Основы информатики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основы информатики

Цель курсовой работы: закрепление и развитие навыков по программным продуктам Excel и Mathcad, которые понадобятся в процессе дальнейшего обучения в Вузе и в профессиональной деятельности инженера.

Содержание курсовой работы

Курсовая работа состоит из 4 обязательных и одного дополнительного заданий. Задания выполняются в программах Excel и Mathcad. Исходные файлы с выполненными заданиями в указанных программах в обязательном порядке должны быть предоставлены при защите курсовой работы. Также неотъемлемой часть курсовой работы является пояснительная записка, которая оформляется после выполнения заданий и содержит описание всей проделанной работы.

Задание № 1.

Дано нелинейное уравнение вида f(x)=0.

Решить заданное нелинейное уравнение с помощью программы Excel. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

провести табулирование функции f(x) на заданном интервале (прил.1). Шаг табуляции h=0.2.

Построить график функции f(x).

По графику определить приближенные значения корней уравнения f(x)=0.

С помощью процедуры «Подбор параметра» определить точные значения корней уравнения f(x)=0.

С помощью надстройки «Поиск решения» Excel найти экстремумы функции f(x).

Решить заданное нелинейное уравнение с помощью программы Mathcad. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

Построить график функции f(x).

По графику определить начальные приближения корней уравнения f(x).

Для каждого приближения определить точные значения корней уравнения.

С помощью символьных вычислений в Mathcad найти производную функции f(x). Найти экстремумы функции f(x) путем решения уравнения f'(x)=0 аналогично пункту 3.

Провести сравнение полученных результатов и сделать выводы об эффективности Excel и Mathcad при решении задач нахождения корней нелинейного уравнения и поиска экстремумов функции.

Пример выполнения задания № 1.

Рассмотрим выполнение задания №1 на примере уравнения

excel mathcad программа уравнение

и интервале [-5;5].

Выполним табулирование функции в Excel на интервале [-5;5] с шагом 0,2.

На основе полученной таблицы табуляции строим график функции f(x) (рис. 1).

Рис. 1. Табуляция функции и построение графика в Excel.

На полученном графике определяем приближенные значения корней уравнения. Данные корни будут находиться в точках пересечения графика функции с осью абсцисс, а также их приближенные значения можно определить по таблице табуляции в строках, где значения в столбце y меняют свой знак. Получаем следующие приближенные значения корней уравнения: -2.0, 0.6 и 2.2.

С помощью процедуры подбор параметра определяем точное значение корня для каждого приближенного значения. Получаем следующие значения корней уравнения: x1=-2.16437, x2=0.77287 и x3=2.39132 (рис.2).

Рис. 2. Фрагмент листа Excel с найденными корнями уравнения.

Найдем в Excel экстремумы функции f(x). По графику видно, что данная функция имеет только одну точку экстремума (минимума) в районе x=-0,4. Для нахождения этого экстремума воспользуемся надстройкой «Поиск решения» и настроим её согласно рис.3.

Рис. 3. Настройка формы «Поиск решения».

Сформируем отчет о результатах поиска (рис. 4), из которого видно, что искомое значение экстремума функции xэкс=-0.29716.

Рис. 4. Отчет о результатах поиска экстремума функции с помощью надстройки «Поиск решения»

С помощью программы Mathcad построим график функции

на интервале [-5;5] (рис. 5). По графику определяем приближенные значения корней уравнения: -2.1, 0.8 и 2.4.

Рис. 5. График функции f(x), построенный в Mathcad.

С помощью функции root находим точные значения корней уравнения: x1=-2.16425, x2=0.77287 и x3=2.39138.

Используя символьные вычисления Mathcad, найдем производную

.

Построим график производной функции f(x). По графику определяем приближенное значение корня f'(x)=0: x=-0.4. С помощью функции root находим точное значение корня уравнения f'(x)=0 (рис. 6), а значит и значение экстремума функции f(x):

x=-0.29716.

Рис. 6. Нахождение корней уравнения и экстремума функции с помощью Mathcad.

Задание № 2

Даны матрицы A, B и С. Вычислить матрицу D по формуле согласно варианту (прил.2). Используя коэффициенты полученной матрицы D решить систему уравнений согласно варианту. Задание выполнить в Excel и Mathcad.

Пример выполнения задания № 2.

Вычислим значение матрицы D по формуле:

, где ,, и решим следующую систему линейных уравнений:

С помощью Excel произведем расчет матрицы D (рис. 7)

Рис. 7. Вычисление матрицы D в Excel.

Запишем систему уравнений, используя коэффициенты из полученной матрицы:

Решим полученную систему уравнений в Excel с помощью обратной матрицы. В результате получили вектор решения:

Рис. 8. Решение системы линейных уравнений с помощью Excel.

Проведем расчет матрицы D средствами Mathcad. Заполним матрицу коэффициентов системы уравнений и найдем ее решение (рис. 9)

Рис. 9. Вычисление матрицы D и нахождение решения системы уравнений в Mathcad.

Задание № 3

Даны координаты точек (xi,yi) (прил. 3), для которых необходимо выполнить следующее.

С помощью программы Mathcad провести кусочно-линейную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1.3, 2.6, 4.4, 5.9, 7.1, 8.75. Построить график.

С помощью программы Mathcad провести полиномиальную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1.3, 2.6, 4.4, 5.9, 7.1, 8.75. Построить график. Записать уравнение полинома (коэффициенты полинома указать с точностью 10 знаков после запятой)

Провести 2 вида аппроксимации согласно варианту (прил.3). Построить оба графика на одной координатной плоскости. В обоих случаях определить сумму квадратов отклонений для узловых точек. Данное задание выполнить как в Excel, так и в Mathcad.

Пример выполнения задания № 3.

Рассмотрим выполнение данного задания для следующих точек.

В качестве видов аппроксимации будем использовать:

полином 3-й степени;

степенную функцию.

Решим все поставленные задачи с использованием Mathcad.

Проведем кусочно-линейную интерполяцию для заданных точек (xi,yi) и определяем значение функции для указанных значений аргумента (рис. 10):

Проведем полиномиальную интерполяцию. Учитывая, что задано 10 точек, то полином должен быть 9-й степени. В результате получили полином, представленный на рис. 11. Построим его график, на котором отметим исходные точки (рис. 11). По графику можно убедиться, что полином проходит через все заданные точки.

С помощью полученного полинома определим для заданных точек значение функции (рис. 11):

Рис. 10. Кусочно-линейная интерполяция в Mathcad.

Рис. 11. Полиномиальная интерполяция в Mathcad.

Проведем с помощью Mathcad аппроксимацию для заданных точек с помощью полинома 3-й степени и степенной функции (рис. 12). Определим сумму квадратов отклонений для узловых точек (рис. 12):

Для полинома 3-й степени эта величина равна 19,29.

Для степенной функции эта величина равна 1,036.

Можно сделать вывод, что с помощью степенной функции мы получаем более точное приближение.

Рис. 12. Аппроксимация точек в Mathcad.

Построим на одной координатной плоскости графики аппроксимирующих функций (рис. 13).

Проведем аппроксимацию точек с помощью Excel. Для этого сначала заполним исходную таблицу точек и отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 14).

Вызовем контекстное меню для одной из точек на графики и выберем пункт «Добавить линию тренда…». Для начала проведем аппроксимацию с помощью полинома 3-й степени. Для этого в открывшемся диалоговом окне «Линия тренда» выберем «Полиномиальная» и укажем степень «3» (рис. 15).

Рис. 13. Графики аппроксимирующих функций.

Рис. 14. Исходные точки для аппроксимации на координатной плоскости.

Аналогично добавил линию тренда на основе степенной функции. В настройках линий тренда выставим галочку «показывать уравнение на диаграмме». Результат представлен на рис. 16. Получили следующие аппроксимирующие функции.

Для полинома 3-й степени: .

Для степенной функции: .

Рис. 15. Добавление на график аппроксимирующей линии (линии тренда).

Рис. 16. Получение графиков функций аппроксимации.

Определим сумму квадратов отклонений для полученных функций в узловых точках (рис. 17). Получим:

Для полинома 3-й степени эта величина равна 21,091.

Для степенной функции эта величина равна 1,173.

Рис. 17. Расчет в Excel суммы квадратов отклонений для аппроксимирующих функций.

Задание № 4

Найти экстремум функции двух переменных в Excel и Mathcad. Построить график двухмерной поверхности в Excel и Mathcad. Сравнить результаты и сделать выводы. Варианты задания приведены в прил.4.

Пример выполнения задания № 4.

Для примера рассмотрим функцию

Построим график функции в Mathcad (рис. 18).

По графику определяем, что функция z имеет только один экстремум - точку минимума.

Воспользуемся блоком решения Mathcad и функцией Minimize. За начальное приближение точки минимума возьмем x=1 и y=1. В качестве ограничений укажем интервалы для x[-8;8] и y[-10;10].

Рис. 18. Построение поверхности в Mathcad.

Получили решение x=1,5; y=2.5 (рис. 19).

Теперь выполним это же задания в Excel. Для этого сначала проведем табуляцию функции на интервале по x [-8;8]и y[-10;10] (рис. 20).

Рис. 19. Минимизация функции в Mathcad.

Рис. 20. Табулирование функции 2-х переменных в Excel.

На основе полученной таблицы строим поверхность (рис. 21).

Рис. 21. График функции двух переменных в Mathcad.

С помощью надстройки «Поиск решения» найдем точку минимума. Для этого настроим соответствующее диалоговое окно следующим образом (рис. 22). В результате выполнения получим искомую точку минимума (1,5; 2,5).

Рис. 22. Настройка формы «Поиск решения» для нахождения минимума функции двух переменных.

Приложение

Варианты для задания №1

Варианты для задания №2

Варианты для задания №4

Пример оформления рисунка

Рис. 13. Графики аппроксимирующих функций.

Таблица 3 Пример оформления таблицы

Узловые точки

Размещено на Allbest.ru