Решение инженерных задач в пакете MathCad

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное

Учреждение высшего образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Политехнический институт

Материаловедение и технология обработки материалов

РЕФЕРАТ

по Математическому моделированию и современным проблемам наук о материалах и процессах

Решение инженерных задач в пакете MathCad

Студент

Коптева А.Ю.

Преподаватель

Пушкарева Т.П.

Красноярск 2017

Введение

При использовании вычислительной техники встает проблема реализации необходимых алгоритмов в виде так называемых программ. Для решения этой проблемы в различные годы использовались следующие средства: программирование в машинных кодах (включая языки типа Ассемблер); программирование на языках высокого уровня (включая объектно-ориентированное программирование); системы компьютерной математики.

Разработка программы (даже с использованием языков высокого уровня с приставками Visual) требует и соответствующей подготовки (назовем ее программистской), и достаточно большего количества времени. И то и другое часто отсутствует у обычного пользователя, который является специалистом в своей предметной области, но не в программировании. Поэтому начиная с 90-х годов прошлого века широкую известность и заслуженную популярность приобрели так называемые системы компьютерной математики, или математические пакеты. Сейчас эти системы получили широкое распространение не только в научных исследованиях, но и при решении широкого круга инженерных задач.

В данной работе я хочу рассмотреть проблему решения инженерных задач при помощи пакета MatrhCAD

1. Решение оптимизационных задач

Оптимизационная задача - это математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

В самом общем виде задача линейного программирования математически записывается следующим образом:

где X = (x1, x2 , ... , xn); W - область допустимых значений переменных x1, x2 , ... , xn ;f(Х) - целевая функция.

Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать такое, что при любом .

Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешимой, если целевая функция f(Х) не ограничена сверху на допустимом множестве W.

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(Х), так и от строения допустимого множества W. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.

Оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому критерию, определяемому соответствующей целевой функцией.

Например, в ряде задач проектирования существует необходимость определить значения параметров (их называют переменными оптимизационной задачи), которые доставляют максимум или минимум некоторому функционалу (или целевой функции), зависящему от этих параметров. Если на значения этих параметров не накладываются какие-либо ограничения (например, требование положительности), то приходим к задаче безусловной оптимизации (или оптимизации без ограничений). Если заданы ограничения, определяющие допустимые значения параметров, то приходим к задаче условной оптимизации (оптимизации с ограничениями). Вторая задача отличается от первой тем, что решение находится только среди допустимых значений, или на допустимом множестве параметров.

Все множество оптимизационных задач можно разделить на задачи линейного и нелинейного программирования. Если целевая функции и функции ограничения линейны, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций не линейна, то рассматриваемая задача является задачей нелинейного программирования. линейный программирование целевой множество

2. Решение оптимизационных задач без ограничений

Для этого используются две функции MathCAD:

Maximize(f,<список параметров>) - вычисление точки максимума;

Minimize(f, <список параметров>) - вычисление точки минимума,

где f - имя функционала, определенного до обращения к функции;

<список параметров> - содержит перечисление (через запятую) имен параметров, относительно которых решается оптимизационная задача.

Функции Maximize и Minimize возвращают вектор искомых параметров, при которых исследуемая функция имеет максимальное или минимальное значение соответственно.

Перед обращением к функциям Maximize, Minimize надо обязательно задать начальные значения параметров, по которым ищется решение оптимизационной задачи.

3. Решение оптимизационных задач с ограничениями

При решении оптимизационных задач с ограничениями используются те же функции Maximize, Minimize, но они должны использоваться в составе блока решения Given, имеющего следующую структуру:

<Функционал>

<Начальные условия>

Given

<Ограничения>

< Вызов функции Maximize или Minimize >

Для примера разберем проблему оптимального планирования производства.

Цех малого предприятия должен изготовить 100 изделий трех типов x1, X2, X3 и не менее 20 штук изделий каждого типа.

На изделия уходит 4, 3,4 и 2 кг металла соответственно, при его общем запасе 340 кг, а также расходуются по 4,75, 11 и 2 кг пластмассы, при ее общем запасе 700 кг.

Прибыль, полученная от каждого изделия, равна 4, 3 и 2 руб. Определить, сколько изделий каждого типа необходимо выпустить для получения максимальной прибыли в рамках установленных запасов металла и пластмассы.

Эта задача относится к очень широкому классу задач, получившему название «оптимальный план производства при ограниченных ресурсах». Очевидно, что линейные ограничения могут распространяться не только на сырьевые ресурсы, но и на оборудование, людские ресурсы и т.д.

Решение. Фрагмент документа MathCAD, решающий эту задачу, показан на рис. 1. В конце фрагмента выполнена проверка найденного решения (56, 20, 24) . Видно, что по требуемому количеству металла (340 кг) достигнут уровень запаса - 340 кг (такое ограничение называют активным).

Рисунок 1- Решение задачи в пакете MathCAD

Пример 2. Задача оптимального распределения оборудования.

Двум погрузчикам разной мощности не более чем за 24 часа нужно погрузить на первой площадке 230 тонн металла, на второй - 218 тонн. Первый погрузчик на первой площадке может погрузить 10 тонн металла в час, на второй - 12 тонн в час. Второй погрузчик на каждой площадке может погрузить по 13 тонн металла в час. Стоимость работ, связанных с погрузкой одной тонны первым погрузчиком на первой площадке - 8 y. e., на второй - 7 y. e.

Стоимость работ второго погрузчика соответственно - 12 y. e. и 13 y. e. Нужно составить план работы, т.е. найти, сколько времени должен проработать каждый погрузчик на каждой площадке, чтобы стоимость всех работ по погрузке была минимальной. По техническим причинам первый погрузчик на второй площадке должен работать не более 16 часов.

Решение. Фрагмент документа MathCAD, в котором решается рассматриваемая задача, приведен на рис. 2. В качестве искомых параметров приняты следующие переменные: xij - время работы i-го погрузчика на j-й площадке.

Обратите внимание на ограничения в виде равенств, стоящих в блоке Given, в которых стоит «жирный» знак =, вводимый с палитры инструментов «Логическая».

Рисунок 2- Решение задачи в пакете MathCAD

В нижней части документа выполнена проверка полученного решения (переменные xc11, xc12, xc21, xc22). Видно, что найденное решение удовлетворяет ограничениям задачи.

Размещено на Allbest.ru