Інтегрування диференціальних рівнянь чисельними методами Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

«ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Кафедра «Системи та процеси управління»

ЗВІТ

про науково-дослідницьку курсову роботу на тему:

«Інтегрування диференціальних рівнянь чисельними методами Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку»

Виконав студент гр. И-21а Катасонов Е.В.

Керівник роботи, доц. Шипуліна Л.В.

Харків 2013

Зміст

Вступ

1. Постановка задачі

2. Метод Ейлера з півкроком

3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядку

4. Результати розрахунків

Висновки

Список джерел інформації

Додаток А

Додаток Б

Вступ

Математика як наука виникла у связі з необхідністю рішення практичних завдань: вимірів на місцевості, навігації й т.д. Внаслідок цього математика була чисельною математикою, її метою було одержання рішення у вигляді числа.

Теперішній час характерний різким розширенням додатків математики, багато в чому пов'язаним зі створенням і розвитком засобів обчислювальної техніки.

Величезна швидкодія цифрових обчислювальних машин (ЦОМ) відкриває нові широкі можливості для застосування загальних математичних методів дослідження в проблемах фізики, механіки, техніки й багатьох інших областей.

Виняткове значення мають ЦОМ для автоматичного керування рухомими об'єктами, наприклад космічними апаратами. Велика також роль ЦОМ для розвитку самої математики. ЦОМ використовуються для рішень алгебраїчних, трансцендентних і диференціальних рівнянь, для рішення складних функціональних нерівностей і т.п.

Таким чином, створення ЦОМ знаменує рішучий стрибок по шляху прогресу точних і технічних наук нашого часу.

1. Постановка задачі

Дано систему диференціальних рівнянь

, (1.1)

, . (1.2)

Задано початкові умови: і інтервал інтегрування:

Необхідно проінтегрувати рівняння методами Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку й зрівняти отримані результати.

2. Метод Ейлера з півкроком

Метод Эйлера -- найбільш простий чисельний метод рішення систем звичайних диференціальних рівнянь [1, 2]. Уперше описаний Леонардом Ейлером в 1768 році в роботі «Інтегральне вирахування». Метод Ейлера є явним, однокроковим методом першого порядку точності, заснованому на апроксимації інтегральної кривої кусочно-лінійною функцією, т.зв. ламаної Ейлера.

Ламана Ейлера (червона лінія) - наближене рішення в п'яти вузлах задачі Коші й точне рішення цієї задачі (виділено синім кольором, рис. 2.1).

Розглянемо диференціальне рівняння

(2.1)

с початковою умовою

. (2.2)

Рисунок 2.1 Метод Ейлера

Вибравши крок інтегрування , покладемо .

Відповідно до методу Ейлера послідовні значення шуканого рішення обчислюються по наближеній формулі

.

Більше точним є метод Ейлера з півкроком, при якому спочатку обчислюють проміжні значення і находять значення напрямку поля інтегральних кривих у середній крапці , тобто , а потім знаходять (рис. 2.2): .



Рисунок 2.2 Метод Ейлера з півкроком

Алгоритм метода Эйлера с полушагом:

Вводимо цілу змінну , где , і крок інтегрування за часом

Для виробляємо обчислення в циклі по :

(2.3)

Результати інтегрування виводимо через кожні кроків.

3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядку

Метод Рунге-Кутта найбільше часто вживається при чисельному відшуканні розв'язку задачі Коші (2.1), при умові (2.2) і дозволяє одержати наближення високої точності.

Геометрично цей метод для задачі Коші також полягає в тому, що на малому відрізку [х; х+h] інтегральна крива у=у(х) рівняння (2.1) заміняється відрізком прямої, що проходить через точку (х; у(х)). Однак в основу методу покладений більше тонкий, чим у методах Ейлера, підхід до визначення напрямку цього відрізка прямій.

Нехай відрізок розділений на п рівних частин точками , і визначені наближені значення розв'язку диференціального рівняння відповідно в точках . Переходимо до відрізка й відшукання (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 Метод Рунге-Кутта

Визначаємо ? напрямок дотичної до інтегральної кривої в точці , і точку перетину прямих і , тобто точку

.

Знаходимо напрямок дотичної в точці : і із точки проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом : до перетину із прямою . Одержуємо точку . Знаходимо напрямок дотичної в точці : і із точки проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом : до перетину із прямою . Одержуємо точку . Далі визначаємо напрямок дотичної в точці : .

Остаточний напрямок відрізка ламаної, що представляє наближений розв'язок задачі, буде рівним і проводимо із точки пряму , до перетинання із прямої в точці , де вважаємо наближеним значенням розв'язку в точці (рис. 3.1).

Метод Рунге-Кутта 4-го порядку здійснює наступний алгоритм:

Передбачаються заданими рівняння , початкова умова і відрізок .

1. Задаємо число п точок поділу відрізка й обчислюємо крок . Вважаємо відомими й переходимо до дії 2.

2. Нехай знайдені . Визначаємо

(3.1)

Якщо (k+1=n), то процес закінчений. Числа представляють наближені значення шуканого розв'язку в точках .

Якщо ж (k+1<n), то повторюємо дію 2, вважаючи вихідним .

Всі розрахунки по алгоритму зручно оформляти у вигляді таблиці.

Обчислення по методу Рунге-Кутта значно ускладнені в порівнянні з методом Ейлера, але за рахунок цього він дає меншу похибку при заміні точного розв'язку наближеним .

З теорії наближених методів відомо, що при кроці інтегрування h має місце оцінка , так що похибка одного кроку обчислень (визначення по ) має порядок (або ).

Сумарна похибка за п кроків, тобто похибка приблизного наближеного розв'язку в точці буде порядку (або ).

Звідси, якщо збільшити п у два рази, похибка приблизно зменшиться в 16 разів. Тому для оцінки наближеного розв'язку , отриманого із кроком h, повторюють обчислення із кроком 2h і за абсолютну похибку приймають число

,

де ? наближений розв'язок із кроком 2h.

Наведена оцінка є оцінкою методу й не враховує похибку, отриману при округленні.

4. Результати розрахунків

Для інтегрування рівнянь (1.1), (1.2) були складені програми на мові С. У Додатку А - програма обчислень за методом Ейлера з півкроком по формулах (2.3), а в Додатку Б - програма обчислень за методом Рунге-Кутта 4-го порядку по формулах (3.1). Результати обчислень зведені в таблицю.

Час	Метод Ейлера з півкроком	Метод Рунге-Кутта 4-го порядку
0	0	0	0	0
1	0.626683	0.253427	0.627446	0.254721
2	0.708346	0.509194	0.709312	0.511275
3	0.385391	0.506216	0.383959	0.506767
4	0.209138	0.345539	0.207175	0.343793
5	0.231389	0.265549	0.232643	0.264606
6	0.203164	0.235408	0.203288	0.235481
7	0.173392	0.201598	0.17298	0.20121
8	0.159568	0.178457	0.159778	0.178292
9	0.143516	0.160016	0.143352	0.159868
10	0.131936	0.144968	0.13195	0.144842

диференціальний рівняння ейлр рунге

Висновки

У даній роботі розглянуті два чисельні методи інтегрування системи диференціальних рівнянь: Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку.

Наведено теоретичне обґрунтування кожного методу й алгоритми розрахунків.

Складено програми мовою С++ і наведені результати розрахунків.

Порівняння результатів, отриманих різними методами, показало, що більше точним є метод Рунге-Кутта 4-го порядку.

Список джерел інформації

1. Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон,

Э.З. Шувалова - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 368 с.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 512 с.

Додаток А

Програма обчислень за методом Ейлера з півкроком

#include <iostream>

#include <fstream.h>

#include <math.h>

using namespace std;

double f1(double, double, double);

double f2(double, double, double);

void main()

{

double t1,x1,y1,h,r,*x,*y,*t;

int tmax,i,imax;

y=new double [140];

x=new double [140];

t=new double [140];

tmax=10;

x[0]=0;

y[0]=0;

t[0]=0;

h=0.1;

imax=100;

r=h/2;

t1=0;

for(i=0; i<imax+1; i++)

{

x1=x[i-1]+h/2*f1(x[i-1],y[i-1],t[i-1]);

y1=y[i-1]+h/2*f2(x[i-1],y[i-1],t[i-1]);

t1=t[i-1]+h/2;

x[i]=x[i-1]+h*f1(x1,y1,t1);

y[i]=y[i-1]+h*f2(x1,y1,t1);

t[i]=t[i-1]+h;

}

ofstream fout;

fout.open("ME1.txt");

for(i=0; i<imax+1; i=i+5)

{

fout<<"t="<<t[i]<<"x="<<x[i]<<"y="<<y[i]<<'\n';

}

fout.close();

}

double f1(double x, double y, double t)

{

return(cos(t*y)-x);

}

double f2(double x, double y, double t)

{

return(sin(x)-y);

}

Додаток Б

Програма обчислень за методом Рунге-Кутта 4-го порядку

#include <iostream>

#include <fstream>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

using namespace std;

double f1(double, double, double);

double f2(double, double, double);

int main()

{

double h,*t,*x,*y,k11,k12,k21,k22,k31,k32,k41,k42;

int tmax,i,imax;

y=new double [120];

x=new double [120];

t=new double [120];

t[0]=0;

x[0]=0;

y[0]=0;

tmax=10;

h=0.1;

imax=100;

for(i=1;i<imax+1;i++)

{

k11=h*f1(x[i-1],y[i-1],t[i-1]);

k12=h*f2(x[i-1],y[i-1],t[i-1]);

k21=h*f1((x[i-1]+0.5*k11),(y[i-1]+0.5*k12),(t[i-1]+0.5*h));

k22=h*f2((x[i-1]+0.5*k11),(y[i-1]+0.5*k12),(t[i-1]+0.5*h));

k31=h*f1((x[i-1]+0.5*k21),(y[i-1]+0.5*k22),(t[i-1]+0.5*h));

k32=h*f2((x[i-1]+0.5*k11),(y[i-1]+0.5*k12),(t[i-1]+0.5*h));

k41=h*f1((x[i-1]+k31),(y[i-1]+0.5*k32),(t[i-1]+h));

k42=h*f2((x[i-1]+k31),(y[i-1]+0.5*k32),(t[i-1]+h));

x[i]=x[i-1]+(k11+2*k21+2*k31+k41)/6;

y[i]=y[i-1]+(k12+2*k22+2*k32+k42)/6;

t[i]=t[i-1]+h;

}

ofstream fout;

fout.open("RK4.txt");

for(i=0;i<imax+1;i=i+10)

{

fout<<"t="<<t[i]<<" "<<"x="<<x[i]<<" "<<"y="<<y[i]<<'\n';

}

fout.close();

}

double f1(double x, double y, double t)

{

return(cos(t*y)-x);

}

double f2(double x, double y, double t)

{

return(sin(x)-y);

}

Размещено на Allbest.ru

...