Комп’ютерні технології розрахунку в математичному моделюванні

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Метою лабораторних робіт є одержання практичних навичок щодо розв'язання за допомогою комп'ютерної техніки та широко розповсюдженого програмного забезпечення Microsoft Excel і Mathcad завдань, пов'язаних з використанням основних класів математичних моделей, що описують об'єкти, явища та технологічні процеси у машинобудуванні.

При математичному моделюванні модель являє собою систему математичних співвідношень, що описують певні технологічні чи інші процеси. Найчастіше застосовуються два способи математичного моделювання:

- аналітичний, що передбачає можливість точного математичного опису строго детермінованих систем;

- імовірнісний, що дозволяє отримати не однозначне рішення, а його імовірнісну характеристику (наприклад, яких-небудь параметрів технологічного процесу).

Математичне моделювання займає провідне місце в технологічному аналізі, а також широко застосовується для опису технологічних процесів.

До головних задач, які виконує дослідник при застосуванні математичних моделей, можна віднести:

1) визначити сутність поставленого завдання;

2) провести огляд існуючих математичних методів і моделей, які можуть бути використані для розв'язання поставленого завдання, виконати обґрунтування і вибір найкращої моделі;

3) виконати формалізацію завдання, представити її у вигляді конкретних математичних залежностей:

а) визначити тип математичної моделі, вивчити можливості її використання для розв'язання даного завдання;

б) визначити істотні змінні моделі, параметри і критерії управління, досліджувати взаємозв'язок між ними;

4) провести комп'ютерну реалізацію розрахунків за отриманою математичною моделлю, провести аналіз отриманих результатів.

Програма Microsoft Excel входить в офісний пакет Microsoft Office і призначена для підготовки й обробки електронних таблиць під управлінням операційною системою Windows. Microsoft Excel - це багатофункціональний, потужний редактор електронних таблиць. Він представляє можливість виробляти різні розрахунки, складати списки і, що важливо, будувати наочні графіки і діаграми.

Для розв'язання завдань оптимізації досить зручним і простим у використанні є засіб ППП Мicrosoft Ехсеl Поиск решения. Потужним інструментом рішення оптимізаційних задач є також спеціалізований математичний процесор Mathcad.

Текст звіту до лабораторної роботи (розрахунково-пояснювальної записки) повинен бути коротким, з точними формулюваннями, застосуванням схем, алгоритмів, формул і довідкових даних.

1. Розв'язання технологічних задач лінійної оптимізації з використанням можливостей програми Microsoft Excel

Мета роботи: навчитися в середовищі програми Microsoft Excel знаходити розв'язок технологічних задач на основі лінійних оптимізаційних моделей.

Короткі теоретичні відомості

1. Модель задачі оптимального використання ресурсів.

Для виготовлення декількох (n) видів продукції Р₁, Р₂,..., Р_n використовують m видів ресурсів S₁, S₂,..., S_m. Це можуть бути різні матеріали, електроенергія, напівфабрикати і тому подібне. Об'єм кожного виду ресурсів обмежений і відомий (b₁, b₂,..., b_m). Відомо також a_ij (i = 1,2,..., m; j=1,2..., n) - кількість кожного i-го виду ресурсу, що витрачається на виробництво одиниці j-го виду продукції. Відомий прибуток, що отримується від реалізації одиниці кожного виду продукції (c₁, c₂,..., c_n).

Умови задачі можна представити у вигляді таблиці:

Таблиця 1

Види ресурсів	Об'єми ресурсів	Кількість ресурсів, що витрачається на виробництво одиниці продукції
		Р1	Р2	.....	Pn
S1	b1	a11	a12	.....	a1n
S2	b2	a21	a22	....	a2n
...	..	...	.....	....	....
Sm	bm	am1	am2	...	amn
Прибуток	c1	c2	...	cn

Нехай х_j (j = 1,2,..., n) - кількість кожного виду продукції, яке необхідно виробити.

Для першого ресурсу має місце нерівність-обмеження

a₁₁x₁+ а₁₂х₂+... + а_1nх_n ? b₁.

Аналогічні нерівності будуть і для останніх видів ресурсів. Слід ураховувати також, що всі значення х_j ? 0, j = 1,2,..., n.

Загальний прибуток, що отримується від реалізації всієї продукції, являє собою цільову функцію моделі

L(X)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n.

Необхідно знайти значення змінних, при яких ця функція набуває максимального значення. Таким чином, математична модель задачі оптимального використання ресурсів запишеться у вигляді:

(система обмежень);

(цільова функція).

У компактнішій формі цільову функцію і систему обмежень можна записати, використовуючи знак підсумовування:

2. Моделі задачі оптимального розкрою матеріалів.

Є одиниці матеріалу заданих розмірів (заготовки). Ці заготовки потрібно розрізати на деталі різної довжини, причому задані розміри деталей кожного виду і необхідна кількість деталей. Відомі також варіанти розкрою заготовок, причому за кожним відомі отримувана кількість деталей кожного виду і довжина відходів.

Потрібно визначити, скільки заготовок потрібно розкроїти за кожним із варіантів, щоб довжина сумарних відходів була мінімальна.

Уведемо умовні позначення:

х_j - кількість заготовок, які потрібно розрізати способом j;

j - номер способу розкрою заготовки;

n - кількість варіантів розкрою;

a_ij - кількість деталей i-го виду, після розкрою однієї заготовки способом j;

i - номер виду деталі;

m - кількість видів деталей;

b_i - кількість деталей i-го виду;

L - цільова функція; для якої потрібно знайти мінімальне значення;

c_j - довжина відходів після розкрою однієї заготовки способом j.

Модель завдання оптимального розкрою матеріалів складається з обмежень і цільової функції, що виражає сумарну довжину відходів.

3. Моделі задачі оптимального складу сумішей.

Завдання оптимізації складу суміші виникають у металургії, хімії, сільському господарстві, харчовій промисловості. Моделі оптимального вибору складу суміші дозволяють знайти такий набір компонентів суміші, при якому задана якість продукції виходить з мінімальними витратами. Такі завдання часто називають завданнями про дієту (про складання раціону).

Є набір вихідних компонентів, що містять певні складові елементи. Для кожного компонента відомі процентний склад кожної складової і вартість одиниці компонента. З цих компонентів виготовляється суміш, яка повинна містити певний рівень складових елементів.

Математична модель оптимального вибору складу суміші:

Приклад виконання роботи

Для виготовлення чотирьох видів виробів використовують три види сировини. Запаси сировини, норми його витрати і прибуток від реалізації одного виробу кожного виду наведені в таблиці

Таблиця 2

Вид сировини	Норма витрати сировини, кг, на один виріб виду	Запаси сировини, кг
	А	Б	В	Г
I	2	1	3	2	200
II	1	2	4	8	160
III	2	4	1	1	170
Ціна виробу, грн	5	7	3	8

Визначити в Microsoft Excel план випуску продукції з умови максимізації прибутку від її реалізації.

Розв'язок. Створимо математичну модель даної задачі. Для даної задачі:

- кількість видів сировини (ресурсів) m = 3;

- кількість видів продукції n = 4;

Змінні:

х₁ - кількість виробів виду А, яке необхідно виробити;

х₂ - кількість виробів виду Б, яке необхідно виробити;

х₃ - кількість виробів виду В, яке необхідно виробити;

х₄ - кількість виробів виду Г, яке необхідно виробити.

Математична модель даної задачі:

Цільова функція:

L(Х)=5x₁+3x₂+7x₃+8x₄ > max.

Обмеження моделі:

2x₁+x₂+3x₃+2x₄ ? 200;

x₁+2x₂+4x₃+8x₄ ? 160;

2x₁+4x₂+x₃+x₄ ? 170;

x₁, x₂, x₃, x₄ ? 0;

x₁, x₂, x₃, x₄ - цілі.

Задачі такого типу розв'язуються в редакторі електронних таблиць Microsoft Excel за допомогою надбудови Поиск решения (пункт меню Сервис). Для цього на робочому аркуші Microsoft Excel створимо форму (рис. 1.1), увівши в неї вихідні дані.

Рис. 1.1 Вихідний вигляд форми для введення даних і залежностей

Далі потрібно ввести у відповідні комірки формули для обчислення результатів. У комірки стовпця "Использовано сырья, кг" уводимо формули, відповідні лівим частинам обмежень для видів сировини I, II, III відповідно. Ці значення надбудова обчислить сама.

Комірки зі значеннями змінних залишаємо порожніми, їх також заповнить надбудова.

1. У комірка із значенням цільової функції вводимо формулу. Можна скористатися стандартною функцією СУММПРОИЗВ, для якої як аргументи вказати комірки рядка "Цена изделия, грн" і комірки із значеннями змінних. Таким чином, перед зверненням до надбудови, коли введені всі формули, комірки із значеннями змінних порожні, а у комірці зі значенням цільової функції і у комірках стовпця "Использовано сырья, кг" будуть нулі.

2. Для розв'язання завдань оптимізації досить зручним і простим у використанні є засіб Microsoft Ехсеl Поиск решения. Для виклику цього засобу в меню Сервис виберіть команду Поиск решения.

Якщо команда Поиск решения відсутня в меню Сервис, то треба встановити цю надбудову. У меню Сервис виберіть команду Надстройки. У діалоговому вікні Надстройки встановить прапорець Поиск решения.

Для розв'язання завдання необхідно в діалоговому вікні Поиск решения (рис. 1.2) увести модель.

Рис. 1.2 Діалогове вікно "Поиск решения"

У формулах задаються не символьні позначення змінних і параметрів, а координати комірок таблиці, в яких зберігаються ці змінні.

Поле Установить целевую ячейку служить для вказівки цільової комірки, значення якої необхідно максимізувати, мінімізувати або встановити рівним заданому числу. Ця комірка повинна містити формулу.

Перемикач Равной служить для вибору варіанта оптимізації значення цільової комірки (максимізація, мінімізація або рівність заданому числу). Аби встановити задане число, уведіть його в поле. У нашому прикладі для максимізації прибутку ми натискуємо перемикач максимального значення.

Поле Изменяя ячейки служить для вказівки комірок, значення яких змінюються в процесі пошуку рішення до тих пір, поки не будуть виконані накладені обмеження й умова оптимізації значення комірки, вказаної в полі Установить целевую ячейку. У полі Изменяя ячейки вводять адреси змінних комірок, розділяючи їх комами. Змінні комірки мають бути прямо або побічно пов'язані з цільовою коміркою.

Поле Ограничения служить для відображення списку умов поставленого завдання.

Кнопка Добавить служить для відображення діалогового вікна Добавление ограничения (рис. 1.3).

Рис. 1.3 Диалоговое окно "Добавление ограничения"

У полі Ссылка на ячейку вводиться адреса або ім'я комірок діапазону, на значення яких накладаються обмеження.

Виберіть зі списку, що розкривається, умовний оператор, який необхідно розмістити між посиланням та її обмеженням. Це знаки операторів "не більш", не "менше", "дорівнює" і так далі.

Умовні оператори цілого і двійкового типу можна застосовувати лише при накладенні обмежень на змінні комірки.

У полі Ограничение введіть число, формулу або комірки діапазону, які містять або обчислюють обмежуючі значення.

Щоб приступити до набору нової умови, натисніть кнопку Добавить.

Щоб повернутися в діалогове вікно "Поиск решения", натисніть кнопку ОК.

Команда Изменить діалогового вікна "Поиск решения" служить для відображення діалогового вікна Изменение ограничения.

Команда Удалить служить для зняття вказаного курсором обмеження.

Команда Выполнить служить для запуску пошуку рішення поставленої задачі.

Команда Закрыть служить для виходу з вікна діалогу без запуску пошуку рішення поставленої задачі. При цьому зберігаються установки, зроблені у вікнах діалогу, які з'являлися після натискань на кнопки Параметры, Добавить, Изменить або Удалить.

Кнопка Параметры служить для відображення діалогового вікна Параметры поиска решения, в якому можна завантажити або зберегти модель, і вказати передбачені варіанти пошуку рішення.

Настроювання параметрів алгоритму і програми виробляється в діалоговому вікні Параметры поиска решения (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Діалогове вікно "Параметры поиска решения"

У вікні встановлюються обмеження на час рішення завдань, вибираються алгоритми, задається точність рішення, дається можливість для збереження варіантів моделі та їх наступного завантаження. Значення і стани елементів управління, використовувані за замовчанням, підходять для розв'язання більшості завдань.

Після закінчення розрахунків з'являється діалогове вікно Результаты поиска решения (рис. 1.5).

Рис. 1.5 Діалогове вікно "Результаты поиска решения"

Вигляд вікна Поиск решения для розглянутого прикладу наведений на рис. 1.6, робочого аркуша з результатами - на рис. 1.7.

Рис. 1.6 Вікно Поиск решения з уведеними параметрами для випадку чотирьох змінних (виробів А, Б, В, Г)



Рис. 1.7 Вигляд робочого аркуша з результатами

Порядок виконання роботи з використанням програми Microsoft Excel

1. Ознайомитися з короткими теоретичними відомостями.

2. Відкрити робочу книгу Microsoft Excel.

Зробити це можна:

а) клацнувши лівою кнопкою "миші" по ярлику Microsoft Excel на робочому столі Windows;

б) натиснувши лівою кнопкою "миші" кнопку Пуск у лівому нижньому кутку екрану, навівши на пункт Все Программы, далі - Microsoft Office і вибравши в нім підпрограму Microsoft Excel.

3. Зберегти відкриту робочу книгу. Для цього відкрити пункт верхнього меню Файл, в нім вибрати рядок Сохранить как, вибрати папку Мои документы. У віконці Имя файла видалити наявну назву, для чого натиснути клавіші Delete або Backspase на клавіатурі. Увести в режимі російської мови своє прізвище як ім'я файла. Натиснути ОК.

4. Розглянути приклад виконання роботи. Увести на аркуші 1 робочої книги форму вихідних даних (рис. 1.1) за прикладом виконання роботи. У вікні Поиск решения ввести обмеження моделі.

5. Увести на аркуші 2 робочої книги форму вихідних даних і результатів для свого варіанта за наведеною методикою.

Варіанти завдань для самостійного виконання

1. Для виготовлення виробів двох видів є 100 кг металу. На виготовлення одного виробу першого виду витрачається 2 кг металу, а одного виробу другого виду - 4 кг. Скласти план виробництва, що забезпечує отримання найбільшого прибутку від продажу виробів, якщо відпускна вартість одного виробу першого виду складає 3 грн, а одного виробу другого виду - 2 грн, причому виробів першого виду треба виготовити не більше 40, а виробів другого виду - не більше 20.

2. Для виготовлення виробів двох видів склад може відпустити металу не більше 350 кг, причому на виріб першого виду витрачається 5 кг, а на виріб другого виду - 7 кг металу. Вимагається спланувати виробництво так, щоб був забезпечений найбільший прибуток, якщо виробів першого виду вимагається виготовити не більше 35 шт., а виробів другого виду - не більше 25 шт., причому один виріб першого виду коштує 20 грн, а другого виду - 40 грн

3. З відходів основного виробництва підприємство може організувати випуск чотирьох видів продукції - А, Б, В, Г. Для цього планується використовувати два типи взаємозамінного устаткування. Кількість виробів кожного виду, яке може бути виготовлене на відповідному устаткуванні в перебігу однієї години, а також витрати, пов'язані з виробництвом одного виробу, наведені в таблиці

Таблиця 3

Тип устаткування	Кількість вироблюваних протягом 1 години виробів виду	Витрати, грн, пов'язані з виробництвом протягом 1 години виробів виду
	А	Б	В	Г	А	Б	В	Г
I	8	7	4	5	2,7	2,6	2,7	2,4
II	6	8	6	4	2,6	2,7	2,6	2,5

Устаткування I типу підприємство може використовувати не більше 80 годин, а устаткування II типу - не більше 60 годин.

Ураховуючи, що підприємству слід виготовити виробів кожного виду відповідно не менше 240, 160, 150 і 220 штук, визначити, протягом якого часу і на якому устаткуванні слід виготовляти кожен з виробів так, щоб отримати не менш потрібної кількості виробів при мінімальних витратах на їх виробництво.

4. Сталевий круглий прокат необхідно розрізати на заготовки завдовжки 45, 35 і 50 см. Необхідна кількість заготовок кожного виду складає відповідно 40, 30 і 20 шт. Можливі варіанти розрізу і величина відходів при кожному з них наведені в таблиці

Таблиця 4

Довжина заготовки, см	Варіант розрізу
	1	2	3	4	5	6
45	2	1	1	-	-	-
35	-	1	-	3	1	-
50	-	-	1	-	1	2
Величина відходів, см	20	30	15	5	25	10

Скільки штук прокату слід розрізати за кожним із можливих варіантів, щоб отримати не менше потрібної кількості заготовок при мінімальних відходах?

5. Листи матеріалу розміром 6Ч13 м² потрібно розкроїти так, щоб вийшли заготовки двох типів: 800 штук заготовок розміром 4Ч5 м² і 400 штук заготовок розміром 2Ч3 м². Витрата матеріалу при цьому має бути мінімальною. Способи розкрою матеріалу і кількість заготовок кожного типу, що отримуються при розкрої одного аркуша, представлені в таблиці

Таблиця 5

Розмір заготовки, м2	Спосіб розкрою
	I	II	III	IV
45 м2	3	2	1	-
23 м2	1	6	9	13
Величина відходів, м2	12	2	2	0

6. На меблевій фабриці зі стандартних листів фанери необхідно вирізувати заготовки чотирьох видів у кількостях, відповідно рівних 24, 31, 18 і 32 шт. Кожен аркуш фанери може розрізати на заготовки двома способами. В таблиці наведені кількість отримуваних заготовок при кожному способі розкрою та величина відходів, що отримуються при кожному способі розкрою одного аркуша фанери.

Таблиця 6

Вигляд заготівки	Кількість заготовок, шт., при розкрої за способом
	А	Б
I	2	6
II	5	4
III	2	3
IV	3	7
Величина відходів, см2	12	16

7. Фірма має у своєму розпорядженні транспорт, що дозволяє однократно перевезти не більше 800 т вантажу загальним об'ємом, що не перевищує 600 м³. Цей транспорт передбачається використовувати для перевезення 11 найменувань вантажу, маса, об'єм і ціна одиниці кожного з яких наведені в таблиці

Таблиця 7

Параметри одиниці вантажу	Номер вантажу
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Маса, т	80	62	92	82	90	60	81	83	86	65	83
Об'єм, м3	100	90	96	110	120	80	114	60	106	114	86
Ціна, тис. грн	4,4	2,7	3,2	2,8	2,7	2,8	3,3	3,5	4,7	3,9	4,0

Визначити, скільки одиниць кожного вантажу слід розмістити, щоб загальна вартість розміщеного вантажу була максимальною.

8. Для створення суміші використовують два види речовин; вартість 1 кг речовини першого виду - 10 грн, а речовини другого виду - 7 грн. У кожному кілограмі речовини першого виду міститься 6 од. компоненту А, 18 од. компоненту Б і 3 од. компоненту В, а в кожному кілограмі речовини другого виду відповідно 3, 4 і 5 од. Потрібно, щоб у суміш компоненту А входило не менше 430 од., типу Б - не менше 75 од. і типу В - не менше 120 од. Яку кількість речовини кожного виду необхідно витратити, щоб витрати на суміш були мінімальними?

9. З чотирьох видів сировини необхідно скласти суміш, до складу якої повинно входити не менше 26 одиниць речовини А, 30 од. - речовини В і 24 од. - речовини С. Кількість одиниць речовини, що міститься в 1 кг сировини кожного виду і ціна 1 кг сировини вказані в таблиці. Скласти суміш, що містить не менш потрібної кількості речовин А, В і С і має мінімальну вартість.

Таблиця 8

Речовина	Кількість одиниць речовини, що міститься в 1 кг сировини виду
	I	II	III	IV
А	1	1	0	4
В	2	-	3	5
С	1	2	4	6
Ціна 1 кг сировини, грн	5	6	7	4

10. У розпорядженні підприємства є три види агломерату, корисних компонентів А і Б, що відрізняються вмістом, і ціною.

Таблиця 9

Вид агломерату	Вміст компоненту А, %	Вміст компоненту Б %	Розмір запасу, т	Ціна, грн/т
1	10	50	100	50
2	15	20	200	45
3	20	10	150	30

Знайти рішення, що забезпечує мінімізацію сумарної вартості суміші при виконанні таких умов:

- вміст компонента А в суміші повинен бути в інтервалі 30-35 т;

- вміст компонента Б в суміші повинен бути в інтервалі 10-20 т;

- кількість суміші - 175 т.

Зміст звіту

1. Мета роботи.

2. Короткі теоретичні відомості.

3. Опис усіх етапів виконання роботи.

4. Опис отриманих результатів.

5. Висновки за результатами роботи.

1. Дати визначення математичної моделі.

2. У чому полягає основна мета економіко-математичного моделювання?

3. Що прийнято називати цільовою функцією під час моделювання системи?

4. Яка функція використовується як цільова функція в моделях оптимального розкрою матеріалів?

5. Що дозволяють знайти моделі оптимального вибору складу суміші?

6. Як викликати в програмі Microsoft Excel надбудову "Поиск решения"?

2. "Розв'язання технологічних задач лінійної оптимізації з використанням можливостей програми MathCad"

Мета роботи: навчитися в середовищі програми Mathcad знаходити розв'язок технологічних задач на основі лінійних оптимізаційних моделей.

Короткі теоретичні відомості

Панелі операторів, що розташовані у смузі панелей у верхній частині вікна робочого аркуша Mathcad, дозволяють вставляти в робочий аркуш різні математичні оператори Мathcad. Спершу клацніть лівою кнопкою "миші" на своєму робочому аркуші, аби визначити місце для майбутнього вираження (на цьому місці з'явиться червоний хрестик-курсор).

Щоб вивести панель з потрібними операторами, в меню View (Вид) наведіть курсор на пункт меню Toolbars (Панели инструментов), виберіть потрібну панель інструментів і клацніть на ній. В падаючій панелі, що з'явилася, по кнопці відповідного оператора, аби вставити цей оператор у робочий аркуш.

Символ привласнення (the definition symbol):= є в панелі Calculator (Калькулятор); можна також його увести, надрукувавши в режимі англійської мови двокрапку:.

Щоб проглянути список вбудованих функцій Mathcad, увійдіть до меню Insert (Вставить) и виберіть строку Function (Функция), або нажміть "Ctrl+f".

Щоб увести матрицю, у панелі Matrix (Матрица) клацніть по кнопці Matrix or Vector () або нажміть "Ctrl+m", уведіть кількість рядків (Rows) і стовпців (Columns), натисніть кнопку ОК і потім заповніть відповідні елементи макета матриці числами.

Порядок виконання роботи з використанням програми MathCad

Розглянемо розв'язок прикладу з лабораторної роботи № 1.

1. Запустити математичний процесор MathCad.

2. У меню Wiew навести курсор на рядок Toolbars і в її меню клацнути по рядку Boolean або на палітрі панелей інструментів Math клацнути по кнопці . З'явиться панель інструментів Boolean.

3. Присвоїти змінним довільні значення, наприклад:

4. Увести вираз для цільової функції:

5. Записуємо слово Given, і нижче обмеження (знаки =, ?, ? уводяться за допомогою кнопок на панелі інструментів Boolean):



6. Записуємо X:=Minimize(L,x1,x2,x3,х4) або X:=Maximize(L,x1,x2,x3,х4) залежно від того, мінімальне або максимальне значення цільової функції L хочемо знайти. Функції Minimize та Maximize вставляємо за допомогою меню Insert (Вставить), де вибираємо строку Function (Функция), або натискаємо "Ctrl+f", і далі вибираємо потрібну функцію зі списку.

7. Даємо команду на рахунок (X=). У результаті повинна вийти матриця X значень змінних:

8. Створити вектор-стовпець коефіцієнтів цільової функції С. Для вставки матриці використовуємо кнопку палітри Matrix. У вікні Insert Matrix вказуємо кількість рядків (Rows) і стовпців (Columns) матриці. Матриця С - вектор-стовпець розміром 4Ч1.

9. Присвоюємо змінній L значення добутку матриць C і Х:

Даємо команду на рахунок (L=). Отримане значення (480) є значенням цільової функції при отриманих значеннях змінних (матриця Х).

10. Зберегти файл у свою робочу папку.

11. Розв'язати завдання з лабораторної роботи №1 у середовищі MathCad.

Зміст звіту

1. Мета роботи.

2. Короткі теоретичні відомості.

3. Опис усіх етапів виконання роботи.

4. Опис отриманих результатів.

5. Висновки за результатами роботи.

Контрольні питання

1. Як у процесорі Mathcad задати цільову функцію?

2. Яким чином у процесорі Mathcad задаються обмеження?

Література: [1, 2, 4, 6].

3. Розв'язання задач транспортного типу з використанням можливостей програми Microsoft Excel

Мета роботи: навчитися в середовищі програми Microsoft Excel знаходити розв'язок технологічних задач на основі моделі транспортної задачі.

Короткі теоретичні відомості

Математична модель завдання: нехай загальний об'єм ресурсів, що поставляються, дорівнює загальному об'єму споживаних ресурсів, тобто

(1)

У такій постановці задача має назву збалансованої і в цьому випадку її можна вирішити методом потенціалів.

Обмеження задачі:

Ресурси всіх джерел (пунктів відправлення) мають бути реалізовані:

; (2)

Запити всіх пунктів споживання мають бути задоволені:

;(3)

Цільова функція: транспортні витрати мають бути мінімальні

,

де x_ij - кількість продукції, що перевозиться з i-го пункту виробництва в j, - пункт вжитку.

, i = 1..n, j = 1..m. (4)

Завдання (2) -(4) є спеціальним завданням лінійного програмування і називається транспортним завданням.

Приклад виконання роботи

На трьох хлібокомбінатах щодня виробляється 110, 190 і 90 т муки. Ця мука споживається чотирма хлібозаводами, щоденні потреби яких рівні відповідно 80, 60, 170 і 80 т. Тарифи перевезень, грн, 1 т муки з хлібокомбінатів до кожного з хлібозаводів задаються матрицею

Скласти, використовуючи Microsoft Excel такий план перевезення муки, при якому загальна вартість перевезень буде мінімальною.

Розв'язок. Для вихідної задачі математична модель має наступний вигляд: цільова функція:

,

Задачі такого типу також розв'язуються в редакторі електронних таблиць Microsoft Excel за допомогою надбудови Поиск решения (пункт меню Сервис). Для цього на робочому аркуші Microsoft Excel створимо форму (рис. 3.1), увівши в неї вихідні дані. У вікні Поиск решения вводимо відповідні обмеження (рис.3.2).

Рис. 3.1 Вихідний вигляд форми для введення даних і залежностей



Рис. 3.2 Вигляд вікна "Поиск решения"

Результат розв'язання надбудовою задачі зображений на рис. 3.3.

Рис. 3.3 Результат розв'язання транспортної задачі в MS Excel

Порядок виконання роботи з використанням програми Microsoft Excel

1. Ознайомитися з короткими теоретичними відомостями.

2. Відкрити робочу книгу Microsoft Excel.

3. Зберегти відкриту робочу книгу.

4. Розглянути приклад виконання роботи. Увести на аркуші робочої книги форму вихідних даних (рис. 3.1) за прикладом виконання роботи. У вікні Поиск решения ввести обмеження моделі.

5. Увести на наступному аркуші робочої книги форму вихідних даних і результатів для свого варіанта за наведеною методикою.

Варіанти завдань для самостійного виконання

1. На чотирьох складах - А, Б, В і Г знаходиться 40, 60, 70, 100 т пального відповідно. Перевезення однієї тонни пального із складу А в пункти 1, 2, 3 відповідно стоїть 1, 3 і 5 грн., із складу Б в ті ж пункти - 4, 6 і 3 грн., із складу В - 2, 9 і 5 грн., із складу Г - 1, 5 і 3 грн. У кожен пункт треба доставити по однаковій кількості тонн пального.

2. На трьох складах - А, Б і В знаходиться по 120 т пального. У пункт 1 треба доставити 150 тонн пального, в пункт 2 - 90 тонн пального, в пункт 3 - 120 тонн пального. Перевезення однієї тонни пального із складу А в пункти 1, 2, 3 відповідно стоїть 4, 2 і 1 грн., а перевезення однієї тонни із складу Б в ті ж пункти - відповідно 2, 6 і 3 грн., із складу В в ті ж пункти - відповідно 3, 6 і 5 грн.

3. У резерві трьох залізничних станцій А, В і С знаходиться відповідно 60, 80 і 100 вагонів. Пункту 1 вантаження хліба необхідно 40 вагонів, пункту 2 - 60 вагонів, пункту 3 - 80 вагонів і пункту 4 - 60 вагонів. Вартості перегонів одного вагону із станції А у вказані пункти відповідно рівні 1, 2, 3, 4 грн., із станції В - 4, 3, 2, 6 грн. і із станції С - 7, 2, 2, 1 грн.

4.. Завод має три цехи - А, В, С і чотири склади - № 1, № 2, № 3, № 4. Цех А виробляє 30 тис. шт. виробів, цех В - 40 тис. шт., цех С - 20 тис. шт. Пропускна спроможність складів за той же час характеризується наступними показниками: склад № 1- 20 тис. шт. № 2 - 30 тис. шт., склад № 3 - 30 тис. шт., склад № 4 - 10 тис. шт. Вартість перевезення 1 тис. шт. виробів з цеху А в склади № 1, № 2, № 3, № 4 відповідно рівна 2, 3, 2, 4 грн., з цеху В - 3, 2, 5, 1 грн., з цеху С - 4, 3, 2, 6 грн.

5. У трьох сховищах пального щодня зберігається 175, 125 і 140 т бензину. Цей бензин щодня отримують чотири заправні станції в кількостях відповідно 180, 160, 60 і 40 т. Вартості перевезень 1 т бензину з сховищ до заправних станцій задаються матрицею

.

Зміст звіту

1. Мета роботи.

2. Короткі теоретичні відомості.

3. Опис усіх етапів виконання роботи.

4. Опис отриманих результатів.

5. Висновки за результатами роботи.

Контрольні питання

1. Постановка транспортної задачі, умова існування її розв'язку.

2. Пошук початкового опорного плану: методи північно-західного кута і мінімального елемента.

3. Пошук оптимального опорного плану перевезень за методом потенціалів.

4. Методика розв'язування транспортної задачі у Microsoft Excel.

Література: [1-3, 5, 6].

4. Розв'язання задач транспортного типу з використанням можливостей програми MathCad

Мета роботи: навчитися в середовищі програми MathCad знаходити розв'язок технологічних задач на основі моделі транспортної задачі.

Короткі теоретичні відомості

При знаходженні опорного плану транспортної задачі методом "північно-західного кута" на кожному кроці розглядають перший з решти пунктів відправлення і перший з решти пунктів призначення. Заповнення клітинок таблиці починається з лівої верхньої клітинки ( "північно-західний кут") і йде як би по діагоналі таблиці.

У методі північно-західного кута на кожному кроці потреби першого з решти пунктів призначення задовольнялися за рахунок запасів першого з решти пунктів відправлення. Очевидно, вибір пунктів призначення і відправлення доцільно проводити, орієнтуючись на тарифи перевезень, а саме: на кожному кроці слід вибирати якусь клітинку, що відповідає мінімальному тарифу (якщо таких клітинок декілька, то слід вибирати будь-яку з них), і розглянути пункти призначення і відправлення, відповідні вибраній клітинці.

Суть методу мінімального елемента полягає у виборі клітинки з мінімальним тарифом. Слід зазначити, що цей метод, як правило, дозволяє знайти опорний план транспортної задачі, при якому загальна вартість перевезень вантажу менша, ніж загальна вартість перевезень при плані, знайденому для даної задачі за допомогою методу північно-західного кута. Тому більш доцільно опорний план транспортної задачі знаходити методом мінімального елементу.

Порядок виконання роботи з використанням програми MathCad

Розв'яжемо наступну задачу. Нехай є m=3 пунктів відправлення A_i і n=5 пунктів призначення B_j деякого ресурсу. Хай також відома кількість ресурсів в i-му пункті відправлення (a_i) і потреба в цьому ресурсі в j-ому пункті призначення (b_j). Відомі також витрати на перевезення однієї одиниці ресурсу з кожного i-го пункту відправлення в кожен j-й пункт призначення. Потрібно визначити, яку кількість ресурсів x_ij (x_ij?0) необхідно поставити з кожного i-го пункту відправлення в кожен пункт j-й призначення, щоб вивести всі ресурси зі всіх пунктів відправлення, забезпечити всі пункти призначення даним виглядом ресурсів і перевезення виконати з мінімальними витратами.

Значення задачі наведені в таблиці

Таблиця 10

ai/bj	150	170	190	210	70
250	7	9	16	10	16
350	13	12	18	12	20
110	19	15	10	13	12

Порядок розв'язання задачі наступний:

1. Уведемо спочатку пояснюючий текст у робочому аркуші MathCad. Для цього розташуємо курсор (візир - червоний хрестик) в місці введення тексту. Потім виберемо (клацанням миші або за допомогою клавіатури) пункт Insert (Вставка) головного меню Маthcаd. У падаючому меню, що з'явилося, виберемо пункт Техt Rеgion (Текстовая область) або в місці розташування курсору натискуватимемо клавішу з подвійною лапкою (команда для введення тексту). В обох випадках з'явиться шаблон, що вказує місце і початок введення тексту, який і буде введений після цього. Текстова область почне автоматично збільшуватися у міру введення тексту. Після закінчення цієї операції виведемо курсор (маркер уведення - червона вертикальна риска) за рамки текстової області.

2. Далі введемо критерій оптимізації - цільову функцію. Для цього спочатку розмістимо курсор у місці введення математичного вираження. Спочатку введемо цільову функцію з аргументами, записаними через коми і взятими в дужки. Далі вводимо знак привласнення ”:=” і вираз для цільової функції. Аналогічно вводяться початкові наближення.

Для розв'язання завдання використовуємо блок функцій Given...Minimize. Для цього потрібно ввести слово Given.

Далі слід ввести систему обмежень і умов. Жирний знак рівності можна викликати натисненням комбінації клавіш "Ctrl+=", знак "?" - комбінацією "Ctrl+0" (рис. 4.1).

3. Уведіть вектор-стовпець шуканих параметрів (рис. 4.2). У діалоговому вікні Insert Matrix (Вставить матрицу) уведіть розмірність для вектора стовпця: у полі рядка (Rows) введіть 15, а в полі стовпців (Со1umns) - 1; і введіть знак привласнення. Далі введіть функцію Мinimize з шуканими параметрами.

Уведіть вектор-стовпець шуканих параметрів и отримайте результат, аналогічний наведеному на рис. 4.2. Також знайдіть значення цільової функції Y (рис. 4.2).



Рис. 4.1 Вигляд початкових даних і обмежень транспортної задачі в MathCad

Рис. 4.2 Вигляд результатів транспортної задачі в MathCad

Завдання для самостійного виконання

Розв'яжіть за допомогою Mathcad завдання лабораторної роботи № 3.

Зміст звіту

1. Мета роботи.

2. Короткі теоретичні відомості.

3. Опис усіх етапів виконання роботи.

4. Опис отриманих результатів.

5. Висновки за результатами роботи.

Контрольні питання

1. Сформулюйте транспортну задачу лінійного програмування і запишіть її математичну модель.

2. Яка функція використовується як цільова функція в моделі транспортної задачі?

3. Які функції Mathcad дозволяють знайти оптимальне рішення транспортної задачі?

Література: [1, 2, 4, 6]

програма microsoft задача транспортний

Список літератури

1. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике: Учеб. для вузов/ Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 2-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 496 с.

2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. - Мн.: ДизайнПРО, 2004. - 640 с.

3. Орлова Н.Н. Математические методы и модели. Практикум в Microsoft Excel. - М.: ФиС, 2000. - 176 с.

4. Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. - СПб.: Питер. 2009. - 384 с.

5. Ржевський С.В. Елементи теорії дослідження операцій. Навч. посіб. - К.: Освіта, 1999. - 120 с.

6. Васильков Ю. В., Василькова Н. Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 256 с.

Размещено на Allbest.ru

...