Алгоритм и программный комплекс для поиска оптимального управления ICIT’99

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритм и программный комплекс для поиска оптимального управления ICIT'99

Задача оптимального управления сложной динамической системой часто возникает во многих приложениях. Несмотря на существенные различия в предметных областях и задачах, требующих построения оптимального плана, для его реализации возможен общий подход. Созданию соответствующего инструментария посвящена данная работа.

Рассматривается дискретная система как цепочка операторов с ограничением на управление

дискретный алгоритм программный

(1)

Пусть М - множество троек .

Рассматривается задача (D, I) о минимуме функционала на множестве, удовлетворяющему связям (1) и требуется найти последовательность , на которой . Задача решается методом последовательных улучшений элементов m, исходя из начального приближения.

Для нахождения решения воспользуемся принципом расширения [Гурман, 1997]. При каждом t вводится произвольная функция .

Обозначим

(2)

. (3)

Пусть - начальное приближение, - искомое улучшенное приближение. Положим и потребуем, чтобы

(4)

Для этого рассмотрим линейные вариации (дифференциалы) R и G:

Введем в рассмотрение функцию Тогда

Для выполнения (4) потребуем, чтобы

Тогда можно определить управление на следующей итерации

,

соответствующие решения системы (1) и значение функционала

,

.

В дальнейшем выполняется следующая логика продолжения оптимизации:

если, то , переход к следующей итерации

если , то СТОП, получен результат с требуемой точностью

если , то и переход к следующей итерации

если , то СТОП, получен результат с требуемой точностью.

Программный комплекс, реализующий описанный выше алгоритм, представляет собой приложение, работающее в системе MS Windows и состоит из следующих основных компонент:

Рис. 1 Схема взаимодействия компонент программного комплекса

1. база данных, 2. вычисляющий модуль, 3. модуль предварительной оптимизации, 4. оптимизирующий модуль, 5. управляющий модуль, 6. блок представления результатов.

База данных

Содержит описание всех коэффициентов, необходимых для вычисления системы уравнений, в ней хранится описание пространства состояний и начальное состояние системы. В базу данных записываются результаты предварительной оптимизации как начальное приближение управления для универсального оптимизационного алгоритма.

Вычисляющий модуль

Содержит описание уравнений модели. На вход получает вектор состояния модели в текущий момент времени и вектор управления, возвращает вектор состояния в следующий момент времени.

В текущей реализации модуль имеет вид функции, к которой происходят обращения, в дальнейшем описание модели должно храниться в базе данных в виде исходного текста, который будет интерпретироваться и исполняться системой. Такой подход позволит придать большую универсальность алгоритму и дать возможность пользователю самостоятельно изменять уравнения модели.

Модуль предварительной оптимизации

Учитывает особенности конкретной модели и на основе их анализа генерирует начальное приближение для управления.

В текущей реализации данный модуль представлен независимым набором программ, в дальнейшем он будет интегрирован в общую систему, что позволит быстрее и качественней проводить обработку и обмен данными.

Универсальный оптимизирующий модуль

Имеет своей основой описанный выше алгоритм, его эффективная работа во многом зависит от качества начального приближения, которое он получает в результате дополнительных исследований в модуле предварительной оптимизации. Данный программный блок имеет большое количество настроек, задаваемых как автоматически, так и при участии пользователя.

3.5. Управляющий блок

К данному блоку относятся загрузка базы данных, выбор сценария и внесение изменений, алгоритмы выбора поведения модулем оптимизации, изменений параметров оптимизации, диалог с пользователем.

Блок представления результатов

В рамках блока происходит вывод на экран промежуточных значений переменных, вывод в файл синтезированного управления, эволюции состояния системы и значений коэффициентов модели. Также реализована возможность графического представления полученного управления и динамики изменения состояния модели.

В текущей реализации вывод результатов происходит в текстовые файлы, в дальнейшем будет реализована возможность вывода в листы Excel, это позволит упростить обработку и печать полученных результатов.

Пример использования системы

В качестве примера работы системы рассмотрим поиск оптимального управления в социо-эколого-экономической модели региона.

Модель региона и задача оптимизации

Динамика региона описывается дискретной системой уравнений 17 порядка. Вектор состояния имеет вид , где ,,- традиционный, природоохранный и инновационный капиталы,- вектор экологических и социальных индексов,- вектор, описывающий уровень инноваций. Размерность вектора управления равна 20, его вид , где ,,- инвестиций в традиционный, природоохранный и инновационный капиталы, y - вектор выпусков производства, z - вектор управления природной средой и социумом, d - вектор управления инновациями.

Система уравнений модели:

, (5)

, (6)

, (7)

(8)

где с - конечное потребление, Е - единичная матрица, - матрицы технологических коэффициентов, - матрица минимального душевого потребления, - векторы экспорта, импорта продукции, - миграционные потоки, - диагональные матрицы амортизации.

Ограничения устойчивого развития:

. (9)

Максимизируется накопленный региональный доход

,

где - текущий доход, - штраф за нарушение условия (9).

Результаты расчетов

Для рассмотренной выше модели был рассчитан ряд сценариев: 1) базовый вариант, 2) сценарий с оптимизацией и 3) сценарий с инновациями. Начальные приближения для сценария 2 и 3 были получены специальным методом преобразования к производной задаче при идеализированных допущениях о неограниченности управлений i^c и z. Дополнительные жесткие ограничения учитываются посредствам экспоненциальных методических штрафов.

Находится интеграл (скалярный)

характеристической системы, составленной из коэффициентов при неограниченных управлениях. При этом

Далее записывается дискретная цепочка относительно I в силу системы (1). По определению I она не зависит от i^c, z:

(10)

Тем самым задача сводится к производной, в которой связи (5) - (8) заменяются цепочкой (10).

В результате получается начальное приближение m^I. Далее после ряда итераций получается окончательные результаты. Они приведены (частично) на рис. 2-5, где y_sum - суммарный выпуск продукции, n₂ - уровень загрязнения и n₄ - индекс социального развития (ИСР), d - уровень инноваций в сценарии 3.

Литература

1. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Физматлит, 1997.

2. C. Carraro, Ch. Deissenberg, V. Gurman, H. Ryumina A General Framework for Regional Sustainable Development for NIS Countries: Model.

Размещено на Allbest.ru