Вопросы для повторения

1. Основные операции над множествами.

2. Понятие отображения.

3. Инъективное, сюръективное и биективное отображения.

4. Вычисление числа размещений, перестановок и сочетаний.

Множеством-степенью множества называется множество всех подмножеств множества . Множество-степень конечного -элементного множества содержит элементов.

Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств.

Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств.

Разностью множеств и или дополнением до называется множество, состоящее только из тех элементов , которые не входят в .

Взятием дополнения называют разность (дополнение до ) обозначают как .

Декартовым произведением двух исходных множеств и называется множество , составленное из упорядоченных пар ().

Задача 1.

Для множества перечислить все элементы множества-степени .

Решение:

.

Задача 2.

Определить число элементов множества-степени , содержащих элементов, если множество содержит элементов.

Ответ: .

Задача 3.

Отображение называется сюръективным, когда каждый элемент множества ( имеет хотя бы один прообраз множества (, т.е. , или .

Отображение называется инъективным, когда каждый элемент множества ( является образом лишь одного элемента множества (, т.е. образы любых двух различных элементов множества различны, т.е. из следует .

Отображение называется биективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно инъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества является образом одного и только одного элемента множества .

Задача 5.

1.

Ответ: ;

2.

Ответ: ;

3.

Ответ: ;

4.

Ответ: ;

5.

Ответ: ;

6.

Ответ: ;

7.

Ответ: ;

8.

Ответ: ;

9.

Ответ: ;

10.

Ответ: ;

11.

Ответ: ;

12.

Ответ: .

Если заданы преобразования и , то преобразование , являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования , а затем и преобразования , называется произведением преобразований и : .

Для преобразований , и одного и того же множества справедливы следующие законы:

· ;

· ;

· .

Задача 6.

Найти , , , , если

1)

Ответ:

2)

Ответ:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Вопросы для повторения

1. Понятие комплексного числа.

2. Понятие мнимой единицы (числа ).

3. Основные операции над комплексными числами.

4. Представление комплексного числа в тригонометрической форме.

5. Понятие модуля комплексного числа.

6. Понятие аргумента комплексного числа.

7. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

8. Формула Муавра.

Множеством комплексных чисел называется множество , которое представляет собой множество всех двучленов вида .

Мнимой единицей называется корень уравнения или .

Действительное число называется действительной частью комплексного числа , _ мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице.

Число называется сопряженным числу .

Расстояние от точки до начала координат есть действительное неотрицательное число , которое называется модулем комплексного числа и находится по формуле .

Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки называется аргументом и определяется из равенств , . Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Тригонометрической формой комплексного числа называется запись числа в виде:

.

Показательной формой комплексного числа называется запись числа в виде .

Формула возведения комплексного числа в степень (формула Муавра):

.

Формула вычисления корней степени комплексного числа :

.

Задача 7.

Следующие комплексные числа изобразить векторами на комплексной плоскости и записать в тригонометрической и показательной форме:

1.

Ответ: ;

2.

Ответ: ;

3.

Ответ: .

Задача 8.

Даны комплексные числа , и . Найти .

Решение:

.

Задача 9.

Вычислить в алгебраической, тригонометрической, и показательной формах.

Решение:

, ,

Задача 10.

Докажите, что:

1.

2.

Указание:

Результат предыдущей задачи обобщить на случай и сравнить алгебраические и тригонометрические выражения для действительной и мнимой частей.

Задача 11.

Найти .

Решение:

;

;

;

;

.

Задача 12.

Найти корни уравнения .

Решение:

Задача 13.

Зная, что является одним из значений , записать все значения .

Ответ:

.

Задача 14.

1.

2.

Задача 15.

Найти , , и , если , а .

Ответ:

, , и .

Задача 16.

Решить уравнения:

Ответ:

Ответ:

Задача 17.

Пусть , при котором . Найти: , , , , . Определить тип отображения .

Ответ:

; ; ; ; . Отображение не инъективное и не сюръективное.

Задача 18.

Пользуясь формулой Муавра, доказать справедливость выражения: .

Указание:

Использовать формулу .

Задача 19.

Пользуясь формулой Муавра, выразить через и .

Ответ:

.

Задача 20.

Используя формулы Эйлера, найти суммы:

Ответ:

Ответ:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3. ВЕКТОРЫ

Вопросы для повторения

1. Модуль вектора, формула расстояния между двумя точками.

2. Понятие коллинеарности векторов.

3. Понятие компланарности векторов.

4. Понятие проекции вектора на ось.

5. Линейные операции над векторами.

6. Скалярное произведение векторов.

7. Векторное произведение векторов.

8. Смешанное произведение векторов.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .

Длина вектора , заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками и вычисляется по формуле:

.

Скалярными произведением двух векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: .

Если векторы заданы своими координатами и , т.е. , , то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения через координаты векторов:

.

Задача 21.

Даны координаты двух точек и . Найти координаты вектора и его длину.

Решение:

Координаты вектора:

Длина вектора .

Задача 22.

Даны две точки и . Найти координаты вектора .

Решение:

.

Задача 23.

Найти длину вектора и его направляющие косинусы.

Решение:

.

; ; .

Задача 24.

Определить, при каких и векторы и коллинеарны.

Ответ: .

Задача 25.

Даны три вершины параллелограмма : ; ; . Найти его четвертую вершину .

Ответ: .

Задача 26.

Векторы и образуют угол , причем , . Определить и .

Ответ: .

Задача 27.

Найти координаты и длину вектора , если , , .

Ответ: .

Задача 28.

Дан вектор , образующий с осью угол , и вектор , образующий с той же осью угол . Найти проекцию суммы , где , на ось , если известно, что , .

Решение:

Так как проекция суммы векторов равна сумме их проекций, необходимо найти проекцию каждого слагаемого на ось .

;

;

.

Задача 29.

Разложить вектор по векторам и .

Решение:

; ; ; .

.

Задача 30.

Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Ответ: .

Задача 31.

Найти проекцию вектора на вектор .

Ответ: .

Задача 32.

Даны вершины четырехугольника ; ; ; . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение:

;

;

.

Задача 33.

Некоторая фирма продает изделия в шести регионах по ценам, которые характеризуются вектором , а вектор характеризует объемы продаж по регионам. Найти объем реализации изделий.

Решение:

.

Задача 34.

Фирма продает изделия в четырех регионах по ценам, которые характеризуются вектором , а вектор характеризует объемы продаж по регионам. Найти прибыль от реализации изделий, если издержки составляют 2000 денежных единиц.

Решение:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Вопросы для повторения

1. Векторное произведение векторов.

2. Смешанное произведение векторов.

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

Метод Саррюса

Определитель матрицы третьего порядка представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых. Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы.

Знак «плюс» имеют произведение элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали.

Знак «минус» имеют произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

С помощью формул разложения определителя матрицы по элементам строки или столбца вычисление определителя матрицы любого порядка сводится к вычислению определителей матриц второго или третьего порядков.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина и направление которого определяется условиями:

1. , где _ угол между и ;

2. перпендикулярен каждому из векторов и ;

3. направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

В матричной форме формулу вычисления векторного произведения векторов можно записать в виде:

.

Смешанным произведением тройки векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение . Если , и то:

,

или в свернутой форме:

.

Задача 35.

Компланарны ли векторы , и ? Если нет, то указать, какую тройку, левую или правую, они образуют, и вычислить объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Решение:

, т.е. заданные векторы некомпланарны, а объем параллелепипеда, построенного на этих векторах . Так как , то они образуют правую тройку.

Задача 36.

Векторы и служат сторонами треугольника . Найти высоту .

Решение:

Из геометрического смысла векторного произведения:

.

С другой стороны,

.

Задача 37.

Вычислить произведение .

Решение:

Используя свойство линейности смешанного произведения, получаем:

в силу компланарности каждой из этих троек , следовательно:

Задача 38.

Даны вершины тетраэдра , , , . Найти его высоту (длину), опущенную из вершины .

Решение:

Так как , , а , то:

.

С другой стороны, . Находим:

.

Следовательно, .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

Вопросы для повторения

1. Общее уравнение прямой.

2. Понятие направляющего и нормального вектора прямой.

3. Каноническое уравнение прямой.

4. Векторное параметрическое уравнение прямой.

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

6. Расчет угла между прямыми.

7. Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.

8. Понятие поверхности -го порядка.

9. Общее уравнение плоскости.

10. Понятие нормального вектора плоскости.

11. Уравнение плоскости в отрезках.

12. Нормальное уравнение плоскости.

13. Вычисление отклонения точки от плоскости.

Задача 39.

Определить площадь треугольника, образованного прямой с осями координат.

Ответ: 20 кв.ед.

Задача 40.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

Указание:

Использовать уравнение и формулу .

Ответ: или .

Задача 41.

Прибыль от продажи 50 шт. товара составляет 50 ден. ед., 100 шт. - 200 ден. ед. Определить прибыль от продажи 500 шт. товара, при условии, что функция прибыли линейна.

Ответ: 1400 ден. ед.

Задача 42.

Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью угол .

Ответ: .

Задача 43.

Показать, что прямые и перпендикулярны.

Решение:

Преобразуем уравнения прямых и , т.е. и . Поскольку то прямые перпендикулярны.

Задача 44.

Написать уравнение прямых, проходящих через точку под углом к прямой .

Ответ: и .

Задача 45.

Показать, что прямые и пересекаются, и найти координаты точки пересечения.

Решение:

Так как , т.е. , то прямые пересекаются. В результате решения системы уравнений

находятся координаты точки пересечения , .

Задача 46.

Издержки перевозки двумя средствами транспорта выражаются функциями и , где - расстояние перевозки в сотнях километров, а - транспортные расходы в денежных единицах. Определить, начиная с какого расстояния, более выгодным становится второе средство.

Ответ: .

Задача 47.

Определить расстояние от точки до прямой .

Решение:

.

Задача 48.

Стороны треугольника описываются уравнениями (AB); (BC); (AC). Найти длину высоты, проведенной из вершины B.

Ответ: .

Задача 49.

Определить расстояние между параллельными прямыми и .

Ответ: .

Задача 50.

Составить уравнение плоскости, походящей через точку и перпендикулярной вектору .

Ответ: .

Задача 51.

Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и .

Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Уравнение эллипса, каноническое уравнение эллипса.

2. Понятия фокусов эллипса; фокальных радиусов; директрисы и эксцентриситета эллипса.

3. Каноническое уравнение гиперболы.

4. Фокусы и фокальные радиусы гиперболы, асимптота гиперболы.

5. Каноническое уравнение параболы.

6. Приведение уравнения второй степени к каноническому виду.

Задача 52.

Написать уравнение окружности с центром и радиусом, равным 5. Определить принадлежность точек , , этой окружности.

Ответ:

; Точки и принадлежат окружности, а точка не принадлежит.

Задача 53.

Найти координаты центра и радиус окружности .

Решение:

Задача 54.

Написать уравнение касательных к окружности , проходящих через начало координат.

Решение:

Уравнение касательной , т.к. прямая проходит через начало координат.

Касательная к окружности имеет с ней одну общую точку. Чтобы найти эту точку, необходимо решить систему уравнений:

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

.

Это уравнение имеет два равных корня, когда дискриминант равен нулю, т.е.

откуда , .

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и есть величина постоянная (большая, чем расстояние между точками и ). Координаты точек и , соответственно и .

Каноническое уравнение эллипса: .

Число называется эксцентриситетом эллипса.

Фокальными радиусами точки эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и . Их длины и задаются формулами и . Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а _ правой.

Задача 55.

Дано уравнение эллипса .

Найти:

1. длины его полуосей;

2. координаты фокусов;

3. эксцентриситет эллипса;

4. уравнения директрис и расстояния между ними;

5. точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12.

Решение:

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде: .

Отсюда . Используя соотношение , находим . Следовательно, .

По формуле найдем .

Уравнения директрис имеют вид , расстояние между ними .

По формуле находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки равно 12:

. Подставляя значение x в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек: .

Таким образом, условию задачи удовлетворяет точка A(7;0).

Задача 56.

Составить уравнение эллипса, проходящего через точки .

Решение:

Уравнение эллипса ищем в виде .

Так как эллипс проходит через точки , то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса: . Умножая второе равенство на (-4) и складывая с первым, находим .

Подставляя найденное значение в первое уравнение, найдем . Таким образом, искомое уравнение .

Задача 57.

; .

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между точками и ).

Точки и называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно . Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов и обозначим через . По условию, .

,

где _ координаты произвольной точки гиперболы,

.

Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

У гиперболы две асимптоты .

Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы .

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и . Их длины и задаются формулами:

· Для правой ветви ,

· Для левой ветви .

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .

Задача 58.

Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы .

Ответ: .

Задача 59.

Написать каноническое уравнение гиперболы, если (). Определить эксцентриситет гиперболы.

Ответ: .

Задача 60.

Написать каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если она проходит через точку , а эксцентриситет равен .

Ответ: .

Задача 61.

Найти уравнения гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса .

Ответ: .

Задача 62.

Определить геометрическое место точек , расстояния от которых до прямой вдвое меньше, чем до точки .

Ответ: .

Задача 63.

Составить уравнение гиперболы симметричной относительно системы координат, если она проходит через точки , .

Ответ: .

Задача 64.

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнением , и гипербола проходит через точку .

Ответ: .

Задача 65.

.

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось проводят через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом и точкой пересечения оси с директрисой . Если обозначить через расстояние фокуса от директрисы, то и уравнение директрисы будет иметь вид .

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид: . Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Задача 66.

Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку F(2;-4); ox- ось симметрии.

Ответ: .

Задача 67.

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2;0) и от прямой .

Ответ: .

Задача 68.

Составить каноническое уравнение параболы, если ее фокус находится в точке пересечения прямой с осью 0х.

Ответ: .

Задача 69.

На параболе найти точку, фокальный радиус которой равен 4.

Ответ: , .

Задача 70.

Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения параболы с осями координат.

Ответ: .

Задача 71.

Написать уравнение параболы, если она проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .

Ответ: .

Задача 72.

; .

Задача 73.

Какое геометрическое место точек определяется уравнением:

1.

Ответ: Точка с координатами (-1, 3/2);

2.

Ответ: ;

3.

Ответ: ;

4.

Ответ: ;

5.

Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7. МАТРИЦЫ

Вопросы для повторения

1. Транспонирования матриц.

2. Операции сложения и вычитания матриц.

3. Операции умножения и возведения в степень матриц.

4. Понятие обратной матрицы.

Задача 74.

, .

Решение:

.

Задача 75.

, , .

Найти матрицу .

Решение:

,

, .

.

Задача 76.

Найти произведение матриц и :

1. , ;

2. , ;

3. , .

Ответ:

1. , ;

2. , ;

3. , .

Способ нахождения обратной матрицы

Пусть - невырожденная матрица. Припишем к ней справа (или слева) единичную матрицу . Далее с помощью элементарных преобразований над строками сдвоенной матрицы левая половина приводится к единичной матрице. Тогда сдвоенная матрица приобретает вид .

Задача 77.

Для матрицы найти обратную матрицу и проверить равенство .

Решение:

При описанном выше способе нет необходимости специально проверять невырожденность матрицы . Это будет вытекать из самой возможности приведения к .

Практическое занятие 8. Определитель и ранг матрицы

Вопросы для повторения

1. Определитель - го порядка.

2. Свойства определителей.

3. Правила нахождения определителей - го порядка.

4. Понятие ранга матрицы.

Задача 78.

Упростить выражение: .

Решение:

Задача 79.

Решить уравнение: .

Решение:

.

Задача 80.

Вычислить определитель: .

Решение:

.

Задача 81.

Для данной матрицы найти обратную

1. методом исключения:

2. методом присоединенной матрицы.

Решение:

1.

;

2. ; .

Задача 82.

Решить матичное уравнение

1. методом исключения;

2. методом обратной матрицы.

Решение:

1.

;

2. Введем обозначение , тогда уравнение запишется в виде . Умножив слева это уравнение на обратную матрицу , которая существует, поскольку .

.

Тогда .

Задача 83.

Вычислить определитель третьего порядка .

Решение:

Используя формулу Саррюса, получим:

.

Задача 84.

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

.

Решение:

Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Полученная матрица содержит две ненулевые строки, значит, ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.

Задача 85.

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров .

Решение:

Так как у матрицы A есть ненулевые элементы, то . Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например .

Значит, . Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие :

;

Все миноры 3-го порядка, окаймляющие , равны нулю, следовательно . Итак, .

Одним из базисных миноров является .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9. МНОГОЧЛЕНЫ

Вопросы для повторения

1. Сложение и умножение многочленов.

2. Теорема о делении с остатком.

3. Понятие корня многочлена.

4. Понятие кратности корня многочлена.

5. Схема Горнера.

6. Соотношение степени многочлена и числа его корней.

7. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.

8. Метод неопределенных коэффициентов.

Задача 86.

Выполнить деление с остатком на .

Решение:

Задача 87.

на .

Решение:

Задача 88.

на .

Ответ: (Частное , остаток ).

Задача 89.

на .

Ответ: .

Задача 90.

При каком условии полином делится на полином .

Ответ: .

Задача 91.

При каком условии полином делится на полином .

Ответ:

Если , то ; если , то .

Схема Горнера

Пусть .

Если , то коэффициенты многочлена и проще всего найти по схеме Горнера.

Задача 92.

Пользуясь схемой Горнера вычислить .

, .

Ответ:

.

Задача 93.

Пользуясь схемой Горнера вычислить .

, .

Ответ:

.

Задача 94.

Пользуясь схемой Горнера вычислить

, .

Ответ:

.

Задача 95.

Пользуясь схемой Горнера вычислить

, .

Ответ:

.

Задача 96.

Разложить на простейшие дроби .

Ответ: .

Задача 97.

Разложить на простейшие дроби .

Ответ: .

Задача 98.

Разложить на простейшие дроби .

Ответ: .

Задача 99.

Разложить на простейшие дроби (не вычисляя коэффициентов) .

Ответ:

.

Задача 100.

Разложить на простейшие дроби (не вычисляя коэффициентов) .

Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Вопросы для повторения

1. Построение матрицы квадратичной формы.

2. Канонический базис квадратичной формы и приведение квадратичной формы к каноническому виду.

3. Канонический базис Якоби.

4. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Задача 101.

1.

Ответ: ;

2.

Ответ: .

Задача 102.

.

Задача 103.

1.

Ответ: знаконеопределена;

2.

Ответ: знаконеопределена;

3.

Ответ: знаконеопределена;

4.

Ответ: положительноопределена;

5.

Ответ: знаконеопределена.

Задача 104.

Найти все значения параметра , при которых положительно определены следующие квадратичные формы:

1.

Ответ: ;

2.

Ответ: ;

3.

Ответ: Не существует.

Задача 105.

Найти все значения параметра , при которых отрицательно определены следующие квадратичные формы:

1.

Ответ: Не существует;

2.

Ответ: ;

3.

Ответ: .

Задача 106.

1. ;

2. ;

3. .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вопросы для повторения

1. Критерий Кронекера-Капелли.

2. Совместные и определенные системы линейных уравнений.

3. Методы решения систем линейных уравнений и условия их применимости.

Задача 107.

Методом Гаусса решить систему .

Решение:

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , а к третьей - первую, умноженную на . Получим:

Ко второй строке прибавим третью, умноженную на .

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на .

.

Этой матрице соответствует система:

.

Ответ:

Задача 108.

Решить систему .

Решение: Решаем систему методом Гаусса:

.

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , а к третьей - первую, умноженную на :

.

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на .

.

Этой матрице соответствует система

.

Получаем формулы для вычисления решений системы линейных уравнений

где c - любое число.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений. Получать решения можно, подставляя вместо c конкретные числовые значения. Например, матрица excel векторный программирование

; .

Задача 109.

Решить систему линейных уравнений .

Решение:

.

Соответствующая система не имеет решений. Значит и исходная система несовместна.

Решение задач линейной алгебры и линейного программирования в таблицах Excel

При выполнении операций над матрицами в Excel необходимо соблюдать следующий порядок команд:

1. Выделение области ячеек, где будет записан ответ;

2. Операции начинаются со знака равенства (<=>), даже при вводе формул;

3. Вводимые данные, т.е. матрицы, с которыми производятся операции, выделяются как блок (диапазон) ячеек;

4. Операции сложения, вычитания, умножения матрицы на число производятся с помощью аналогичных команд с клавиатуры или мыши, а остальные - умножение матрицы на матрицу, транспонирование, обращение и т.д. - с помощью матричных функций;

5. Заканчивать ввод нужно не нажатием клавиши <Enter>, а комбинацией клавиш <Shift>+<Ctrl>+<Enter>. Для правильного ввода данной команды необходимо при нажатых клавишах <Shift>+<Ctrl> нажать клавишу <Enter>.

Сложение матриц

При сложении матриц вводятся две матрицы, выделяется блок ячеек под ответ и вводится команда, например: «= А2:С4 +D2:F4; <Shift>+ +<Ctrl>+<Enter>».

Упражнение 1.

Вычислить , если:

Умножение матрицы на число

При умножении матрицы на число также выделяется блок ячеек под ответ и вводится команда умножения на число, которая заканчивается нажатием <Shift>+<Ctrl>+<Enter>.

Например: «=А2:С4 *5; <Shift>+<Ctrl>+<Enter>».

Упражнение 2.

Вычислить для матриц и из упражнения 1.

Вычитание матриц

Вычислить для матриц и из упражнения 1.

Умножение матрицы на матрицу

Порядок действий следующий. Вводятся данные в виде матриц, выделяется область ячеек под ответ с числом строк, как у матрицы , и числом столбцов, как у матрицы . Вызывается функция МУМНОЖ (Мастер функций, категории «Математические» или «Все»).

В поле Массив 1 вводятся данные первой матрицы, в поле Массив2 вводятся данные второй матрицы. Заканчивать ввод также необходимо командой <Shift>+<Ctrl>+<Enter>.

Количество столбцов аргумента Массив1 должно быть таким же, как количество строк аргумента Массив2. В противном случае функция МУМНОЖ возвращает значения ошибки - #ЗНАЧ!

Упражнение 4.

Вычислить и , если:

Задание 1.

Для матрицы вычислить:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ, ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ И ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В EXCEL

Транспонирование матрицы

Операция замены строк на столбцы, а столбцов на строки называется транспонированием. Для выполнения этой операции имеется функция ТРАНСП (MTRANS). Ввод нужно также заканчивать комбинацией <Shift>+<Ctrl>+<Enter>.

Кроме того, операцию транспонирования можно выполнить командой Специальная вставка. Для этого необходимо скопировать исходную матрицу, из меню Правка вызвать окно Специальная вставка, выбрать переключатель Значения и установить флажок Транспонировать.

Скалярное произведение векторов

Для вычисления скалярного произведения векторов применяется функция СУММПРОИЗВ, где в качестве аргументов указываются одномерные массивы с координатами перемножаемых векторов. При этом нужно учитывать, что скалярно перемножаются только вектора одинаковой размерности, т.е. массивы с координатами векторов-сомножителей должны содержать одинаковое количество элементов.

Упражнение 5.

Найти скалярное произведение векторов и

Вычисление скалярного произведения векторов можно производить и с использованием матричных функций ТРАНСП и МУМНОЖ. При этом с помощью функции МУМНОЖ должны перемножаться вектор-строка и вектор-столбец. В зависимости от вида исходных массивов при умножении может применяться операция транспонирования (функция ТРАНСП).

Упражнение 6:

Найти угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его вершины , , .

Пояснение: при определении угла, воспользоваться функцией ACOS для вычисления арккосинуса величины воспользоваться функцией ACOS.

Примечание: при вычислении длин векторов и можно также воспользоваться функцией СУММКВ, возвращающей значение суммы квадратов элементов массива.

Нахождение значения квадратичной формы

Упражнение 7.

Рассмотрим пример вычисления квадратичной формы , где , .

Для нахождения значения этой квадратичной формы:

1. Ввести элементы матрицы в диапазон ячеек A2:C4;

2. Ввести элементы вектора в диапазон ячеек E2:E4;

3. Выбрать ячейку G2, куда поместить значение квадратичной формы;

4. Ввести в эту ячейку формулу:

=МУМНОЖ (МУМНОЖ(TPAHCП(E2:E4);A2:C4);E2:E4);

5. Завершите ввод формулы нажатием комбинации клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>. MS Excel возьмет формулу в строке формул в фигурные скобки и произведет требуемые вычисления с элементами массивов.

В ячейке G3 будет найдено искомое значение 199.

Примечание:

Хотя в данном примере формула возвращает одно число, а не массив, тем не менее, она является формулой массива. Поэтому не забудьте ее ввод завершить нажатием комбинации клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>. Если вы это не сделаете, в ячейке G3 появится сообщение об ошибке #ЗНАЧ!

Задание 2.

Вычислить значение квадратичной формы ,

где ,

Вычисление определителя матрицы

Для выполнения этой операции в Excel существует функция МОПРЕД (MDETERM).

Функция предназначена для квадратных матриц, поэтому в случае, если матрица квадратной не является, функция выдает значение ошибки.

Упражнение 8.

Проверить равенство , если:

Векторное произведение векторов

Координаты вектора, являющегося векторным произведением векторов и вычисляются как определители матриц, у которых первая строка - координаты соответствующего орта, а вторая и третья строки - координаты векторов-сомножителей.

Задание 3.

Вычислить площадь параллелограмма из Упражнения 6 как длину векторного произведения сторон этого параллелограмма.

Обращение матриц

Эта операция выполняется с помощью функции МОБР (MINVERSE). Ввод нужно также заканчивать нажатием комбинации клавиш <Shift>+<Ctrl>+<Enter>.

Если перемножить исходную матрицу и обратную ей, то получим единичную матрицу. Для матриц, которые не могут быть обращены и определитель которых равен нулю, будет выводиться значение ошибки - #ЧИСЛО!

Задание 4.

Вычислить и проверить результат , если:

Внимание!

Особенности редактирования матричных формул в Excel. Поскольку матричные формулы действуют на все ячейки матрицы, то изменять часть матрицы нельзя. При таких попытках выводится сообщение: «Нельзя изменять часть массива». Чтобы выполнить операцию по изменению части массива, необходимо активизировать любую ячейку в матрице и щелкнуть мышью в строке формул. При этом пропадут фигурные скобки. После этого выполняется редактирование, которое нужно закончить комбинацией клавиш <Shift>+<Ctrl>+<Enter>.

Решение определенной системы линейных уравнений в Excel

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее есть, по крайней мере, два различных решения.

Матрица определенной системы уравнений является невырожденной, поэтому ответ на вопрос, является ли система определенной, можно, вычислив определитель матрицы системы. Если этот определитель отличен от нуля, то система линейных уравнений определена и, следовательно, имеет единственное решение.

Решить систему уравнений:

.

Метод обратной матрицы

Решение будет заключаться в умножении обратной матрицы системы на столбец свободных членов. Сначала вызывается функция МУМНОЖ, в диалоговом окне которой вызывается встроенная функция у первого массива, где в свою очередь вызывается функция обращения и вводится матрица коэффициентов. Для второго массива диалогового окна функции МУМНОЖ вводится диапазон столбца свободных членов. Ввод заканчивается комбинацией клавиш <Shift>+<Ctrl>+<Enter>. Например, если матрица коэффициентов записана в диапазоне A2:D5, а матрица свободных членов - в диапазоне F2:F5, то формула выглядит так:

(=МУМНОЖ(МОБР(А2:D5); F2:F5)}

Эти операции можно выполнить и последовательно, т.е. сначала определить обратную матрицу коэффициентов при неизвестных при помощи функции МОБР, а затем полученную обратную матрицу умножить на матрицу свободных членов при помощи функции МУМНОЖ.

Метод Крамера

При определении решения системы уравнений методом Крамера необходимо вычислить определители как матрицы коэффициентов, так и матриц, полученных путем замены столбцом свободных членов столбца коэффициентов при определяемом неизвестном. Вычисления определителей матрицы системы и остальных матриц, построенных в процессе поиска решения, можно выполнить с помощью функции МОПРЕД.

Задание 5.

Решить системы уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера:

; ;

; .

Решить системы линейных уравнений и ,

где , .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В EXCEL

Решение задач линейного программирования в Excel производится с помощью решающего блока Solver, вызываемого командой меню Сервис-Поиск решения.

Последовательность действий такова. Вводятся исходные данные, лучше в созданную для этого форму. Вводятся зависимости из математической модели. Из меню Сервис открывается диалоговое окно Поиск решения, в котором вводятся ячейка целевой функции, ее назначение (максимум или минимум), изменяемые ячейки и добавляются ограничения. В опции Параметры должен стоять флажок у линейной модели. Рассмотрим решение следующей задачи:

Найти значения переменных , максимизирующих целевую функцию

при ограничениях:

Ввод исходных данных показан на рисунке.

Теперь необходимо ввести зависимости из математической модели. Эти зависимости представляют собой левые части ограничений и целевую функцию. Данную операцию можно выполнить с помощью функции СУММПРОИЗ, где в первый массив вводятся коэффициенты соответствующего ограничения, а во второй массив переменные , точнее ячейки, где им присвоены инициирующие значения - ячейки В10:Е10.

1. Из меню Сервис откройте окно Поиска решения.

2. В поле «Установить целевую ячейку» введите $F$10.

3. Из группы Равной выбрать переключатель - максимальное значение.

4. В поле области «Изменяя ячейки» введем ячейки с первоначальными значениями переменных -$В$10:$Е$ 10.

5. Нажав кнопку Добавить, открыть диалоговое окно Добавление ограничения.

6. Через данное окно ввести ограничения в соответствии со знаком, который принят в модели. В нашей задаче левые части ограничений должны быть меньше или равны правым частям ограничений и переменные должны быть положительны.

Открыв диалоговое окно Параметры поиска решения можно изменить параметры Максимальное время или Предельное число итераций в случае, если за данное количество итераций задача не решена. Если не устраивает погрешность, введенная по умолчанию, ее также можно изменить. Для решения задачи линейного программирования должен быть установлен флажок Линейная модель.

После нажатия кнопки ОК вновь появится диалоговое окно Поиск решения. По нажатии кнопки Выполнить на экран выводится окно Результаты поиска решения

Если решение не найдено, окно выведет соответствующее сообщение.

Если решение найдено, выделим все три типа отчетов, нажмем ОК,

и результат решения задачи появится на экране.

Для анализа полученного оптимального решения в Excel предусмотрены три типа отчетов: отчет по результатам, отчет по устойчивости и отчет по пределам.

В отчете по результатам приведены сведения о целевой функции, значениях искомых переменных и результаты оптимального решения для ограничений.

Для ограничений в столбце формула приведены зависимости, которые были введены в диалоговое окно Поиск решения; в столбце Значение приведены величины использованного ресурса; в столбце Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в столбце Статус указывается «связанное»; при неполном использовании ресурса в этом столбце указывается «не связан». Для переменных показывается разность между значением переменных в найденном оптимальным решении и заданным для них граничным условием.

В отчете по устойчивости дан анализ по переменным и ограничениям.

В анализе переменных приведены следующие данные:

· результирующие значения переменных;

· нормированная стоимость, т.е. дополнительные двойственные переменные, которые показывают, насколько изменяется целевая функция при принудительном включении единицы этой переменной в оптимальное решение;

· коэффициенты целевой функции;

· допустимые значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

В анализе ограничений приведены значения:

· величин использованных ресурсов;

· теневые цены, т.е. двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурсов на единицу;

· значения приращения ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

В отчете по пределам показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения.

Рассмотрим теперь ввод математической модели в матричном виде, не меняя приготовленной формы. Для этого необходимо ввести две матричных функции. В векторе ограничений левой части - ячейки F5:F7 - вводится функция умножения матрицы коэффициентов в ограничениях и транспонированного вектора переменных:

=МУМНОЖ(В5:Е7;ТРАНСП(В10:Е10)).

Целевая функция записывается как функция умножения вектора коэффициентов целевой функции на транспонированный вектор переменных: =МУМНОЖ(В4:Е4;ТРАНСП(В 10:Е 10)).

Ввод ограничений для оптимизационной задачи в матричном виде показан на рисунке.

Двойственная задача

Решим двойственную задачу. Схема формирования двойственной задачи следующая:

1. Коэффициенты бывшей целевой функции становятся правой частью ограничений.

2. Правая часть ограничений становится коэффициентами новой целевой функции.

3. Матрица коэффициентов ограничений транспонируется.

Ввод зависимостей для двойственной задачи показан на рисунке:

Левая часть ограничений представляет собой произведение матрицы коэффициентов ограничений на вектор переменных. Целевая функция записывается как произведение транспонированного вектора коэффициентов целевой функции на вектор переменных.

Ограничения приведены на рисунке ниже в окне Поиск решения. Это положительность переменных и то, что вектор левой части ограничений должен быть больше вектора из правой части. Для целевой ячейки устанавливаем флажок минимизации.

Результаты решения двойственной задачи приведены на рисунке ниже.

Открыв отчет по устойчивости (см. рисунок ниже), можно увидеть новые двойственные оценки (в столбце Теневая Цена) и убедиться, что значения переменных при решении задачи на максимизацию становятся двойственными оценками при задаче на минимизацию, и наоборот (сравните с отчетом по устойчивости исходной задачи).

Задание 6.

Решите задачу линейного программирования и двойственную к ней:

Найти значения переменных , максимизирующих целевую функцию

при ограничениях: .

Размещено на Allbest.ru