Проект фильтра нижних частот девятого порядка с использованием пяти звеньев структуры Рауха

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Обзор возможностей анализа и синтеза систем управления в системе Matlab

2. Методика расчета устройств фильтрации на операционных усилителях

3. Вывод передаточной функции фильтра по структуре Рауха

4. Разработка принципиальной схемы фильтра, расчет элементов

5. Моделирование фильтра на функциональном уровне в системе Mathcad в частотной и временной областях (расчет АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ, ПХ в нормированном и денормированном видах)

6. Моделирование фильтра на схематехническом уровне в системе Electronic Workbench в частотной и временной областях (измерение АЧХ, ФЧХ, ЧРЗ, ИХ, ПХ)

7. Измерение АЧХ фильтра в системе Electronic Workbench с помощью ЛЧМ сигнала

Заключение

Список литературы

Приложение

ВВЕДЕНИЕ

Понятие фильтра было введено в 1915 г. Независимо друг от друга Дж. Кэмпбелом и К. Вагнером в связи с их исследованиями в области линий передачи и колебательных систем. Первые простейшие фильтры, служащие для разделения телеграфных и телефонных сигналов, передавшихся по одному проводу, и состоявшие из одной катушки индуктивности и одного конденсатора, были применены военным связистом капитаном Игнатьевым ещё в XIX веке. Другим простейшим типом фильтров, появившимся практически с момента зарождения радиотехники, был колебательный контур, также состоящий из катушки индуктивности и конденсатора. С тех пор теория и технология фильтров непрерывно развивались и продолжают совершенствоваться по настоящий день. Сегодня фильтры настолько глубоко вошли в электронную технику, что трудно представить себе сколько-нибудь сложную систему, в которых в той или иной форме не использовались бы фильтры.

Этот процесс усложнения радиоэлектронных устройств привёл к тому, что в настоящее время существует множество самых различных принципов реализации частотно-избирательных устройств: LC-фильтры, активные RC-фильтры, пьезоэлектрические кварцевые), пьезокерамические, электромеханические, магнитострикционные, спиральные, полосковые, коаксиальные, волноводные, параметрические, цифровые и даже электротепловые - для очень низких частот.

Электрическим фильтром называют четырехполюсник, через который электрические колебания одних частот проходят с малым затуханием, а других с большим. Электрические фильтры по расположению полос пропускания и затухания подразделяют на фильтры нижних частот, фильтры верхних частот, полосовые и заграждающие, или режекторные, фильтры.

Данная курсовая работа будет направлена на проектирование устройства фильтрации, освоение методики расчета его элементов, построение характеристик. Анализ характеристик во временной и частотной областях позволит сделать некоторые выводы о правильности расчёта фильтра на определённых этапах.

В курсовой работе будут использованы два вспомогательных программных продукта - это MathCAD как программа построения различных характеристик и численного расчёта выражений, а также Electronic Workbench как оболочка построения принципиальной схемы фильтра и получения тех же характеристик.

1. Обзор возможностей анализа и синтеза систем управления в системе Matlab

1.1 Предисловие

Matlab (сокращение от англ. «Matrix Laboratory») -- термин, относящийся к пакету прикладных программ для решения задач технических вычислений, а также к используемому в этом пакете языку программирования. Matlab используют более 1 000 000 инженерных и научных работников, он работает на большинстве современных операционных систем, включая GNU/Linux, Mac OS, Solaris и Microsoft Windows

1.2 Исторические сведения

Matlab как язык программирования был разработан Кливом Моулером (англ. Cleve Moler) в конце 1970-х годов, когда он был деканом факультета компьютерных наук в Университете Нью-Мексико. Целью разработки служила задача дать студентам факультета возможность использования программных библиотек Linpack и EISPACK без необходимости изучения Фортрана. Вскоре новый язык распространился среди других университетов и был с большим интересом встречен учёными, работающими в области прикладной математики. До сих пор в Интернете можно найти версию 1982 года, написанную на Фортране, распространяемую с открытым исходным кодом. Инженер Джон Литтл (англ. John N. (Jack) Little) познакомился с этим языком во время визита Клива Моулера в Стэнфордский университет в 1983 году. Поняв, что новый язык обладает большим коммерческим потенциалом, он объединился с Кливом Моулером и Стивом Бангертом (англ. Steve Bangert). Совместными усилиями они переписали MATLAB на C и основали в 1984 компанию The MathWorks для дальнейшего развития. Эти переписанные на С библиотеки долгое время были известны под именем JACKPAC. Первоначально Matlab предназначался для проектирования систем управления (основная специальность Джона Литтла), но быстро завоевал популярность во многих других научных и инженерных областях. Он также широко использовался и в образовании, в частности, для преподавания линейной алгебры и численных методов.

1.3 Пакеты анализа и синтеза систем управления в системе Matlab

Control System Toolbox

Пакет Control System предназначен для моделирования, анализа и проектирования систем автоматического управления -- как непрерывных, так и дискретных. Функции пакета реализуют традиционные методы передаточных функций и современные методы пространства состояний. Частотные и временные отклики, диаграммы расположения нулей и полюсов могут быть быстро вычислены и отображены на экране. В пакете реализованы:

полный набор средств для анализа MIMO-систем (множество входов -- множество выходов) систем;

временные характеристики: передаточная и переходная функции, реакция на произвольное воздействие;

частотные характеристики: диаграммы Боде, Николса, Найквиста и др.;

разработка обратных связей;

проектирование LQR/LQE-регуляторов;

характеристики моделей: управляемость, наблюдаемость, понижение порядка моделей;

поддержка систем с запаздыванием.

Дополнительные функции построения моделей позволяют конструировать более сложные модели. Временной отклик может быть рассчитан для импульсного входа, единичного скачка или произвольного входного сигнала. Имеются также функции для анализа сингулярных чисел.

Интерактивная среда для сравнения временного и частотного отклика систем предоставляет пользователю графические управляющие элементы для одновременного отображения откликов и переключения между ними. Можно вычислять различные характеристики откликов, такие как время разгона и время регулирования.

Пакет Control System содержит средства для выбора параметров обратной связи. Среди традиционных методов: анализ особых точек, определение коэффициента усиления и затухания. Среди современных методов: линейно-квадратичное регулирование и др. Пакет Control System включает большое количество алгоритмов для проектирования и анализа систем управления. Кроме того, он обладает настраиваемым окружением и позволяет создавать свои собственные m-файлы.

Nonlinear Control Design Toolbox Matlab

Nonlinear Control Design (NCD) Blockset реализует метод динамической оптимизации для проектирования систем управления. Этот инструмент, разработанный для использования с Simulink, автоматически настраивает системные параметры, основываясь на определенных пользователем ограничениях на временные характеристики.

Пакет использует перенос объектов мышью для изменения временных ограничений прямо на графиках, что позволяет легко настраивать переменные и указывать неопределенные параметры, обеспечивает интерактивную оптимизацию, реализует моделирование методом Монте-Карло, поддерживает проектирование SISO - (один вход -- один выход) и MIMO-систем управления, позволяет моделировать подавление помех, слежение и другие типы откликов, поддерживает проблемы повторяющегося параметра и задачи управления системами с запаздыванием, позволяет осуществлять выбор между удовлетворенными и недостижимыми ограничениями.

Robust Control Toolbox Matlab

Пакет Robust Control включает средства для проектирования и анализа многопараметрических устойчивых систем управления. Это системы с ошибками моделирования, динамика которых известна не полностью или параметры которых могут изменяться в ходе моделирования. Мощные алгоритмы пакета позволяют выполнять сложные вычисления с учетом изменения множества параметров. Возможности пакета:

синтез LQG-регуляторов на основе минимизации равномерной и интегральной нормы;

многопараметрический частотный отклик;

построение модели пространства состояний;

преобразование моделей на основе сингулярных чисел;

понижение порядка модели;

спектральная факторизация.

Пакет Robust Control базируется на функциях пакета Control System, одновременно предоставляя усовершенствованный набор алгоритмов для проектирования систем управления. Пакет обеспечивает переход между современной теорией управления и практическими приложениями. Он имеет множество функций, реализующих современные методы проектирования и анализа многопараметрических робастных регуляторов.

Проявления неопределенностей, нарушающих устойчивость систем, многообразны -- шумы и возмущения в сигналах, неточность модели передаточной функции, немоделируемая нелинейная динамика. Пакет Robust Control позволяет оценить многопараметрическую границу устойчивости при различных неопределенностях. Среди используемых методов: алгоритм Перрона, анализ особенностей передаточных функций и др.

Пакет Robust Control обеспечивает различные методы проектирования обратных связей, среди которых: LQR, LQG, LQG/LTR и др. Необходимость понижения порядка модели возникает в нескольких случаях: понижение порядка объекта, понижение порядка регулятора, моделирование больших систем. Качественная процедура понижения порядка модели должна быть численно устойчива. Процедуры, включенные в пакет Robust Control, успешно справляются с этой задачей.

Model Predictive Control Toolbox Matlab

Пакет Model Predictive Control содержит полный набор средств для реализации стратегии предиктивного (упреждающего) управления. Эта стратегия была разработана для решения практических задач управления сложными многоканальными процессами при наличии ограничений на переменные состояния и управление. Методы предикативного управления используются в химической промышленности и для управления другими непрерывными процессами. Пакет обеспечивает:

моделирование, идентификацию и диагностику систем;

поддержку MISO (много входов -- один выход), MIMO, переходных характеристик, моделей пространства состояний;

системный анализ;

конвертирование моделей в различные формы представления (пространство состояний, передаточные функции);

предоставление учебников и демонстрационных примеров.

Предикативный подход к задачам управления использует явную линейную динамическую модель объекта для прогнозирования влияния будущих изменений управляющих переменных на поведение объекта. Проблема оптимизации формулируется в виде задачи квадратичного программирования с ограничениями, решаемой на каждом такте моделирования заново. Пакет позволяет создавать и тестировать регуляторы как для простых, так и для сложных объектов.

Пакет содержит более полусотни специализированных функций для проектирования, анализа и моделирования динамических систем с использованием предикативного управления. Он поддерживает следующие типы систем: импульсные, непрерывные и дискретные по времени, пространство состояний. Обрабатываются различные виды возмущений. Кроме того, в модель могут быть явно включены ограничения на входные и выходные переменные.

Средства моделирования позволяют осуществлять слежение и стабилизацию. Средства анализа включают вычисление полюсов замкнутого контура, частотного отклика, другие характеристики системы управления. Для идентификации модели в пакете имеются функции взаимодействия с пакетом System Identification. Пакет также включает две функции Simulink, позволяющие тестировать нелинейные модели.

Analysis and Synthesis Matlab

Пакет p-Analysis and Synthesis содержит функции для проектирования устойчивых систем управления. Пакет использует оптимизацию в равномерной норме и сингулярный параметр и. В этот пакет включен графический интерфейс для упрощения операций с блоками при проектировании оптимальных регуляторов. Свойства пакета:

проектирование регуляторов, оптимальных в равномерной и интегральной норме; оценка действительного и комплексного сингулярного параметра мю;

D-K-итерации для приближенного мю -синтеза;

графический интерфейс для анализа отклика замкнутого контура;

средства понижения порядка модели;

непосредственное связывание отдельных блоков больших систем.

Модель пространства состояний может быть создана и проанализирована на основе системных матриц. Пакет поддерживает работу с непрерывными и дискретными моделями. Пакет обладает полноценным графическим интерфейсом, включающим в себя: возможность устанавливать диапазон вводимых данных, специальное окно для редактирования свойств D-K итераций и графическое представление частотных характеристик. Имеет функции для матричного сложения, умножения, различных преобразований и других операций над матрицами. Обеспечивает возможность понижения порядка моделей.

Stateflow Matlab

Stateflow -- пакет моделирования событийно-управляемых систем, основанный на теории конечных автоматов. Этот пакет предназначен для использования вместе с пакетом моделирования динамических систем Simulink. В любую Simulink-модель можно вставить Stateflow-диаграмму (или SF-диаграмму), которая будет отражать поведение компонентов объекта (или системы) моделирования. SF-диаграмма является анимационной. По ее выделяющимся цветом блокам и связям можно проследить все стадии работы моделируемой системы или устройства и поставить ее работу в зависимость от тех или иных событий. Для создания SF-диаграмм пакет имеет удобный и простой редактор, а также средства пользовательского интерфейса.

Quantitative Feedback Theory Toolbox Matlab

Теория обратных связей -- инженерный метод, использующий частотное представление моделей для удовлетворения различных требований к качеству при наличии неопределенных характеристик объекта. В основе метода лежит наблюдение, что обратная связь необходима в тех случаях, когда некоторые характеристики объекта неопределенны и/или на его вход подаются неизвестные возмущения. Возможности пакета:

оценка частотных границ неопределенности, присущей обратной связи;

графический интерфейс пользователя, позволяющий оптимизировать процесс нахождения требуемых параметров обратной связи;

функции для определения влияния различных блоков, вводимых в модель (мультиплексоров, сумматоров, петель обратной связи) при наличии неопределенностей;

поддержка моделирования аналоговых и цифровых контуров обратной связи, каскадов и многоконтурных схем;

разрешение неопределенности в параметрах объекта с использованием параметрических и непараметрических моделей или комбинации этих типов моделей.

Теория обратных связей является естественным продолжением классического частотного подхода к проектированию. Ее основная цель -- проектирование простых регуляторов небольшого порядка с минимальной шириной полосы пропускания, удовлетворяющих качественным характеристикам при наличии неопределенностей.

Пакет позволяет вычислять различные параметры обратных связей, фильтров, проводить тестирование регуляторов как в непрерывном, так и в дискретном пространстве. Имеет удобный графический интерфейс, позволяющий создавать простые регуляторы, удовлетворяющие требованиям пользователя.

QFT позволяет проектировать регуляторы, удовлетворяющие различным требованиям, несмотря на изменения параметров модели. Измеряемые данные могут быть непосредственно использованы для проектирования регуляторов, без необходимости идентификации сложного отклика системы.

LMI Control Toolbox Matlab

Пакет LMI (Linear Matrix Inequality) Control обеспечивает интегрированную среду для постановки и решения задач линейного программирования. Предназначенный первоначально для проектирования систем управления пакет позволяет решать любые задачи линейного программирования практически в любой сфере деятельности, где такие задачи возникают. Основные возможности пакета:

решение задач линейного программирования: задачи совместности ограничений, минимизация линейных целей при наличии линейных ограничений, минимизация собственных значений;

исследование задач линейного программирования;

графический редактор задач линейного программирования;

задание ограничений в символьном виде;

многокритериальное проектирование регуляторов;

проверка устойчивости: квадратичная устойчивость линейных систем, устойчивость по Ляпунову, проверка критерия Попова для нелинейных систем.

Пакет LMI Control содержит современные симплексные алгоритмы для решения задач линейного программирования. Использует структурное представление линейных ограничений, что повышает эффективность и минимизирует требования к памяти. Пакет имеет специализированные средства для анализа и проектирования систем управления на основе линейного программирования.

С помощью решателей задач линейного программирования можно легко выполнять проверку устойчивости динамических систем и систем с нелинейными компонентами. Ранее этот вид анализа считался слишком сложным для реализации. Пакет позволяет даже такое комбинирование критериев, которое ранее считалось слишком сложным и разрешимым лишь с помощью эвристических подходов.

Пакет является мощным средством для решения выпуклых задач оптимизации, возникающих в таких областях, как управление, идентификация, фильтрация,' структурное проектирование, теория графов, интерполяция и линейная алгебра. Пакет LMI Control включает два вида графического интерфейса пользователя: редактор задачи линейного программирования (LMI Editor) и интерфейс Magshape. LMI Editor позволяет задавать ограничения в символьном виде, a Magshape обеспечивает пользователя удобными средствами работы с пакетом.

1.4 Заключение по обзору пакетов анализа и синтеза систем управления в системе Matlab

В данной обзоре были рассмотрены множество пакетов системы Matlab. Все они предназначены для решения различных либо похожих задач. Они обладают рядом достоинств и недостатков по сравнению друг с другом и выбор необходимой программы обусловлен типом поставленной задачи.

2. Методика расчета устройств фильтрации на операционных усилителях

Электрический фильтр - устройство, пропускающее электрические колебания одних частот и задерживающее колебания других (рис. 1).

Рис. 2.1 - Изображение электрического фильтра

Фильтр нижних частот представляет собой устройство, пропускающее сигналы низких частот и подавляющее сигналы высоких частот. В общем случае определим полосу пропускания как интервал частот 0<w<wc, полосу задерживания как частоты w>w1, переходную область как диапазон частот wc <w<w1 .На рисунке изображены идеальная и реальная амплитудно-частотные характеристики фильтра нижних частот.

Одной из задач синтеза является нахождение функции, с помощью которой можно построить активный фильтр. АЧХ фильтра, удовлетворяя техническим требования, должна наилучшим образом приближаться к идеальной АЧХ. Процесс нахождения такой функции называют аппроксимацией. В качестве аппроксимирующей функции используют большое число полиномов и дробей. К наиболее распространенным относят полиномы Бесселя, Баттерворта и Чебышева.

В теории фильтрации принято нормирования по частоте, проводящее расчет фильтров, работающих на различных частотах, к расчет некоторого нормированного фильтра с определенно частотой среза. В качестве такого нормированного фильтра (прототипа) принимается ФНЧ. Операторная передаточная функция фильтра-прототипа нижних частот запишется следующим образом:

(2.1)

где a, б, в - нормированные коэффициенты математической модели фильтра прототипа нижних частот;

С - нормирующий множитель;

k - определяется порядком фильтра.

Устройства фильтрации легко реализуются на основе RLC-цепей, но необходимые большие индуктивности сложны в изготовлении, поэтому используют активные элементы, например, операционные усилители. Одним из методов построения цепей фильтрации является каскадное соединение элементарных невзаимодействующих звеньев первого или второго порядка для реализации требуемой передаточной функции. Тогда передаточную функцию можно представить следующим образом:

(2.2)

где - передаточная функция элементарного звена;

k - порядок фильтра.

Таким образом, в данной курсовой работе необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вывести передаточную функцию фильтра по структуре Рауха.

2. Разработать принципиальную схему фильтра. Рассчитать элементы.

3. Для проверки правильности расчёта элементов фильтра необходимо составить суммарную передаточную функцию фильтра нижних частот (она будет включать в себя передаточные функции каждого фильтрующего звена, соответственно со своими значениями элементов) и построить амплитудно-частотную характеристику, фаза-частотную характеристику, характеристику рабочего затухания, характеристику группового время запаздывания, импульсную и переходную характеристику.

4. Смоделировать фильтр на функциональном уровне в MathCAD в частотной и временной областях (рассчитать амплитудно-частотную характеристику, фаза-частотную характеристику, характеристику рабочего затухания, характеристику группового время запаздывания, импульсную и переходную характеристику в нормированном и деномированных видах). В случае совпадения этих характеристик с графиками построенными с помощью суммарной передаточной функции фильтра нижних частот (п.3) можно сделать вывод о том, что элементы рассчитаны верно.

5. Смоделировать фильтр на схемотехническом уровне в системе Electronic Workbench в частотной и временной областях. Получить с помощью измерительных устройств амплитудно-частотную характеристику, фаза-частотную характеристику, характеристику рабочего затухания, импульсную и переходную характеристику фильтра и сравнить их с характеристиками, полученными в системе Mathcad.

6. Измерить амлитудно-частотную характеристику фильтра в Electronic Workbench с помощью ЛЧМ-сигнала.

3. Вывод передаточной функции фильтра по структуре Рауха

В варианте данной курсовой работы предложено спроектировать фильтр нижних частот девятого порядка, используя структуру Рауха.

С целью вывода передаточной функции фильтра нижних частот по структуре Рауха рассмотрим отдельно фильтр второго порядка и фильтр первого порядка, которую будут соединены каскадно:

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рис. 3.1 - Структурная схема фильтра 9-ого порядка

Построим принципиальную схему фильтра нижних частот второго порядка на операционном усилителе.

Рис. 3.2 - Функциональная схема структуры Рауха второго порядка

Найдем передаточную функцию данного звена:

(3.1)

Применим первый и второй законы Кирхгофа:

(3.2)

(3.3)

Выражая токи через проводимости получим:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

Ток i₄ протекает через проводимость Y₄ и втекает в ветвь с проводимостью Y₅ без потерь. Подставим (3.7), (3.8), (3.6) в (3.2), а затем получившееся выражение подставим в (3.5):

(3.10)

Подставим (3.4) в (3.10) и преобразуем, чтобы получить окончательное выражение для передаточной функции:

(3.11)

(3.12)

Общая же формула передаточной характеристики фильтра нижних частот имеет вид:

(3.13)

Из выражения видно, что числитель не зависит от частоты. Анализируя выражения передаточной характеристики фильтра, определим типы проводимостей для обеспечения требуемой степени p. Так, сделаем вывод о том, что проводимости Y₄, Y₃ и Y₁ должны заменить резисторы, а проводимости Y₂ и Y₅ - емкости:

(3.14)

Подставив (3.14) в (3.12) и преобразовав к виду (3.13), получим:

(3.15)

Таким образом, коэффициенты нормированного ФНЧ-прототипа для одного звена второго порядка можно представить следующим образом:

(3.16)

С учётом (3.14) построим принципиальную схему фильтра.

Рис. 3.3 - Функциональная схема структуры Рауха второго порядка

Данное функциональное звено представляет собой активный фильтр второго порядка, построенный на основе операционного усилителя.

Построим принципиальную схему фильтра нижних частот первого порядка на операционном усилителе по аналогичной схеме.

Рис. 3.4 - Функциональная схема структуры Рауха первого порядка

Применим первый и второй законы Кирхгофа:

(3.17)

(3.18)

(3.19)

(3.20)

Подставим (3.19) и (3.20) в (3.17), а затем получившееся выражение подставим в (3.18):

(3.21)

Преобразовав (3.21), получим передаточную характеристику:

(3.22)

Общая же формула передаточной характеристики фильтра нижних частот имеет вид:

(3.23)

Проанализируем эти два выражения. Видно, что проводимости Y₁, Y₂, Y₄ должны заменить резисторы, а проводимость Y₃ - емкость:

(3.24)

Подставим (3.24) в (3.22) и преобразуем к виду (3.23):

(3.25)

Сравним это выражение с передаточной характеристикой ФНЧ и составим систему уравнений (заранее примем для простоты расчетов ):

(3.26)

С учётом (3.24) построим принципиальную схему фильтра.

Рис. 3.5 - Функциональная схема структуры Рауха первого порядка

4. Разработка принципиальной схемы фильтра, расчет элементов

Для построения принципиальной схемы девятого порядка необходимо последовательно соединить четыре функциональных звена второго порядка и одно звено первого порядка структуры Рауха, изображения которых представлены на рисунках 3.3 и 3.5.

Операторную функцию представим произведением операторных функций каждого звена (с соответствие с (2.2)):

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

(4.1)

Операторная функция каждого звена запишется следующим образом:

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Нормирующий множитель С распределим между каскадами следующим образом:

(4.7)

(4.8)

Чтобы рассчитать элементы принципиальной схемы фильтра, нужно решить две системы (3.16) (для двух каскадов второго порядка) и (3.26). До этого необходимо произвести операцию денормирования.

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Денормированная передаточная функция ФНЧ будет иметь вид:

(4.14)

Таким образом, для расчета элементов принципиальной схемы фильтра необходимо определить коэффициенты передаточной функции реального фильтра и решить три системы.

Система (3.16) для одного каскада второго порядка представляет собой три уравнения с пятью неизвестными, то есть с двумя степенями свободы. Следовательно, два элемента зададим произвольно. Рациональнее задавать емкости конденсаторов и вычислять необходимые значения конденсаторов. Однако емкости конденсаторов должны быть в следующем соотношении:

(4.15)

Система (3.26) для каскада первого порядка представляет собой систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Следовательно, необходимо произвольно задать значение емкости. Расчеты будем производить в MathCAD.

Исходные данные:

Определим значения нормирующего коэффициента для каждого каскада согласно (4.7 - 4.8):

Решим систему (3.16) для первого каскада второго порядка. Для этого необходимо задать С₁,С₂ следующим образом:

Из рассчитанных значений сопротивлений необходимо выбрать большее значение R₂ и соответствующие ему сопротивления R₁, R₃.

Решим систему (3.16) для второго каскада второго порядка. Для этого необходимо задать С₁,С₂ следующим образом:

Решим систему (3.16) для третьего каскада второго порядка. Для этого необходимо задать С₁,С₂ следующим образом:

Решим систему (3.16) для четвертого каскада второго порядка. Для этого необходимо задать С₁,С₂ следующим образом:

Решим систему (3.26) для каскада первого порядка. Для этого зададим значение емкости:

Таким образом, определим вид принципиальной схемы (приложение А). Для удобства изменим нумерацию элементов согласно схеме. Согласно стандартному ряду Е96 (для резисторов) и Е12 (для емкостей) зададим элементы схемы:

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , ,

Определив элементы принципиальной схемы фильтра, рассчитаем характеристики данного фильтра непосредственно через значение элементов.

В выражение передаточной функции для каждого каскада фильтрации подставим коэффициенты с учётом выражений для сопротивлений и ёмкостей.

Построим АЧХ:

фильтр операционный усилитель частотный временной



Рисунок 4.1 - АЧХ ФНЧ

Построим фаза-частотную характеристику следующим образом:

Рисунок 5.2 - ФЧХ ФНЧ

Построим характеристику рабочего затухания. Ее принято представлять в Дб:

Рисунок 4.3 - ХРЗ ФНЧ

Фазо-частотные искажения чаще оцениваются с помощью характеристики группового времени запаздывания:

Рисунок 4.4 - ХГВЗ ФНЧ

Построим импульсную характеристику, которая определяет отклик фильтра на единичный импульс. Импульсная характеристика определяется обратным преобразованием Фурье от передаточной функции фильтра:

Рисунок 4.5 - ИХ ФНЧ

Переходная характеристика фильтра представляет собой реакцию на воздействие, имеющее вид «единичного скачка»:



Рисунок 4.6 - ПХ ФНЧ

5. Моделирование фильтра на функциональном уровне в системе Mathcad в частотной и временной областях (РАСЧЕТ АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ, ПХ в нормированном и денормированном видах)

Для моделирования на функциональном уровне будем использовать Math CAD

Операторную передаточную функцию можно записать в следующем виде:

(5.1)

где K(w) - амплитудно-частотная характеристика;

ц(w) - фазо-частотная характеристика.

Амплитудно-частотная характеристика определяется следующим образом:

(5.2)

Фазо-частотная характеристика определяется следующим образом:

(5.3)

Построим АЧХ и ФЧХ в Math CAD:

Рис. 5.1 - АЧХ ФНЧ в нормированном виде

Построим ФЧХ фильтра. Из-за особенностей работы в MathCAD необходимо использовать следующую формулу, а не приведенную выше (5.3):

Построим характеристику рабочего затухания

Рисунок 5.3 - ХРЗ ФНЧ в нормированном виде

Построим характеристику группового времени запаздывания:

Рисунок 5.4 - ХГВЗ ФНЧ в нормированном виде

Построим импульсную и переходную характеристики:

Рисунок 5.5 - ИХ ФНЧ в нормированном виде

Рисунок 5.6 - ПХ ФНЧ в нормированном виде

Чтобы построить данные характеристики фильтра в денормированном виде, воспользуемся формулами (4.9) - (4.13), (5.2)-(5.8):



Рисунок 5.7 - АЧХ ФНЧ в денормированном виде

Рисунок 5.8 - ФЧХ ФНЧ в денормированном виде

Рисунок 5.9 - ХРЗ ФНЧ в денормированном виде

Рисунок 5.10 - ХГВЗ ФНЧ в денормированном виде

Рисунок 5.11 - ИХ ФНЧ в денормированном виде



Рисунок 5.12 - ПХ ФНЧ в денормированном виде

Анализ результатов вычислений показывает, что операция денормирования произведена верно, так как характеристики фильтра в денормированном виде отличны от характеристик в нормированном виде представляемой областью частот.

Сравним характеристики, полученные через значения элементов цепи и денормированные характеристики. Так как характеристики совпадают, то можно сделать вывод, что элементы цепи рассчитаны верно.

6. Моделирование фильтра на схематехническом уровне в системе Electronic Workbench в частотной и временной областях (измерение АЧХ, ФЧХ, ЧРЗ, ИХ, ПХ)

Программа «Electronic Workbench» предназначена для синтеза и анализа дискретных и аналоговых схем на основе стандартных компонентов, входящих в базовый набор программы, используются также при применении созданных пользователем блоков. Для работы с данной программой не требуется практически никакой подготовки, так как программа имеет интуитивный интерфейс, понятный даже новичку. Однако для работы с дискретной частью программы требуются хотя бы начальные знания о цифровых логических системах, логических элементах и др.

Соберем в Electronics Workbench принципиальную схему, определенную приложением А. Зададим в схеме рассчитанные в разделе 4 номиналы элементов. К схеме подключим функциональный генератор, осциллограф и измеритель частотных характеристик. Принципиальная схема, позволяющая осуществить измерение перечисленных характеристик, изображена на рисунке Б.1. В функциональном генераторе зададим периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов частотой следования 4 кГц и амплитудой 100 мВ.

С помощью измерителя частотных характеристик измерим АЧХ, ФЧХ и ХРЗ (рисунки 6.2, 6.3).

Рисунок 6.1 - АЧХ И ФЧХ ФНЧ

Рисунок 6.2 - ХРЗ ФНЧ

Для измерения импульсной характеристики ввиду невозможности физического моделирования идеального импульсного воздействия зададим скважность входной последовательности видеоимпульсов, равную 1%.



Рисунок 6.3 - Импульсная характеристика ФНЧ

Для измерения переходной характеристики зададим скважность входной последовательности видеоимпульсов, равную 90%.

Рисунок 6.5 - Переходная характеристика ФНЧ

Измеренные характеристики схожи с характеристиками, построенными в разделе 5 (рисунки 5.7-5.9, 5.11-5.12). Следовательно, можно сделать вывод о корректном проектировании устройства фильтрации на функциональном и схемотехническом уровнях.

7. Измерение АЧХ фильтра в системе Electronic Workbench с помощью ЛЧМ сигнала

У сигналов с линейной частотной модуляцией частота колебания изменяется не по гармоническому, а по линейному закону. При прохождении через линейное звено помимо модуляции частоты по линейному закону они дополнительно приобретают амплитудную модуляцию. Поэтому огибающая ЛЧМ сигнала изменяется по закону амплитудно-частотной характеристики линейного звена.

Соберем схему генератора ЛЧМ сигнала, состоящую из генератора сигнала синусоидальной формы, управляемого напряжением, генератора линейно изменяющегося напряжения, выход которого подключен к управляющему входу генератора сигнала синусоидальной формы. В качестве генератора линейно изменяющегося напряжения используем генератор напряжения пилообразной формы, управляемый напряжением, к управляющему входу которого подключен источник постоянного напряжения.

Сформированный ЛЧМ сигнал подадим на вход фильтра, сигнал от генератора пилообразного напряжения - на вход синхронизации осциллографа. Принципиальная схема для измерения АЧХ ФНЧ с помощью ЛЧМ-сигнала приведена на рисунке В.1.

Рассмотрим ЛЧМ-сигнал на входе и выходе ФНЧ

Рисунок 7.1 - ЛЧМ-сигнал на входе и выходе ФНЧ

Из рисунка 7.1 видно, что огибающая выходного сигнала соответствует форме амплитудно-частотной характеристики проектируемого ФНЧ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе спроектирован фильтр нижних частот девятого порядка. В качестве схемной реализации использовано пять звеньев структуры Рауха. Данный фильтр обладает хорошей стабильностью характеристик и низким выходным полным сопротивлением. Таким образом, его можно сразу соединять каскадно с другими звеньями для реализации фильтра более высокого порядка.

В курсовой работе было рассмотрено моделирование фильтра на функциональном уровне и были определены его характеристики во временной и частотной областях, которые соответствуют теоретическим сведеньям о фильтрах. Для того, чтобы собрать реальную схему спроектированного фильтра с полученными частотными и временными характеристиками, необходимо рассчитанные значения номиналов элементов схемы заменить номиналами, выпускаемыми промышленностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беленкевич Н.И., Романов В.Е. Прикладное программирование - Мн.: БГУИР, 2008.

2. Беленкевич Н.И., Романов В.Е. Проектирование устройств фильтрации - Мн.: БГУИР, 2008.

3. Интернет ресурсы.

4. В.П. Дьяков: Matlab 6.5 SP1/7 в математике и моделировании

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Принципиальная схема фильтра

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Принципиальная схема фильтра для измерения АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ИХ, ПХ в Electronic Workbench

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Принципиальная схема фильтра для измерения АЧХ в Electronic Workbench с помощью ЛЧМ-сигнала

Размещено на Allbest.ru

...