Теория игр и их приложения

Матрице эффективности будет соответствовать матрица потерь:

Вычисляем: K(A1) = 4, K(A2) = 4, K(A3) = 5, K(A4) = 3

Лучшая стратегия по этому критерию A4.

Игра «Реверси» характерна своей изменчивостью. И важно разработать стратегию на всю партию наперед. Так как наличие в данном конкретном ходе возможности захватить больше фишек врага не всегда ведет к победе во всей партии. Рассмотрим пример такого варианта развития событий. И то, как теория игр помогает решать практические задачи подобного рода.

Задача №2. Мы находимся в заведомо проигрышной ситуации и можем совершить пять различных ходов, которые в зависимости от последующего хода противника принесут нам потери в виде проигранных позиций. Всю ситуацию можно представить в виде следующей таблицы:

Ходы игрока А приносят выигрыш, а игрока В проигрыш позиций. Решим задачу графически.

Строка А1 является доминирующей по отношению к строке А4.

Столбец В5 является доминирующим по отношению к стобцам В1, В2, В4.

Строка А3 является доминирующей по отношению к строкам А2 и А5.

Вероятность хода А1 первым игроком будет равна р1, а хода А3 будет равна р2=1-р1. Если второй игрок сделает ход В3, то мы получим следующее: (4-8)р1+ 8= -4р1 + 8

Если второй игрок сделает ход В5, то получим следующее:

(6-3)р1+ 3= 3р1 + 3

8

6

4

3

0 1

-4р1 + 8 = 3р1 + 3

7р1 = 5

р1 = 0,71

Значит вероятность использования первым игроком хода А1 равна 0,71, а хода А3 соответственно 0,29.

Теперь рассчитаем оптимальную стратегию игры для второго игрока.

(р3+р4=1, р3=1-р4)

(4-6)р3+6=-2р3+6

(8-3)р3+3=5р3+3

4 8

1

0

3 6

-2р3+6=5р3+3

7 р3=3

р3=0,43

Вероятность использования хода В3 для второго игрока составляет 0,43, а соответственно хода В5 0,57.

Задача №3. Готовясь к экзамену, студент успел выучить только 15 билетов из 20. Он решает, взять билет первым или же вторым. Изобразите эту ситуацию принятия решений в виде дерева.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда студент решает брать билет первым. В этом случае вероятность положительного исхода событий будет равно 15/20. Т.е. он получит нужный ему билет в 0,75 случаях и соответственно в 0,25 случаях вытянет билет, которого не знает. Теперь рассмотрим ситуацию, когда он решает тянуть билет вторым. В этом случае студент, тянувший билет до него либо ухудшит его шансы, либо наоборот улучшит. Очевидно, что в 0,75 случаев его положение ухудшится, а в 0,25 случаев - соответственно улучшится. В случае, если первый студент тянет билет из числа выученных, то положение нашего героя с 0,75 к 0,25 меняется на 14/19 (0,73) к 5/19 (0,27). В противном случае его положение улучшается с 0,75 к 0,25 до 15/19 (0,79) к 4/19 (0,21). Но эти события будут происходить с разной частотой. Соответственно он получит «хороший» билет в 3/4*14/19 = 42/76 (0,55) случаев. И в 1/4*15/19 = 15/76 (0,19). Если мы сложим эти вероятности, то получим 42/76 + 15/76 = 57/76 (0,75), что в точности равно вероятности получения «нужного» билета в случае, когда наш герой тянет билет первым. В итоге, нет никакой разницы, каким он будет тянуть свой билет, так как соотношение выученных билетов к невыученным не меняется.

0,75 к 0,25 0,73к0,27 0,79 к0,21

0,75 0,25

Если расширить задачу, и предположить, что студентов больше двух, то можно было бы предложить нашему студенту стратегию, при которой он дожидается ситуации, когда соотношение выученных билетов к невыученным будет больше чем 0,75 к 0,25. Но нужно понимать, что эти ситуации будут уравновешены случаями, когда это соотношение будет наоборот хуже. Если еще расширить задачу и предположить, что количество студентов бесконечно, а билетов становится снова двадцать, только после того, как пройдет очередная «двадцатка» студентов. И наш герой может выбрать любой момент для того, чтобы попытать свою удачу. Тогда он может дождаться момента, когда останутся только те билеты, которые он знает. Если он хочет произвести впечатление на комиссию, вытянув билет из максимально возможного числа билетов, при этом, будучи полностью уверенным в том, что он знает ответ. То это произойдет в случае, если первые пять студентов вытянут все билеты, которые он не знает. Вероятность этого события 5/20*4/19*3/18*2/17*1/16 = 120/1860480. Проще говоря, ему нужно будет пропустить порядка 15504*20 = 310080 студентов. А если предположить, что каждому из них требуется 5 минут для ответа на свой билет, то ждать ему придется практически три года, не отходя от двери, где идет экзамен. А это явно больше, чем нужно для того чтобы выучить оставшиеся 5 билетов.

Задача №4.

1. Узнав о ваших выдающихся достижений в изучении теории игр, мы связались c советником в области безопасности заведомо коррумпированного диктатора Мавалла Баррани. Вот что они сказали: ". Президент Баррани сосредоточил силы на границе, и мы должны решить, стоит ли вторгаться в соседнюю богатую нефтью страну Шеллабас. Если провести вторжение, а затем, чтобы обсудить этот вопрос будет составлен Совет безопасности ООН, и по нашим оценкам, 60% шанс, что он решает наказать нас. Если он этого не делает, то мы получим все нефтяные скважины Шеллабаса и доход от них. Баррани ожидает, что в этом случае будет иметь возможность поставить на дополнительные $ 150 млрд на свои банковские счета. Если нападение ООН, мы потеряем и Баррани будет вынужден потратить $ 20 млрд из нефтяных денег, которую он обычно кладет в карман, на восстановление армии. Может быть, это лучше оставить вещи, как они есть, и говорят, что он Баррани ограничен теми $ 600 млрд, что он уже (учитывая тот факт, что он нейтрален к риску)? ".

2.Внезапно, другой эксперт, который до этого момента хранил молчание, сказал: "О чем ты говоришь? Как вы можете сказать, что вероятность вмешательства ООН до 60%? я совершенно уверен, что вероятность не менее чем 95%! "Должен ли Баррани атаковать Шеллабас в этом случае?

3. Другой эксперт говорит: «Думаю, что мой коллега прав. Однако, следует принять во внимание одно обстоятельство. Позиции президента Баррани на данный момент не очень устойчивые. Если он не решиться вторгнуться в Шеллабас, то очень вероятно, что рассерженные военные его свергнут, а все деньги, которые у него есть, экспроприируют. Из докладов службы безопасности следует, что вероятность подобного мятежа 20%. Я думаю, что президент Баррани не имеет никакого другого выхода, кроме как осуществить вторжение». Предположите, что эти фактыверны. Правильный ли вариант действий предложил эксперт?

Решение.

1. Не учитывая условия (2) и (3) можем произвести расчеты для «мероприятия» следующим образом. Есть вероятность 0,6, что Баррани потеряет $20 млрд, и вероятность 0,4, что он получит $150 млрд. Итого 0,4*150 - 0,6*20 = 48 (млрд $). Результат положительный, и значит, что вторжение стоит осуществить.

2. При появлении нового условия нужно произвести перерасчет. Теперь вероятность что Баррани потеряет $20 млрд составляет 0,95, а вероятность получения $150 млрд составляет уже 0,05. Итого 150*0,05-20*0,95= -11,5 (млрд $). И теперь становится очевидным, что вторжение нужно отменить.

3. Но при появлении третьего условия нужно произвести еще один расчет. При котором в случае отмены вторжения Баррани с вероятностью 0,2 потеряет свои $600 млрд. Сравним это с предыдущим результатом.

-600*0,2=-120 (млрд $) и -11,5 (млрд $). В этом случае его потери составят гораздо больше, чем когда он предпочтет не нападать. В итоге у него есть выбор между убытком и еще большим убытком (и по заслугам ему). Единственный вариант для Баррани- это напасть и надеяться на лучшее. А в следующий раз ему следует обратиться к экспертам по теории игр до того, как собирать армию у границ чужого государства.

Выводы по второй главе

Во второй главе рассмотрены способы решения задач и примеры их выполнения из этого можно, сделать следующие выводы.

1. Основная теорема теории игр, утверждающая, что каждая игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий и три следствия из неё доказаны в 1928 году фон Нейманом.

2. Для решения задач в Теории игр используют аналитический, графический методы, метод линейного программирования, а для игр с природой критерии Вальде (пессимистический), максимума (оптимистический), Гурвица и Сэвиджа.

3. Методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике и др. Также её взяли на вооружение биологи, кибернетики, футурологи, военные.

Глава 3. Сферы приложения теории игр

Теория игр - это раздел прикладной математики. Наиболее распространенными методами теории игр используются в экономике, чуть меньше в других общественных науках. Социология, политология, психология, этика и т.д. С 1970 года он принял биологам изучать поведение животных и эволюции. Важно, что отрасль математики должна кибернетике. Два основных применения включают в себя военные дела и экономику. Теоретико-игровой разработки применяются при проектировании автоматизированных систем управления для ракетно/ракетного оружия, выбор форм аукционов по продаже радиочастот, моделирования приложений моделей денежного обращения в интересах центральных банков и др.

Военное дело, как произносится существует конфликт, он стал одним из первых полигонов практическое применение теории развития игр. Применение теории игр к проблемам военного дела означает, что эффективные решения могут быть найдены для всех участников - лучшее действие, позволяет максимум для решения задач. Это справедливо, например, для большинства моделей, включая судебное преследование, изъятие и другие маневры такого рода. В управлении автоматизированных сетей связи в сложной электронной среде, были сделаны попытки использовать многоступенчатые антагонистические игры. Выгодное является использование дифференциальных игр, так как их использование может, во многих случаях с высокой степенью надежности, необходимые для описания процесса и найти оптимальное решение zadachi.Dоvоlnо до сих пор часто в конфликтных ситуациях, противоположные стороны вместе в союзы для достижения лучших результатов/

Поэтому существует необходимость в изучении коалиции дифференциальных игр. Кроме того, идеальные ситуации без каких-либо помех не существует в мире. Таким образом, целесообразно изучить коалиции дифференциальных игр в условиях неопределенности Колесник, Г.В. Теория игр: Учебное пособие / Г.В. Колесник. - М.: КД Либроком, 2014. - 152 c..

Во время Второй мировой войны, научных исследований и разработок фон Неймана были неоценимы для армии США - военные командиры сказали, что ученый Пентагон имеет то же значение, как в целом армейского подразделения. Вот пример теории игр в армии. На американских торговых судов были установлены зенитные орудия. Но во время войны эти растения не пострадали от любой вражеской авиации. Существует справедливый вопрос, является ли это необходимо оборудовать суда, не предназначенные для боя, такого оружия. Группа ученых под руководством фон Неймана, изучив этот вопрос, пришел к выводу, - сам враг наличия орудий на торговых судах знаний резко снижает вероятность и точность их атак и взрывов, а также потому, что в гостинице «зенитки» для этих кораблей вполне доказали свою эффективность.

ЦРУ, Министерство обороны США и крупные корпорации активно сотрудничают с футурологов. Конечно, речь идет о строго научной футурологии, то есть математические вычисления объективной вероятности будущих событий. Два главных американский журнал опубликовал интервью с профессором Нью-Йоркского университета Брюс Буэно де Мескита. Профессор принадлежит к консалтинговой фирме, которая занимается компьютерными расчетами, основанными на теории игр. За двадцать лет сотрудничества с ученым ЦРУ точно рассчитать несколько важных и неожиданных событий (например, прихода Андропова к власти в Советском Союзе и захват китайцев в Гонконге). В общей сложности он рассчитал более тысячи событий с точностью более 90% .Теперь Брюс консультирует американские спецслужбы по вопросам политики в Иране. Например, его расчеты показывают, что США не имеет никаких шансов, чтобы предотвратить запуск ядерного реактора Ирана для гражданского использования (http://ru.wikipedia.оrg).

В качестве примеров применения теории игр в управленческих решениях, можно назвать на концепции ценообразования, выход на новые рынки, сотрудничество и создание совместных предприятий, выявление лидеров и исполнителей в области инноваций и т.д. могут быть использованы положения этой теории в принципе для всех видов решений, если их решение под влиянием других актеров. Эти лица или игроки не обязательно должны быть рыночные конкуренты; в их роли могут выступать субподрядчики, ведущие клиенты, сотрудники организаций, а также коллег.

Известен, например, случай интересов при столкновении на IBM и Телекс компаний. Телекс Компания объявила о выпуске на рынок продаж, в связи с этим был проведен «кризис» встреча руководства IBM, на котором были проанализированы действия, направленный на то, чтобы получить новый конкурент отказаться от намерения войти в новый рынок. Из этих действий, по-видимому, стало известно о Телекс. Тем не менее, анализ на основе теории игр показал, что IBM угрозу из-за высокой стоимости необоснованное. аутсайдером Компания может выбрать курс и "не-запись", если предварительный анализ убедил ее, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию монопольных компаний. В этой ситуации разумно выбрать ход "невступления" с вероятностью агрессивного ответа 0,5, согласно критерию ожидаемого значения.

Теоретически, было установлено, при каких условиях два эгоистически настроенных партнеров выгоду от сотрудничества и достижения более высоких результатов для себя. Эти знания могут быть использованы в практике предприятий, чтобы помочь двум компаниям достичь ситуации "выиграть / выиграть". Сегодня консультанты с обучением в играх быстро и однозначно идентифицировать возможности, которые предприятия могут предпринять, чтобы заключить стабильные и долгосрочные контракты с клиентами, субподрядчиками, партнерами по развитию и т.д.

Очень важная область - это попытки применить теорию игр к биологии, и понять, как сама эволюция создает оптимальную стратегию. Здесь, по сути, тот же самый метод, который помогает нам объяснить человеческое поведение. В конце концов, теория игр говорит, что люди всегда действуют сознательно, стратегически и рационально. Скорее всего, речь идет об эволюции некоторых правил, которые дают более полезные результаты, если вы придерживаться их. То есть, люди часто не рассчитать свою стратегию, она постепенно формируется сама по мере приобретения опыта. Эта идея в настоящее время воспринимается в биологии.

Еще в исследованиях спроса в области компьютерных технологий, таких как анализ аукционов, которые проводятся компьютеры автоматически. Кроме того, теория игр теперь позволяет больше времени, чтобы думать о том, как работают компьютеры, как построить сотрудничество между ними. Например, сервер сети можно рассматривать как игроков, которые пытаются координировать свои действия.

Шахматы - это предельный случай теории игр, потому что все, что вы делаете направлена исключительно на вашу победу, и вам не нужно беспокоиться о том, как реагировать на это партнеру. Достаточно, чтобы убедиться, что он не сможет эффективно реагировать. То есть, это игра с нулевой суммой.

Теория игр используется при поиске подходящей пары донора и реципиента почки. Один человек хочет дать почку к другому, но оказывается, что их типы крови не совместимы. Это sluchaenuzhnо расширить список доноров и получателей, а затем применять методы отбора, которые дают теорию игр.

И в политике, экономике и практиков военного дела встретились с главными ограничениями основы современной теории игр - Neshevskоy рациональности.

Во-первых, люди не настолько совершенен, все время, чтобы думать стратегически. Чтобы преодолеть это ограничение, теоретики начали исследовать эволюционные формулировки равновесия, для которых свойственны более слабых предположениях относительно уровня рациональности.

Во-вторых, исходная предпосылка теории игр для игроков осведомленности о структуре игры и платежей в реальной жизни встречается не так часто, как хотелось бы. Теория игр очень чувствителен к самым маленьким (с точки зрения обывателя), изменения в правилах игры резкого сдвига в предсказанном равновесии. Как следствие этих проблем, современная теория игр в "плодотворной тупиковой ситуации."

Выводы по третьей главе

В третьей главе были рассмотрены сферы приложений теории игр из всего сказанного, можно сделать следующие выводы:

1. Применение теории игр к проблемам военного дела означает, что эффективные решения могут быть найдены для всех участников - лучшее действие, позволяет максимум для решения задач.

2. В качестве примеров применения теории игр в управлении можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций и т.д.

3. В компьютерных технологиях очень востребованы теории игр при анализ аукционов, которые проводятся компьютерами в автоматическом режиме.

4. В биологии применяют теорию игр для выявления того, как сама эволюция строит оптимальные стратегии.

5. В медицине для того, что бы расширить список доноров и реципиентов, а потом применить методы подбора, которые дает теория игр.

Заключение

В заключение следует подчеркнуть, что теория игр является очень сложной областью знаний. При обращении необходимо соблюдать определенную осторожность и точно знать, использование границы. Слишком простая интерпретация чреваты скрытой опасности. С помощью соответствующих инструментов, предпочтительно при изготовлении одно-, принципиально важные решения стратегического планирования.

Тем не менее, использование теории игр облегчает понимание сути того, что происходит с нами, и универсальность этой отрасли науки позволяет нам успешно использовать методы и свойства этой теории в различных областях нашей деятельности.

Теория игр прививает дисциплину человеческого разума. От лица, принимающего решения, она требует систематического формулирования возможных альтернатив поведения, оценить их результаты, а самое главное - счет на поведение других объектов. Человек, знакомый с теорией игр, редко рассматривает другие глупее себя и, следовательно, позволяет избежать многих непростительные ошибки. Тем не менее, теория игр не может, и не предназначен, чтобы дать настойчивости в достижении целей, несмотря на неопределенность и риск. Базовые знания теории игр не дает нам явную победу, но и защищает нас от достижения глупых и ненужных ошибок.

Теория игр всегда имеет дело с особым типом мышления - стратегическое.

В ходе работы были решены поставленные задачи:

- изучена история зарождения теории игр

- определили понятие и сущность теории игр;

- охарактеризовали основные типы игр;

- рассмотрели вероятные сферы внедрения данной теории на практике.

Библиографический список

1. Барсов, А.С. Линейное программирование в технико-экономических задачах./А.С. Барсов. - М.: Наука, 1964. - 278с.

2. Вентцель, Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология./Е.С. Вентцель. - М.: Дрофа, 2011. - 208с.

3. Громенко, Г.Н. Теория игр./Г.Н. Громенко. - М.: Издательство МГОУ, 2012. - 198с.

4. Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр./Г.Н. Дюмин, В.Г. Суздаль. - М.: Наука, 2009. - 310с.

5. Захаров, А.В. Теория игр в общественных науках: Учебник / А.В. Захаров. - М.: ИД ВШЭ, 2015. - 304 c.

6. Зайченко, Ю.П. Исследование операций./Ю.П. Зайченко. - Киев, 2009. 278с.

7. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике./С. Карлин. - М.: Мир, 2004. - 400с.

8. Колесник, Г.В. Теория игр: Учебное пособие / Г.В. Колесник. - М.: КД Либроком, 2014. - 152 c.

9. Конюховский, П.В. Теория игр: Учебник для бакалавров / П.В. Конюховский, А.С. Малова. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 252 c.

10. Краснов, М.Л. Высшая математика./М.Л. Краснов, А.И. Киселёв. - М.: Изд-во ЛКИ, 2011. - Т. 5. - 300с.

11. Малыхин, В.И. Теория принятия решений./В.И. Малыхин, А.В. Статкус. - М.: МИУ, 2012. - 382с.

12. Математические методы в программировании./В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2013. - 224с.

13. Нейман, Дж. Фон, Теория игр и экономическое поведение./Дж. Фон Нейман, О. Моргенштерн. - М.: Наука, 2014. - 420с.

14. Нечай, М.Н. Теория игр в экономике. Практикум с решениеми задач (для бакалавров) / М.Н. Нечай. - М.: КноРус, 2013. - 264 c

15. Оуэн, Г. Теория игр./Г. Оуэн. - М.: Изд-во ЛКИ, 2011. - 232с.

16. Парфёнов, Г.Н. Принципы теории игр./Г.Н. Парфёнов. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2011. - 91с.

17. Протасов, И.Д. Теория игр и исследование операций./И.Д. Протасов. - М.: «Гелиос» АРВ, 2012. - 368с.

18. Раскин, М.А. Введение в теорию игр.// Летняя школа «Современная математика»./М.А. Раскин. - Дубна: 2012. - 344с.

19. Самаров, К.Л. Математика. Элементы теории игр./ К.Л. Самаров. - М.: ООО Резольвента, 2011. - 21с.

20. Терехов, Л.Л. Применение математических методов в экономике./Л.Л. Терехов. - М.: Статистика, 1998. -188с.

21. Хазанова, Л.Э. Математические методы в экономике./Л.Э. Хазанова. - М.: Изд-во БЕК, 2012. - 144с.

22. Хорн, Р. Матричный анализ./ Р.Хорн, Ч. Джонсон. - М.: Мир, 2011. - 427с.

23. Челноков, А.Ю. Теория игр: Учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / А.Ю. Челноков. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 223 c.

24. Шикин, Е.В. От игр к играм./Е.В. Шикин. - М.: УРСС, 2011. - 149с.

25. Юдин, Д.Б. Линейное программирование. Теория, методы, приложения./ Д.Б. Юдин, Е.Г. Гольштейн. - М.: Наука, 2009. - 364с.

26. Яновская, Е.Б. Антагонистические игры// Проблемы кибернетики./Е.Б. Яновская. - М.: Наука, 2008. - С. 221-246.

Размещено на Allbest.ur