После задания графического окна изменяется начало системы координат (рисунок на экране сохраняется) и можно рисовать кривые с отрицательными значениями координат точек, например, установив начало координат в центре экрана:

xG2:= GetMaxX; yG2:= GetMaxY; xG1:= xG2 div 2; yG1:= yG2 div 2;

и задав Cl:= ClipOff; Направление осей при этом не меняется, график не масштабируется, а процедура SetBkColor(N); изменит цвет всего экрана. Графическое окно можно очистить процедурой ClearViewPort;

При этом восстанавливается система координат экрана, а изображение в области прямоугольника с координатами вершин (xG1, yG1), (xG2, yG2) затирается цветом фона.

Построение графиков на экране монитора имеет свои особенности, связанные с пикселным изображением и системой координат экрана. Поскольку для некоторых режимов работы монитора отношение ширины к высоте экрана не равно (GetMaxX+1)/(GetMaxY+1), то при построении по точкам вместо окружности получается эллипс. Для рисования правильных геометрических фигур по точкам необходимо подключить процедуру: GetAspectRatio(xx, yy); возвращающую значения xx, yy - параметры (тип Word), определяющие коэффициент сжатия изображения k = xx/yy. При построении графиков или рисовании

фигур по точкам значения координат "y" необходимо умножить на "k". Отметим, что для монитора VGA в режиме Gm=2 значение k=1.

2.1.2 Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений заключается в построении графика функции Y=F(х) и визуальном нахождении координат точек пересечения графика с осью "X". Составляется процедура перемещения курсорными клавишами видимого пиксела (курсора) и вывода значений расчетных координат (x, y) на экран. Текущие графические координаты пиксела (XG, YG) определяются функциями: XG:=GetX; YG:=GetY; Координаты точки в расчетной области:

X:= X_min + (XG-left)/kx; Y:= Y_min - (YG-down)/ky;

Где kx, ky - коэффициенты масштабирования по осям

2.2 Некоторые задачи физики

Статика. Практически все задачи статики сводятся к определению сил, действующих на неподвижное или движущееся прямолинейно и равномерно тело. При этом решаются уравнения равенства нулю суммы проекций всех сил F₁, F₂, F₃, ... , F_N на оси координат или строится замкнутый многоугольник сил. Для построения многоугольника "N" сил необходимо выбрать некоторую точку (например, начало координат), провести из нее вектор первой силы, из конца первого вектора провести вектор второй силы и т. д. Если многоугольник будет замкнутый (конец "N" -го вектора совпадает с началом первого), то тело под действием данных сил будет находиться в равновесии. Рассмотрим задачу графического построения многоугольника сил в плоском (двумерном) случае. Если силы, действующие на тело заданы проекциями на оси координат Fx₁, Fx₂, . . , Fx_N, и Fy₁, Fy₂, . . , Fy_N, то конец первого вектора имеет координаты: x₁=Fx₁, y₁=Fy₁, конец второго вектора имеет координаты: x₂=x₁+Fx₂, y₂=y₁+Fy₂ и т. д. Условие равновесия тела: xN= Fx_R = Fx_i = 0, yN= Fx_R = Fy_i = 0 (здесь полагается, что первый вектор проводится из начала координат). Если условие равновесия не соблюдается, то проекции уравновешивающей силы определяются по формулам: Fx_R =xN, Fy_R=yN. Приведем процедуру рисования вектора, заданного координатами точек начала "1" и конца "2".

Procedure Vector_G(x1, y1, x2, y2: double);

Var x3, y3, L, Lc, sa, ca, s3, c3: double;

Begin

L:= sqrt(sqr(x1-x2) + sqr(y1-y2)); { длина вектора }

Lc:= L/5. ; { длина стрелок }

ca:=(x2-x1)/L; sa:=(y2-y1)/L; c3:=cos(Pi/10); 3:=sin(Pi/10);

{ Pi/10 - угол наклона стрелок к линии вектора}

Line_G(x1, y1, x2, y2);

x3:= x2 - Lc*(ca*c3-sa*s3); {основная линия}

y3:= y2 - Lc*(sa*c3+ca*s3); Line_G(x2, y2, x3, y3);

x3:= x2 - Lc*(ca*c3+sa*s3); { линия стрелки}

y3:= y2 - Lc*(sa*c3-ca*s3); Line_G(x2, y2, x3, y3)

End; { линия стрелки}

Кинематика. В кинематике изучается движение тела (точки) без анализа причин (сил), вызывающих это движение. Основной задачей является построение траектории точки, а также определение скорости и ускорения точки в любой момент движения. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой, движущейся в пространстве. Движение точки определяется уравнением (законом) движения, в котором устанавливается зависимость положения точки в пространстве от времени. В параметрической форме траектория точки описывается зависимостями: X=X(t), Y=Y(t).

Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения точки.

Проекции скорости на оси координат равны: Vx = dX/dt; Vy = dY/dt;

Проекции ускорения на оси координат равны: Ax = dVx/dt; Ay = dVy/dt;

Рассмотрим уравнения, описывающие движение точки в некоторых случаях.

Для точки, начинающей движение в некоторый момент времени "t₀" (полагается t₀=0) под углом "fi" к горизонту со скоростью "V₀" уравнения движения без учета сопротивления воздуха имеют вид:

X = V0*t*cos(fi); Y = V0*t*sin(fi) - 0. 5*g*t2;

Для точки, начинающей движение под углом "fi" к горизонту со скоростью "V0" траектория движения с учетом сопротивления воздуха пропорционального скорости точки имеет вид:

X = V0*cos(fi)*Fc(t); Y = (V0*sin(fi) + g/kc)*Fc(t) - g*t/kc;

где Fc(t) = (1-e^(-kc*t))/kc; kc - коэффициент сопротивления.

g = 9. 81, м/с - ускорение свободного падения.

Для точки, движущейся над горизонтальной поверхностью расчетную область можно ограничить: X_max=V₀² /g; Y_max=0.5*X_max. Время движения tp=2*V₀*sin(fi)/g.

Динамика. В задачах динамики рассматривается движение тел под действием сил. Для определения характеристик движения (траектории, скорости и т. д. ) составляются дифференциальные уравнения движения, которые затем интегрируются, а также используются законы сохранения энергии или импульса.

Рассмотрим задачу столкновения двух шаров, движущихся со скоростью V₁ и V₂. Если центры масс соударяющихся тел находятся на общей нормали, проведенной в точку контакта, то удар называется центральным. Например, удар при столкновении двух шаров. При центральном ударе двух тел с идеально гладкой поверхностью справедлива гипотеза Ньютона: проекция скорости на нормаль к поверхности в точке контакта уменьшается после удара в "k" раз. Коэффициент восстановления "k" характеризует потери энергии на тепло при ударе и зависит от материала тел. Используя также закон сохранения импульса, получаем формулу расчета векторов скорости шаров W₁ и W₂ после удара:

W₁ = V₁ + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos(fi₁) + |V₂|*cos(fi₂))*n₁;

W₂ = V₂ + M₁*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos(fi₁) + |V₂|*cos(fi₂))*n₂;

Здесь fi₁ и fi₂ - углы между линией общей нормали и векторами скоростей V₁ и V₂ в момент удара.

n₁ и n₂ - векторы единичных нормалей к поверхности шаров в точке контакта.

|V₁| и |V₂| - модули векторов скоростей V₁ и V₂.

2.3 Математическое моделирование физических процессов

При расчете физических процессов составляется математическая модель - система уравнений, описывающая зависимости между физическими величинами при некоторых упрощающих допущениях. Например, при движении точки вблизи поверхности Земли полагается ускорение свободного падения постоянным, не зависящим от высоты расположения точки над поверхностью. Для тел, движущихся с небольшой скоростью или в разряженной атмосфере, пренебрегают сопротивлением воздуха. Само точка часто заменяют материальной точкой, т. е. размерами точки пренебрегают. Физические процессы описываются, как правило системой дифференциальных уравнений, для решения которой применяют различные численные методы (модели). Широко используется метод конечных разностей, в котором бесконечно малые приращения переменных заменяют малыми (конечными) приращениями.

Например, изменение параметра времени представляют в виде: dt=t₂-t₁, а изменение функции "Х": dX(t) = X(t)-X(t-dt) = X(t₂)-X(t₁) = X₂-X₁.

Рассмотрим задачу определения траектории точки, движущегося в некоторой плоскости под действием различных сил. Например, необходимо вычислить траекторию движения снаряда с учетом сопротивления воздуха или ракеты с учетом изменения ее массы, движущихся в поле тяготения Земли.

Координаты точки X(t), Y(t) в некоторый момент времени "t" можно определить, зная координаты точки X(t-dt), Y(t-dt) в предыдущий момент времени "t-dt" и изменение (приращение) координат dX, dY:

X(t) = X(t-dt) + dX(t),

Y(t) = Y(t-dt) + dY(t).

Если временной интервал выбрать достаточно малым, то можно полагать, что скорость точки на этом интервале не изменяется и приращения координат определяются по формулам:

dX(t) = Vx(t)dt,

dY(t) = Vy(t)dt.

Здесь Vx(t), Vy(t) - проекции скорости на оси координат.

Составляющие скорости Vx(t) и Vy(t) можно вычислить по формулам:

Vx(t) = Vx(t-dt) + Ax(t)*dt,

Vy(t) = Vy(t-dt) + Ay(t)*dt.

Здесь Ax(t), Ay(t) - проекции ускорения на оси координат.

Ускорение определяется силами, действующими на точка: ускорение равно равнодействующей силе, деленной на массу точки. Силы могут зависеть от координат точки, времени и скорости точки. Например, ускорение ракеты в поле тяготения планеты обратно пропорционально квадрату расстояния до центра планеты. При включении двигателя ракеты ускорение зависит от времени (программы работы двигателя). При движении в плотных слоях атмосферы на ракету действуют силы сопротивления воздуха, зависящие от скорости движения, т. е. ускорение зависит от скорости.

Приведем алгоритм расчета траектории движения точки:

1. Определяем силы, действующие на точка, и находим проекции ускорения на оси координат. В общем случае ускорение точки зависит от многих факторов и в момент времени t задается как функция от времени, скорости и координат точки:

Ax:= Fx(Vx, Vy, X, Y, t);Ay:= Fy(Vx, Vy, X, Y, t);

Где Vx, Vy, Ax, Ay - проекции скорости и ускорения.

2. Задаем начальное положение точки - координаты X[1], Y[1] и начальную скорость и ускорение в виде проекций на оси координат:

X[1]:= X0; Y[1]:= Y0; Vx[1]:= V*cos(fi); Vy[1]:= V*sin(fi);

Ax[1]:= Fx(Vx[1], Vy[1], X[1], Y[1], t[1]);

Ay[1]:= Fy(Vx[1], Vy[1], X[1], Y[1], t[1]);

Где V - начальная скорость точки, fi - угол наклона вектора скорости к оси Х.

3. Задаем временной шаг dt и разбиваем весь временной интервал на N участков. При равномерной разбивке приращение времени определяется по формуле:

dt:= (t[N]-t[1])/(N-1); Здесь (t[N] - t[1]) - время движения точки.

Выбор величины dt определяется необходимой точностью расчета, возможностями вычислительной техники, и может уточняться при решении задачи.

4. Вычисляем массивы скорости, ускорения и координат точки:

For i:= 2 to N do begin

Vx[i]:= Vx[i-1] + Ax[i-1]*dt;

Vy[i]:= Vy[i-1] + Ay[i-1]*dt;

X[i]:= X[i-1] + 0.5*(Vx[i-1] + Vx[i])*dt;

Y[i]:= Y[i-1] + 0.5*(Vy[i-1] + Vy[i])*dt;

Ax[i]:= Fx(Vx[i], Vy[i], X[i], Y[i], t[i]);

Ay[i]:= Fy(Vx[i], Vy[i], X[i], Y[i], t[i]);

{ уточняем скорость точки в расчетной точке }

VX[i]:= VX[i-1] + 0.5*(Ax[i-1] + Ax[i])*dt;

VY[i]:= VY[i-1] + 0.5*(Ay[i-1] + Ay[i])*dt;

end;

Для уменьшения погрешностей расчетной схемы, скорость и ускорения на участке интерполируются средними значениями.

5. Строим траекторию движения точки. Здесь удобно использовать процедуры из библиотеки построения графиков GR_F. Следует определить расчетную область и область рисования траектории на экране. Траектория на экране рисуется процедурой: PutPixel_G(X[i], Y[i], N);

Для тестирования работы алгоритма рассмотрим задачу расчета траектории точки, движущегося из точки с координатами X, Y с начальной скоростью Vx, Vy под действием сил, вызывающих ускорение точки Ax, Ay. Следуя пунктам 1. . 5 приведенного выше алгоритма необходимо рассчитать траекторию движения точки и сравнить с траекторией точки, описанной аналитической зависимостью X(t), Y(t).

2.4 Моделирование многовариантных задач с использованием графов

Рассмотрим "классический" пример многовариантной задачи. Пусть пункты A и B связаны между собой дорогами, могущими проходить также через пункты 1, 2, 3,..., N. В общем случае каждый пункт связан дорогами со всеми остальными. В частном случае некоторые связи (дороги) отсутствуют. Схематически эти пункты и связи можно изобразить в виде графа.

Графом называется совокупность узлов (пункты A, B, 1, 2, . . . , N) и связывающих их ребер (дорог). Маршрутом движения называется последовательность связанных ребрами узлов. В дальнейшем будем рассматривать те маршруты движения, которые всегда начинаются из пункта A и заканчиваются в пункте B. Причем пункты A и B на маршруте повторяться не могут. Например : А-1-4-В.

Ставится задача составить маршруты при заданных ограничениях (фильтрах), либо найти оптимальный по некоторым параметрам маршрут и т. д. Например, известна стоимость проезда по каждой из дорог. Необходимо найти маршрут с наименьшей стоимостью проезда, либо найти все маршруты со стоимостью не превышающей определенную величину и т. д.

Пусть узел A имеет номер "0", а узел B - номер "N+1". Рассмотрим общий случай: каждый пункт связан со всеми остальными. Обозначим M - число промежуточных узлов на маршруте.

При М = 0 маршрут может проходить только из узла "0" в узел "N+ 1".

При М = 1 маршрут проходит через один из узлов: j1= 1, либо j1= 2, .., либо j1= N.

При М = 2 маршрут проходит через два узла, причем первый из них может иметь номер: j1=1, либо j1=2, ... либо j1=N, а второй - номер: j2=1, либо j2=2, ... либо j2=N, т. е. возможно N² маршрутов.

Если aij = 0 при j =1, 2, N; i > j, то матрица треугольная.

Значение aij может содержать значение ребра, связывающего узлы i и j (например, стоимость проезда), либо значение, содержащееся в узле i или j, либо любое значение, указывающее на существование связи между узлами i и j.

Введем линейный массив "Y", коэффициенты которого обозначают номера узлов графа через которые проходит маршрут, а индексы показывают номер пункта по порядку следования на маршруте. Операторы по перебору маршрутов имеют вид:

Y[0]:=0; {номер узла "А" графа}

repeat {цикл по числу узлов на маршруте}

for j:= 1 to M do Y[j]:=1; {начальные номера узлов на маршруте}

Y[M+1]:=N+1; {номер узла "B" графа}

repeat {цикл по перебору номеров узлов на маршруте}

for j:=1 to M+1 do if a[y[j-1],y[j]]=0 then goto METKA; {проверка}

{связей}

{****** здесь ставятся операторы фильтра ************}

{****** . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ************}

for j:=0 to M+1 do write('-', Y[j]); writeln; {вывод маршрута}

METKA: Y[1]:=Y[1]+1; {изменение номера узла первого пункта на маршруте}

for j:=1 to M-1 do {определяем номера узлов на маршруте}

if Y[j]>N then begin Y[j]:=1; Y[j+1]:=Y[j+1]+1 end else Break;

until Y[M]=N+1;

M:=M+1

until M>M1;

В начале программы задается возможный маршрут 0-1-1-1-. . . -1-N+1 для заданного значения M>0. Проверяется наличие связей и ставятся фильтры для определения маршрута. Затем увеличивается номер узла первого пункта по порядку следования на маршруте: 0-2-1-1-. . . -1-N+1 и т. д. до 0-N-1-1-. . . -1-N+1. При превышении номера узла значения N, номер узла сбрасывается до единицы, а номер следующего узла увеличивается на единицу: 0-1-2-1-. . . -1-N+1 и снова увеличивается номер узла первого пункта до значения N: 0-N-2-1-. . . -1-N+1 и далее сбрасывается до единицы с увеличением номера следующего узла: 0-1-3-1-. . . -1-N+1. После (N-1)-го сброса и увеличения значения узла первого пункта до N получим маршрут: 0-N-N-1-. . . -1-N+1 и далее: 0-1-1-2-. . . -1-N+1. Таким образом, происходит перебор всех возможных маршрутов до 0-N-N-N-. . . -N-N+1. После этого рассматриваются маршруты для M=M+1 включая M=M1. Отметим, что при необходимости маршрут 0-N+1 для M=0 нужно рассмотреть отдельно.

При решении конкретных задач необходимо определить значение коэффициентов aij матрицы связи и установить необходимые фильтры.

Рассмотрим задачу определения стоимости маршрутов из A в B.

1.) Зададим стоимость проезда из узла i в узел j:

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a[i,j]:=Random(X); {X-дано}

for i:=0 to N+1 do a[i,i]:=0; { движение внутри узла запрещено}

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a[j,i]:=a[i,j]; {связи }

{двусторонние и равнозначные}

2). Матрицу связей можно вывести на экран для проверки. При выводе маршрута на экран или в файл можно выводить также значение стоимости маршрута.

S:=0; for m:=1 to M1+1 do S:=S+a[y[m-1],y[m]]; {стоимость маршрута}.

Список литературы

1. Абрамов С. А., Зима Е. В. Начала информатики. М.: Наука, 1989. 256 с.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981. 720 с.

3. Епанешников А. М., Епанешников В. А. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0.

М.: Диалог - МИФИ, 1995. 288 с.

4. Лапшин Е. Графика для IBM PC. М.: Солон, 1995. 228 с.

5. Поляков Д.Б., Круглов И.Ю. Программирование в среде Турбо Паскаль (версия 5.5)

М.: МАИ, 1992. 576 с.

6. Сахарный Н. Ф. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1964. 846 с.

7. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. М.: Наука, 1977. 944 с.

Размещено на Allbest.ru

...