Анализ динамики и синтез системы автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Курсовая работа

Анализ динамики и синтез системы автоматического управления

2016

Исходные данные

Задана структурная схема, представленная на рисунке 1.

В качестве исходных данных выступают:

К му =5 - коэффициент усиления магнитного усилителя;

Т дв =1.2 с - постоянная времени электродвигателя;

Т му =0.2 с - постоянная времени магнитного усилителя;

Требуемые показатели качества системы:

e_уст =0.3 - допустимая установившаяся ошибка при скорости слежения

=30 / c ;

t _p =2.5 c - допустимое время переходного процесса;

=25 % - допустимое перерегулирование.

Передаточные функции звеньев:

Объект управления (ОУ) электродвигатель постоянного тока

Исполнительное устройство (ИУ) магнитный усилитель

Приемник

Электронный усилитель

Корректирующее устройство (КУ) Wку (s).

1. Записать уравнение, рассчитать и построить временные динамические характеристики звеньев неизменяемой части системы, а также все виды частотных характеристик этих звеньев.

1.1 По передаточной функции приемника Wпр (s) kпр 0.5 можно сделать вывод о том, что звено приемника является пропорциональным.

Уравнение звена

вых kпр хвх 0.5 хвх.

Переходная функция - реакция системы (зависимость выходной величины от времени) при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях.

Импульсная функция - реакция системы при единичном импульсном воздействии и нулевых начальных условиях.

где (t) - дельта функция дирака.

Графики временных характеристик звена приведены на рисунке 2.

Рисунок 2. Переходная и импульсная характеристики приемника.

Функцию W ( j ) , которая получается из передаточной изображениях Лапласа при подстановке s j , называют передаточной функцией. Частотная передаточная функция имеет вид:

Wпр ( j ) kпр 0.5 (6).

Частотную функцию обычно представляют в виде:

W ( j ) UjVA e j (7)

Откуда для приемника вещественная часть Uпр0.5 , мнимая часть Vпр0.

На комплексной плоскости частотная передаточная функция определяет вектор, длина которого равна A , a аргумент равен углу , образованному этим вектором с положительной действительной полуосью [1]. Модуль A называют амплитудной частотной функцией. Аргумент называют фазовой частотной функцией.

Функцию L 20log( A( )) называют логарифмической амплитудной частотной функцией, а график зависимости функции L от логарифма частоты называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).

Годограф этого вектора, т.е. кривую, описываемую концом вектора W ( j ) при изменении частоты от 0 до или от - до , называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) [1]. АФЧХ принимает вид, указанный на рисунке 3.

Рисунок 3. АФЧХ приемника

Значение АЧХ:

ФЧХ:

Значение ЛАЧХ

Откуда для приемника ЛАФЧХ принимает вид, указанный на рисунке 4.

Рисунок 4. ЛАЧХ и ФЧХ приемника

1.2. По передаточной функции магнитного усилителя определим вид типового звена

Размещено на http://www.allbest.ru/

апериодическое звено первого порядка.

Уравнение звена

Переходная функция



Графики временных характеристик звена приведены на рисунке 5, построим иx в математическом пакете Matlab при помощи функций step и impulse.

Рисунок 5. Переходная и импульсная характеристики магнитного усилителя.

Частотная передаточная функция имеет вид:

и АФЧХ принимает вид, приведенный на рисунке 6, построим характеристику в пакете Matlab при помощи функции nyquist.

Рисунок 6. АФЧХ магнитного усилителя.

Откуда для магнитного усилителя ЛАФЧХ принимает вид, указанный на рисунке 7, построим характеристику в пакете Matlab при помощи функции bode.

Рисунок 7. ЛАЧХ и ФЧХ магнитного усилителя.

магнитный усилитель четырехполюсник

1.3. По передаточной функции электродвигателя определим вид типового звена Wдв (s)



Разложу выражение под обратным преобразованием Лапласа на простые дроби:

Откуда

Графики временных характеристик звена приведены на рисунке 8.



Рисунок 8. Переходная и импульсная характеристики электродвигателя.

Частотная передаточная функция имеет вид:

Рисунок 9. АФЧХ электродвигателя.

Значение АЧХ:

ФЧХ

Значение ЛАЧХ

Откуда для электродвигателя ЛАФЧХ принимает вид, приведенный на рисунке 10.

Рисунок 10. ЛАЧХ и ФЧХ электродвигателя.

2. Определить наименьший потребный коэффициент передачи электронного усилителя из условий обеспечения допустимой величины e_уст =0.3 в режиме слежения с постоянной скоростью g уст =30/ c .

При подобном ограничении система должна иметь астатизм не ниже первого порядка.

Уберем обратную связь с КУ (рисунок 11) и найдем передаточную функцию системы.



Рисунок 11. Преобразованная структурная схема

Откуда передаточная функция нескорректированной разомкнутой системы по управляющему воздействию:

3. Выяснить возможность обеспечения требований точности в установившемся режиме без введения корректирующих устройств путем определения диапазона изменения kэу из условия устойчивости, воспользовавшись критерием Михайлова.

Характеристическое уравнение системы по управляющему воздействию:

при a0 = 0.24 > 0 ее кривая Михайлова, начинаясь с положительной вещественной полуоси, последовательно обходила n=3 квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки).

Система находится на границе устойчивости (колебательной), если ее кривая Михайлова при a0 = 0.24 > 0, начинаясь с положительной вещественной полуоси, проходит через начало координат и при малой ее деформации в окрестности начала координат удовлетворяет критерию устойчивости [1].

Построим кривую Михайлова при kэу 1. Из рисунка 12 можно сделать вывод о том, что кривая проходит последовательно три квадранта, а значит при kэу 1 система устойчива. Откуда условие устойчивости системы kэу kэукр .



Рисунок 12. Годограф Михайлова при kэу 1

4. Провести синтез САУ методом логарифмических частотных характеристик при заданной точности в установившемся режиме eуст =0.3 при скорости слежения переходной функции принципиальную схему реализации КУ и рассчитать параметры.

Для вычислений примем значение k_эу 100 , из условия требуемой точности системы, определенного в п.2.

Сначала построим асимптотическую ЛАЧХ исходной системы без КУ.

Передаточная функция нескорректированной разомкнутой системы по управляющему воздействию:

Исходя из передаточной функции разомкнутой схемы, можно построить асимптотическую ЛАЧХ нескорректированной системы Lн ( ) .



Рисунок 13.Асимптотическая ЛАЧХ нескорректированной системы Lн

Синтез САУ начинается с выбора желаемой ЛАЧХ. Различают три основных участка ЛАЧХ: низкочастотный, среднечастотный, высокочастотный [1].

Среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ строится по требованиям переходного процесса с использованием номограмм Солодовникова (рисунок 14).

Рисунок 14. Асимптотическая ЛАЧХ нескорректированной системы и низкочастотная ЖЛАЧХ.

По условию, перерегулирование у не должно превышать 25%. По номограмме Солодовникова (а) определяем формулу для зависимости времени регулирования tp и минимальной частоты среза щср:

По номограмме Солодовникова (б) определяем протяжённость среднечастотного участка: ДL = 17 дБ (в случае надобности, его можно продлить).

Для обеспечения необходимого запаса устойчивости, ЖЛАЧХ в области частоты среза должна иметь наклон -20 дБ/дек. Чем больше протяженность участка с наклоном -20 дБ/дек, тем меньше показатель колебательности.

Низкочастотный участок ЖЛАЧХ определяется порядком астатизма v и коэффициентом К разомкнутой системы, определяемого допустимой величиной установившейся ошибки. Эта асимптота должна иметь наклон -20v Дб/дек и пересекать точку (10 ⁰,20log(K)).

Таким образом, низкочастотный участок нескорректированной ЛАХ пройдет под наклоном -20 Дб/дек.

В процессе построения ЖЛАЧХ следует максимально совмещать изломы нескорректированной ЛАХ и ЖЛАЧХ, что приводит к уменьшению числа изломов КУ.

Таким образом, низкочастотный участок нескорректированной ЛАХ пройдет под наклоном -20 Дб/дек.

В процессе построения ЖЛАЧХ следует максимально совмещать изломы нескорректированной ЛАХ и ЖЛАЧХ, что приводит к уменьшению числа изломов КУ.



В области высоких частот ЖЛАЧХ проводится либо параллельно ЛАХ нескорректированной системы, либо с большим наклоном. В связи с чем наклон высокочастотной ЖЛАЧХ примем равным -60 дБ/дек. Четвертую сопрягающую частоту выберем из условия протяженности среднечастотного участка с наклоном

-20дБ/дек 5 50 c¹

Результирующая ЖЛАЧХ приведена на рисунке 15.

Рисунок 15. Асимптотическая ЛАЧХ нескорректированной системы L_н ( ) и полученная ЖЛАЧХ Lg

Определим желаемую передаточную функцию разомкнутой системы W соответствующую описанной ЛАЧХ. ЖЛАЧХ на низких частотах мы выбрали с наклоном -20 дБ/дек, аналогично имеющейся системе, чтобы W^жраз имела в своем составе идеальное интегрирующее звено.



Желаемая передаточная функция с передаточной функцией внутреннего контура

соотносится так

Из анализа Wку (s)видно, что устройство, имеющее такую передаточную функцию не может быть физически реализовано (порядок числителя m = 3 больше порядка знаменателя n = 2).

Используем глубокую обратную связь.

ЖЛАЧХ выше ЛАЧХ нескорректированной схемы, поэтому увеличим значение kэу 10⁴

Результирующая нескорректированная ЛАЧХ приведена на рисунке 16.

Рисунок 16. Асимптотическая ЛАЧХ нескорректированной системы и полученная ЖЛАЧХ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 17. Асимптотическая ЛАЧХ нескорректированной системы, ЖЛАЧХ, ЛАХ неохваченных звеньев и отрицательный ЛАХ внутреннего контура.

Теперь построим ЛАХ Lпр Lдв Lж и L1(рисунок 18).

Рисунок 18. Асимптотическая ЛАЧХ нескорректированной системы, ЖЛАЧХ, ЛАХ неохваченных звеньев минус ЖЛАЧХ и отрицательная ЛАХ внутреннего контура.

Теперь объединим эти графики в Lку (рисунок 19).

Рисунок 19. Асимптотическая ЛАЧХ нескорректированной системы, ЖЛАЧХ, ЛАХ неохваченных звеньев минус ЖЛАЧХ, отрицательная ЛАХ

По полученной ЛАЧХ внутреннего контура и ЛАХ КУ.

Lку ( ) восстановим передаточную функцию КУ:

Построим ЛАФЧХ КУ (рисунок 20).

Рисунок 7. ЛАЧХ и ФЧХ КУ.

При сложной передаточной функции для реализации корректирующего устройства могут потребоваться несколько четырехполюсников. Их соединяют последовательно через разделительный усилитель. Параметры четырехполюсников рассчитывают по формулам, которые приводятся вместе со схемами и частотными характеристиками четырехполюсников.

Подберем подходящую схему пассивного четырехполюсника. Представим передаточную функцию корректирующего устройства в виде:

W_ку (s) k_kуW_ку1(s)W_ку2 (s)

где Wку1 (s) ^{2s 1} - передаточная функция 1-го четырехполюсника;

- передаточная функция 2-го четырехполюсника;

Принципиальная схема 1го четырехполюсника приведена на рисунке 21.



Рисунок 21. Принципиальная схема 1-го четырехполюсника.

Коэффициент усиления четырехполюсника рассчитаем как 20log(k1) откуда k1 0.25 (рисунок 22).

Рисунок 22. ЛАЧХ 1-го четырехполюсника.

Принципиальная схема 2го четырехполюсника приведена на рисунке 23.

Рисунок 23. Принципиальная схема 1-го четырехполюсника.

Коэффициент усиления четырехполюсника рассчитаем как 20log(k2) L(0) ,откуда k 2 0.04 (рисунок 24).



Рисунок 24. ЛАЧХ 2-го четырехполюсника.

Конечную схему представим как сумму более простых, последовательно соединенных пассивных четырехполюсников разделенных усилителем (рисунок 25).

Величину коэффициента усиления усилителя найдем из равенства

Поскольку пассивные четырехполюсники уменьшают общий коэффициент передачи системы, необходимо в цепь ввести дополнительный усилитель с коэффициентом усиления k у 0.167.

Рисунок 25. Принципиальная схема КУ.

При расчете параметров корректирующего устройства будем руководствоваться следующими рекомендациями:

- необходимо учитывать входное сопротивление последующего элемента;

- не следует выбирать пассивный четырехполюсник с передаточным коэффициентом меньше 0,03;

- не следует в одной схеме иметь сопротивления (или емкости), на два - три порядка различающихся друг от друга;

- не следует выбирать конденсаторы большой емкости, более (50 - 100) мкФ.

5. Построить переходную характеристику по управляемой переменной в режиме управления и определить ее действительные показатели качества.

Помимо требования устойчивости, к предъявляются определенные требования по ее качеству. Под качеством системы управления понимается совокупность требований, которые прямо или косвенно характеризуют точность ее работы [1].

Передаточная функция замкнутой системы по управляющему воздействию:

Построю переходную характеристику в ответ на единичный входной сигнал.

График переходной характеристики приведен на рисунке 26.

Рисунок 21. Переходный процесс.

Временем регулирования tp называется минимальное время, по истечении которого отклонение выходной величины от установившегося значения h (t) не превышает некоторой заданной величины

Если принять 0.05h (t) 0.05. то из графика переходного процесса несложно оценить время регулирования системы t p 0.59 с.

Перерегулирование определяют следующим образом[1]:

Где hm - максимальное значение переходной функции. В нашем случае

При управлении входной сигнал изменяется в зависимости от времени.

Примем изменение входной величины в зависимости от времени по линейному закону g=t. График переходной характеристики при линейно зависимом от времени входе приведен на рисунке 27, построим его в пакете Matlab при помощи функции lsim.



Рисунок 27. Переходный процесс при линейно зависимом от времени входе g=t.

6. Построить импульсно-переходную функцию по управлению в режиме стабилизации и определить ее показатели качества.

Режим стабилизации - поддержание заданного, неизменного режима работы, при постоянном входном воздействии. Построим реакцию на единичный входной сигнал. График импульсной характеристики приведен на рисунке 28.

Рисунок 28. Импульсная характеристика.

При kmax 0.05 0.5 время регулирования системы t p 0.42 с.

7. Сделать выводы о степени соответствия синтезированной системы к требованиям качества.

Полученная система обладает высокими показателями качества, переходный процесс мало колебательный с малым временем регулирования меньше допустимого значения t p 0.59 с< t _pдоп =2.5c и с перерегулированием меньше допустимого значения 24.7% < доп 25% . Установившееся значение переходной характеристики h1, откуда установившееся значение ошибки е0 , процесс астатический. В режиме слежения запаздывание системы составляет не более 0.05 секунды.

Список литературы

1. Ким Д.П. «Теория автоматического управления т.1. Линейные системы». М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

2. Коновалов Г. Ф. «Радиоавтоматика»: М. Высш. шк. 1990.

Размещено на Allbest.ru

...