Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЕ НА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
• 1.1 Общая характеристика математических моделей
• 1.2 Модели, основанные на обыкновенных дифференциальных уравнениях
• 1.3 Математические модели биологии и экологии
• 1.4 Математическая модель биологического сообщества двух видов (хищник и жертва)
• 1.5 Программа Maple
• ГЛАВА 2. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКОГО СООБЩЕСТВА ТРЕХ ВИДОВ (ХИЩНИК И ДВЕ ЖЕРТВЫ)
• 2.1 Математическая модель биологического сообщества трех видов
• 2.2 Программная реализация математической модели и ее исследование
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• ЛИТЕРАТУРА
• ПРИЛОЖЕНИЕ



ВВЕДЕНИЕ

В науке распространен такой метод познания как моделирование. А если учитывать современные потребности, то наиболее широкое применение имеет математическое моделирование. Сущность этого метода состоит в том, чтобы заменить исходный объект его моделью. Модель в переводе с латинского modulus - мера, образец, норма [6]. Модель помогает при дальнейшем изучении объекта в вычислительно-логических алгоритмах, которые разрабатываются на компьютерах. Моделирование сочетает многие достоинства. Например, работа с моделью позволяет быстро, безболезненно и дешевле исследовать поведение и свойства объекта. А опираясь на современные технические инструменты информатики, изучается объект в той полноте, которая недоступна только теоретическим подходам.

С появлением точных наук началось использование элементов математического моделирования. Свой вклад в методы вычислений внесли такие ученые, как Ньютон и Эйлер. Использование математических моделей в биологии и экологии началось с работы Леонардо «Фибоначчи» «Трактат о счете», опубликованной в 1202 году. Первая непрерывная математическая популяционная модель описана в книге Т. Мальтуса «Очерк о законе народонаселения», опубликованной в 1798 году [11]. Основной моделью взаимодействия популяций является модель Лотки - Вольтерры.

Цель курсовой работы:

1. Углубить знания в области компьютерных моделей биологии и экологии.

2. Реализовать математическую модель биологического сообщества трех видов (хищник и две жертвы) в системе Maple.

Для достижения поставленных целей в работе были поставлены и решены следующие задачи:

1. Обзор литературы по теме исследования.

2. Разработка документа Maple, реализующей модель биологического сообщества трех видов (хищник и две жертвы).

Работа состоит из двух глав. В первой главе рассмотрены теоретические основы исследования моделей, основанных на обыкновенных дифференциальных уравнениях, Во второй главе представлена модель биологического сообщества трех видов и содержится ее программная реализация. биологический программа мaple уравнение



ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЕ НА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

1.1 Общая характеристика математических моделей

Словарь иностранных слов сообщает, что слово модель произошло от латинского слова modulus (мера, образец, норма) [6]. В логике и методологии науки слово модель обозначает аналог определённого фрагмента природной или социальной реальности. Этот аналог служит для хранения и расширения знания об оригинале, конструирования, преобразования и управления им. Он может представлять собой некоторую схему, структуру, знаковую систему или другой фрагмент реальности. Модель представляет собой заместитель оригинала. Вместо непосредственного исследования оригинала может исследоваться его модель, а затем свойства модели переносятся на оригинал, то есть считается, что оригинал обладает свойствами модели. Для того чтобы такой перенос был правомерен, необходимо, чтобы модель достаточно полно и точно отражала (копировала, воспроизводила) именно те свойства оригинала, которые подлежат исследованию. При этом вовсе не обязательно, чтобы модель отражала все свойства оригинала. Во многих случаях непосредственное исследование оригинала и исследование его моделей взаимно дополняют друг друга. Модели обычно строятся на базе теоретического исследования оригинала и обобщения данных натурных экспериментов [4].

Моделирование - это метод исследования объектов познания (явлений, процессов и т. п.) на их моделях. Под моделированием понимают как процесс создания, так и процесс использования модели. Формы моделирования разнообразны и зависят от используемых моделей и сферы их применения [9].

Моделирование как метод исследования все шире используется в различных областях знаний: от биологии до астрономии, от экономики до медицины и демографии. Причем методы моделирования во многом сходны, хотя специфику объекта моделирования необходимо учитывать. Специфичность биологических систем требует применения адекватного математического аппарата. Однако это вовсе не значит, что необходимо ждать появления новой биологической математики. В биологических исследованиях накоплен обширный опыт использования существующих математических методов и моделей.

Сложность математических моделей с неизбежностью ведет к широкому использованию компьютерной техники как для обработки данных и уточнения параметров моделей, так и для постановки машинного эксперимента, во многих случаях призванного заменить дорогостоящий натурный эксперимент. Поэтому дальнейшее развитие математического моделирования видится на пути создания новых информационных технологий как инструмента построения содержательных моделей, накопления и хранения информации, полученной в результате исследования этих моделей.

Моделирование является общепризнанным средством познания действительности. Этот процесс состоит из двух больших этапов: разработки модели и анализа разработанной модели. Моделирование позволяет исследовать суть сложных процессов и явлений с помощью экспериментов не с реальной системой, а с ее моделью. В области создания новых систем моделирование является средством исследования важных характеристик будущей системы на самых ранних стадиях ее разработки. Рождение и становление методологии математического моделирования пришлось на конец 40-х-начало 50-х годов XX века, оно возникло с появлением первых компьютеров [4].

Широкое применение математических методов позволяет поднять общий уровень теоретических исследований, дает возможность проводить их в более тесной связи с экспериментальными исследованиями. Математическое моделирование может рассматриваться как новый метод познания, конструирования, проектирования, который сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента.

Идея моделирования заключается в замещении изучаемого объекта его аналогом. Информационные модели представляют характеристики объекта в виде данных в некой системе. Математические формализуют закономерности динамики объекта в виде численных соотношений. При этом реализуется фундаментальное понятие наблюдаемости, которое можно трактовать, как возможность для внешнего наблюдателя получать информацию о прошлом состоянии объекта, на ее основе предвидеть его поведение в будущем и управлять им. Эту модель в самом общем виде можно представить как набор правил для вычисления предсказываемых значений неких характеристик моделируемого объекта.

Систематизация математических моделей.

В книге [2] приводиться следующая систематизация моделей: по степени общности, по закону функционирования, по основанию для переноса результатов моделирования.

По степени общности модели отличаются широтой охвата явлений и объектов реального мира. В соответствии с этой классификацией модели можно выстроить в виде пирамиды. На ее вершине находится научная картина мира, ярусом ниже - космологическая, физическая, биологическая картины мира. Еще ниже - теории высшего уровня общности, к которым отнесены теория относительности, квантовая теория, теория твердого тела, теория непрерывных сред. Ярусом ниже - теории среднего уровня общности, к которым автор относит термодинамику, теорию упругости, теорию колебаний, теорию устойчивости и т.п.

Последние нижние ярусы пирамиды занимают частные теории и научные законы. В самом низу, в основании пирамиды, располагаются частные модели объектов и явлений - технических процессов, непрерывные и дискретные модели процессов эволюции и т.д. Чем выше место модели в этой пирамиде, тем больше объектов она охватывает. Но каждый уровень имеет значимость при решении определенного круга задач. Так владение квантовой теорией не гарантирует изготовления хорошего лазера, для этого требуются еще и частные модели [2].

По закону функционирования модели делятся на логические (идеальные) и материальные. Первые функционируют по законам логики в сознании человека, а вторые - по законам природы. В свою очередь, логические модели делятся на образные, знаковые и образно-знаковые. Образные (иконические) выражают свойства оригинала с помощью наглядных элементов, имеющих прообразы в материальном мире. Знаковые (символические) модели выражают свойства оригинала с помощью условных знаков и символов. К ним относятся математические выражения и уравнения, физические и химические формулы. К образно-знаковым моделям относятся схемы, графики, чертежи, графы и т.п.

В свою очередь, материальные модели могут быть физическими, если они материально однородны с оригиналом, или формальными. В свою очередь материальные модели делят на функциональные - отражающие функции оригинала (бумажная «галка» как модель самолета);

геометрические - отражают геометрические свойства объекта (вспомним настольную модель самолета); функционально-геометрические - как, например, летающая модель, отражающая и форму самолета.

По классификационному признаку основания для переноса свойств модели на оригинал модели делятся на следующие группы:

1) условные - выражают свойства оригинала на основании соглашения, договоренности о смысле, который приписывается элементам модели. Так, все знаковые модели, в том числе математические, являются условными [2];

2) аналогичные - обладают сходством с оригиналом, достаточным для перехода к оригиналу на основании умозаключения «по аналогии». Это умозаключение имеет гипотетический характер. Оно может привести как к истинному, так и к ложному результату. Позитивным примером является успешное замещение организма человека организмом животного при изучении влияния лекарственных препаратов [2];

3) подобные - позволяют обеспечить строгий пересчет данных модели в данные оригинала. Речь идет о полной математической аналогии при наличии пропорциональности между сходственными переменными, которая сохраняется при всех значениях переменных. Два объекта подобны, если выполняются два условия:

а) они имеют сходственное математическое описание.

б) сходственные переменные, содержащиеся в математических выражениях, связаны постоянным коэффициентом пропорциональности (постоянной подобия) [2].

1.2 Модели, основанные на обыкновенных дифференциальных уравнениях

Динамический подход опирается на концепцию детерминизма. Детерминизм - учение о закономерности и причинной обусловленности всех явлений природы и общества. При таком подходе считается, что при каждом наступлении события S (причины) обязательно наступает событие A (строго определенное следствие). Наиболее ярким «проповедником» детерминизма считается известный французский астроном, математик и физик Пьер Симон де Лаплас (17491827). В своих научных воззрениях он проявил твердость, удивительную при известной его непоследовательности в житейских привязанностях. Это Лаплас заявил Наполеону, что в своей теории о происхождении Солнечной системы он не нуждается в «гипотезе о существовании Бога». Он видел в небесной механике образец окончательной формы научного познания и пытался объяснить весь мир, в том числе физиологические, психические и социальные явления, с точки зрения механистического детерминизма [13].

Математическую реализацию детерминистического подхода обеспечил аппарат бесконечно малых, появившийся в XVII веке благодаря усилиям Ньютона и Лейбница. В арсенал исследователей вошел мощный инструмент описания поведения систем во времени - обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Теорема о существовании и единственности их решения при заданных начальных условиях обеспечило дифференциальным уравнениям статус эталона для математического описания явлений с позиций детерминизма («данному настоящему соответствует одно будущее!»). В настоящее время кроме ОДУ для построения детерминистических моделей широко используют и другие виды математического аппарата, например, разностные уравнения, дискретные отображения, интегро-дифференциальные уравнения. Все эти модели независимо от конкретного содержания, даже далекого от механики (динамики), часто называют динамическими.

1.3 Математические модели биологии и экологии

Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ [7]. Вот некоторые цели создания математических моделей в экологии:

1. Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.

2. Модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными.

3. Модель может служить образцом «идеального объекта» или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.

4. Модели действительно могут пролить свет на реальный мир, несовершенными имитациями которого они являются.

При построении моделей в математической экологии используется опыт математического моделирования механических и физических систем, однако с учетом специфических особенностей биологических систем:

· сложности внутреннего строения каждой особи;

· зависимости условий жизнедеятельности организмов от многих факторов внешней среды;

· незамкнутости экологических систем;

· огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем.

Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой - возникли принципиально новые направления, и прежде всего имитационное моделирование.

Развитие математико-экологических моделей можно проследить по эволюции тех научных и прикладных вопросов, для ответа на которые эти модели создавались. Вопросы эти усложнялись по мере развития экологии и совершенствования методики моделирования. Если вначале сами вопросы и результаты математического моделирования представляли отвлеченный теоретический интерес, то в дальнейшем они стали носить конкретный практический характер. Значительная часть работ по моделированию природных экосистем имеет прикладной характер. Эти работы ставят перед собой практические задачи построение прогнозов поведения во времени реальных биологических систем. Так, например, предприятие, занимающееся разведением рыб в искусственных водоемах, заинтересовано в оптимальном регулировании отлова рыб, количества корма, параметров содержания водоемов и многих других, значимых для жизни и воспроизводства рыб факторов. Оно заинтересовано в привлечении экологов и их математических моделей для правильного ведения дел и получения наибольшей прибыли. Другой пример - прогнозирование развития эпидемических заболеваний. Системе здравоохранения нужно заранее планировать скорость распространения болезни, готовить запасы лекарственных препаратов, средств профилактики и защиты, медицинский персонал и проводить другие мероприятия.

Классификация математических моделей биологических продукционных процессов была предложена в книге [7]. Различают три класса: 1) описательные модели; 2) качественные модели (выясняющие динамический механизм изучаемого процесса, способные воспроизвести наблюдаемые динамические эффекты в поведении системы); 3) имитационные модели конкретных сложных систем, учитывающие всю имеющуюся информацию об объекте (и позволяющие прогнозировать поведение систем или решать оптимизационные задачи их эксплуатации). Особое значение придается именно последнему классу моделей, поскольку он оказывается полезным для практических целей [7].

Кратко можно выделить следующие основные этапы построения имитационной модели:

1) формулирование основных интересующих исследователя вопросов о поведении сложной системы, задание вектора состояния системы и системного времени;

2) декомпозиция системы на отдельные блоки, связанные, но относительно независимые; определение компонент вектора состояния каждого блока, которые должны преобразовываться в процессе функционирования;

3) формулирование законов и гипотез, определяющих поведение отдельных блоков и их взаимосвязь; разработка программ, соответствующих отдельным блокам;

4) верификация каждого блока при «замороженных» или линеаризованных информационных связях с другими блоками;

5) объединение разработанных блоков, при этом исследуются различные схемы их взаимодействия;

6) верификация имитационной модели в целом и проверка ее адекватности;

7) планирование и проведение экспериментов с моделью, статистическая обработка результатов и пополнение информационного фонда для дальнейшей работы с моделью.

Однако практика показала, что попытки детального описания многокомпонентных систем приводит к проблеме «проклятия размерности», когда практически невозможно корректное построение и идентификация математической модели из-за использования чрезмерно большого количества неточно определенных параметров по сравнению с имеющейся экспериментальной информацией [1]. В такой ситуации необходимо упрощение модели, например, за счет отбрасывания блоков или функциональных связей с второстепенным значением, выделения наиболее важных составляющих, определения быстрых и медленных переменных и замены части из них постоянными величинами или параметрическими зависимостями.



1.4 Математическая модель биологического сообщества двух видов (хищник и жертва)

Биологические сообщества в природе представляют собой множество взаимодействующих друг с другом популяций различных видов.

Модель Томаса Мальтуса описывает размножение популяции со скоростью, пропорциональной его численности:

где k разность между коэффициентами рождаемости и смертности.

Интегрируя, получаем:

Данное уравнение называется уравнение экспоненциального роста. Полагая k>0, мы получим естественный прирост:

Рис. 1



Полагая k<0 убыль населения:

Рис. 2

Но что будет, если для этой модели ввести зависимость от каких-либо параметров? Например, если рассматривать мир животных, известно, что одни животные питаются травой и всем, что растёт на земле, т.е. являются травоядными. Но ведь есть и такие животные, которые питаются другими животными. Тогда как будут меняться популяции тех и других? В этом случае модель стоит рассматривать как модель типа "хищник-жертва".

Впервые математическая модель "хищник-жертва" была получена А. Лоткой (1925 г.), который использовал её для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии [11].

Обозначим за x среднюю численность травоядных животных (жертвы), а за y - среднюю численность плотоядных их собратьев (хищники). Рост популяции жертв (например, кроликов) будет соответствовать модели Мальтуса, т.е. рост будет экспоненциальным в отсутствии хищников (например, лис). Обозначим скорость роста численности травоядных в отсутствии хищников за a. Тогда мы получим следующее уравнение Если же не будет кроликов, то популяция лис будет стремиться к нулю, поскольку им будет нечем питаться. Обозначим за b - скорость сокращения численности плотоядных животных в отсутствие травоядных. Получим следующее уравнение

Из уравнений видно, что любое изменение в численности травоядных влияет на численность плотоядных и наоборот, поэтому две популяции нужно рассматривать вместе. Если популяция травоядных увеличивается, вероятность встреч хищник-жертва возрастает, и, соответственно, растет популяция хищников. Но рост популяции хищников приводит к сокращению популяции травоядных, что ведет к снижению численности потомства хищников, а это повышает число травоядных. Обозначим p как скорость, с которой встречи хищников с жертвами удаляют травоядных из популяции, и q как скорость, с которой эти встречи позволяют хищникам прибавлять численность своей популяции. Знак минус будет показывать, что встречи сокращают популяцию, а знак плюс будет говорить о том, что встречи увеличивают популяцию. В соответствии с этими выводами и обозначениями, можем записать систему дифференциальных уравнений, выражающую популяции обоих видов:

Данная система называется системой Вольтерры-Лотки. Существует еще одна модель хищник - жертва. Называется модель Ферхюльста. Разница между этими моделями в том что в модели Ферхюльста учитывается внутривидовая конкуренция, которая опущена в модели Вольтерры - Лотки.

1.5 Программа Maple

Maple - система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. Является продуктом компании Waterloo Maple Inc. Последняя версия данного продукта была выпущена 25 мая 2017 года. Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами.

Операторы во входном языке служат для конструирования выражений. Формально операторы представлены своими идентификаторами в виде специальных математических знаков, слов и иных имен. Операторы, как это вытекает из их названия, обеспечивают определенные операции над данными, представленными операндами.

Имеется пять основных типов операторов:

· binary -- бинарные операторы (двумя операндами);

· unary -- унарные операторы (с одним операндом);

· nullary -- нульарные операторы (без операнда -- это одна, две и три пары кавычек);

· precedence -- операторы старшинства (включая логические операторы);

· functional -- функциональные операторы.

Для просмотра операторов и их свойств можно использовать следующие команды:

> ?operators[binary];

> ?operators[unary];

> ?operators[nullary];

> ?operators[precedence];

> ?operators[functional]:

А для изучения примеров применения операторов нужно задать и исполнить команду:

> ?operators[examples];

Команда:

> Tdefine:

позволяет ознакомиться с функций define. С ее помощью можно определять новые операторы [5].

1) Бинарные операторы. Они используются с двумя операндами, обычно размещаемые по обе стороны от оператора. Основные из них: + сложение; вычитание; * умножение; / деление; ** или ^ возведение в степень. mod остаток от деления; $ оператор последовательности разделительная точка; @ оператор композиции; @@ повторение композиции. Разделитель выражений, := присваивание, «..» задание интервала, / Разделитель выражений, &* Некоммутативное умножение, &<string> Нейтральный оператор, || Конкатенация (объединение).

2) Унарные операторы используются с одним операндом. Они могут быть префиксными, если оператор стоит перед операндом, и постфиксными, если он стоит после операнда.

3) Логические (или булевы) операторы указывают на логическую связь величин (или выражений). Меньше, меньше или равно, больше, большее или равно, равно, О не равно, and-логическое «и», or-логическое «или». Конструкции с этими операторами, такие как х=у, возвращают логическое значение -- константу true, если условие выполняется, и false, если оно не выполняется.

4) Для создания нейтральных (задаваемых пользователем и в момент задания неисполняемых) операторов, определяемых пользователем, служит знак амперсанда -- &. Имя оператора строится по правилам задания допустимых идентификаторов. В имени не должно быть букв, цифр, подчеркивания, &, |, (), {}, [], ::, '', #, <перевод строки>, <пробел>. Максимальная длина - 495 символов. Они могут быть унарные и бинарные.

5) Функциональные операторы. В Maple они являются альтернативами функций и записываются в двух формах, это стрелка и угловые скобки. Эти операторы могут использоваться для реализации подстановок. Так же они используются для задания функций пользователя.

Функции в Maple. Различные функции в Maple работают с разными формами выражений и разными типами данных. Поэтому большое значение имеет целенаправленное преобразование выражений и данных. Основными функциями являются: Для вычисления обычных и частных производных в Maple используется команда (функция) diff, первый аргумент которой есть дифференцируемая функция, а второй переменная, по которой надо брать производную. Maple содержит специализированные пакеты DEtools и PDEtools для решения и графического представления решений дифференциальных уравнений (обыкновенных и частных производных соответственно). Однако многие дифференциальные уравнения можно решать, и не подгружая этот пакет, используя функции dsolve и pdesolve, входящие в ядро Maple, с помощью которых можно искать обыкновенные и частные решения дифференциальных уравнений. Команда display( ), находящаяся в пакете plots, отображает как PLOT-структуры, так и "отложенный" и сохраненный в переменных Maple вывод графических команд. Команда odeplot() используется для отображения численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. Ее первым параметром является построенная командой dsolve() с опцией type=numeric процедура численнго решения задачи Коши, а вторым списковым параметром задаются отображаемые по горизонтальной и вертикальной осям величины.

Maple как система компьютерной математики развивается по ряду характерных направлений. Одно из них -- повышение мощности и достоверности аналитических (символьных) вычислений. Это направление представлено в Maple наиболее сильно. Maple -- быстро развивающаяся система, и работа с ней не только полезна, но и приятна для всех категорий пользователей и учащихся.



ГЛАВА 2. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКОГО СООБЩЕСТВА ТРЕХ ВИДОВ (ХИЩНИК И ДВЕ ЖЕРТВЫ)

2.1 Математическая модель биологического сообщества трех видов

Практическая часть моей курсовой работы состоит в рассмотрении случая "хищник - две жертвы", решении уравнения, построении графика, отображающих поведение популяций хищников и жертв.

Обозначим за x₁ и x₂ - среднюю численность травоядных, а y - средняя численность хищников. За скорость роста численности травоядных обозначим за а₁ и а₂. Скорость сокращения численности плотоядных - с. b1 и b2 - скорость, с которой встречи хищников с жертвами удаляют травоядных из популяции, d1 и d2 скорость, с которой эти встречи позволяют хищникам прибавлять численность своей популяции. Знаки в уравнениях показывают увеличение (плюс) или уменьшение (минус) численности популяции за счет встреч друг с другом. Не будем затрагивать внутривидовую конкуренцию, поэтому пользуясь моделью Вольтерра - Лотки, зададим систему дифференциальных уравнений, соответствующую поставленной задаче:

Задав начальные условия x₁(0) = x₁⁰, x₂(0) = х₂⁰, y(0) = y⁰. Таким образом, мы получаем задачу Коши, решив которую можно определить средние численности популяций x₁, x₂ и y в последующие моменты времени. Решение подобных задач численными методами не составляет большого труда. Но для того, чтобы исследовать зависимость решения от начальных данных x₁⁰, x₂⁰ и y⁰, необходимо найти аналитическое решение и исследовать его. Для нахождения аналитического решения представим все константы равными: а₁ = 1; а₂ = 1; b₁ = 1; b₂ = 1; d₁ = 1; d₂ = 1; c = 1. А начальные условия равными: x₁⁰ = 1, x₂⁰ = 1.5, y⁰ = 0.5. Решим задачу Коши с данными условиями.

2.2 Программная реализация математической модели и ее исследование

Для решения задачи Коши составленной в предыдущем пункте был создан документ Maple, приведенный в Приложении. Для удобства были расставлены номера строк. В самом документе этих номеров нет.

В начале документа подключаем необходимый модуль DEtools для решения дифференциальных уравнений (строка 2 приложения). А также дополнительный модуль для построения графиков plots (строка 3 приложения).

Далее составим систему уравнений, для этого воспользуемся функцией diff (строка 4 приложения).

Для решения введем константы и начальные условия (строка 6 и 7 приложения), указанные в математической модели. Там же, используя команду dsolve, создаем переменную resh которой присваиваем решение дифференциальной системы. В следующей строке документа (строка 8 приложения) мы вводим данные о времени: t = 1; 10; 15; 20; 30 и получаем решение дифференциальной системы, для каждого промежутка времени (строки 9-13 приложения). Этим решением является таблица с точками х₁, х₂ и у в каждый заданный ранее момент времени.

Для наглядности решения этой задачи построим график в Maple. Для этого задаем в программе три кривые h, j, k, которые соответствуют популяциям x₁, x₂ и y (строки 14-16 приложения). Эти кривые строятся по данным из таблицы (строки 9-13 приложения). С помощью команды display выводим на экран график, отображающий поведение популяций хищников и жертв (рис.3).

Рис. 3. График поведения популяций

Поведение популяций, исходя из графика, имеет периодический характер. Следовательно, зависимость популяций хищника от популяций жертв прямо пропорциональна, т.е. чем больше жертв, тем больше хищников, затем от времени жертв становиться меньше и хищникам нечем питаться, поэтому вскоре хищников становиться меньше.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении можно сделать вывод о том, что метод математического моделирования в науке повышает свою актуальность. Он становиться более распространенным и эффективным.

К основному результату работы относятся:

1.Обзор литературы по теме исследования, содержащийся в главе 1.

2.Реализация модели биологического сообщества трех видов (хищник и две жертвы) в системе Maple, которая приведена в главе 2. А документ Maple этой модели приведен в Приложении.



ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев Ю.Е., Карпухина Е.А., Прилепский Н.Г. Растительный покров окрестностей Пущина. Пущино: ОНТИ ПНЦ, 1992. 177 с.

2. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 320 с.

3. Бордовский Г.А. Физические основы математического моделирования: Учебное пособие для вузов. - М.: Издательский центр «Академия», 2005.

4. Введение в математическое моделирование: Учебное пособие / Под ред. П. В. Трусова. - М.: Университетская книга, Логос, 2007.

5. Кирсанов М.Н. "Практика программирования в системе Maple" М.: Издательский дом МЭИ, 2011, 208с.

6. Комлев Н. Г. Словарь иностранных слов: [Более 4500 слов и выражений]. - М. : ЭКСМО, 2006. - 669 с.

7. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов: Учебное пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1993.

8. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирова ние: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

9. Трубников С.В Численные методы. Часть 3: Решение дифференциальных уравнений: Учебное пособие для студентов вузов. - Брянск: Изд-во БГУ, 2005.

10. Трубников С.В. Задачник-практикум по численным методам. Часть 4: Описание библиотеки программ: Учебное пособие для студентов вузов. Брянск: Изд-во БГУ, 2010.

11. Трубников С.В. Компьютерное моделирование: Учебное пособие для студентов вузов. - Брянск: Изд-во БГУ, 2004.

12. Трубников С.В. Непрерывные математические модели: учебник для студентов вузов. - Брянск: «Курсив», 2013.

13. Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е издание. Киев.: Диалектика-Вильямс, 2007.



ПРИЛОЖЕНИЕ

Текст Maple - документа, реализующий модель биологического сообщества трех видов (хищник и две жертвы)

1. > restart;

2. > with(plots);

3. > with(DEtools);

4. > sys := diff(x1(t), t) = a1*x1(t)-p1*x1(t)*y(t), diff(x2(t), t) = a2*x2(t)-p2*x2(t)*y(t), diff(y(t), t) = -b*y(t)+q*x1(t)*y(t)+d*x2(t)*y(t);

5.

6. > a1 := 1; p1 := 1; b := 1; q := 1; a2 := 1; p2 := 1; d := 1;

7. > resh := dsolve({sys, x1(0) = 1, x2(0) = 1.5, y(0) = 2}, [x1(t), x2(t), y(t)], type = numeric);

8. resh := proc(x_rkf45) ... end;

9. > resh(1); resh(10); resh(15); resh(20); resh(30);

10. [t = 1., x1(t) = 0.177526986580336194, x2(t) = 0.266290479870504414, y(t) = 2.58357773278715230]

11. [t = 10., x1(t) = 0.0789026112050014162, x2(t) = 0.118353916807502138, y(t) = 0.670861326391303248]

12. [t = 15., x1(t) = 0.442528046258090224, x2(t) = 0.663792069387135309, y(t) = 2.97578762222647742]

13. [t = 20., x1(t) = 0.529978827032609566, x2(t) = 0.794968240548914352, y(t) = 0.190881113352854875]

14. [t = 30., x1(t) = 0.173923660469440938, x2(t) = 0.260885490704161616, y(t) = 2.56476941732204100]

15. > h := odeplot(resh, [t, x1(t)], 0 .. 35, color = red);

16. > j := odeplot(resh, [t, x2(t)], 0 .. 35, color = green);

17. > k := odeplot(resh, [t, y(t)], 0 .. 35, color = black);

18. > display(h, j, k);

Размещено на Allbest.ru

...