Расчет показателей надежности восстанавливаемых и невосстанавливаемых устройств

2. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

1. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ НЕРЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

В качестве объекта, надежность которого требуется определить, рассмотрим некоторую сложную систему S, состоящую из отдельных элементов (блоков). Задача расчета надежности сложной системы состоит в том, чтобы определить ее показатели надежности, если известны показатели надежности отдельных элементов и структура системы, т.е. характер связей между элементами с точки зрения надежности.

Наиболее простую структуру имеет нерезервированная система, состоящая из n элементов, у которой отказ одного из элементов приводит к отказу всей системы. В этом случае система S имеет логически последовательное соединение элементов (рис.1.1).

Рис.1.1. Схема соединения элементов нерезервированной системы.

В зависимости от полноты учета факторов, влияющих на работу изделия, различают ориентировочный и полный расчет показателей надежности.

При ориентировочном расчете показателей надежности необходимо знать структуру системы, номенклатуру применяемых элементов и их количество. Ориентировочный расчет учитывает влияние на надежность только количества и типов, входящих в систему элементов, и основывается на следующих допущениях:

- все элементы данного типа равнонадежны, т.е. величины интенсивности отказов () для этих элементов одинаковы;

- все элементы работают в номинальном (нормальном) режиме, предусмотренном техническими условиями;

- интенсивности отказов всех элементов не зависят от времени, т.е. в течение срока службы у элементов, входящих в изделие, отсутствует старение и износ, следовательно ;

- отказы элементов изделия являются событиями случайными и независимыми;

- все элементы изделия работают одновременно.

Ориентировочный метод расчета используется на этапе эскизного проектирования после разработки принципиальных электрических схем изделий и позволяет наметить пути повышения надежности изделия.

Пусть отказы элементов есть независимые друг от друга события. Так как система работоспособна, если работоспособны все ее элементы, то согласно теореме об умножении вероятностей, вероятность безотказной работы системы Рс(t) равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов:

,

где - вероятность безотказной работы i-го элемента.

Пусть для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надежности и известны их интенсивности отказов. Тогда и для системы справедлив экспоненциальный закон распределения надежности:

,

где - интенсивность отказов системы.

Интенсивность отказов нерезервированной системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов:

.

Если все элементы данного типа равнонадежны, то интенсивность отказов системы будет:

,

где: - число элементов i-го типа; r - число типов элементов.

Выбор для каждого типа элементов производится по соответствующим таблицам.

Среднее время наработки до отказа и частота отказов системы соответственно равны:

, .

На практике очень часто приходится вычислять вероятность безотказной работы высоконадежных систем. При этом произведение значительно меньше единицы, а вероятность безотказной работы P(t) близка к единице. В этом случае количественные характеристики надежности можно с достаточной для практики точностью вычислить по следующим приближенным формулам:

, , , .

При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета и возводить их в степень. При значениях вероятность P(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнить по следующим приближенным формулам:

, ,

где - вероятность отказа i-го блока.

Полный расчет показателей надежности изделия выполняется тогда, когда известны реальные режимы работы элементов после испытания в лабораторных условиях макетов изделия.

Элементы изделия находятся обычно в различных режимах работы, сильно отличающихся от номинальной величины. Это влияет на надежность как изделия в целом, так и отдельных его составляющих частей. Выполнение окончательного расчета параметров надежности возможно только при наличии данных о коэффициентах нагрузки отдельных элементов и при наличии графиков зависимости интенсивности отказов элементов от их электрической нагрузки, температуры окружающей среды и других факторов, т.е. для окончательного расчета необходимо знать зависимости:

.

Эти зависимости приводятся в виде графиков либо их можно рассчитать с помощью так называемых поправочных коэффициентов интенсивности отказов .

Пример 1.1

Система состоит из 13 АСПТ, средняя интенсивность отказов которых 7,6Ч10-5 1/час.

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t=111час.

Решение:

c=

час

c=;

Вероятность безотказной работы АСПТ в течении t=111 час

c(60)=

,

Пример 1.2

Система пожаротушения состоит из 4 АСПТ, среднее интенсивность отказов одной АСПТ 9,8*10-4

Требуется

Определим среднюю наработку АСПТ до первого отказа

Определим среднюю наработку до первого отказа

,

Пример 1.3

Система пожаротушения состоит из 5 приборов и представляет собой систему, средняя наработка блоков до отказа составляет:

=128, , , =2048

Определить среднюю наработку всей системы.

1=; 2=; 3=;4=;

5=

с=

,

Пример 1.4

Система состоит из 3 щитов пожаротушения ,вероятности исправной работы которых в течение времени t=60 час равны:

P1(60)=0.995, P2(60)=0.997, P3(60)=0.996

Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t=60час.

Предполагается, что отказы приборов независимы и для них справедлив экспоненциальный закон надежности.

Вероятность безотказной работы системы равна

Pc(60)?1-

Интенсивность отказов равна

с=

с=

Частота отказов равна

,

,

2. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обязательно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение элементов, при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным m-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадежны. По теореме умножения вероятностей имеют место следующие выражения:

где q(t), p(t) - соответственно вероятности отказа и безотказной работы одного элемента.

Если для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надежности, то:

.

Для высоконадежных систем, у которых t0,1 и , имеем:

.

Среднее время наработки до отказа резервированной системы:

,

где - среднее время наработки до отказа основной системы или любой из резервных систем.

Кроме m-кратного резервирования (m целое число) используют также резервирование с дробной кратностью, которое называют логическим соединением «k из n». Это означает, что система работоспособна, если работоспособны не менее k элементов. На рис.2.2(б) приведена структурная схема «k из n» с кратностью резервирования m = .

Вероятность безотказной работы системы с последовательно-параллельной структурой, изображенной на рис.2.1(а) наиболее удобно выразить постепенным упрощением ее схемы.

Рис. 2.1. Этапы последовательного упрощения последовательно-параллельной структуры

Заменим сначала параллельные подсистемы 2 и 3 новой подсистемой 23 (рис.2.1(б)). Тогда вероятность безотказной работы новой подсистемы:

Теперь заменим последовательные подсистемы 1 и 23 новой подсистемой 123 (рис.2.1(в)). Тогда вероятность безотказной работы этой подсистемы:

.

Далее заменим последовательные подсистемы 4 и 5 одной подсистемой 45 с вероятностью безотказной работы:

Наконец, заменив параллельные подсистемы 123 и 45 новой подсистемой 12345 (рис.2.1(г)) получим вероятность безотказной работы этой подсистемы:

что соответствует вероятности безотказной работы системы.

Часто не требуется знать точное значение вероятности безотказной работы, а достаточно только оценить эту величину снизу и сверху. Тогда можно применить приближенный метод минимальных путей и сечений.

Нижняя граница надежности Pн(t) определяется как вероятность безотказной работы гипотетической последовательно-параллельной системы, составленной из последовательно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным сечениям, а верхняя граница Pв(t) - системы из параллельно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным путям. Таким образом:

где n, m - число путей и сечений системы; P(Ai), P(Bj) - соответственно вероятности событий Ai и Вj.

Задача 2.1.

Дана резервированная система с постоянным резервом кратности m=2. Элементы системы имеют постоянную интенсивность отказа л=0,05 час-1. Найти показатели надёжности системы: вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа, интенсивность отказа, среднее время безотказной работы.

Решение:

Воспользуемся формулами

Получим:

Табулируя функции, найдём искомые показатели надёжности, представленные в таблице 1

Таблица 1 Показатели надёжности резервированной системы с постоянно включённым резервом и кратностью резервирования m=2

Среднее время безотказной работы системы будет равно:

Задача 2.2.

Требуется определить кратность резервирования системы с постоянным резервом, обеспечивающим вероятность безотказной работы 0,96 в течение времени t=150 час. Элементы системы равнонадёжны и имеют экспоненциальное распределение со средним временем безотказной работы Т=300 час. Найти также кратность резервирования для системы, элементы которой имеют распределение Рэлея с тем же средним.

Решение.

Кратность резервирования может быть определена по формуле:

,

где P(t) - вероятность безотказной работы элемента в течение времени t; Pc(t) = 0,96 - вероятность безотказной работы системы в течение времени t.

-для экспоненциального распределения

,

где л1=1/Т - интенсивность отказа элемента.

-для распределения Рэлея

,

где - параметр распределения

В течение времени t = 150 час получим:

-для экспоненциального закона:

-для закона Рэлея:

Подставляя значения P1(t) и P2(t) в формулу для кратности резервирования m, получим:

-для экспоненциального распределения:

-для распределения Рэлея:

Округляя до целых чисел в большую сторону, получим m1 = 3, m2 = 1. Таким образом, для достижения заданной надёжности в первом случае потребуется 3 резервных элемента, а во втором случае - только один.

Задача 2.3. надежность резервированный готовность исправность

Вероятность безотказной работы серверного оборудования после 1000 часов составляет 0,95. Второй, аналогичный комплект, включается в работу после отказа основного. Рассчитать Тср и Р(t) для моментов времени 250, 500 и 1000 часов для варианта с резервированием и без резервирования.

Решение:

Определим значение интенсивности отказа комплекта:

Определим значение средней наработки до отказа комплекта при отсутствии резервирования:

Из условия задачи следует, что основной сервер резервируется однотипным сервером по схеме с дублированием замещением. Для определения средней наработки до отказа системы с данным способом резервирования воспользуемся выражением:

Для определения вероятности безотказной работы основного сервера без резервирования воспользуемся выражением:

;

;

Для определения вероятности безотказной работы серверного оборудования с дублированием замещением воспользуемся выражением:

;

;

.

Как видно из расчетов, вероятность безотказной работы серверного оборудования с резервированием, даже после отработки 1000 часов, не снижается ниже 0,99.

Задача 2.4.

Система состоит из 10 равнонадежных элементов с основным соединением. Для каждого элемента Тср=1000 часов.

Определить Тср всей системы для трех вариантов - а) без резервирования; б) нагруженное дублирование; в) дублирование замещением.

Решение:

Определим значение результирующей интенсивности отказов ветви, состоящей из 10 элементов воспользовавшись выражением:

,

где лi и Тсрi - интенсивность отказов и средняя наработка до отказа i-го элемента.

Определим среднюю наработку системы до отказа.

- для системы без резервирования по выражению:

;

- для системы с нагруженным дублированием среднюю наработку до отказа определим с помощью формулы:

,

где m - число резервных ветвей, в данном случае m=1.

- для системы с дублированием замещением среднюю наработку до отказа определим по выражению:.

3. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ

Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится в одном из двух состояний: работоспособном или неработоспособном . Процесс ее функционирования можно отразить графом состояний (рис.3.1):

Рис. 3.1. Граф состояний нерезервированной системы

Из состояния в состояние система переходит в результате отказов с интенсивностью , а из в - в результате восстановления с интенсивностью . В дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими: , . Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон распределения:

;

Основным показателем надежности нерезервированной восстанавливаемой системы является коэффициент готовности . Сокращение времени восстановления ведет к увеличению коэффициента готовности и не влияет на безотказность системы. Рассмотрим работу системы на интервале времени . Обозначим через , и , - вероятности того, что в момент времени t и система находится в состоянии и . Тогда и . Обозначим также через и - условную вероятность того, что в момент времени t система находится или в состоянии или в состоянии , а в момент времени или в состоянии или в состоянии , т.е. за интервал времени произошел отказ (восстановление) системы.

Тогда:

Будем считать, что за время может произойти только один отказ или только одно восстановление. Тогда на интервале могут произойти четыре несовместимые события: - в момент времени t система находилась в состоянии , в момент времени она осталась в том же состоянии, т.е. отказа не произошло; - отказ произошел; - восстановление произошло;- восстановление не произошло.

Тогда:

Или:

.

Решение системы при начальных условиях и , т.е. в начальный момент времени система работоспособна, имеет вид:

.

Если в начальный момент времени система неработоспособна, то , и решение системы имеет вид:

.

При независимо от начального состояния системы ( или ) вероятности , стремятся к постоянным значениям:

; .

Это означает, что при экспоненциальных законах распределения времени наработки на отказ и времени восстановления, случайный процесс работы восстанавливаемой системы стабилизируется, и вероятность застать систему работоспособной в произвольный момент времени остается постоянной. Система с указанным свойством называется эргодической, а сам процесс - Марковским случайным процессом. Случайный процесс называется Марковским, если для любого момента времени вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от ее состояния в настоящем и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является Марковским случайным процессом с дискретными состояниями. Случайный процесс называется дискретным, если его состояние можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком. Резервированная восстанавливаемая система описывается графом состояний (рис.3.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.2. Граф состояний резервированной системы

В отличие от нерезервированной системы резервированная система в общем случае имеет три состояния: - исправное, - неисправное, но работоспособное, - неработоспособное.

Переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс есть Марковский процесс и задается системой дифференциальных уравнений.

Система составляется по следующим правилам. Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет знак минус, если стрелка исходит из данного состояния, а знак плюс - если стрелка направлена в данное состояние. Полученная система уравнений называется системой уравнений Колмогорова.

Например, для графа состояний, показанного на рис.3.2 получим следующую систему дифференциальных уравнений:

Система решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При справедлива предельная теорема А.А. Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, а граф состояний таков, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое за конечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. В соответствии с этой теоремой при производная и система дифференциальных уравнений превращается в однородную систему линейных алгебраических уравнений:

Система дополняется нормировочным уравнением:

.

В качестве примера рассмотрим граф состояний системы с общим резервированием замещением кратности m и неограниченным восстановлением (рис.3.3).

Рис. 3.3. Граф состояния системы с общим резервированием замещением

Состояния системы имеют следующий смысл: - основная и все резервные системы работоспособны; - основная и i-1 резервная система отказали, все остальные резервные системы работают; - основная и все резервные системы отказали. Каждой дуге ведущей из состояния в состояние приписано значение , т.к. одновременно работает только одна резервная система. Дуге ведущей из в приписано значение , т.к. при этом восстанавливается i резервных систем.

Резервирование с восстановлением является эффективным средством повышения надежности, с помощью которого можно добиться сколь угодно высокой надежности систем.

На практике часто встречается необходимость оценки надежности достаточно сложных резервированных и восстанавливаемых систем. В этом случае метод Марковских цепей приведет к сложным решениям из-за большого числа состояний системы, поэтому для расчета показателей надежности используют простой приближенный метод расчета. Метод основан на следующих допущениях:

Время восстановления намного меньше времени безотказной работы.

Интенсивности отказов и интенсивности восстановлений - постоянные величины.

Отказы и восстановления отдельных подсистем - независимые случайные события. Для последовательного включения подсистем имеются следующие приближенные зависимости:

Для параллельного включения:

В формулах приняты следующие допущения: - интенсивность отказов последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем;- коэффициент готовности последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем; - интенсивности восстановлений последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем.

Далее расчет надежности системы сводится к составлению структурной схемы расчета надежности и ее постепенном упрощении при помощи формул до получения показателей , и для системы.

Задача 3

Нерезервированная система состоит из 6 элементов. Интенсивности их отказов равны: л1=0,0003 час-1; л2=0,0002 час-1; л3=0,0009 час-1; л4=0,0006 час-1; л5=0,0004 час-1; л6=0,0003 час-1. Интенсивности восстановления элементов одинаковы и равны м=0,4 час-1.

Требуется определить показатели надежности системы.

Решение. Вычислим интенсивность отказов системы:

Тогда наработка на отказ, среднее время восстановления и коэффициент готовности равны соответственно:

,

,

Поскольку интенсивности восстановления элементов одинаковы, то систему можно рассматривать как один элемент с интенсивностью отказов лс и интенсивностью восстановления м. Исходя из этого, функция готовности системы будет равна

Табулируя функцию от 0 до 20 часов с шагом 2 часа, получим значения, приведенные в таблице:

Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью .

Следовательно КП=0,0066

Коэффициент оперативной готовности

Табулируя от 0 до 20 часов с шагом 2 часа, получим значения, приведенные в таблице:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе мной были получены представление о такой дисциплине, как «Теория надежности», о характеристиках и показателях восстанавливаемых и невосстанавливаемых устройств, и приобретению навыков применения теории при решении различных прикладных вопросов, а так же практические знания для решения типовых примеров, так как это лучший метод изучения теории.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е.С. Теория вероятности М.:- Физматгиз, 1962 - 564с

2. Острейковский В.А. - Теория надежности: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2003. - 463с

3. Половко А.М. Основы теории надежности. Практикум - СПб.: БХВ - Петербург, 2006. - 560с

Размещено на Allbest.ru