Анализ и синтез систем автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГАБОУ ВО «Севастопольский государственный университет»

Институт информатики и управления в технических системах

КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ

по дисциплине «Теория автоматического управления»

на тему «Анализ и синтез систем автоматического управления»

Севастополь, 2016



ВВЕДЕНИЕ

При проектировании САУ обычно задаются необходимые для нормальной работы показатели качества регулирования при некотором типовом воздействии. При этом решается как задача анализа, так и задача синтеза. Задача синтеза противоположна задаче анализа. Если при анализе структура и параметры заданы, а ищут или рассматривают поведение системы в заданных условиях, то в задаче синтеза задание и цель меняются местами.

Характер задания может быть различным. Существуют методы синтеза, при которых задается кривая переходного процесса. Однако реализация систем с переходным процессом, заданным чрезмерно жестко, как правило, оказывается весьма трудной: система получается неоправданно сложной и зачастую нереализуемой, в то время как небольшое отступление от заданной кривой может привести к существенному упрощению структуры. Поэтому более распространен метод задания более грубых качественных оценок, таких как перерегулирование и время регулирования, при которых сохраняется большая свобода в выборе детальной формы кривой переходного процесса. автоматический управление самолет

Задача синтеза обычно имеет множество решений, и выбор из этого множества наиболее рационального решения не может быть сделан только на основании математических расчетов. Это больше инженерная, чем математическая задача. Чаще всего задается ряд элементов системы управления (объект регулирования, двигатели, усилители и т. п., поскольку при построении систем разумно максимально использовать широкую номенклатуру элементов автоматики, выпускаемых промышленностью). Нередко выбор основных типовых звеньев предопределяет и основные черты структуры системы. Назовем совокупность заданных элементов неизменяемой частью системы, а ту часть, которую надо найти в процессе синтеза, -- изменяемой частью системы или корректирующим устройством.

При инженерном синтезе САУ необ ходимо обеспечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых, желаемый характер переходных процессов.

Решение первой задачи в большинстве случаев сводится к определению требуемого общего коэффициента усиления системы и, в случае необходи мости, -- вида корректирующих средств, повышающих точность системы. Эта задача может решаться при помощи определения ошибок в типовых режимах на основе критериев точности. Решение этой задачи, как правило, не сопряжено с труд ностями принципиального или вычислительного характера, так как крите рии точности достаточно просты для их практического использования. В сложных случаях можно прибегать к помощи моделирования. Решение оказывается сравнительно простым вследствие необходимости установления значений относительно небольшого числа параметров. В простейшем случае необходимо найти только общий коэффициент усиления системы.

Решение второй задачи -- обеспечение приемлемых переходных процессов -- оказывается почти всегда более трудным вследствие большого числа варьируемых параметров и многозначности решения задачи демпфи рования системы. Поэтому существующие инженерные методы часто огра ничиваются решением только второй задачи, так как их авторы считают, что обеспечение требуемой точности может быть достаточно просто сделано на основании использования существующих критериев точности и совер шенствования их практически не требуется.

В настоящее время для целей анализа и синтеза систем САУ широко используются ПЭВМ, позволяющие производить полное или частичное модели рование системы. При таком моделировании становится возможным наиболее полно исследовать влияние различных факторов нели нейности, зависимость параметров от времени и т. п.

Однако моделирование на ЭВМ не может заменить расчетных методов проектирования, которые во многих случаях позволяют исследовать вопрос в общем виде и среди многих решений найти оптимальное. Поэтому, несмотря на развитие и распространение машинных методов син теза, теория должна располагать собственными методами, которые допол няли бы моделирование и являлись бы теоретической базой при отыскании оптимального решения.

В курсовом проекте будем рассматривать синтез последовательных корректирующих устройств (элементов) одноконтурных систем управления.



1. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ЦЕЛЕЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И ПРИНЦИПОВ РАБОТЫ ИССЛЕДУЕМОЙ САУ

Система автоматического управления полетом самолета (система «Самолет - автопилот») имеет три канала управления:

1. Управление движением в вертикальной плоскости (по тангажу).

2. Управление движением в горизонтальной плоскости (по курсу).

3. Управление поворотом вокруг собственной оси (по крену).

Гироскоп сохраняет неизменное положение в пространстве. При отклонении самолета на угол ш от заданного курса, движок, связанный с осью гироскопа, смещается с нулевой точки потенциометра. На усилитель подается напряжение, пропорциональное углу отклонения ш. Оно приводит в движение исполнительное устройство 3 - 4. Вследствие отклонения руля направления на угол д самолет возвратится в требуемое положение.

2. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА САУ

Функциональная схема системы автоматической стабилизации самолета по курсу приведена на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - Функциональная схема системы автоматической стабилизации летательного аппарата по курсу



В состав системы входят: объект управления - самолет (ЛА), измерительно - преобразовательное устройство - свободный гироскоп (СГ), усилительное устройство - электронный усилитель (ЭУ1), рулевой тракт - система управления приводом руля (РТ).

На рисунке 2.1 характерными типами воздействия на систему являются

Входы системы:

ш₀(t) - заданное значение курса (угол между заданным направлением полета и базовой линией начала отсчета);

f\(t) - возмущение, действующее на летательный аппарат (ветер, асимметрия планера и др.).

Переменные выхода:

U_П(t) - напряжение, снимаемое с измерительного потенциометра свободного гироскопа;

U_ЭУ1(t) - выходное напряжение электронного усилителя ЭУ1;

д(t) - текущее значение угла поворота руля самолета;

ш(t) - текущее значение углового положения продольной оси самолета.

Для правильного проектирования САУ необходимо знать условия ее работы, т.е. знать управляющие и возмущающие воздействия, действующие на систему.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИССЛЕДУЕМОЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Математическая модель двигателя постоянного тока:

ИД - исполнительный двигатель - электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением и управлением по цепи якоря. При фиксированном возбуждении двигатель имеет две степени свободы и поэтому необходимо иметь два дифференциальных уравнения: по управляющему воздействию в цепи якоря и по возмущающему воздействию момента нагрузки на вал, следующих за исполнительным двигателем устройств.

Дифференциальное уравнение по цепи якоря записывается с использованием II-го закона Кирхгофа:

(3.1)

Второе дифференциальное уравнение получается из равенства моментов на валу двигателя:

(3.2)

L_я и r_я - индукция и сопротивление цепи якоря, С_е и С_м - коэффициенты пропорциональности, J - приведённый к оси двигателя суммарный момент инерции, - угловая скорость двигателя, Ф - поток возбуждения, М - момент нагрузки, приведённой к валу двигателя

Так как Ф=const, то С_е Ф=С_е, С_м Ф= С_м

(3.3)

Получили дифференциальное уравнение второго порядка по скорости вращения вала двигателя во временной области, а для получения передаточной функции необходимо перейти в комплексную область при нулевых начальных условиях:



(3.4)

Принимаем за постоянные времени электрической и магнитной составляющих дроби:

(3.5)

(3.6)

Так как возмущающего воздействия на вал нет, то М=0; также известно, что угол поворота вала двигателя связан с угловой скоростью двигателя =s , следовательно:

(3.7)

Из этих рассуждений можно получить передаточную функцию, с учетом того, что е является входным параметром исполнительного двигателя, а - выходным:

(3.8)



В следствие того, что электрические процессы имеют много меньшую постоянную времени (Т_я<<Т_м) и протекают намного быстрее магнитных, следовательно, ими можно пренебречь при рассмотрении всей системы:

(3.9)

Математические модели отдельных звеньев системы:

1. Электромагнитный усилитель (ЭМУ):

2. Исполнительный двигатель (ИД):

3. Потенциометрический датчик (П):

4. Редуктор (Р):

5. Электронные усилитель (ЭУ1):

6. Электронный усилитель (ЭУ2):

7. Свободный гироскоп (СГ):

8./Самолет (ЛА):



4. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СИСТЕМЫ

Структурная схема системы автоматической стабилизации самолета по курсу приведена на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 - Структурная схема системы стабилизации самолета по курсу

Структурная схема системы автоматической стабилизации самолета по курсу после подстановки параметров передаточных функций будет иметь вид, представленный на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 - Структурная схема системы стабилизации самолета по курсу с учетом параметров, заданных в ТЗ



5. ПРОВЕРКА ПОДЧИНЕННОГО КОНТУРА САУ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Для нашей САУ подчиненный контур -- это рулевой тракт, структурная схема которого приведена на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 - Структурная схема рулевого тракта

Выполним проверку устойчивости рулевого тракта с помощью алгебраического критерия Гурвица. Коэффициент передачи электронного усилителя W_ЭУ2(s) примем равным единице. Остальные передаточные функции известны.

Получим передаточную функцию рулевого тракта:

,

где A(s) - характеристический полином замкнутой системы.

Запишем характеристический многочлен передаточной функции замкнутой цепи рулевого тракта.

Из коэффициентов характеристического многочлена построим матрицу Гурвица и вычислим ее определители.

Все три определителя матрицы Гурвица больше нуля. Следовательно, можем сделать вывод о том, что рулевой тракт устойчив.

Построим переходный процесс .

Определим прямые показатели качества (перерегулирование и время регулирования) и сравним их с заданными.

Переходный процесс рулевого тракта имеет апериодический характер, время регулирования что не согласуется с требованиями ТЗ (задано ).

Необходимо вводить в цепь рулевого тракта корректирующее звено.

6. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

Задача обеспечения заданной точности (заданных по варианту значений коэффициентов ошибок С₀ и С₁) решается путем выбора значения коэффициента передачи электронного усилителя ЭУ2 рулевого тракта.

Коэффициент статической ошибки равен нулю, если система (рулевой тракт) имеет астатизм первого порядка по управлению. Это означает наличие интегрирующего звена в прямой цепи. Передаточная функция исполнительного двигателя имеет идеальное интегрирующее звено , что обеспечивает астатизм первого порядка в системе по управлению. Коэффициент статической ошибки С₀ = 0.

Исходя из теории ошибок, если система имеет астатизм первого порядка, то коэффициент С₁ определяется выражением

(6.1)

где - общий коэффициент усиления рулевого тракта.

(6.2)

Подставив (6.2) в (6.1) получим выражение для коэффициента электронного усилителя рулевого тракта

Выразим К_ЭУ2 и получим

(6.3)

Следует отметить, что выбор достаточно большого коэффициента передачи электронного усилителя может привести к потере устойчивости рулевого тракта.

Задача обеспечения заданных показателей качества

Рассмотрим следующую структурную схему,

Размещено на http://www.allbest.ru/

где W_н = передаточная функция неизменяемой части системы.

Переходим непосредственно к решению задачи качества.

Для решения задачи синтеза корректирующего звена будем применять метод ЛАЧХ (логарифмических амплитудно-частотных характеристик), разработанный академиком В.В. Солодовниковым.

Исходная структурная схема примет вид (звено К_п в обратной связи можно не рассматривать, так как значение равно единице):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод ЛАЧХ заключается в следующем:

Необходимо построить ЛАЧХ неизменяемой части системы . Затем с помощью номограмм Солодовникова построить желаемую ЛАЧХ . С помощью графического преобразования получить ЛАЧХ корректирующего звена . По полученной ЛАЧХ построить передаточную функцию .

Запишем передаточную функцию неизменяемой части рулевого тракта, в виде произведения типовых звеньев:

Синтез корректирующего устройства начинаем с построения асимптотической ЛАЧХ неизменяемой части рулевого тракта .

Разбиваем передаточную функцию на отдельные звенья.

- интегрирующее звено

Прямая будет проходить через значение 48 по оси ординат под наклоном -20 дБ/дек.

- апериодическое звено 1-ого порядка

,

- апериодическое звено 1-ого порядка

,

Прямые будут проходить через значение 0 по оси ординат до частоты сопряжения под наклоном 0 дБ/дек, далее из точки сопряжения пойдут под наклоном -20 дБ/дек.

Результирующая ЛАЧХ неизменяемой части получается путем сложения трех прямых по уровню и наклону. Низкочастотная часть представляет собой прямую с наклоном -20 дБ/дек, которая при частоте имеет ординату 48 дБ. На частоте сопряжения «включается» апериодическое звено , поэтому наклон характеристики изменяется на -20 дБ/дек и становится равным -40 дБ/дек. На частоте сопряжения «включается» второе апериодическое звено , наклон характеристики изменяется еще на -20 дБ/дек и становится равным -60 дБ/дек.

Переходим к построению желаемой ЛАЧХ .

Начинаем построение со среднечастотной части, которая отвечает за устойчивость и качество.

Заданные показатели качества: ,

По первой номограмме найдем частоту среза :

,

По второй номограмме определяем запас устойчивости:

Отмечаем полосу запаса устойчивости параллельно оси абсцисс на значении 15 по оси ординат. Через точку (,0) проводим среднечастотную асимптоту с наклоном -20 дБ/дек, вплоть до достижения пунктирных прямых, обозначающих запас устойчивости.

Низкочастотная часть отвечает за точность системы. Задача точности уже решена, поэтому низкочастотные части желаемой и неизменяемой ЛАЧХ будут совпадать. Однако, так как среднечастотная асимптоты желаемой ЛАЧХ и низкочастотная асимптота неизменяемой ЛАЧХ не пересекаются, возникает необходимость в сопрягающей асимптоте с наклоном -40 дБ/дек до пересечения с низкочастотной частью неизменяемой ЛАЧХ.

Высокочастотная часть ЛАЧХ строится, исходя из конечного удобства получения ЛАЧХ корректирующего звена. Она будет иметь наклон -60 дБ/дек, повторяя высокочастотную часть неизменяемой ЛАЧХ.

ЛАЧХ корректирующего звена находится как разность желаемой и неизменяемой ЛАЧХ. До частоты () результирующая будет идти под наклоном 0 дБ/дек. Далее до частоты () наклон асимптоты будет равняться -20 дБ/дек, а затем характеристика изменится на 20 дБ/дек и будет составлять 0дБ/дек. На частоте характеристика изменится на +20дБ/дек до частоты , начиная с которой асимптота снова пойдет под наклоном 0 дБ/дек.

Чертеж всех указанных построений приведен в Приложении А.

На основании полученной ЛАЧХ корректирующего звена можем определить передаточную функцию корректирующего звена.

Постоянные времени: ,

Передаточная функция корректирующего звена имеет вид:

Построим переходный процесс с корректирующим звеном, чтобы проверить, удовлетворяет ли он заданным показателям качества.

По переходному процессу, определяем прямые показатели качества:

время регулирования

перерегулирование

Полученные результаты свидетельствуют о достижении желаемых динамических свойств замкнутой системы.

7. ТЕХНИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

ЛАЧХ корректирующего звена можно разбить на несколько асимптотических характеристик, для которых есть соответствующие электрические схемы. Передаточную функцию корректирующего устройства, полученную в предыдущем разделе, реализуем с помощью интегрирующего и дифференцирующего звеньев. Для компенсации понижения уровня сигнала будем использовать разделительный операционный усилитель.

Схемы четырехполюсников, которые будут использоваться, приведены на рисунке 7.1.

а)б)

Рисунок 7.1 - Электрические схемы интегрирующего (а), дифференцирующего (б) звеньев

Параметры интегрирующего звена определяются соотношениями:



, ,

На приведенном построении T₁ соответствует T₅, T₂ - T_4.

Выберем тогда

,

Параметры дифференцирующего звена определяются соотношениями:

, ,

На приведенном построении T₁ соответствует T₂, T₂ - T_3.

Выберем тогда

,

Коэффициент усиления К=L₀+



8. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ САУ «САМОЛЕТ-АВТОПИЛОТ»

Построение области устойчивости САУ (самолет + автопилот) по параметру настройки регулятора положения

Рассматриваем структурную схему вида:

Примем, что в структурной схеме системы автоматической стабилизации летательного аппарата по курсу положению (передаточная функция W_эу1) будет являться пропорциональным регулятором.

Определим диапазон изменения параметра K_эу1 из условия обеспечения устойчивости. Для этого построим область устойчивости САУ по параметру K_эу1. Для этого будем применять метод D-разбиения по одному параметру.

Приведем исходную структурную схему к виду:

(8.1)



Запишем передаточную функцию замкнутой системы

Полином знаменателя (8.1) является характеристическим полиномом замкнутой системы. Запишем его в виде характеристического уравнения замкнутой системы:

(8.2)

Производим замену и приведем его к стандартному комплексному виду:

, (8.3)

где - полиномы с вещественными коэффициентами.

Умножаем дробь на комплексно-сопряженное знаменателю число. Выделяем действительную и мнимую части.

Выражение (8.3) является математическим выражением для построения частотного годографа D-разбиения. Так как годограф строится по дробно-рациональному выражению, он будет симметричен относительно вещественной оси.

Заштрихуем кривую D-разбиения слева при изменении частоты от 0 до . В результате комплексная плоскость делится на три области.

Претендентом на область устойчивости является область 1, так как она полностью заштрихована. Чтобы убедиться, возьмем внутри области 1 точку , подставим в характеристическое уравнение и проверим его на устойчивость алгебраическим критерием Гурвица.

Возьмем .

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

Формируем матрицу Гурвица:

Вычислим определители Гурвица с помощью пакета MathCad:

Все определители Гурвица больше нуля, следовательно, характеристический полином устойчив. Область 1 является областью устойчивости, и следовательно, интервал изменения параметра является интервалом устойчивости.

Построение области с гарантированным перерегулированием

Выберем внутри полученной области устойчивости подобласть с перерегулированием, не больше заданного (), то есть область с гарантированным перерегулированием. Для этого из найденного интервала выбираем несколько значений К_ЭУ1 и строим переходные процессы замкнутой системы «Самолет - автопилот» при разных значениях К_ЭУ1.

9. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОСТИ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА САУ

В цепи рулевого тракта присутствует нелинейность типа насыщение. Этот нелинейный элемент НЭ учитывает тот факт, что угол поворота пера руля ограничен стопорами.

Чтобы исследовать влияние НЭ на свойства САУ, структурную схему нужно преобразовать к виду

Рисунок 9.1 -- Преобразованная для анализа схема САУ



САУ с включённой в рулевой тракт нелинейностью имеет вид

Рисунок 9.2 -- САУ с включённой в рулевой тракт нелинейностью

После переноса сумматоров вперёд и последней точки ветвления назад интересующая нас часть схемы примет вид

Рисунок 9.3 -- Приведённая структурная схема САУ

Передаточная функция линейной части имеет вид:

Для данной нелинейной системы абсолютную устойчивость будем определять по критерию Попова. По критерию Попова для абсолютной устойчивости нелинейной САУ необходимо, чтобы линейная часть системы была асимптотически устойчивой и для любых частот выполнялось неравенство Попова:



(8.1)

где - любое действительное число,

k - значение k-сектора (тангенс угла наклона прямой, задающей нелинейность).

Запишем передаточную функцию линейной части в виде:

Подставим это выражение в исходное неравенство Попова и получим:

(8.2)

Для выражения (8.2) вводят понятие модифицированного годографа линейной части.

,

,

При первичном анализе передаточной функции линейной части может возникать ситуация, когда характеристический полином будет иметь один или два нулевых корня, а все остальные левые.

Определим корни характеристического полинома знаменателя с помощью пакета MatLab:

Среди полученных корней имеются два нулевых корня. В этом случае система не будет асимптотически устойчивой, но и о неустойчивости говорить нельзя. Требуется выполнить анализ предельной устойчивости - проверить выполнение дополнительных условий:

1. при

2. при малых

Как видим, первое условие выполняется, а второе - не выполняется.

Чтобы распространить критерий Попова на САУ с линейной частью, имеющей нулевые полюсы, необходимо преобразовать структурную схему к виду:

Введем два фиктивных звена с передаточной функцией _. Они ничего не изменяют в системе, так как их выходные сигналы взаимно компенсируются. Передаточная функция линейной части будет иметь вид:



Необходимо подбирать величину K_ф (K_ф < K) такой, чтобы была устойчивой.

Примем К_ф равным 0.001 и определим корни характеристического полинома знаменателя .

Все корни левые. Критерий Попова в этом случае будет звучать следующим образом: система устойчива, если через точку можно провести прямую проходящую слева от характеристики .



Провести прямую через точку =0.466 так, чтобы она была слева от характеристики невозможно.

Следовательно, сделать вывод об абсолютной устойчивости мы не можем.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения курсового проекта был проведен анализ и синтез системы автоматической стабилизации самолета по курсу, в соответствии с заданными показателями качества. Были решены две задачи: обеспечение требуемой точности переходных процессов и оценка влияния нелинейности на устойчивость САУ.

В ходе проектирования были использованы следующие теоретические знания для анализа и синтеза: алгебраический критерий Гурвица, метод ЛАЧХ Cолодовникова, метод D - разбиения, критерий Попова об абсолютной устойчивости. Также использовались программные пакеты MathCad, MatLab.



ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления/ В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - СПб.: Профессия, 2004. - 752 с.

2...Воронов А. А. Основы теории автоматического управления/ А.А.Воронов. - М.: Энергия, 1966. - Кн.2. - 364с.

3..Петраков Ю. В. Теория автоматического управления технологическими системами/ Ю. В. Петраков, О. И. Драчев. - М.: Машиностроение, 2008. - 336 с.

4..Никулин Е. А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем/ Е. А. Никулин. - СПб.: БХВ - Петербург, 2004. - 640 с.

5. Солодовников В.В., Теория автоматического регулирования/ В.В. Солодовников, А.Н. Дмитриев и др. - М.: Машиностроение, 1967. - Кн. 2. - 680 с.

Размещено на Allbest.ru

...