Статистический анализ в пакете Mathcad

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. О. СУХОГО

Заочный факультет

Кафедра «Информатика»

РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине «Информатика»

на тему: «Статистический анализ в пакете Mathcad»

Гомель 2016

Содержание

Введение

1. Статистический анализ случайных величин

1.1 Понятие случайной величины и ее характеристики

1.2 Возможности использование системы MathCad для статистического анализа данных

2. Анализ экспериментальных данных

2.1 Полная постановка задачи

2.2 Характеристика изучаемого явления

2.3 Статистический анализ

2.4 Аппроксимация и прогнозирование

Заключение

Список использованных источников

Введение

Mathcad - программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, снабженная простым в освоении и в работе графическим интерфейсом, которая предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. В среде Mathcad доступны более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения математических задач различной сложности.

В MathCAD удачно решена проблема передачи изменений числовых данных по всей цепочке вычислений. Текст документа MathCAD почти ничем не отличается от текста научных статей. Графическая среда программы позволяет записывать математические формулы в привычном виде.

MathCAD является полноценным Windows приложением со встроенными средствами обмена. Этот пакет имеет естественный входной язык представления математических зависимостей и инструменты для их набора.

Система позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет чрезвычайно удобный математичски интегрированный интерфейс и прекрасные средства научной графики. Встроенный текстовый процессор позволяет оформить текст документа без применения Word.

MathCAD предназначен, в частности, для:

- проведения расчетов с действительными и комплексными числами;

- решения линейных и нелинейных уравнении и систем уравнений;

- упрощения, развертывания и группировки выражений;

- транспонирования, обращения матриц, вычисления определителя;

- построения двумерных и трехмерных графиков;

- оформления научно-технических текстов, содержащих сложные формулы;

- дифференцирования и интегрирования, аналитического и численного;

- проведения статистических расчетов и анализа данных.

Текстовый редактор системы не обладает всеми возможностями специализированных редакторов текста, однако позволяет корректировать тексты, выравнивать их по краю, перемещать текстовые блоки в любое место документа и т.д.

Математический интерпретатор системы - наиболее интересная её часть. Математические формулы, подлежащие интерпретации, записываются в общепринятом виде. Для ввода формул используются шаблоны, вводимые определёнными комбинациями клавиш. Имеется возможность изменения формата представления чисел, например числа знаков после разделительной точки, погрешности вычислений и обозначения мнимой единицы (i на j и наоборот) при операциях с комплексными числами. Кроме работы с десятичными числами существуют возможность работы с восьми - и шестнадцатеричными числами. Так же есть набор процедур для возможности функционирования не только над числами, векторами или матрицами, но и над более сложными объектами, таких как деревья, списки или наборы.

В пакете широко используются встроенные функции. К основным встроенным функциям относятся тригонометрические и обратные, гиперболические и обратные, экспоненциальные и логарифмические, статистические, Фурье, Бесселя, комплексных переменных.

MathCAD позволяет строить самые разнообразные графики: в декартовой и в полярной системе координат, с масштабной сеткой и без неё, с линейным и логарифмическим масштабом, с отметкой линий прямоугольниками, крестами, ромбами и т.д. Задание вида и размера графика осуществляется вводом соответствующего формата.

Графики можно перемещать в любое место документа, указанное положением курсора, они могут иметь любые размеры.

Основная задача курсового проекта - с помощью системы MathCAD провести статистический анализ траектории движения гармонического колебания со смещением, проходящей внутри проводника с током и выполнить прогноз.

1. Статистический анализ случайных величин

1.1 Понятие случайной величины и ее характеристики

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Примеры случайных величин:

1) число попаданий при четырех выстрелах;

2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за неделю;

3) частота попадания при 5 выстрелах.

Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить.

Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Примерами случайной величины могут служить размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений. Например: частота попаданий при трех выстрелах; число бракованных изделий в партии из штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; число отказов элементов прибора за определенный промежуток времени при испытании его на надежность; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например: ошибка при измерении дальности радиолокатора; время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовления деталей; концентрация соли в морской воде и т. д.

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, мода и медиана.

Модой М₀ дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение.

Модой М₀ непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения. Геометрически моду интерпретируют как абсциссу точки глобального максимума кривой распределения.

Медианой М_е случайной величины называется такое ее значение, для которого справедливо равенство .



Рисунок 1.1 - Мода и медиана

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется постоянная (константа), обозначаемая символом и определяемая равенством:

(1.1)

Свойства математического ожидания:

1. математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной ;

2. постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания;

3. математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий;

4. математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю.

Математическое ожидание - одна из характеристик положения СВ. С этой точки зрения математическое ожидание случайной величины - есть некоторое число, являющееся как бы ее "представителем" и заменяющее случайной величины при грубых (ориентировочных) расчетах.

Понятие момента случайной величины широко применяется в механике для описания распределения масс (статистические моменты, момент инерции и т.п.).

Начальный моментго порядка случайной величины обозначается символом и определяется выражением:

(1.2)

Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания.

Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами.

Центральным моментомго порядка случайной величины называется математическое ожидание й степени соответствующей центрированной случайной величины:

 (1.3)

случайный величина статистический mathcad

Очевидно, что для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю.

Второй центральный момент случайной величины, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается .

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

(1.4)

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину равную .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величины называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

(1.5)

Свойства дисперсии

1. дисперсия константы равна нулю;

2. постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат;

3. второй центральный момент случайной величины равен разности между вторым начальным моментом и квадратом первого начального момента этой случайной величины;

4. дисперсия произведения независимых СВ и равна произведению дисперсии на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию плюс произведение квадрата математического ожидания СВ на дисперсию .

1.2 Возможности использование системы MathCAD для статистического анализа данных

Для моделирования различных физических, экономических и прочих эффектов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло. Их основная идея состоит в создании определенной последовательности случайных чисел, моделирующей тот или иной эффект, например, шум в физическом эксперименте, случайную динамику биржевых индексов и т. п. Для этих целей в Mathcad имеется ряд встроенных функций, реализующих различные типы генераторов псевдослучайных чисел.

Согласно определению, случайная величина принимает то или иное значение, но какое конкретно, зависит от случайных обстоятельств опыта и заранее точно предсказано быть не может. Можно лишь говорить о вероятности P(Xк) принятия случайной дискретной величиной того или иного значения хк, или о вероятности попадания непрерывной случайной величины в тот или иной числовой интервал (х,х+dх). Вероятность Р(ХК) или P(X) (dх), соответственно, может принимать значения от о (такое значение случайной величины совершенно невероятно) до i (случайная величина заведомо примет значение от х до х+dх). Соотношение Р(ХК) называют законом распределения случайной величины, а зависимость P(х) между возможными значениями непрерывной случайной величины и вероятностями попадания в их окрестность называется ее плотностью вероятности (probability density).

В Mathcad имеется ряд встроенных функций, задающих используемые в математической статистике законы распределения. Они вычисляют как значение плотности вероятности различных распределений по значению случайной величины х, так и некоторые сопутствующие функции. Все они, по сути, являются либо встроенными аналитическими зависимостями, либо специальными функциями. Большой интерес представляет наличие генераторов случайных чисел, создающих выборку псевдослучайных данных с соответствующим законом распределения. Рассмотрим подробно возможности Mathcad на нескольких наиболее популярных законах распределения, а затем приведем перечень всех распределений, встроенных в Mathcad.

Существуют следующие встроенные статистические функции скалярного аргумента x:

· cnorm(x) - функция кумулятивного стандартного нормального распределения;

· erf(x) - функция ошибок;

· rnd(x) - функция генерации случайных чисел;

· corr(VX,VY) - коэффициент корреляции двух векторов - VX и VY;

· cvar(X,Y) - коэффициент ковариации X и Y.

Через функцию erf(x) легко вычисляется дополнительная функция ошибок

Это одна из дополнительных и хорошо известных статистических функций, включенных в состав MathCAD.

Функция rnd(x) при каждом обращении к ней возвращает случайное число с равномерным распределением на отрезке [0, 1]. Эта функция широко применяется при статистическом моделировании различных физических процессов. Числа являются не строго случайными - в действительности это повторяющиеся последовательности из большого количества чисел, распределение которых близко к равномерному.

Следующая группа функций относится к вычислению основных статистических параметров одномерного массива данных - вектора:

· mean(V) - возвращает среднее значение элементов вектора V;

· median(V) - возвращает медиану элементов вектора V;

· var(V) - возвращает дисперсию (вариацию) для элементов вектора V;

· stdev(V) - задает стандартное отклонение элементов вектора V;

· hist(int,V) - возвращает вектор частот попадания данных V в заданные интервалы int (служит для построения гистограмм).

В функции hist(int,V) вектор int должен содержать значения границ, в которых подсчитывается число попаданий данных из вектора V. Если строится гистограмма из N элементов, то вектор int должен содержать N + 1 элемент. Функция возвращает вектор из N элементов, числовые значения которых можно использовать для графического построения гистограмм.

Указанные функции могут использоваться и для обработки данных, представленных элементами (действительными и комплексными) матриц A (m x n).

Функции вычисления плотности вероятности распределения представлены следующим набором:

· dbeta(x,s1,s2) - бета-распределение (s1, s2>0 - параметры формы, 0 dbinom(k,n,p) - биномиальное распределение (возвращает значение вероятности P(x = k), где n и k целые числа);

· dchisq(x,d) - хи-квадрат-распределение (x, d>0, причем d - число степеней свободы);

· dexp(x,r) - экспоненциальное распределение (r,x>0);

· dF(x,d1,d2) - распределение Фишера (d1, d2>0 - числа степеней свободы, x>0);

· dgamma(x,s) - гамма-распределение (s>0 - параметр формы, xі0);

· dgeom(k,p) - геометрическое распределение (0<pЈ1 - вероятность успеха в отдельном испытании, k - целое неотрицательное число);

· dlnorm(x,m,s) - логарифмическое нормальное распределение (m - натуральный логарифм среднего значения, s>0 - натуральный логарифм среднеквадратичного отклонения, x>0);

· dlogis(x,l,s) - логистическое распределение (l - параметр разложения, s>0 - параметр масштаба);

· dnbinom(k,n,p) - отрицательное биномиальное распределение (n>0 и k>0 - целые числа, 0<pЈ1);

· dnorm(x,m,s) - нормальное распределение (m - среднее значение, s>0 - среднеквадратичное отклонение);

· dpois(k,l) - распределение Пуассона (l>0, k - целое неотрицательное число);

· dt(x,d) - распределение Стьюдента (d>0 - число степеней свободы, x - вещественное число);

· dunif(x,a,b) - равномерное распределение (a и b - граничные точки интервала, причем a<b и aЈxЈb);

· dweibull(x,s) - распределение Вейбулла (s>0 - параметр формы).

Функции распределения дают вероятность того, что случайная величина будет иметь значения, меньшие или равные определенной величине. Они представлены ниже (смысл и значения параметров указаны ранее):

· pbeta(x,s1,s2) - значение в точке x функции бета-распределения;

· pbinom(k,n,p) - значение функции распределения биномиального закона для k успехов в серии из n испытаний;

· pcauchy(x,l,s) - значение в точке x функции распределения Коши со шкалой параметров l и s;

· pchisq(x,d) - значение в точке x кумулятивного хи-квадрат-распределения, в котором d - степень свободы;

· pexp(x,r) - значение в точке x функции экспоненциального распределения;

· pF(x,d1,d2) - значение в точке x функции распределения Фишера;

· pgamma(x, s) - значение в точке x функции гамма-распределения;

· pgeom(k,p) - значение в точке x функции геометрического распределения;

· plnorm(x,m,s) - значение в точке x функции логарифмического нормального распределения;

· plogis(x,l,s) - значение в точке x функции логистического распределения;

· pnorm(x,m,s) - значение в точке x функции нормального распределения;

· pnbinom(k,n,p) - значение в точке x функции отрицательного биномиального распределения;

· ppois(k,l) - значение для k функции распределения Пуассона;

· pt(x,d) - значение в точке x функции распределения Стьюдента;

· punif(x,a,b) - значение в точке x функции равномерного распределения;

· pweibull(x,s) - значение в точке x функции распределения Вейбулла.

Следующая группа задает обращения (квантили) функций распределения случайных величин. Они позволяют по заданной вероятности вычислить такое значение x, при котором вероятность равна или меньше заданного значения p:

· qbeta(p,s1,s2) - квантили обратного бета-распределения с параметрами формы s1 и s2;

· qbinom(p,n,q) - количество успешных определений при решении уравнения Бернулли, если число испытаний равно n, вероятность этого количества успешных определений равна p, а q - вероятность успеха при однократном испытании (0JqЈ1 и 0ЈpЈ1);

· qcauchy(p,l,q) - квантили обратного распределения Коши со шкалой параметров l и s (s>0 и 0<p<1);

· qchisq(p,d) - квантили обратного xи-квадрат-распределения;

· qexp(p,r) - квантили обратного экспоненциального распределения, при котором параметр r>0 определяет частоту (0Јp<1);

· qF(p,d1,d2) - квантили обратного распределения Фишера, в котором d1 и d2 - степени свободы;

· qgamma(p,s) - квантили обратного гамма-распределения;

· qgeom(p,q) - квантили обратного геометрического распределения;

· qlnorm(p,m,s) - квантили обратного логарифмического нормального распределения;

· qlogis(p,l,s) - квантили обратного логистического распределения;

· qnbinom(p,n,q) - квантили обратного отрицательного биномиального распределения с размером n и вероятностью ошибки q;

· qnorm(p,m,s) - квантили обратного нормального распределения со средним значением m и стандартным отклонением s;

· qpois(p,l) - квантили обратного распределения Пуассона;

· qt(p,d) - квантили обратного распределения Стьюдента (d определяет степени свободы, d>0 и 0 qunif(p,a,b) - квантили обратного равномерного распределения;

· qweibull(p,s) - квантили обратного распределения Вейбулла.

Статистические функции для создания векторов с определенными законами распределения значений их элементов:

· rbeta(m,s1,s2) - бета-распределение;

· rbinom(m,n,p) - биномиальное распределение;

· rcauchy(m,l,s) - распределение Коши;

· rchisq(m,d) - хи-квадрат-распределение;

· rexp(m,r) - экспоненциальное распределение,

· rF(m,d1,d2) - распределение Фишера;

· rgamma(m,s) - гамма-распределение;

· rgeom(m,p) - геометрическое распределение;

· rlnorm(m,m,s) - логарифмическое нормальное распределение;

· rlogis(m,l,s) - логистическое распределение;

· rnbinom(m,n,p) - отрицательное биномиальное распределение;

· rnorm(m,m,s) - нормальное распределение;

· rpois(m,l) - распределение Пуассона;

· rt(m,d) - распределение Стьюдента;

· runif(m,a,b) - равномерное распределение;

Обилие статистических функций, включенных в систему MathCAD, позволяет с ее помощью выполнять достаточно сложные статистические расчеты.

2. Анализ экспериментальных данных

2.1 Полная постановка задачи

В результате эксперимента производился съем информации, начиная с момента времени t₀^, через равные промежутки времени dt. Число снятых измерений равно n (не менее 20 значений).

Требуется

1. построить полигон частот;

2. провести статистический анализ изучаемого явления;

3. проанализировать полученные данные статистического анализа и сделать вывод о стабильности процесса;

4. выполнить интерполяцию исходных данных и рассчитать не менее пяти значений для выбранных самостоятельно межузловых точек;

5. подобрать аппроксимирующую функцию, наилучшим образом описывающую исходные данные;

6. получить прогноз на перспективу (горизонт прогноза выбрать самостоятельно).

2.2 Характеристика изучаемого явления

Траектории движения гармонического колебания со смещением, проходящей внутри проводника с током, которое описывается с помощью следующего уравнения:

X(t)=4sin(t)+1 (2.1)

Будем производить съем информации, начиная с момента времени t₀^, через равные промежутки времени dt. Число снятых измерений равно N.

В качестве исходных данных примем следующие значения: N=20, t₀=0, dt=0.2.

2.3 Статистический анализ

Запишем закон колебания тока в электрической цепи, определенный формулой (2.1) в следующем виде:

(2.2)

Произведем съем информации, начиная с момента времени t₀^, через равные промежутки времени dt, получим вектор значений.

Рисунок 2.1 - Исходный вектор значений

Для построения полигона частот сформируем вектор интервалов и вектор частот. Для формирования вектора интервалов вычислим размах и вычислим его по следующей формуле:

(2.3)

где r - размах значений эмпирических данных;

m - количество интервалов.

С помощью программного фрагмента сформируем вектор частот и построим полигон.

Рисунок 2.2 - Программный фрагмент

Рисунок 2.3 - Полигон частот

Вычисление следующих характеристик произведем с помощью встроенных функций:

· Среднего значения случайной величины Х: mean(X) = 2.724;

· Дисперсии случайной величины Х: var(X)= 3.823;

· Среднего квадр. отклонения случайной величины Х : stdev(X) = 1.955 .

Для определения доверительного интервала определим параметры при помощи функции qchisq(p,d)(Хи- Квадрат). При помощи программного фрагмента определим процент попадания значений случайной величины X в доверительный интервал (-2;4).

Pr:= procenti (X,N,U,L); Pr = 55%

По значению процента попадания значений величины Х изучаемое явление устойчиво.

2.4 Аппроксимация и прогнозирование

Для вычисления коэффициентов синусоидальной регрессии задаем вектор начальных значений S, а затем используем функцию sinfit. Далее строим график исходного процесса и синусоидальной регрессии.

Рисунок 2.5 - Синусоидальная регрессия

В пакете MathCAD существует встроенная функция для проведения предсказания процесса - predict(y, m, n), где y - вектор значений функции на том отрезке, где она известна (значения аргумента в данной функции не задаются, и считается, что точки распределены равномерно), m - количество элементов вектора y, на основании которых проводится предсказание (естественно, выбираются точки, ближайшие к правой границе), n - количество точек в рассчитываемом векторе.

Результатом функции predict является вектор, состоящий из n элементов и задающий значения функции справа от границы выборки, т.е. в области, где она была не известна. Алгоритм, используемый в функции predict, наилучшим образом подходит для предсказания различного рода периодических процессов. В некоторых случаях можно получить удовлетворительный результат предсказания даже для негладких зависимостей, таких как пилообразный или прямоугольный сигнал. Зато для непериодических зависимостей приемлемый результат можно получить очень редко и только на очень небольшом расстоянии.

Кроме этого проводим предсказание исходного процесса с помощью наилучшего вида регрессии. Затем строим графики исходного процесса и предсказаний.

Рисунок 2.6- График предсказания процесса

Заключение

В курсовой работе на основании набора значений экспериментальных данных был произведен статистический анализ. По значению процента попадания значений случайной величины X в доверительный интервал сделали вывод о стабильности развития изучаемого явления. На основании таблицы 1 сделали вывод, что изучаемого явление неустойчиво.

Предсказано поведение экспериментальных данных на 10 шагов. Предсказание дальнейшего поведения исходной зависимости также предсказано с помощью функции predict.

При выполнении расчетов курсового проекта использовался пакет MathCAD 14. Можно сделать вывод, что проведение исследований при помощи системы MathCAD существенно сокращает объем сложных математических вычислений. Появление таких продуктов как MathCAD и их совершенствование обусловлено необходимостью производить сложные математические вычисления. Его развитие показывает, что продукт не только углубляет свои профессиональные функции, но и развивается в сторону увеличения количества потенциальных пользователей, расширения круга решаемых задач, повышения точности и быстроты производимых математических расчетов.

На сегодняшний день такое сочетание вычислительных технологий и теоретических навыков студентов является основополагающим курсом для всех электротехнических, энергетических, электронных и многих других специальностей ВУЗов, которые в будущем столкнутся с ещё более совершенными информационными системами.

Список использованных источников

Новиков А.А. Практическое пособие к лабораторным и контрольным работам по теме "Решение инженерно - экономических задач в среде MathCAD for Windows" курса "Информатика" для студентов заочного отделения. М/ук. №2477 - Гомель, ГГТУ им. П.О.Сухого, 2000.-45с.

Грудецкий Г.А., Мурашко И.А. Графические средства пакета Mathcad: Практическое пособие для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. М/ук. №2564 - Гомель: Учреждение образования "Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого", 2001, - 36с.

Токочаков В.И. Практическое пособие по теме «Решение алгебраических и дифференциальных уравнений в среде MathCAD Windows» для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. М/ук. №2453 - Гомель, ГГТУ им. П.О.Сухого, 2000.-25с.

Турчак Л.И. Основы численных методов. - М: Наука, 1987. - 320с.

Трохова Т.А. и др. Информатика. Практическое руководство к курсовому проектированию по одноименному курсу для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения. М/ук. №3014 - Гомель, ГГТУ им. П.О.Сухого, 2004.-34 с.

Размещено на Allbest.ru

...