Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

корень хорда mathcad delphi

Целью курсовой работы является обретение и закрепление навыков применения информационных технологий и программирования при решении задач по специальности. В курсовой работе создаётся Windows-приложение на алгоритмическом языке Object Pascal в среде визуального программирования Delphi, которое будет обеспечивать решение специализированных уравнений [4].

Delphi - это среда разработки программ, ориентированных на работу в операционных системах семейства Windows. Кроссплатформенное программирование стало доступно в Delphi 7 благодаря использованию библиотеки компонентов CLX [2]. Имея общее с библиотекой компонентов VCL ядро базовых компонентов, библиотека CLX обеспечивает совместимость приложений Delphi для Windows и Kylix для Linux. При неизбежных для кроссплатформенного программирования трудностях реализации сложного кода, использующего системные вызовы и технологии удаленного доступа, в Delphi решена задача быстрого визуального проектирования пользовательского интерфейса и создания бизнес - логики приложения. Для этого применяется набор стандартных компонентов, имеющих практически идентичную функциональность и схожий программный интерфейс. Основой Delphi является графическая среда разработки приложений, называемая интегрированной средой разработки (Integrated Development Environment, IDE). Delphi, как и всякая современная среда разработки приложений основана на объектно-ориентированном программировании.

После загрузки Delphi на экране открываются четыре окна IDE: главное окно, окно проектировщика форм, окно редактора кода, окно инспектора объектов.

В любой проект [5] входит по крайней мере шесть файлов:

1. project1.dpr - главный файл проекта, формируется системой при

создании нового приложения;

2. unit1.pas - первый модуль (unit) программы, который автоматически появляется в начале работы;

3. unit1.dfm - файл описания формы, используется для сохранения

информации о внешнем виде главной формы;

4. project1.res - файл ресурсов, в нём хранятся иконки, растровые

изображения, курсоры. Как минимум, содержит иконку приложения;

5. project1.dof - файл опций, является текстовым файлом для сохранения установок, связанных с данным проектом (например директив

компилятора);

* project1.cfg - файл конфигурации, содержит информацию о состоянии

среды.

Кроме того, к проекту могут относиться файлы с картинками,

видеофрагментами, звуками, файлы справочной системы и т.п. Однако

перечисленными элементами управляет сам программист. Если сохранить проект под другим именем, то кроме файла проекта изменят название и файлы с расширением res, dof и cfg. Если изменить имя файла модуля (pas), то изменится и имя файла описания формы (dfm).

После компиляции программы получаются файлы с расширениями:

dcu - скомпилированные модули;

exe - исполняемый файл;

~pa, ~dp - backup файлы (предыдущие версии).

Основное меню IDE содержит следующие команды: File, Edit, Search, View, Project, Run, Component, Database, Tools, Window, Help [1].

Палитра компонентов содержит множество компонентов, которые подразделяются на несколько групп. Каждая группа размещена на своей странице палитры компонентов. Окно инспектора объектов предназначено для изменения свойств выбранных компонентов и состоит из двух страниц. Страница Properties (Свойства) предназначена для изменения необходимых свойств компонента, страница Events (События) - для определения реакции компонента или формы на то или иное событие (например, щелчок «мыши» на кнопке - событие OnClick, создание формы - OnCreate).

Окно формы представляет собой проект Windows-окна программы. На этом окне в процессе написания программы размещаются необходимые компоненты. Редактор кода программы предназначен для просмотра, написания и редактирования текста программы. В системе DELPHI используется язык программирования Object Pascal. При первоначальной загрузке в окне текста программы находится текст, содержащий минимальный набор операторов для нормального функционирования пустой формы в качестве Windows-окна. При помещении некоторого компонента в окно формы текст программы автоматически дополняется описанием необходимых для его работы библиотек стандартных программ (раздел uses) и типов переменных (раздел type).

Программа в среде DELPHI составляется как описание алгоритмов, которые будут выполняться, если возникает определенное событие, связанное с формой или с каким-либо из размещенных на ней компонентов. Для каждого обрабатываемого события, с помощью страницы Events инспектора объектов в тексте программы организуется процедура (procedure), между ключевыми словами begin и end, в которой программист записывает на языке Object Pascal требуемый алгоритм.



1. Постановка задачи

Основной задачей первого задания курсовой работы является разработка программы в среде Delphi основанной на методе деления отрезка пополам, методе касательных и методе хорд для нахождения корней заданного уравнения.

Сформулируем задание на курсовую работу:

1. Графически определить корни уравнения в соответствии со своим вариантом. Параметр а задать самостоятельно путем подбора так, чтобы уравнение имело не менее трех корней. Определить, при каких значениях параметра а уравнение имеет один, два и три корня. Если уравнение не имеет указанного количества корней объяснить почему.

2. Разработать алгоритмы уточнения корней уравнения методом деления отрезка пополам, методом хорд и методом касательных. Построить блок-схемы алгоритмов.

3. На языке программирования Pascal (или Delphi) создать программу для уточнения корней уравнения указанными методами, реализующую разработанные алгоритмы. С помощью программы уточнить корни уравнения с точностью .

4. Решить задачу средствами MathCad или Excel.

5. Построить график функции F (x, a) от х для параметра а, использовавшегося при отделении и уточнении корней.



2. Решение нелинейных уравнений в среде Delphi

Рассмотрим решение задачи нахождения корней уравнения

2.1 Отделение корней и предварительный анализ.

Анализ области допустимых значений (ОДЗ) для рассматриваемой функции:

1. Известно, что логарифма от нуля не существует, следовательно, X?0.

2. Известно, что при делении на нуль получается бесконечность. Принято, что деление на нуль не возможно, X?0.

Подбор параметра а на основе анализа и построения графиков функции

.

Воспользуемся для построения графиков программным пакетом Mathcad.

При параметре a=0, график функции f(x) не имеет смысла, так как логарифма от нуля не существуют.

На рис. 2.1 показан график функции при a=1. Из графика видно, что при возрастании х, значение функции возрастает, но X?0 (ОДЗ), отсутствует пересечение с осью 0х.



Рисунок 2.1. График функции при a=1

На рис. 2.2 показан график функции при a=-1. Из графика видно, что при возрастании х отсутствует пересечение с осью 0х.

Рисунок 2.2. График функции при a=-1

Используя Mathcad, подбором определим минимальное значение коэффициента а при котором рассмотренная функция имеет корни.

На рис. 2.3 показан график заданной функции с наименьшим коэффициентом а=0,2 при котором функция имеет единственный корень.



Рисунок 2.3. График функции при а=0,2

Анализируя полученные графики, можно сделать вывод, что функция имеет корень, если а=0,2. Функция не имеет корней, если а равен любому другому значению. Функция может иметь только один корень.

Для последующих расчетов а=0,2. На графике рис. 2.3 видно, что единственный корень функции принадлежит отрезку [0,5; 0,85].

Определим, для какого из концов отрезка выполняется условие сходимости метода

. (1)

На рис 2.4 представлены производные найденные средствами Mathcad.

Рисунок 2.4. Расчет производных средствами Mathcad

На рис. 2.5 выполнена проверка условия (1) для обоих концов отрезка.

Рисунок 2.5. Проверка условия сходимости средствами Mathcad

Таким образом, условие выбора начального приближения корня выполняется.

Погрешность данного метода на k-ом шаге оценивается по формуле:

, (2)

где M - минимальное значение модуля первой производной функции на отрезке [a; b].

На рис. 2.6 показано определение минимального значение модуля первой производной функции на отрезке на отрезке [0,5; 0,85] средствами Mathcad.



Рисунок 2.6

M=1,808105 - минимальное значение модуля первой производной функции на отрезке [0.5; 0.85].

2.2 Уточнение корней

Уточнение корней методом касательных

На рисунке 2.7 представлена блок-схема алгоритма уточнения корней методом касательных.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В начале осуществляется ввод исходных данных: значения левого и правого концов отрезка локализации корня а и b, начальное приближение корня х (выбранное в соответствии с условием (2)), допустимая погрешность уточнения корня е и предварительно найденное минимальное значение модуля производной функции f(x) на отрезке локализации корня М.

В теле цикла с постусловием осуществляется присвоение текущего приближения корня переменной, в которой будет храниться предыдущее приближение корня и вычисляется следующее приближение корня в соответствии с рекуррентной формулой для вычисления k-го приближения корня:



.

Буквами f и p обозначены функция f(x) и её производная соответственно.

Далее осуществляется проверка условия достижения заданной точности, которое и является условием выхода из цикла (прекращения вычислений). После завершения выполнения цикла выводится уточнённое значение корня.

При реализации этого алгоритма на языке программирования Паскаль, текст подпрограммы будет иметь следующий вид:

procedure TForm1. MetKas (beg, eps, ms: Extended);

{Описание функции}

function getf (xs: Extended):Extended;

var f, a: Extended;

begin

a:= ValA;

f:= ln (abs(ln (abs(xs*a))))+a*exp (ln(xs)*0.75)+a*sqr (ln(xs))*ln(xs) - sqrt (xs*a)+a;

getf:= f;

end;

{Описание производной функции}

function getp (xs:real):real;

var a, p: Extended;

begin

a:= ValA;

p:= 1/(xs*ln (xs*a))+0.75*a/(exp (ln(xs)*0.25))+(3*a*sqr (ln(xs)))/xs-a/(2*sqrt (xs*a));

getp:= p;

end;

function MK (x, e, M: Extended):Extended;

var x0, x1, x2: Extended;

begin

repeat

x0:=x;

x1:= getf(x0);

x2:= getp(x0);

x:=x0-getf(x0)/getp(x0);

until abs (getf(x))/M<=e;

MK:=x;

end;

{Раздел операторов}

begin

{Находим с помощью функции МК уточненное значение корня и при-сваиваем его переменной х}

x:= 0;

x:=MK (beg, eps, ms);

Memo1. Lines. Add ('Уточненное значение корня x='+FloatToStr(x)); end;

Уточнение корней методом деления отрезка пополам

При уточнении корней методом деления отрезка пополам необходимо только отделить корни уравнения. Никаких других исследований проводить не требуется. Именно поэтому метод деления отрезка пополам, несмотря на более низкую скорость сходимости в сравнении с методами хорд и касательных, имеет не меньшую ценность при использовании персонального компьютера, т.к. часто позволяет получить результат гораздо быстрее, чем методы, требующие предварительного, порой изощренного анализа.

Блок-схема алгоритма уточнения корней методом деления отрезка пополам приведена на рисунке 2.8.

После ввода значений концов отрезка и допустимой погрешности в теле цикла с постусловием вычисляется приближение корня. Затем в блоках 4 и 6 выполняется поиск отрезка, содержащего корень. Если выполняется условие f(a) f(x)<0, то корень лежит на отрезке [a; х] и значение правого конца этого отрезка х заносится в переменную b; если это условие не выполняется, то проверяется условие f(b) f(x)<0. Если оно выполняется, корень лежит на отрезке [х; b] и значение левого конца этого отрезка х заносится в переменную a. Если же ни одно из этих условий не выполняется, то, очевидно, f(x)=0, т.е. х - точный корень уравнения, который и выводится.

Далее осуществляется проверка условия достижения заданной точности вычислений корня, которое и является условием выхода из цикла. После окончания вычислений найденное значение корня выводится.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Подпрограмма для уточнения корней заданного в условии уравнения методом деления отрезка пополам, написанная на языке Паскаль:

procedure TForm1. MetDOP (beg, ends: Extended);

var a, b, x: Extended;

{Описываем функцию}

function f (xs: Extended):real;

begin

a:= ValA;

f:= ln (abs(ln (abs(xs*a))))+a*exp (ln(xs)*0.75)+a*sqr (ln(xs))*ln(xs) - sqrt (xs*a)+a;

end;

{Описываем функцию, реализующую основной алгоритм}

function DOP (a, b: Extended):real;

label 1;

var x:real;

begin

repeat

x:=(a+b)/2;

if f(a)*f(x)<0 then b:=x

else

if f(b)*f(x)<0 then a:=x

else goto 1;

until (b-a)<=2*Eps;

1:

DOP:=x;

end;

{Раздел операторов}

begin

a:= beg;

b:= ends;

x:=DOP (a, b);

MemoDOP. Lines. Add ('Уточненное значение корня x='+FloatToStr(x));

end;



Уточнение корней методом хорд

Решение поставленной задачи с использованием для уточнения корней метода хорд производится практически аналогично. Рекуррентное соотношение для вычисления приближений корня по методу хорд имеет вид

где с - значение конца отрезка, для которого выполняется условие

В качестве начального приближения выбирается конец отрезка, оставшийся после выбора с. То есть если с = a, то начальным приближением корня выбирают b и наоборот.

Блок-схема алгоритма уточнения корней этим методом отличается от уточнения корней методом касательных лишь списком вводимых исходных значений (блок 2) и рекуррентной формулой (блок 3).

Текст программы для уточнения корней заданного в условии задачи уравнения методом хорд, написанной на языке Pascal, может иметь следующий вид:

Program MetChord;

var c, x, e, M:real;

{Описание функции}

function f (x:real):real;

begin

f:=3*sin (sqrt(x))+x/15-1.8

end;

{Описание функции, реализующей алгоритм метода уточнения корней}

function MCh (c, x, e, M:real):real;

var x0:real;

begin

repeat

x0:=x;

x:=(c*f(x0) - x0*f(c))/(f(x0) - f(c));

until abs (f(x))/M<=e;

MCh:=x;

end;

{Раздел операторов}

13

begin

writeln ('Введите исходные данные c, x, e, M');

readln (c, x, e, M);

{Находим с помощью функции МCh уточненное значение корня и присваиваем его переменной х}

x:=MCh (c, x, e, M);

writeln ('Уточненное значение корня x=', x:7:4);

readln;

end.

Разработка программного продукта в среде Delphi

При разработке данной программы используются Form1 (главная форма), используется для выполнения основных функций программы.

Описание используемых компонентов:

1) Label - компонент на форме, который предоставляет не изменяемую текстовую информацию на форме;

2) Edit - стандартный управляющий элемент Windows для ввода. Используется для ввода и отображения данных;

3) Memo - компонент на форме, который предоставляет возможность вывода информации в ограниченной на форме области, виде строк текста;

4) Button - компонент, выполняющий функцию кнопок, при нажатии на которые выполняется заданное программой действие;

5) Chart - компонент предназначен для графического отображения числовых данных.

Внешний вид разработанного приложения представлен на рисунке 2.9.

Рисунок 2.9. Внешний вид разработанного приложения

Результаты тестирования программного продукта

После нажатия на копку выбранного метода вызываются подпрограммы решения нелинейных уравнений, результаты которых помещаются в компоненты «TMemo». (рисунок 2.10)



Рисунок 2.10. Результат работы разработанного приложения



3. Сравнение полученных результатов различными способами

Данные, полученные различными методами

Метод решения	Параметр а	Корни уравнения
Деления пополам	0,2	0,8336
Касательных		0,8335
Хорд		0,8335
Средствами MathCad		0,8293



4. Аппроксимация табулированных функций

Метод наименьших квадратов

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых (независимая величина) задается экспериментатором, а получается в результате опыта. Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу:

где - параметры, значения которых при возможно мало отличались бы от опытных значений .

Если в эмпирическую формулу (2.1) подставить исходные , то получим теоретические значения , где .

Разности называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек до графика эмпирической функции. Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции:

будет минимальной.



Поясним геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Каждая пара чисел из исходной таблицы определяет точку на плоскости . Используя формулу (2.1) при различных значениях коэффициентов можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (2.1). Задача состоит в определении коэффициентов таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до графика функции (2.1) была наименьшей.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Для того, чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2.2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :

Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы.

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2.1) линейна относительно параметров , тогда система - будет линейной.

Конкретный вид систем зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость. В случае линейной зависимости система примет вид:

В случае квадратичной зависимости система (2.3) примет вид:

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).



4.1 Решение задачи в среде Delphi

Ниже представлен блок-схема разработанного алгоритма.

Блок-схема алгоритма

В данной курсовой работе интерфейс программы в Delphi имеет вид:

Интерфейс программы



Вычисление производится путем нажатия кнопки «Вычислить»:

4.2 Решение задачи в среде Mathcad

Находжение полинома 2,3,4 степеней и среднеквадратичные отклонения

Ниже представлено находжение полинома 2, 3 и 4 степени.

 

 

В ходе работы был проведен сравнительных анализ полученных результатов с помощью сред Delphi и МathCad.

Коэффициенты полинома степени 2

Номер коэффициента	Delphi	MathCad
A[0]	-0,621071441358521	-0,62
A[1]	1,82821437594526	1,83
A[2]	-0,0412554705304726	-0,04
Среднеквадратичное отклонение	-0,0586697783620962	0,79503137

Коэффициенты полинома степени 3

Номер коэффициента	Delphi	MathCad
A[0]	0,884160392299418	0,884
A[1]	0,425526490056307	-0,425
A[2]	0,662781869814682	0,663
A[3]	-0,058669778362096	-0,059
Среднеквадратичное отклонение	0,559217579100979	0,55924813

Коэффициенты полинома степени 4

Номер коэффициента	Delphi	MathCad
A[0]	1,97344464646087	1,973
A[1]	-3,13311206518657	-3,133
A[2]	2,18339747827071	2,183
A[3]	-0,354211631253284	-0,354
A[4]	0,0184713658056992	0,018
Среднеквадратичное отклонение	0,430514664241794	0,430534574



Заключение

В ходе выполнения курсовой работы были выполнены все поставленные задачи. Освоены навыки разработки приложений, что позволит использовать полученные знания на практике. Получены знания по теме нелинейные уравнения и аппроксимация табулированных функций. Рассмотрены и изучены методы отделения корней, методы решения нелинейных уравнений и метод наименьших квадратов.

В ходе разработки первого задания курсовой работы, используя базу полученных знаний, был проведен математический анализ заданной функции. На базе проведенного анализа были получены данные характеризующие заданную функцию. В программе Mathcad были построены графики заданной функции при различных значениях коэффициента а. Произведен подбор параметра а, вследствие которого было выбрано конкретное значение (а=0,2). Был определен интервал существования корня для заданной функции. На основе полученных данных исследования заданной функции, при коэффициенте а=0,2 было разработано приложение в среде Delphi. Приложение способно находить корни уравнения на заданном интервале их существования при помощи метода касательных, метода хорд и метода деление отрезка пополам.

В ходе разработки второго задания курсового проекта на тему: «Аппроксимация табулированных функций методом наименьших квадратов», получили результаты, которые выполнены с большой точностью, как в среде Delphi, так и в среде MathCad, которые удовлетворяют условию поставленной задачи.

За время выполнения проекта изучили методы аппроксимации, и научились оценивать полученные результаты. Полученные графики и значения в обеих средах практически одинаковы, что свидетельствует о правильности выполнения курсовой работы. Была замечена закономерность, что при увеличении степени многочлена среднеквадратичное отклонение уменьшается, а, следовательно, возрастает точность вычислений.

Разработанные приложения соответствуют требованиям заданий на курсовую работу. Исходные тексты программ, а так же исполняемые файлы представлены на диске.

В ходе выполнения курсовой работы получены как теоретические, так и практические навыки работы в среде разработки программ Delphi на алгоритмическом языке Object Pascal.

Также были углублены и закреплены знания по алгоритмизации, программированию и решению в интегрированной визуальной среде программирования Delphi задач по специальности.

Цель курсовой работы достигнута, задачи решены в полном требуемом объёме.



Список литературы

1. Архангельский, А.Я. Программирование в Delphi 6 / А.Я. Архангельский - М.: ЗАО «Издательство БИНОМ», 2002 г. - 1120 с.

2. Бобровский С.И. Delphi 7: учебный курс / С.И. Бобровский. - СПб.: Питер, 2004. - 736 с.

3. Епанешников, А.М. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0 / А.М. Епанешников, В.А. Епанешников. - Москва: «Диалог - МИФИ», 2000 г. ? 368 с.

4. Задания и методические указания по выполнению, оформлению и защите курсовых работ для студентов заочной и очной формы обучения специальностей 1-36 01 01, 1-36 01 03 / авт.-сост. О.И. Наранович. ? Барановичи: БарГУ, 2009. - 20 с.

5. Фаронов, В.В. Delphi 6: учебный курс / под ред. С.В. Молгачев, 2001. - 672 с.

6. Шейкер, Т.Д. Разработка приложений в системе Delphi: учеб. пособие / Т.Д. Шейкер. - Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2006. - 172 с.

Размещено на Allbest.ru

...