Численное решение нелинейной задачи устойчивости цилиндрических изотропных оболочек на основе динамического критерия
Методы определения критического давления газа, действующего на внешнюю поверхность цилиндрической оболочки. Алгоритм решения "жёстких" дифференциальных уравнений для расчета критической силы в матричном виде при помощи программного комплекса Mathcad.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.05.2017 |
| Размер файла | 301,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Уравнения, определяющие устойчивость цилиндрических изотропных оболочек относятся к классу «жёстких» нелинейных дифференциальных уравнений. Метод Рунге - Кутта - Фальберга и ему подобные требует много времени на составление программы численного решения, её отладку и само решение уравнений.
Самый простой способ их численного интегрирования предлагается системами руководства для решения инженерных задач Mathcad. Дифференциальные уравнения в них заменены уравнениями в конечных разностях и представлены в матричном виде.
Найдём критическое напряжение цилиндрической оболочки, сжатой силой q, равномерно распределённой по торцам оболочки (рис. 1).
Рис. 1
(1)
Уравнения (1) введением новых переменных:
,
приводятся к нормальному виду задачи Коши и решаются численными методами.
В первом уравнении (1) заменим погонным значением силы q и будем считать, что она линейно изменяется во времени, а её наибольшее значение запишем через критическое напряжение , полученное по линейной теории устойчивости.
При таком представлении силы q критическое напряжение будет долей напряжения, найденного по линейной теории устойчивости.
Теперь уравнение (1) примет вид:
(2)
Для решения на ЭВМ оно приводятся к нормальному виду уравнений задачи Коши введением новых переменных:
(3)
и уравнения (2) становятся уравнениями первого порядка.
Программы Mathcаd для решения систем этих уравнений очень просты, возможно и символьное, и численное решение задач.
Обозначим в (2) множители при квадратных скобках Ак, множители при амплитудах перемещений Вк, тогда (2 и 3) предстанут в виде:
(4)
.
.
Программа решения «жёстких» дифференциальных уравнений для определения критической силы дана после представления в матричном виде.
Амплитуды перемещений точек fk и их производные в начальных условиях обозначим:
x1=f1, x2= f2, x3=f3 , x4=,..x6=,
а в решении задачи
t=z1, f1=z2, f2=z3, f3=z4; .
В этих обозначениях получится такая программа решения:
ORIGIN=1
. (5)
D (t, x) - матрица первых и вторых производных амплитуд перемещений, в ней А,- коэффициенты при первых производных:
,,;
,
Bk - коэффициенты при перемещениях,
x и z1- пределы интегрирования уравнений.
Последовательность вычисления амплитуд перемещений fi их производных c помощью операторов программирования Mathcad обычная - сверху вниз, справа налево.
Решение начинается с набора некоторой функции, например:
z= rkfixed (x, 0, 1, D, 100),
в которой начальное 0 и конечное 1 значения амплитуды прогиба, 100 - максимальное число шагов интегрирования уравнений.
Решение выдаётся в виде графиков (рис. 2).
Критическое время (рис. 3б), время, до которого оболочка только сжимается по образующим её срединной поверхности, и докритическое состояние её безынерционно: ускорение по опасной гармонике амплитуды перемещений:
критический дифференциальный цилиндрический уравнение
Потеря устойчивости, динамический процесс, начинается с появления сил инерции (рис 3б), когда ускорение движения точки по нормали к срединной поверхности z5 > 0.
При символьном решении уравнений Bk в матрице D (t, x) даны при числах волн т=п= 1.
Для численного решения уравнений элементы матрицы D (t,x).
B1=B1 (r, l, h, m, n, t), Bi=Bi (r, l, m, n ), i= 1, 2, 3,
коэффициенты при амплитудах перемещений fi =х1, f2=x2, f3=x3 , представляются векторами или функциями числа полуволн m=1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 и числа волн n =2,3, 4, 5, 6,7, 8 , которые потом перебираются при каждом значении t < 1.
Рис. 2
Решение может быть представлено и графиками, и таблицами.
Критическое время оболочки, как показано на рис. 2 соответствует z1= t =0.6, до которого оболочка только сжимается вдоль образующих её срединной поверхности.
Найденное таким решением уравнений устойчивости безразмерное критическое напряжение дюралюминиевой оболочки диаметром 0,5 м. длиной 2 м. и толщиной 2 мм. (r/h =250) соответствует математическому ожиданию безразмерного параметра критического напряжения =0,375 результатов известных экспериментов по рис. 3.
Рис. 3
Критическое давление газа (жидкости), действующего на внешнюю поверхность цилиндрической оболочки, так же можно найти решением уравнений (1). Если это давление одинаково по всей поверхности, в первом уравнении (1) оно представляется в виде . Критическое время той же цилиндрической оболочки tkp = z1=0,5 (рис. 2), соответствующее ему критическое давление составляет половину критического давления, найденного по формуле Папковича. Заметим, кстати, что при практических расчётах найденное критическое давление для оболочек с r/h= 1000 по формуле Папковича умножают на = 0,5. Проекции вектора перемещений и вектора скоростей, когда при численном решении применяется функция z= rkfixed (x, 0, 1, D, 100), точны только в конечной точке.
По перемещениям точек оболочки определяются деформации:
,
,
,
затем напряжения по обобщённому закону Гука:
,
,
.
По ним находят эквивалентное напряжение.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Назначение и состав системы MathCAD. Основные объекты входного языка и языка реализации. Характеристика элементов интерфейса пользователя, настройка состава панелей инструментов. Задачи линейной алгебры и решение дифференциальных уравнений в MathCAD.
курс лекций [1,6 M], добавлен 13.11.2010Решение линейных дифференциальных уравнений численными и символьными методами в рамках пакета компьютерной математики MathCAD. Сравнения результов решений и применение их при исследовании функционирования автоматических систем и электрических агрегатов.
контрольная работа [51,5 K], добавлен 07.05.2009Схема и основные параметры элементов цепи. Вывод системы дифференциальных уравнений. Реализация алгоритма на языке программирования высокого уровня Pascal. Решение дифференциальных уравнений в пакете MathCAD. Решение интерполяции в пакете Excel.
курсовая работа [375,4 K], добавлен 06.01.2011Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 02.06.2014Численные методы решения задач. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Уточнение корня по методу половинного деления. Решение систем линейных уравнений методом итераций. Методы решения дифференциальных уравнений. Решение транспортной задачи.
курсовая работа [149,7 K], добавлен 16.11.2008Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши. Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы с использованием преобразования Лапласа. Численный метод решения системы c помощью Mathcad.
практическая работа [657,1 K], добавлен 05.12.2009Вывод системы дифференциальных уравнений. Описание методов численного решения задачи Коши. Моделирование переходных процессов в электрической цепи. Решение задачи аппроксимации. Расчет количества теплоты, выделившейся на резисторе, реализация в MathCAD.
курсовая работа [202,5 K], добавлен 11.11.2013Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа [580,1 K], добавлен 18.01.2011Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа [532,9 K], добавлен 14.01.2014Разработка быстрого и эффективного алгоритма для решения задачи оценки параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами, не разрешаемых аналитически. Реализация алгоритма в виде библиотеки на языке программирования MATLAB.
дипломная работа [1,6 M], добавлен 19.06.2012Методика реализации решения нелинейного уравнения в виде процедуры-подпрограммы следующими методами: хорд, касательных (Ньютона), простой итерации, половинного деления. Основные методы уточнения корней уравнения. Программное решение задачи, алгоритм.
курсовая работа [4,0 M], добавлен 27.03.2011Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в программе Matlab. Применение метода Рунге–Кутты. Априорный выбор шага интегрирования. Построение трехмерного графика движения точки в декартовой системе координат и создание видеофайла формата AVI.
контрольная работа [602,8 K], добавлен 04.05.2015Автоматизация проектирования на основе применения ЭВМ. Алгоритм решения задачи расчета плоскоконической передачи. Контроль корректности функционирования и пригодности программы к эксплуатации. Оптимизация конической передачи. Условия выполнения программы.
курсовая работа [796,6 K], добавлен 24.06.2013Разностная схема решения уравнения теплопроводности. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl и в пакете математических расчётов MathCAD. Расчёт методом прогонки. Изменение пространственной координаты.
дипломная работа [248,4 K], добавлен 15.03.2014Традиционные языки высокоуровневого программирования. Обзор методов интегрирования. Оценка апостериорной погрешности. Численное решение систем линейных уравнений. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Решение дифференциальных уравнений.
методичка [6,4 M], добавлен 23.09.2010Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 05.11.2011Численные решения задач методом Коши, Эйлера, Эйлера (модифицированный метод), Рунге Кутта. Алгоритм, форма подпрограммы и листинг программы. Решение задачи в MathCad. Подпрограмма общего решения, поиск максимальных значений. Геометрический смысл задачи.
курсовая работа [691,4 K], добавлен 17.05.2011Особенности решения уравнений с одной переменной методом половинного деления. Оценка погрешности метода простой итерации. Суть решения уравнений в пакете Mathcad. Векторная запись нелинейных систем. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 12.12.2013Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
курсовая работа [226,6 K], добавлен 05.04.2013
