просто единица. По логике, они должны быть равны, но на практике это далеко не так. Нули в 100000 обозначают присутствие тех разрядов, которых во втором числе нет [4].

Таким образом десятичная система счисления состоит из цифр от нуля до девяти. Числа, составленные в её рамках, строятся по следующему принципу: крайняя справа цифра обозначает единицы, сместитесь на один шаг влево - получите десятки, еще шаг влево - сотни и так далее. Взять хотя бы число 666.

Состоит из трех цифр 6, каждая из которых обозначает свой разряд. Причем эта форма записи является свернутой. Если вы хотите подчеркнуть, о каком именно числе идет речь, то его можно развернуть, придав письменную форму тому, что «проговаривает» ваш внутренний голос каждый раз, когда вы видите число - «шестьсот шестьдесят шесть». Само написание включает в себя все те же единицы, десятки и сотни, то есть каждая цифра позиции умножается на определенную степень числа 10 [3]

3.5 Шестнадцатеричная система

«В шестнадцатеричной системе используется шестнадцать цифр. Привычные девять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и так же A, B, C, D, E, F, обозначающие соответственно 10, 11, 12, 13, 14, 15.» [5, с. 69]

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости -- с ведущими нулями). Шестнадцатеричный цвет -- запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде [7, с 503].

Шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между компонентами компьютера) единицей информации является байт, состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit -- binary digit -- двоичная цифра, цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать систему с основанием 16 [6].



Заключение

Я изучила основные понятия, связанные с системами счисления и сделала вывод о том, что все системы можно разделить на позиционные и непозиционные. Во время исследования я выяснила, что непозиционные системы мало используются в современном обществе (за редким исключением вроде римской системы). А вот за позиционными системами - настоящее и будущее.

Я могу сделать вывод о том, что различные системы счисления придуманы для разных уровней понимания, например машины не понимают десятеричную систему, а людям сложно работать с двоичной, каждая система нужна для какой-то цели.

Сейчас применяются в основном позиционные системы, из-за удобства записи, но до сих пор используют и непозиционные.



Список использованных источников

Ващенко, Г. В. Информатика: учебник / Г. В. Ващенко. - Красноярск: СФУ, 2015. - 226 с.

Гашков, С.Б. Системы счисления и их применение / С. Б. Гашков. - Москва: МЦНМО, 2004. - 53 с.

Фомин, С.В. Системы счисления: учебник / С. В. Фомин. - Москва: Наука, 1987. - 48 с.

Шауцукова, Л.З. Основы информатики в вопросах и ответах / Л. З. Шауцукова. - Нальчик: Эльфа, 1994. - 205 с.

Глейзер, Г. И. История математики в школе: учебник / Г. И. Глейзер. -Москва: Просвещение, 1964. - 273 с.

Информатика: учеб. пособие / И. Т. Зарецкая, Б. Г. Колодяжный, А. Н. Гуржий, А. Ю. Соколов. - Киев: Форум, 2001. - 496 с.

Математическая энциклопедия: сб. статей. - Москва: Советская энциклопедия, 1985. - 609 с.

Размещено на Allbest.ru

...