Дискретные устройства. Системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Общие понятия о дискретных устройствах автоматики и телемеханики

Любое управление каким-либо объектом есть целесообразное изменение параметров и состояния объекта управления. К изменяемым параметрам объекта управления могут, например, относиться: местоположение, скорость и ускорение движущегося объекта (локомотива, поезда); давление воздуха в тормозной магистрали; температура в термокамере, напряжение и ток источника электрических сигналов, и т.д. К изменяемым состояниям, например, могут относиться: положение стрелочного перевода, показания светофоров, состояние коммутирующих устройств (типа включено-выключено) и т.д.

Автоматическое управление - есть автоматическое изменение параметров и состояния объектов управления без участия человека. Устройства автоматики - есть технические средства, обеспечивающие автоматическое управление.

Совокупность сведений о текущих или подлежащих изменению параметрах объекта управления, обладающих новизной, есть информация.

Информация, передаваемая от управляющего устройства к объекту управления, есть управляющая информация. Информация, передаваемая от объекта управления к управляющему устройству, есть контрольная (известительная) информация.

Информация в общем виде передается и принимается в виде сообщений, которые представляют собой совокупность условных знаков (символов), содержащих информацию в виде текста письма или телеграммы, численного значения параметра, речи или голосовой команды управления.

Сообщения могут передаваться в виде сигналов различной физической природы (механических, электрических, пневматических и т.д.), изменяемых по закону передаваемых сообщений. Другими словами, сигнал - есть средство переноса информации в пространстве и времени.

Управляющая информация, как правило, носит дискретный характер, так содержит счетное количество различных команд управления. Например, перевести стрелку с номером 10 в одно из двух возможных состояний, закрыть или открыть переезд для движения автотранспорта, установить скорость движения подвижной единицы 60 км/ч и пр.

Контрольная информация о состоянии объекта также носит дискретный характер типа включен/выключен. Контрольная информация о параметрах объекта может носить как непрерывный характер, так и дискретный. Так, например, значение напряжения на выходе объекта управления есть непрерывная функция времени и может принимать любое значение в заданных пределах и может непосредственно передавать к управляющему устройству по линейной цепи. Однако в этом случае возможны искажения сигнала в результате его затухания по причине низкого сопротивления изоляции между парой проводов и потерь в активном сопротивлении линии. Поэтому, непрерывную информацию о параметрах объекта преобразуют в дискретную, используя квантование передаваемого сигнала по уровню при помощи так называемых аналого-цифровых преобразователей (АЦП).

Для передачи дискретной информации используются дискретные сигналы, принимающие в течение времени t только дискретные значения (например, 1 или 0). Для передачи непрерывной информации используются как непрерывные сигналы, принимающие любые значения в некотором интервале времени, так и дискретные по уровню сигналы.

Преобразование сообщения с информацией в дискретный сигнал по определенным правилам называется кодированием информации.

Дискретные устройства автоматики - это устройства, использующие только дискретные сигналы. Мы с вами будем изучать теорию дискретных устройств автоматики, состоящих из дискретных элементов, которые могут принимать только два состояния (0 - нулевое или 1 - единичное) и использовать дискретные сигналы с двумя уровнями значений, соответствующих 0 или 1.

Примером дискретного элемента может служить нейтральное электромагнитное реле постоянного тока Р, на обмотку которого при замыкании контакта к подается питание (соответствует уровню к = 1 входного дискретного сигнала), в результате чего притягивается якорь реле, что соответствует состоянию дискретного элемента Р = 1. При размыкании контакта к (к = 0) реле Р опускает свой якорь и переходит, соответственно, в состояние Р = 0.

Условно реле в виде дискретного элемента можно представить в виде, так, как показано на рис. 1.

дискретный счисление десятичный двоичный

Рис. 1

Здесь: у - выходной сигнал дискретного устройства, значение которого (0 или 1) зависит от состояния (замкнут, разомкнут) используемого в качестве выходного контакта реле Р.

Каждому дискретному сообщению из множества передаваемых сообщений мы можем присвоить определенный порядковый номер в виде десятичного числа (например, сообщение № 10), для передачи которого может использоваться дискретный сигнал, состоящий из последовательности двоичных символов (0 или 1) определенной длины. Символы 0 или 1 называют, соответственно, логическим нулем (лог. 0) и логической единицей (лог. 1), а последовательность двоичных символов кодовым словом или кодовой комбинацией.

Двоичные символы 0 и 1 образуют двоичный алфавит двоичной системы счисления, поэтому кодовое слово можно рассматривать как некоторое число в двоичной системе счисления.

Понятие о системах счисления

Любая система счисления определяется своим основанием, которое определяет число символов, содержащееся в алфавите данной системы счисления.

Так, например, десятеричная система счисления имеет основание, равное 10, и содержит в своем алфавите десять различных десятичных цифр от 0 до 9. Восьмеричная система счисления имеет основание 8 и, следовательно, содержит в алфавите 8 различных десятичных цифр от 0 до 7; двоичная система счисления с основанием, равным 2, использует только две цифры 0 и 1.

Любое десятичное число N_A можно представить в любой из систем счисления с основанием А в виде суммы, состоящей из произведений одного из символов m_i (0, …, А - 1) алфавита данной системы на ее основание, возведенное в степень r, которая изменяется от 0 до n - 1, где n - число произведений в сумме:

N_A =. (1.1)

Так, например, десятичное число 123 в десятеричной системе счисления может быть представлено согласно выражению (1.1) в виде суммы трех произведений:

123₁₀ = 1•10² + 2•10¹ + 3•10⁰ = 100 +20 + 3.

Это же число в двоичной системе счисления может быть представлено как:

123₁₀ = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 1•2⁶ + 1•2⁵ + 1•2⁴ + 1•2³ + 0•2² + 1•2¹ + 1•2⁰ = 1111011₂.

Это же число в восьмеричной системе счисления:

123₁₀ = 64 + 56 + 3 = 1•8² + 7•8¹ + 3•8⁰ = 173₈.

Как видим из приведенных примеров для записи любого десятичного числа в какой-либо системе счисления вместо суммы произведений достаточно показать только последовательность значений символов (коэффициентов) при степенях основания А этой системы счисления и указать в качестве индекса преобразованного числа само значение взятого основания.

Представление десятичных чисел в двоичной системе счисления

Метод вычитания. При этом методе от исходного десятичного числа N₁₀ отнимают ближайшее к нему меньшее число, равное целой степени основания 2, например, 2ⁿ. В случае положительного остатка (N₁₀ - 2ⁿ ? 0) в кодовом слове слева записывается 1, после чего из полученного остатка вычитается следующее число, кратное степени (n - 1) основания 2. При положительной разности в кодовое слово ставится 1 (в направлении слева направо) или 0 - при отрицательной разности. Следует обратить внимание, что при получении отрицательной разности степень числа 2 понижается на единицу и производится ее вычитание от прежнего положительного остатка. Такая последовательность операций вычитания с понижением каждый раз степени основания 2 на 1 заканчивается после вычитания из последнего остатка основания 2 в нулевой степени и подстановки в кодовое слово в зависимости от знака разности 1 или 0.

Рассмотрим в качестве примера представление десятичного числа 1997 в двоичной системе счисления. Ближайшим числом кратным степени 2 является 2¹⁰ = 1024. Полученная на первом шаге разность (1997 - 1024 = 973) положительна по определению, поэтому проставляем в кодовом слове в скобках 1, выделяя ее жирным шрифтом - (1). На втором шаге, понижая степень числа 2 на единицу, получаем 2⁹ = 512. Так как разность (973 - 512 = 461) больше нуля проставляем в кодовом слове справа очередную 1 - (11). Вычитая очередную степень числа 2 (2⁸ = 256) из разности 461 получаем положительный остаток, равный 205 и, следовательно, проставляем очередную единицу в кодовое слово (111). Затем вычитаем (205 - 128 = 77) и добавляем новую единицу в кодовое слово (1111). Следующая разность (77 - 64 = 13) также имеет положительный знак, поэтому добавляем еще одну единицу (11111). Разность (13 - 32 = - 19) имеет отрицательный знак, следовательно, в кодовое слово справа добавляем ноль (111110). Вычитая из последнего положительного остатка очередную степень числа 2 (13 - 16 = - 3) получаем вновь отрицательное число, в результате проставляем в кодовое слово очередной ноль (1111100). Следующая разность (13 - 8 = 5) является положительным числом, следовательно, вновь добавляем 1 (11111001). Разность полученного остатка и числа 4 (5 - 4 = 1) также положительна, поэтому опять добавляем 1 (111110011). Разность очередного остатка и числа 2 (1 - 2 = - 1) есть отрицательное число, следовательно, добавляем в кодовое слово 0 - (1111100110). Вычитая из ранее полученного положительного остатка 1 (1 - 1 = 0), получаем неотрицательное число, что дает нам основание добавить в кодовое слово 1 - (11111001101) и на этом завершить преобразование десятичного числа в двоичное, в соответствии с которым: 1997₁₀ = 11111001101₂.

Метод деления. При данном методе десятичное число и получаемые при этом частные от деления последовательно делят на число 2, как являющееся основанием двоичной системы счисления. Полученные остатки от деления будут представлять собой искомое двоичное число, в котором первый остаток является младшим разрядом двоичного числа и, соответственно, записывается крайним справа, а последнее частное, как меньшее делителя 2 и равное 1, - старшим разрядом (крайним слева).

Рассмотрим в качестве примера представление того же десятичного числа 1997 в двоичной системе счисления методом деления.

Делимое Делитель Частное Остаток

1997 2 998 1 - младший разряд

998 2 499 0

499 2 249 1

249 2 124 1

124 2 62 0

62 2 31 0

31 2 15 1

15 2 7 1

7 2 3 1

3 2 1 --- 1

\ --------> 1 - старший разряд

В результате произведенного деления мы получили аналогичный результат: 1997₁₀ = 11111001101₂

Метод триад. В основу данного метода преобразования десятичного числа в двоичное положен метод деления на основание 8 восьмеричной системы счисления, в результате выполнения которого получаем восьмеричное число, значение каждого разряда которого затем представляется в виде трехразрядного двоичного числа (триады). Этот метод является наиболее быстрым и удобным видом преобразования больших десятичных чисел в двоичные.

Вновь рассмотрим в качестве примера представление десятичного числа 1997 в двоичной системе счисления методом триад.

Делимое Делитель Частное Остаток

1997 8 249 5 - младший разряд

249 8 31 1

31 8 3 --- 7

\ --------- > 3 - старший разряд

В результате произведенного деления мы получили следующее восьмеричное число: 1997₁₀ = 3715₈, которое преобразуем в двоичное число путем представления значений разрядов восьмеричного числа в виде триад в двоичной системе счисления: 1997₁₀ = 3715₈ = 011₂ 111₂ 001₂ 101₂ = 11111001101₂. При этом нулевой крайний справа разряд, как не имеющий веса, убирается из кодового слова.

Задачи для самостоятельного решения

1. Представить десятичные числа 9, 18 и 39 в двоичной системе счисления методом вычитания. Ответ: 1001₂; 10010₂; 100111₂.

2. Представить десятичные числа 75 и 148 в двоичной системе счисления методом деления. Ответ: 1001011₂; 10010100₂.

3. Представить десятичные числа 259 и 1975 в восьмеричной системе счисления, используя метод деления по основанию 8. Ответ: 403₈; 3667₈.

4. Представить десятичные числа 259 и 1975 в двоичной системе счисления методом триад. Ответ: 100000011₂; 11110110111₂.

Представление двоичных чисел в десятеричной системе счисления

Метод суммирования весов единичных разрядов. Проиллюстрируем применение данного метода на следующем примере. Допустим, нам надо перевести двоичное число 1110110₂ в его десятичный эквивалент. Единичные значения имеют 7, 6, 5, 3 и 2 разряды двоичного числа, веса которых соответственно равны 2^{(7 - 1)}, 2^{(6 - 1)}, 2^{(5 - 1)}, 2^{(3 - 1)} и 2^{(2 - 1)}. Просуммировав эти веса, получим значение искомого десятичного числа: 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2² + 2¹ = 64 + 32 + 16 + 4 + 2 = 118. Следовательно, 1110110₂ = 118₁₀.

Метод последовательного удваивания. При данном методе, начиная со старшего разряда, его значение удваивается и результат удвоения арифметически складывается со значением последующего младшего разряда, после чего результат сложения удваивается и складывается со значением следующего младшего разряда. Процесс удвоения заканчивается при сложении его результата с крайним младшим разрядом.

Рассмотрим в качестве примера представление двоичного числа 1110110₂ в десятеричной системе счисления методом удвоения.

1 1 1 0 1 1 0

1•2 + 1 3•2 + 1 7•2 + 0 14•2 + 1 29•2 + 1 59•2 + 0 = 118₁₀.

Метод триад. В основу данного метода преобразования двоичного числа в десятичное число положен метод разбиения кодового слова на триады (трехразрядные двоичные числа) с последующим преобразованием в восьмеричное число посредством замены каждой триады соответствующим десятичным эквивалентом. Суммируя произведения десятичных эквивалентов на вес соответствующего разряда восьмеричного числа, получим искомое десятичное число. Этот метод является также наиболее быстрым и удобным видом преобразования двоичных чисел большой длины в десятичные.

Рассмотрим в качестве примера представление двоичного числа 1110110₂ в десятеричной системе счисления методом триад.

Разбиваем исходное двоичное число на триады, начиная с младшего разряда: 001₂ 110₂ 110₂. Если в последней группе разбиения меньше трех разрядов, то слева в нее вводятся недостающее количество нулевых разрядов.

Заменяем триады их десятичным эквивалентом, используя, например, метод суммирования весов единичных разрядов: 001₂ = 1₁₀; 110₂ = 6₁₀; 110₂ = 6₁₀. Десятичные эквиваленты триад есть ничто иное, как значения символов восьмеричного числа, т.е.: 1110110₂ = 166₈. Переводим восьмеричное число в десятичное: 1•8^{(3 - 1)} + 6•8^{(2 - 1)} + 6•8^{(1 - 1)} = 1•8² + 6•8¹ + 6•8⁰ = 1•64 + 6•8 + 6•1 = 118₁₀.

Задачи для самостоятельного решения

1. Представить двоичное число 1011₂ в десятичной системе счисления методом суммирования весов единичных разрядов. Ответ: 11₁₀.

2. Представить двоичное число 101110₂ в десятичной системе счисления методом удвоения. Ответ: 46₁₀.

3. Представить двоичное число 10011011₂ в восьмеричной системе счисления, используя метод триад. Ответ: 233₈.

4. Представить двоичное число 1011001100112 в десятичной системе счисления методом триад. Ответ: 2867₁₀.

Размещено на Allbest.ru