Разработка программного модуля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разработка программного модуля

Введение

программный технический интерфейс пользовательский

Значение электронных вычислительных машин в деле технического прогресса любой страны исключительно велико. Современные электронные цифровые вычислительные машины производят десятки тысяч арифметических и логических операций в секунду и способны в исключительно короткие сроки давать решения сложнейших математических и технических задач, немыслимые при ручном счёте.

Огромное быстродействие вычислительных машин открывает новые широкие возможности для применения общих математических методов исследования в проблемах физики, механики, химии, астрономии, техники, экономики и многих других областей.

В данной курсовой работе рассматривается задача нахождения наилучшего варианта формулы полинома n-ой степени с помощью метода наименьших квадратов. Для решения системы используется метод Гаусса.

Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что если сумма S квадратов уклонений мала, то сами эти уклонения также малы по абсолютной величине. Для метода средних, где составляется алгебраическая сумма уклонений, такого вывода сделать нельзя.

Недостатком метода наименьших квадратов является громоздкость вычислений. Поэтому к нему прибегают обычно при обработке наблюдений высокой точности, когда нужно получить также весьма точные значения параметров.

В разделе под номером 1 рассмотрена математическая модель нахождения коэффициентов и корней полинома. На основании, которой описаны входные и выходные данные.

В разделе 2 рассмотрено непосредственное проектирование программного модуля: его структурная диаграмма. Так же в этом разделе описана схема модуля и рассмотрен пользовательский интерфейс.

В 3-ем разделе реализован программный модуль, код программы. Описываются операторы и функции.

1. Постановка задачи

1.1 Математическая модель задачи

В различных задачах зависимость между переменными часто выражается в виде таблицы, в которой приведены статистические данные за определённый промежуток времени. Для изучения связи между этими переменными необходимо выразить зависимость между ними в виде аналитической формулы. Естественно, получить точную функциональную зависимость практически невозможно, поэтому ставится задача приближённой замены табличной записи некоторой функцией, значения которой мало отличались бы от статистических данных. Такую функцию называют эмпирической.

Рассмотрим задачу. Известна таблица значений двух переменных x и y.

Таблица 1. Вид исходных данных

x	x1 x2 x3 … xm-1 xm
y	y1 y2 y3 … ym-1 ym

Требуется найти зависимость между переменными в виде уравнения y=. Подставим в неё значения x_i, i=1, m, из таблицы значений. Получим последовательность значений функции f(x₁), f(x₂), f(x₃), …, f(x_m-1), f(x_m). Естественно эти значения могут отличаться от табличных. Обозначим их отклонения через v_i:

v_i=f(x_i) - y_i, i=1, m.

Очевидно, что чем меньше величин отклонений, тем точнее уравнение y=f(x) выражает зависимость между x и y. Если значения из таблицы рассматривать как прямоугольные координаты точек M_i(x_i, y_i), i=1, m, то истинная зависимость между x и y геометрически изображается в виде кривой (рис. 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1. Приближение функции

На самом же деле мы имеем график функции y=f(x) в виде кривой. В качестве отклонений v₁, v₂, …, v_m выступают разности ординат двух графиков в соответствующих точках x₁, x₂, …, x_m.

Для минимизации отклонений существует несколько критериев:

1) отклонения наименьшие, если их сумма будет минимальна

2) отклонения наименьшие, если сумма их абсолютных величин минимальна

3) отклонения наименьшие, если сумма их квадратов минимальна

Критерием, дающим наиболее точное приближение, является последний. Он и положен в основу метода наименьших квадратов.

Рассмотрим функцию

Параметры эмпирической формулы находятся из условия минимума функции , который определяется путем приравнивания нулю частных производных этой функции по всем ее переменным:

…,

Полученные соотношения - система уравнений для определения параметров.

Приравнивая эти выражения к нулю, и собирая коэффициенты при неизвестных, получаем следующую систему уравнений:

Решим данную систему методом релаксации. Суть данного метода состоит в следующем: запишем полученную систему в матричном виде.

.

Обозначим левую и правую части уравнения через матрицы A и B соответственно.

A=, B.

Для вычисления корней полученной системы уравнений воспользуемся методом Гаусса.

Метод исключения Гаусса чаще других прямых методов применяется для решения систем уравнений. Метод основан на сведении матрицы системы уравнений к треугольному виду посредством преобразований ее строк, а затем решении полученной системы уравнений, и, таким образом, состоит из двух этапов.

Первый этап, называемый прямым ходом, для системы



состоит из (n ?1) шагов исключения.

На первом шаге первое уравнение системы используется для исключения неизвестного x₁ из всех последующих уравнений. Для этого каждое уравнение с номером i = 2, 3, …, n складывается с первым уравнением, умноженным на коэффициент - a_i1/a₁₁, при этом в i-м уравнении коэффициент при x₁ сокращается, а само уравнение приобретает следующий вид:

Коэффициент a₁₁ при неизвестном x₁ в первом уравнении в данном контексте называется главным, или ведущим, элементом первого шага исключения. Главный элемент не должен быть равен 0, иначе при делении на него произойдет авост.

В результате система приводится к эквивалентному виду:

Теперь уравнения с номерами i = 2, 3,…, n образуют систему (n ?1) уравнений для (n ?1) неизвестных, и можно повторить шаг исключения уже для этой системы меньшего размера.

На втором шаге исключается неизвестное x₂ из уравнений с номерами i=3,4,5,…, n путем сложения этих уравнений со вторым уравнением, умноженным на коэффициент - a_i2⁽¹⁾/ a₂₂⁽¹⁾, в результате чего система приобретает следующий вид:

После (n ?1), последнего шага исключения, матрица системы уравнений становится верхней треугольной:

На втором этапе, этапе обратного хода, вычисляются неизвестные в порядке, обратном порядку их исключения. Из последнего уравнения системы вычисляется значение x_n=-b_n^(n-1)/ a_nn^(n-1). Подстановкой найденного значения в (n ?1) - е уравнение определяется x_n-1, и далее, подстановкой в k-e уравнение вычисленных неизвестных x_k+1,……, x_n рассчитывается x_k.

1.2 Входные данные

Таблица 2. Обозначение и возможный диапазон входных данных

Название	Обозначение	Диапазон возможных значений
Количество точек.	n	>1
Значения x.	x	Любое
Значения функции в этих точках.	y	Любое
Степень полинома	m	n<m
Имя файла для сохранения данных.	file	Цифры, латинские буквы верхнего и нижнего регистра.

1.3 Выходные данные

Таблица 3. Выходные данные

Название	Вид представления	Вывод
Функция имеет вид	y=…	На экран
Коэффициенты	а1=… а2=…
Результаты расчета	x Yr … … … … … …	На экран, в файл «file.txt»

1.4 Обработка ошибок

В данной программе проверяются условия:

Число точек в таблице должно быть больше одной.

Степень полинома должна быть не больше числа точек в таблице.

В случае не выполнения, которых программа запросит снова ввести значения.

2. Проектирование программного модуля

2.1 Структурная диаграмма программного модуля

Диаграмма имеет 3 уровня.

На первом уровне находится лишь функция main.

На втором уровне расположены функции input, output, aprox, correct и quit.

На третьем уровне функции input_file, input_keyboard.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2. Структурная диаграмма программного модуля

int main () - Основной модуль программы, осуществляющий организацию меню и вызов остальных модулей;

сhar *Rus (char *) - Переводит кодировку русского текста, напечатанного в Windows, для корректного отображения в режиме Dos.

void input (float *, float *, int &) - Функция выводит на экран меню в котором пользователь делает выбор между вводом данных с клавиатура или чтения я из файла.

void output (float *, float *, int) - Функция предназначенная для вывода введённых ранее данных на экран, или записи их в двоичный файл.

void correct (float *, float *) - Функция предназначенная для корректировки одного или нескольких пунктов введённых ранее значений из таблицы данных.

void aprox (float *, float *, int) - Функция в которой происходит вычисление коэффициентов искомого полинома, а так же поиск корней.

void input_file (float *, float *, int &) - Функция ввода данных из файла.

input_keyboard (float *, float *, int &) - Функция ввода данных с клавиатуры.

2.2 Разработка схемы программного модуля и ее описание

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3. Блок-схема к функции main

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 4. Блок-схема к функции correct

2.3 Разработка пользовательского интерфейса

Рисунок 5. Меню, появляющееся на экране при компиляции

При нажатии (1) на экране появится подменю, в котором пользователю будет предложено ввести данные с клавиатуры или считать их из двоичного файла.

При нажатии (2) на экране появится диалоговое окно, в котором можно выбрать тот пункт, который нуждается в замене.

В пункте (3) пользователь может вывести таблицу исходных данных на экран, или просто записать их в файл.

В случае нажатия (4) у пользователя будет запрошен ввод степени полинома. В результате: на экране появится вид полинома и значение корней.

Для выхода из программы следует нажать (5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6. Структура меню

3. Реализация программного модуля

#include<iostream.h>

#include<windows.h>

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>

#include<windows.h>

char *Rus (char *str)

{

char *new_str=new char[256];

CharToOem (str, new_str);

return new_str;

}

void input();

void input_file (float *, float *, int &);

void input_keyboard (float *, float *, int &);

void output();

void correct (float *, float *, int);

void input (float *x, float *y, int &k)

{char ch;

printf (Rus(«1: С файла\n»));

printf (Rus(«2: С клавиатуры\n»));

do

{

ch=getche();

printf («\n\n»);

if (ch<49 || ch>50)

{

printf (Rus(«\nнет такого пункта в меню»));

printf (Rus(«\nпопрубуйте еще раз\n»));

printf (Rus(«\n1: С файла\n»));

printf (Rus(«2: С клавиатуры\n»));

}

}

while (! strchr («12», ch));

ch-=48;

if (ch==1) input_file (x, y, k); else input_keyboard (x, y, k);

}

void output (float *xn, float *yn, int N)

{int i=1, j;

char ch;

printf (Rus(«Нажмите <1> для записи введённых данных в файл\n»));

printf (Rus(«Нажмите <2> для вывода введённых данных на экран\n»));

do

{cin>>ch;

printf («\n»);

if (ch==1||ch==2) i=0;

}

while(i);

if (ch==1)

{char file[20];

printf (Rus(«Введите имя файла в который нужно записать данные\n»));

gets(file);

FILE *fp=fopen (file, «w»);

for (i=0; i<N; i++)

{fprintf (fp, «%f % f», xn[i], yn[i]);

}

fclose(fp);

}

if (ch==2)

{

for (i=0; i<N; i++)

cout<< «|\t»<<xn[i]<<»\t|\t»<<yn[i]<<»\t|» <<endl;

}

}

void input_file (float *x, float *y, int &k) // функция ввода данных из файла

{

int i=0, n=0; k=50;

float z, z1;

char fn[15], name1 [15];

FILE *fp,*ff;

if((ff=fopen («files.txt», «r»))==NULL)

{

printf (Rus(«нет файлов с сохраненными результатами\n»));

}

else

{

printf (Rus(«Введите имя из предложенных\n»));

printf (Rus(«\n»));

}

int count=0;

while (! feof(ff))

{count++;

fscanf (ff, «%s»,&name1);

}

fseek (ff, 0L, SEEK_SET);

for (i=0; i<count-1; i++)

{

fscanf (ff, «%s»,&name1);

printf («%s\n», name1);

}

fclose(ff);

gets(fn);

fp=fopen (fn, «r»);

k=0;

fscanf (fp, «%d»,&k);

for (i=0; i<k; i++)

{

fscanf (fp, «%f % f»,&x[i],&y[i]);

}

printf (Rus(«Имеем % d точек\n»), k);

fclose(fp);

for (i=0; i<k; i++) // вывод координат точек

printf(«(%.2f, %.2f)\n», x[i], y[i]);

}

void input_keyboard (float *x, float *y, int &k) // функция ввода данных с клавиатуры

{

int i=0, n=0;

char fn[15], s[80];

FILE *fp,*fp1;

printf (Rus(«Введите количество точек функции (не менее 2-х)\nk=»));

cin>>k;

if (k<2)

while (k<2)

{

printf (Rus(«ОШИБКА! Введено количество точек меньшее 2-х\n»));

printf (Rus(«Введите количество точек функции (не менее 2-х)\nk=»));

cin>>k;

}

printf (Rus(«Введите координаты точек\n»));

for (i=0; i<k; i++) // ввод координат точек

{

printf (Rus(«%d точка:\n»), i+1);

cin>>x[i];

cin>>y[i];

}

printf (Rus(«\n\nИтак точки:\n»));

for (i=0; i<k; i++) // вывод координат точек

printf(«(%.2f, %.2f)\n», x[i], y[i]);

correct (x, y, k);

printf (Rus(«Введите имя файла, в который будут записаны данные\n»));

scanf («%s», fn);

if((fp=fopen («files.txt», «a+»))==NULL)

{

perror (Rus(«Ошибка открытия файла\n»));

return;

}

fseek (fp, 0,0);

do

{

fgets (s, 80, fp);

if (! feof(fp))

{

s [strlen(s) - 1]='\0';

if((strcmp (fn, s))==NULL)

{

while (strcmp(fn, s)==NULL)

{

printf (Rus(«Файл уже существует, введите другое имя\n»));

scanf («%s», fn);

s [strlen(s) - 1]='\0';

}

fseek (fp, 0,0);

}

}

}

while (! feof(fp));

fseek (fp, 0,2);

fprintf (fp, «%s\n», fn);

if((fp1=fopen (fn, «w»))==NULL)

{

perror (Rus(«Ошибка создания файла\n»));

return;

}

fprintf (fp1, «%d\n», k);

for (i=0; i<k; i++)

{fprintf (fp1, «%f % f\n», x[i], y[i]);

}

fcloseall();

}

void correct (float *x, float *y, int k) // функция корректировки данных

{

int num, i, p;

char ch;

printf (Rus(«\nБудем ли менять координаты точек?\n»));

printf (Rus(«1. Да\n»));

printf (Rus(«2. Нет\n»));

do

{

ch=getche();

printf («\n\n»);

if (ch<49 || ch>50)

{

printf (Rus(«ОШИБКА! Введен несуществуюций пункт меню!\n»));

printf (Rus(«Введите верный пункт меню\n»));

printf (Rus(«\nБудем ли менять координаты точек?\n»));

printf (Rus(«\n1. Да\n»));

printf (Rus(«2. Нет\n»));

}

}

while (! strchr («12», ch));

if (ch==49)

{

printf (Rus(«Координаты скольких точек заменим?\n»));

cin>>p;

if (p<1 || p>k)

do

{

printf (Rus(«ОШИБКА! Для замены указано неверное число точек\n»));

printf (Rus(«Можно заменить от 1 до % d точек\n»), k);

printf (Rus(«Координаты скольких точек заменим?\n»));

cin>>p;

}

while (p<1 || p>k);

for (i=0; i<p; i++)

{

printf (Rus(«Координаты какой точки по номеру заменим?\n»));

cin>>p;

do

if (num<1 || num>k)

{

printf (Rus(«Такой точки не существует\n»));

printf (Rus(«Координаты какой точки заменим?\n»));

cin>>num;

}

while (num<1 || num>k);

printf (Rus(«Введите новое значение\n»));

cin>>x [num-1];

cin>>y [num-1];

}

}

}

void aprox (float *xx, float *y, int number)

{

int i, j, k, n, m;

n=number;

cout<<Rus («Введите степень полинома»)<<endl;

cin>>m;

m++;

 // аппроксимация

float **matr=new float*[m];

for (i=0; i<m; i++)

matr[i]=new float[m];

for (i=0; i<m; i++)

for (j=0; j<m; j++)

matr[i] [j]=0;

for (i=0; i<m; i++)

for (j=0; j<m; j++)

for (k=0; k<n; k++)

matr[i] [j]+=pow (xx[k], j+i);

float *matr_y=new float[m];

for (i=0; i<m; i++)

matr_y[i]=0;

for (i=0; i<m; i++)

for (j=0; j<n; j++)

matr_y[i]+=y[j]*pow (xx[j], i);

 ////

int N=m;

float *x = new float[N]; // массив решения системы

float *b = new float[N]; // правая часть

float **a=new float*[m]; // левая часть

for (i=0; i<m; i++)

a[i]=new float[m];

for (i=0; i<N; i++) {

for (j=0; j<N; j++) {

a[i] [j]=0;

}

b[i]=0;

x[i]=0;

}

 /// *

for (i=0; i<N; i++) {

for (j=0; j<N; j++) {

a[i] [j]=matr[i] [j];

}

b[i]=matr_y[i];

}

 // Треугольный вид

for (k=0; k<N; k++) {

for (i=k+1; i<N; i++) {

if (a[k] [k]==0) {

printf («\nОшибка - система не имеет решения\n»);

return;

}

float M = a[i] [k] / a[k] [k];

for (j=k; j<N; j++) {

a[i] [j] -= M * a[k] [j];

}

b[i] -= M*b[k];

}

}

 //

 // находение решения системы

for (i=N-1; i>=0; i-) {

float s = 0;

for (j = i; j<N; j++) {

s = s+a[i] [j]*x[j];

}

x[i] = (b[i] - s) / a[i] [i];

}

cout<<x[0];

for (i=1; i<m; i++)

cout<<» + «<<x[i]<< "*x^"<<i;

cout<<endl;

cout<<endl;

}

int main()

{

float *x,*y,*z; char ch;

int i, number=100;

x=new float[number];

y=new float[number];

z=new float[number];

system («color f0»);

system («cls»);

printf (Rus(«\t\tЗАСТАВКА\n»));

printf (Rus(«Данная программа предназначена для апроксимации функции к полиному n степени \n»));

printf (Rus(«Для перехода по пунктам меню следует нажать цифру соответствующую выбранному пункту.\n»));

printf (Rus(«Координаты экспериментальных точек, их количество, а так же степнь полинома\n»));

printf (Rus(«можно вводить как с клавиатуры, так и из файла содержащего данные.\n»));

printf (Rus(«Пользователь может самотоятель создавать файлы с данными и редактировать их.\n\n»));

printf (Rus(«Нажмите любую кнопку для выхода в главное меню\n»));

getche();

system («cls»);

do

{printf (Rus(«\tМеню:»));

printf (Rus(«\n1: Ввод данных \n»));

printf (Rus(«2: Корректировка данных\n»));

printf (Rus(«3: Вывод данных\n»));

printf (Rus(«4: Аппрокимация и нахождение корней\n»));

printf (Rus(«5: Выход\n»));

do

{ch=getche();

cout<<endl;

}

while (! strchr («12345», ch));

ch-=48;

switch (ch)

{case 1: input (x, y, number); break;

case 2: correct (x, y, number); break;

case 3: output (x, y, number); break;

case 4: aprox (x, y, number); break;

case 5: exit(0); break;

}}

while (1);

return 0;}

4 Тестирование программного модуля

Таблица 4. Примеры тестирования программы

Номер теста	Описание	Реакция программы
Тест 1	Ввод несуществующего имени файла.	Сообщение об ошибке и возврат в меню программы
Тест 2	Степень полинома больше числа точек в таблице данных.	Сообщение об ошибке и повторный запрос ввода
Тест 3	Число точек в таблице меньше 1	Сообщение об ошибке и повторный запрос ввода
Тест 4	Ввод пункта меню буквами или другими знаками, кроме цифр.	Сообщение об ошибке и повторный запрос ввода

Для тестирования программы будем вводить различные таблицы данных, и сравнивать полученный результат со значениями, полученными в программе Microsoft Excel.

Тест 5



Риcунок 7. Пример выполнения программы

Решение, полученное в Microsoft Excel

Заключение

Курсовая работа на тему аппроксимации функции к полиному n-ой степени с последующим нахождение действительных и комплексных корней выполнена. В программе предусмотрена обработка большого количества ошибок ввода пользователя. Тестирование показало, что программа работает корректно.

Список использованных источников

1. Касаткин А.И., Вальвачев А.Н. Профессиональное программирование на языке Си: От Turbo C к Borland C++: Справ. Пособие; Под общ. ред. А.И. Касаткина. - Мн.: Вышэйшая школа, 1992. - 240 с. (5 экз.)

2. Романовская Л.М. и др. Программирование в среде Си для ПЭВМ ЕС/ Л.М. Романовская, Т.В. Русс, С.Г. Свитковский. - М.: Финансы и статистика, 1991. - 352 с. (31 экз.)

3. Громов Ю.Ю., Татаренко С.И. Введение в методы численного анализа: Курс лекций. - Тамбов. госуд. техн. ун-т., 2001.

4. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М., 1982.

Размещено на Allbest.ru

...