Выбор решения в архитектуре

2

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Выбор решения в архитектуре

М.И.Алиев

Э.А.Исаева

Н.А.Ашрафова

И.М.Алиев

В.Р.Фигаров

В классической работе Р.Беллмана и Л.Заде [4] рассматривается процесс выбора решения в нечеткой среде, когда управляемая система является либо детерминированной, либо случайной. В этой cтатье обсуждаются вопросы использования нечетких множеств для описания выбора решения в архитектуре.

Вопрос взаимодействия математики и архитектуры всегда интересовал исследователей. Видный французский архитектор Ле-Корбюзье писал: «Природа - действительно математика. Шедевры искусства созвучны природе, выражают ее законы, питаются ею. А отсюда произведение искусства есть тоже математика, и ученый вполне может применить к произведению искусства ее беспощадные умозаключения и неумолимые формулы». Человек всю свою историю, созерцая природу, создавал красоту и стремился понять ее законы - законы гармонии. Законы гармонии изучались и изучаются во всех областях искусства. Так например, в архитектуре, как писал Ле-Корбюзье: «Наша цель - установить порядок, и может быть сверх ожиданий - гармония увенчает наши усилия». В этом плане Ле-Корбюзье активно использует законы пропорции - местоположение прямого угла, золотое сечение и т.д. [1].

Эти законы - продукт традиционной математики. Однако во многих случаях классические законы гармонии следует расширить с привлечением теории нечетких множеств Л. Заде. Являясь по своей природе нечеткими, красота и гармония могут быть восприняты и поняты человеком, так как мозг человека в отличие от кибернетического «мозга» опирается не на двузначную логику, а на многозначную (или нечеткую) логику.

Как и всякая наука, архитектура также имеет свою теоретическую базу - процесс образования композиции. Схематично он представлен на рис.1.

Рис. 1. Схема процесса образования композиции

При создании архитектурной композиции имеют место различные комбинации и перестановки элементов. Поэтому процесс формообразования есть многошаговый процесс, а управляемая архитектором система может рассматриваться как случайная. В результате формообразования получается много вариантов композиций и происходит выбор наилучшего варианта (красивого, гармоничного и т.п.). Здесь имеет место процесс принятия решения, который происходит в нечетких условиях. Утверждение, что «выбранная композиция является красивой, гармоничной» является неточным вследствие расплывчатости или нечеткости понятия красоты, гармонии. Такая неточность выражается нечеткими множествами [2], в которых нельзя указать строгую границу между элементами, принадлежащими и не принадлежащими к нему. Поэтому здесь вводится функция принадлежности А(x) элемента х нечеткому множеству А. В нашем случае, будем считать, что элемент х - это один из вариантов композиции, а множество А есть совокупность красивых вариантов композиции, которое назовем нечетким множеством гармонии. Анализу систем и принятию решений в нечетких условиях посвящена фундаментальная работа Л.Заде и Р.Беллмана [4].

Пусть Х={x}-совокупность объектов (вариантов композиций). Тогда нечеткое множество гармонии А и Х есть совокупность упорядоченных пар:

где А(x)- степень принадлежности элемента x к нечеткому множеству A.

Задача оценки (x) по известному множеству пар , т.е. задача абстрагирования занимает центральную роль в распознании образов [5]. И к нашей задаче - распознавания наилучшего варианта композиции - можно подойти с этой точки зрения.

В данной работе, мы поставим другую задачу. Будем считать, что (x) задано для всех xX. Решение предполагает выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив, поэтому здесь решением будет нечеткое множество в пространстве альтернатив, получающееся в результате слияния (пересечения) заданных целей и ограничений.

Совокупное влияние нечетких ограничений G представляется пересечением G1 G2…Gn. Функция принадлежности в этом случае имеет вид:

Пример. Пусть имеется 5 альтернатив, т.е. 5 вариантов композиций. Обозначим их через X={1,2,3,4,5}. Предположим, что заданы для них ограничения G1, G2, ...,Gn, как показано в таблице 1.

Таблица 1

В этом случае, решение есть расплывчатое множество:

D={1;0,1); (2; 0); (3;0,2); (4;0,2); (5; 0,1)]} (таблица 2).

Таблица 2

Эффективное решение есть четкое подмножество DM нечеткого множество D, определяемое условиями:

где K - множество тех X , в которых , каждое X из DM называется максимизирующим решением

Таким образом - эффективное решение, x={3,4} - максимизирующее решение и вариант, близкий к вариантам, 3 и 4 будет наилучшим.

Если бы в рассматриваемом случае , т.е. , то максимизирующее решение х -шедевр искусства. Действительно, в этом случае и Х - эффективное решение.

В таблице 1 значения и т.д. взяты произвольно. Оценка этих величин может идти таким способом. Возьмем одно из ограничений -пропорцию G1. Понятно, что в композиции идеальному варианту соответствует p =100. Однако, сама цель является нечеткой: “p должно быть значительно больше 0”). В этом случае, функция принадлежности пропорции может иметь вид:

где 0100

Точно так же можно взять и для других ограничений G2, G3… и т.д., если все эти ограничения (пропорция, масштаб, контраст, нюанс, ритм и т.д.) имеют одинаковую важность. В противном случае, как показано в 5, решение D может выражено выпуклой комбинацией целей и ограничений с весовыми коэффициентами ,,… и т.д., характеризующими относительную важность составляющих элементов. Таким образом,

где +++…+=1

В работе 4 подробно рассматривается задачи, связанные с многошаговым процессах принятием решений в нечетких условиях. Как нам кажется, решения этих задач могут быть нами использованы.

В процессе формообразования могут быть различные состояния (варианты композиции) Xt где t = 0,1…. и при этом, имеет место входной сигнал (в нашем случае-ограничения-масштаб, пропорция и т.д.) Ut, UtU=1, 2 ... . Понятно, что состояние Xt+1 зависит от Xt и Ut и описывается уравнением эволюции.

Xt+1 =( Xt ,Ut)

Пусть в определенный момент времени заданы функции принадлежности и В упомянутой работе [4] находится последовательность (U0, U1 ... Un-1 ), которая максимизирует решение

Решение представляется в виде:

нечеткий множество архитектура логика

, где n -принятая стратегия, т.е. принятое правило выбора входного воздействия Un в зависимости от реализовавшегося Xn .

После этого для нахождения Xn и максимизирующего (эффективного) решения применяется метод динамического программирования.

В заключении, хочется отметить, что применение нечеткой логики в архитектуре и, вообще, в искусстве представляет собой очень интересную проблему, и наша работа есть лишь одна из первых попыток ее анализа. Несомненным является то, что законы гармонии очень тесно связаны с теорией нечетких множеств Л. Заде.

Литература

Ле Корбюзье. Архитектура XX века. - М.: Прогресс, 1977.

Zadeh L.A. Fuzzy sets// Information and Control. - 1965. - Vol. 8. - P.338-353.

Meyer P.A. Probability and Potentials. - Waltham, Massachusets: Blaisdell, 1966.

Belman R.E., Zadeh L.A., Decision - making in a fuzzy environment// Management Science. -1970. - Vol.17. - P.141-164. Имеется перевод: Беллман Р., Заде Л. Принятие решения в расплывчатых условиях: Сборник переводов/ Под ред. И.Ф.Шахнова, М.:Мир, 1976. - C.172-215

Bellman R.E., Kalaba R., Zadeh L.A. Abstraction and Pattern Classification// J.Math.a.Appl. -1966. - Vol.13. - P.1-7.

Размещено на Allbest.ru