Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

"Ульяновский Государственный Университет"

Факультет математики, информационных и авиационных технологий

Курсовая работа

Моделирование процесса разорения

Выполнил студент Белинский И.А.

• Введение

Темой данной курсовой работы является изучение задачи о разорении игрока и построение ее компьютерной модели. Данная тема является актуальной на момент написания настоящей работы и имеет применение в различных областях анализа, бизнеса и экономики.

Цель работы: изучить задачу о разорении, ее математическую модель и написать программу, позволяющую замоделировать процесс разорения, отобразить графическую иллюстрацию самого процесса, моментов нарушения постановленных границ и графики функций распределения моментов времени нарушений процессом верхней и нижней границ.

Постановка задачи о разорении

"За столом сидят два игрока. У первого в распоряжении находится А (А > 0) условных денежных единиц, у второго находится В (В > 0) условных денежных единиц. Перед ними на столе лежит асимметричная монета. (вероятность, что выпадет аверс, может равняться любому числу от 0 до 1 включительно). Если на монете выпадает аверс, то первый игрок выигрывает одну условную единицу (т.е. второй игрок выплачивает первому), а если выпадет реверс, то первый игрок платит второму. Требуется найти вероятность того, что один из игроков проиграется в ноль за n шагов, и вероятность проигрыша каждого азартного игрока. Также необходимо вычислить среднюю длину игры".

Данная ситуация может быть смоделирована подобным образом: имеется блуждающая частица и коридор [A;B]. Рассматривается вероятность того, что частица выйдет из коридора за n шагов (нарушит верхнюю или нижнюю границу), [2]. компьютерный разорение графический

Опишем математическую составляющую данной задачи.

Пусть на конечном вероятностном пространстве (?, А, Р) заданы независимые и одинаково распределенные случайные величины (о(i))i?1 c Р(о(i)=1) = Р(о(i)=-1) = Ѕ. Пусть А - количество денег первого игрока в единицах, В - количество денег второго, и А N, В N, где N = {1, 2, …}. Рассмотрим последовательность S = (Sn)n = 0,1,2, …, где S0 = A, S1 = A + о(1), и для любого n N = {1,2, …} Sn = A + о(1) + … + о(n). Тогда для любого щ ? Sn(щ) Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}. Последовательность S называется простым случайным блужданием, [1].

Обозначим момент разорения одного из игроков символом ф = ф(щ): ф = min(n : Sn {0, A+B}). Поскольку S - мартингал относительно потока D = (D0, Dо(1), Dо(1),о(2), Dо(1),о(2),о(3), …) с D0 = (?, ), то по теореме "об остановленном мартингале" выполняется равенство

MSr = MS0 = A.

С другой стороны, для первого игрока

MSr = (А+В)•Р{выигрыша}, [1,2]. Следовательно,

Р{выигрыша} = A/(A+B), Р{проигрыша} = B/(A+B). (1.1)

Для вычисления среднего времени игры рассмотрим тождество

Sn2 = S02 +?2Sk-1•о(k) + ?о(k)2; k = 1,2,3,...,n. (1.2)

Заметим, что ?2Sk-1 • о(k) - мартингал, выходящий из нуля, а о(k)2 ? 1. При этом, очевидно,

MSr2 = (А+В)2 • {A/(A+B)} (1.3)

что вместе с равенством Sr2 = ?2Sk-1•о(k) + ф +A2 влечет соотношение

MSr2 = Mф + A2. (1.4)

Следовательно, среднее время игры равно

Mф = А•В. (1.5)

Имитационная модель процесса разорения

Была построена дискретная модель процесса разорения для одного игрока:

Sn = ?оi, (2.1)

где Р{оi = 1} = p(вероятность выигрыша), Р{оi = -1} = q(вероятность проигрыша).

p+q=1 (2.2)

Так же заданы границы A и B, такие что A ? B, B > 0.

Моменты нарушений границ фиксируются. Так как о - случайная величина, то и момент времени нарушения верхней или нижней границы тоже является случайной величиной. Для удобства построения графиков функций распределения моментов времени нарушений границ производится несколько итераций построения графиков процесса разорения. По полученным значениям строятся графики функций распределения моментов времени нарушения верхней и нижней границ. Компьютерная модель процесса была реализована на языке программирования C++.

Рисунок 1. Компьютерная модель процесса разорения с графиками функций распределения моментов времени нарушения границ с параметрами p = q = 0,5.

В данной программе переменная q - вероятность проигрыша, р - вероятность выигрыша, T - время, В - верхняя граница, А - нижняя граница, М - количество итераций построения графика процесса разорения. При нажатии на кнопку "Построить" - в поле "Процесс разорения" отобразится М графиков процесса разорения, горизонтальная ось отображает время(шаги) T, вертикальная - значения самого процесса. При нажатии на кнопку "Выход" программа закроется. Так же на картинке установлены галочки напротив "Почистить поле перед построением" и "Построить с границами А и В". Первая галочка подразумевает очистку поля с графиками процесса разорения перед следующим нажатием на кнопку "Построить", т. е. после нажатия на кнопку "Построить" графики, построенные до этого, сотрутся, и на их месте построятся новые. При нажатии на вторую галочку в поле "Процесс разорения" графически отобразятся границы B и A двумя горизонтальными красными линиями. Под полем "Процесс разорения" расположены еще два поля "График функции распределения моментов времени нарушения границы В" и "График функции распределения моментов времени нарушения границы А". При каждом нажатии на кнопку "Построить" в этих формах будут отображены графики функций распределения моментов нарушения соответствующих границ для М итераций.

Чтобы проверить корректность вводимых значений вероятностей выигрыша и проигрыша, равенство 2.1 проверяется на выполнение, а именно: сумма значений вероятностей "p" и "q" сравнивается с единицей.

Для моделирования процесса разорения Sn генерируется псевдослучайное число (встроенная функция rand()), равномерно распределенное на интервале [0;32767] и умножается на константу (32767)-1. В итоге мы получаем псевдослучайное число, распределенное равномерно на интервале [0;1]. Далее мы сравниваем полученное значение с вероятностью выигрыша игрока "p": если сгенерированное псевдослучайное число [0;p], то значение процесса S увеличится на 1, иначе уменьшится на 1.

Для построения графиков функций распределения моментов времени нарушения границ А и В проводится М итераций построения графика процесса разорения, если значение процесса Sn равно или больше/меньше значений В/А, фиксируется время Т, на котором процесс нарушил границу и проводится подсчет количества нарушений каждой границы. При проведении всех М итераций полученные два массива, содержащие в себе моменты времени T нарушения границ (в программе ar_max[] и ar_min[]), сортируются по возрастанию. Далее строится компьютерная модель функции распределения моментов времени нарушения границ: при достижении шага, равному первому элемента соответствующего массива (подразумевается тот массив, который содержит в себе моменты времени нарушения определенной границы, т.е. А или В), значение функции распределения увеличивается на величину, численно равную обратному значению количества нарушений данной границы.

Список литературы

1. Ширяев А.Н. Вероятность. Учеб. пособ. для вузов. - второе изд., перераб. и доп. - М.: Наука. 1989. 95-106 с.

2. Бутов А.А. Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие. Ульяновск.: УлГУ, 2014. - 20 с.

Приложение

Фрагменты программного кода.

1) Проверка корректности значений вероятностей выигрыша и проигрыша

sumpq = p + q;

if (sumpq != 1.)

{

ShowMessage("Введены неккоректные данные!");

return;

}

2) Изменения максимального и минимального значений вертикальной и горизонтальной осей графика процесса разорения

Chart1->LeftAxis->Automatic=false;

Chart1->LeftAxis->SetMinMax(Min-1,Max+1);

Chart1->BottomAxis->Automatic=false;

Chart1->BottomAxis->SetMinMax(0,n);

//==================================================

3) Программная реализация процесса разорения

for (i = 0; i <= n; i++)

{

if (i==0)

{

step = 0;

trunc = 0;

}

else

{

rnd = (rand()*count);

if (rnd <= p)

{

trunc += 1;

}

else

{

trunc -= 1;

}

step++;

}

4) Заполнение массивов ar_max и ar_min значениями моментов времени нарушений границ T и подсчет количества этих нарушений

if (trunc >= Max)

{

ar_max[countmax] = step;

countmax++;

break;

}

if (trunc <= Min)

{

ar_min[countmin] = step;

countmin++;

break;

}

5) Сортировка массивов ar_max и ar_min

for(i = 0, j = 0; i < countmax; i++)

{

tmp = ar_max[i];

j = i - 1;

while((j >= 0)&&(ar_max[j] > tmp))

{

ar_max[j+1] = ar_max[j];

j = j - 1;

}

ar_max[j+1] = tmp;

}

for(i = 0, j = 0; i < countmin; i++)

{

tmp = ar_min[i];

j = i - 1;

while((j >= 0)&&(ar_min[j] > tmp))

{

ar_min[j+1] = ar_min[j];

j = j - 1;

}

ar_min[j+1] = tmp;

}

6) Программная модель построения графиков функций распределения моментов времени нарушения границ

qmax = 0;

qmin = 0;

if(countmax > 0)

{

qmax = 1./countmax;

}

if (countmin > 0)

{

qmin = 1./countmin;

}

for(i = 0, j = 0; i < n+1; i++)

{

step = i;

if(i == ar_max[j])

{

meanmax += qmax;

j++;

}

}

for(i = 0, j = 0; i < n+1; i++)

{

step = i;

if(i == ar_min[j])

{

meanmin += qmin;

j++;

}

}

Размещено на Allbest.ru

...