Гранулярная онтология пространства для когнитивных мобильных роботов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гранулярная онтология пространства для когнитивных мобильных роботов

А.П. Калуцкая



Разработана система онтологий для когнитивных мобильных роботов. Построена метаонтология грануляции информации. Дано представление онтологий на базе нечетких алгебраических систем. Исследованы пространственные отношения для организации диалогового управления когнитивными мобильными роботами. Описан мереотопологический подход к анализу пространственных онтологий. Рассмотрены четкие и нечеткие мереотопологические пространственные отношения. Предложена гранулярная онтология пространства.



Введение

Существенным требованием к автономным мобильным роботам, предназначенным для функционирования в экстремальных средах, является способность эффективно работать в условиях неполной, противоречивой, неточной, нечеткой входной информации [Добрынин, 2006], [Карпов, 2009], [Ющенко, 2009]. Для обеспечения этой способности такой робот должен иметь статус когнитивного агента [Тарасов, 2002]. В отличие от реактивных агентов, функционирующих по схеме «стимул-реакция» когнитивные агенты обладают хорошо развитой, динамической моделью внешней среды.

Когнитивная функция обеспечивает процессы познания роботом внешнего мира, других агентов, а также его самопознание. Когнитивные процессы охватывают восприятие агентом внешней среды, формирование обобщенного внутреннего представления, понимание принципов взаимодействия и поведения, обучение. По сути, в этих процессах реализуются переходы «данные - информация - знания» [Гергей, 2004], необходимые для эффективной работы агента.

Главная особенность когнитивного робота, отличающая его от других интеллектуальных систем, заключается в том, что он получает разнородную информацию из трех источников: 1) от человека-оператора на ограниченном ЕЯ в виде целеуказаний и инструкций; 2) от датчиков сенсорной системы; 3) из собственной базы знаний.

Создание когнитивного робота позволяет реализовать давние идеи диалогового управления, осуществляемого в процессе информационного взаимодействия человека и робота.

Общий принцип диалогового управления был предложен Е.П. Поповым около 30 лет назад, однако лишь в начале XXI-го века появились предпосылки для его практической реализации. Диалог человека с роботом включает как целеуказания и инструкции, передаваемые человеком роботу, так и обратную связь - сообщения робота человеку с просьбой уточнить исходные инструкции, а также сведения о текущей ситуации или информацию о достижении поставленной цели [Ющенко, 2009]. Гибкое интеллектуальное управление и диалоговый интерфейс - это отличительные черты роботов как когнитивных агентов [Тимофеев, 1998]. При этом главная проблема состоит не столько в техническом обеспечении диалога, сколько в создании общего языка и единого «поля знаний», необходимых для взаимопонимания и совместной работы естественных и искусственных агентов, а также для синтеза многоагентных робототехнических систем.

Поэтому, для диалогового управления когнитивным роботом необходимо создание общих онтологий, обеспечивающих эффективную коммуникацию человека и робота при выполнении последним сложных задач в неточно и не полностью определенной среде. Будем также полагать, что ключевое свойство когнитивного робота - это способность гранулировать входную информацию.

В настоящей работе основное внимание уделяется формированию метаонтологий с помощью гранулированных представлений информации (в виде интервалов, нечетких множеств, лингвистических переменных, нечетких алгебраических систем), а также развитию онтологии пространства применительно к сфере робототехники на основе идей Г. Лейбница и Ст. Лесьневского.



1. Метаонтология грануляции информации

Онтологией называется явное и формализованное определение структуры некоторой проблемной области (темы). Онтологию часто понимают как «спецификацию концептуализации, общей у разных людей» [Гаврилова и др.,2000], [Клещев и др.,2001], [Gruber,1993], [Guarino et al., 1995] или даже отождествляют с набором сосуществующих концептуальных моделей предметной области [Мизогучи, 2000], [Смирнов С.В., 2002]. По сути, онтологии отражают соглашения о единых способах построения и использования концептуализаций.

Во-первых, онтология обеспечивает набор парадигматических конструкций, которые используют для организации парадигматического знания. Именно парадигматические отношения превращают словарь в тезаурус [Гаврилова и др., 2000].

Во-вторых, онтология, наряду с синтагматическими отношениями между понятиями, отражает семантические ограничения в виде аксиом или логических правил, которые позволяют правильно интерпретировать парадигматические отношения в конкретном контексте решения задачи.

В [Смирнов А.В. и др., 2002] изложена общая схема интеграции онтологий. В настоящей работе вводится модифицированная схема взаимосвязей между онтологиями (рис.1), в которой главное место занимает понятие метаонтологии (онтологии над онтологиями).

Когда говорят о метаонтологии, речь идет непосредственно об используемом классе моделей (языке) представления информации и знаний, например, семантические сети, унифицированный язык моделирования UML, язык веб-онтологий OWL и пр.



Рис.1. Общая схема интеграции онтологий для когнитивных роботов

Здесь в качестве метаонтологии предлагается выбрать некоторую онтологию грануляции информации. Под грануляцией понимается формирование семейства целостных динамических информационных структур - своего рода «зерен» информации, потребной для достижения определенных целей. Смысл термина «гранулярный» легко пояснить путем противопоставления слову «сингулярный» (одноточечный). Хорошо известными операциями грануляции являются декомпозиция и композиция, обобщение и детализация, огрубление и уточнение информации, и т.д.

С одной стороны, онтология грануляции информации выражает один из ключевых принципов системного анализа, согласно которому язык описания сложной системы должен соответствовать реальной имеющейся информации об этой системе.

С другой стороны, грануляция информации опирается на неклассическое представление множества. По Д.А. Поспелову, классическое понятие множества опирается на два основных принципа: принцип принадлежности и принцип различимости его элементов. В то же время, гранула есть совокупность неразличимых объектов, определяемая только их типом и количеством. Онтология гранул - это онтология представления сложных единиц информации и выявления знаний из данных.

Будем задавать базовую схему грануляции информации когнитивным агентом пятеркой

GR = X, С, M, G, T, (1.1)

где X - область рассуждений; C - множество требований к выбору метода грануляции M - множество формальных методов грануляции; G - семейство информационных гранул; T - множество переходов между уровнями грануляции (преобразований гранул).

В общем случае, под гранулой g из G в формуле (1.1) понимается группа объектов, объединяемых отношениями неразличимости, сходства или близости (т.е. отношениями, имеющими, по крайней мере, свойства рефлексивности и симметричности) [Zadeh, 1979], [Zadeh,1997]. Типичные интерпретации гранул - это часть целого, обобщенное ограничение, множество с областью неопределенности. Примерами математических гранулярных структур служат: иерархии, разбиения и окрестности, интервалы, недоопределенные множества, приближенные множества, мультимножества, распределения вероятности, нечеткие множества, и т.д. Вычисления, основанные на гранулярных структурах, называется гранулярными вычислениями [Bargiela et al.,2003], [HGC, 2008].

Для грануляции нечеткой информации когнитивные агенты могут использовать когнитивные фреймы, т.е. нечеткие фреймы, слотам которых соответствуют не точные, а нечеткие или лингвистические значения. Когнитивный фрейм можно рассматривать как результат грануляции информации, описанной с помощью лингвистической переменной, где терм-множеству ставится в соответствие семейство нечетких множеств. В этом случае он состоит из означенных, нормальных нечетких множеств Ф={A₁,…, A_n}, где любые два соседних множества имеют область перекрытия. Область рассуждений X должна удовлетворять условиям нечеткого покрытия (-покрытия) и семантической состоятельности (по В.Педричу [HGC, 2007]). Последнее условие можно свести к следующим трем ограничениям: а) количество элементов множества Ф невелико; в соответствии с результатами экспериментов Миллера оно находится в пределах 7+2; б) каждое A_i является унимодальным и нормальным нечетким множеством; в) соседние нечеткие множества A_i, A_j должны иметь небольшую область перекрытия; обычно полагается, что A_i A_j 0,5.

Ниже в качестве основы для построения гранулярной онтологии возьмем понятие «нечеткой алгебраической системы», расширяющее исходную математическую конструкцию А.И.Мальцева [Мальцев, 1970].



2. Нечеткие онтологии

Будем представлять нечеткую алгебраическую систему тройкой

FAS = (X), (R), Щ, (2.1)

где (X) = {(x, м) xX, м: X[0,1]} - множество нечетких объектов; (R)= {(r, ц)rR, ц Xⁿ [0,1]} - множество нечетких отношений между объектами; Щ:(X)ⁿ(X)-множество операций над нечеткими объектами

Далее ограничимся рассмотрением троек де Моргана Щ* = {(T, S, n)}, где T и S - произвольная треугольная норма и треугольная конорма соответственно, а n - обобщенная операция отрицания.

Если в (2.1) Щ=,то приходим к понятию вполне нечеткой реляционной системы, а когда, к тому же, само множество объектов является четким, т.е. (X) сводится к X, получаем нечеткую реляционную систему.

Соответственно, нечеткое представление «легкой» онтологии есть пара

ONT = X, (R),

где X - множество понятий (категорий) предметной области, (R)-множество нечетких (взвешенных) отношений между понятиями предметной области.

Когда также проведена аксиоматизация предметной области, онтология становится «весомой», т.е. представляется тройкой

ONT' = X, (R), AX.

когнитивный робот грануляция метаонтология

В [Turksen, 2007] дан пример нечеткой аксиоматизации проблемной области. Механизм вывода в онтологии описывается системой нечетких продукционных правил, расширяющих базовый список понятий путем использования зависимостей между ними.

Общими отношениями для онтологий являются: 1) генеративные отношения «есть некоторый» (is_a); 2) таксономические отношения («класс-подкласс», «класс-экземпляр); 3) родо-видовые отношения; 4) партономические отношения («часть-целое»); 5) отношения наследования или генеалогические связи («предок-потомок»). Эти отношения могут быть нечеткими, например, «есть некоторый со степенью (is_a_with ), или выражаться в виде обобщенных ограничений вида Y isr F, где Y -переменная, F - гибкое ограничение на эту переменную, а значение r переменной связки isr определяет способ (семантику) ограничения.



3. Онтология пространства

В последние годы проблемы логического и онтологического моделирования пространства и формализации пространственных отношений привлекают все большее внимание зарубежных специалистов по ИИ. Подтверждением этого может служить недавняя публикация капитального «Руководства по пространственным логикам» [HSL, 2007], издание основополагающих работ А.Варзи и Р.Касати [Casati et al., 1999], Л.Вье, Б.Куйперса, Б.Смита и др.

В нашей стране после выхода в свет около 20 лет назад знаменитой монографии [Кандрашина и др., 1989] новые результаты были получены, главным образом, в области представлений знаний о времени (см. работы А.М.Анисова, А.П.Еремеева [Еремеев и др., 2003]). Между тем, проблемы формализации пространственных знаний и рассуждений остаются недостаточно разработанными. Поэтому ниже дано подробное описание основных этапов построения модели пространства (рис.2).

Рис.2. Общая схема моделирования пространства

3.1 Выбор базовой концепции пространства

Рассмотрение пространства как общей онтологической категории следует начинать с выбора базовой концепции пространства. Основные модели пространства можно разделить на абсолютные и относительные, общие и локальные, явные и неявные.

В качестве двух классических концепций пространства можно указать теорию Ньютона и модель Лейбница. Из таблицы 1 видно, что свойства пространства по Ньютону и свойства реального пространства, в котором действует мобильный когнитивный робот, фактически прямо противоположны. Поэтому за основу построения онтологии пространства взята базовая концепция Лейбница.

В отличие от теории «пустого» пространства Ньютона, Лейбниц предложил реляционную концепцию пространства, согласно которой пространство связывается с порядком взаимного расположения и сосуществования в нем различных тел. По Лейбницу, пространство представляется неявно, через отношения между объектами. Обычно в нем определяют некоторую метрику или топологию, чтобы оценивать размеры объектов и расстояния между ними.

Таблица 1. Сравнительный анализ свойств абсолютного пространства по Ньютону и локального пространства робота

Свойства пространства по Ньютону	Свойства реального «рабочего пространства» для когнитивного мобильного робота
Бесконечность	Конечность
Непрерывность	Дискретность
Однородность	Неоднородность
Изотропность	Неизотропность
Неподвижность	Подвижность, шкалированность

Построение онтологии пространства предполагает определение множества пространственных примитивов, множества базовых пространственных отношений, задание структуры пространства - области интерпретации пространственных примитивов и ее свойств в виде аксиом теории пространства, исходя из требований предметной области (в данном случае, когнитивной робототехники).

Поскольку, по Лейбницу реальное физическое пространство интерпретируют как множество объектов, в качестве пространственных примитивов можно использовать точки или области пространства.

Примитивы пространства также можно задать как места и положения [Casati et al., 1999], [HSL, 2007]. Место определяется с помощью границы и некоторого объема (протяженности), формируемого этой границей. Положение определяется путем согласования одного места относительно другого. Соответственно, точка - это такой объект, для которого существенно положение в пространстве, но не очень важны размер и конфигурация. Линия (прямая или кривая) в пространстве описывает движение объекта.

В общем случае, базовые отношения между пространственными примитивами могут быть как количественными (метрическими), так и качественными (топологическими). Пример количественного отношения - «транспортный робот находится в 20м от склада», а качественного - «робот находится внутри опасной зоны». Примитивные отношения в пространстве и их логические комбинации можно рассматривать как ограничения, например, «робот а находится недалеко и справа от b».

При построении онтологий для роботов следует учитывать не только общие отношения, но и отношения, отражающие специфику предметной области. В частности, для когнитивных мобильных роботов, это - относительные: расстояния («дальше-ближе», «рядом»); положения («справа-слева», «спереди-сзади», «сбоку»); относительные направления движения («вдоль-поперек»), относительные скорости движения («быстрее - медленнее»). Сводка базовых пространственных отношений для мобильного когнитивного робота и их свойств дана в таблице 2.



Табл. 2. Базовые пространственные отношения (названия и свойства: Р-рефлексивность; С-симметричность; Т-транзитивность, АР-антирефлексивность, АС-антисимметричность)

Обозначение отношений	Название отношений
		Р	С	Т	АР	АС
R1 - быть дальше	Строгий порядок			+	+	+
R2 - быть ближе	Строгий порядок			+	+	+
R3 - быть равноудаленным			+
R4 - быть рядом			+
R5 - быть спереди (напротив)	Строгий квазипорядок			+	+
R6 - быть сзади	Строгий квазипорядок			+	+
R7 - быть сбоку	Строгий квазипорядок			+	+
R8 - быть правее	Строгий квазипорядок			+	+
R9 - быть левее	Строгий квазипорядок			+	+
R10 - быть больше	Строгий порядок			+	+	+
R11 - быть меньше	Строгий порядок			+	+	+
R12 - быть равным	Тождество	+	+	+
R13 - быть внутри	Строгий порядок			+	+	+
R14 - быть вне	Строгий порядок			+	+	+
R15 - быть перед	Строгий квазипорядок			+	+
R16 - быть за	Строгий квазипорядок			+	+
R17 - соприкасаться			+

Таким образом, в зависимости от выбора пространственных примитивов имеем два типа моделей пространственных объектов:

- точечные, сингулярные модели, где пространственные объекты мыслятся (явно или неявно) как множества точек;

- приближенные, гранулярные модели, например, модели, связанные с интервалами и отношениями между ними.

3.2 Топологические онтологии пространства

Общая топология позволяет расширить базовые теоретико-множественные понятия, благодаря таким конструкциям, как замыкание (замкнутые и открытые множества), внутренности, границы, всюду плотные множества.

В контексте грануляции пространственной информации особую популярность приобретают «бесточечные» топологические модели пространства, основанные на открытых множествах, окрестностях и отношении связности. Так окрестностью множества B в топологическом пространстве U называют всякое множество, которое включает в себя открытое множество, содержащее B. Понятие связности областей также удобно определять с помощью открытых множеств: топологическое пространство U называют связным, если оно не является объединением двух непустых непересекающихся открытых множеств.

В русле построения топологических онтологий ключевое значение приобретает взаимно однозначное соответствие между конечными топологическими пространствами T₀ и конечными упорядоченными множествами, а также его обобщение для пространства Александрова (см.[Arenas, 1999]).

Конечное топологическое пространство называют пространством Александрова, если в нем произвольное семейство пересечений открытых множеств является открытым. Это пространство тесно связано с понятием квазиупорядоченного множества (т.е. множества с заданным на нем отношением квазипорядка, для которого выполняются условия транзитивности и рефлексивности). Можно показать, что пространство Александрова индуцируется отношением квазипорядка.

В интересах построения гранулярных моделей пространства обратимся к мереотопологическому подходу [HSL, 2008]. Основные идеи этого подхода восходят к теории Ст.Лесьневского.

3.3 Мереология, мереотопология и мерономия

Мереологией называется учение о частях целого. Как известно, в классической теории множеств активно используются постулат различимости элементов, а также понятие пустого множества. В отличие от этого мереология: 1) делает акцент на целостности множества как «коллективного класса», что позволяет считать ее предшественницей теории грануляции Л.Заде [Zadeh, 1997]; 2) основана на единственном отношении «быть частью»; 3) обходится без пустого множества.

Мереология Лесьневского (партономия) опирается на следующие аксиомы, которые положены в основу ряда моделей пространства [HSL, 2007].

1. Любой предмет есть часть самого себя (аксиома рефлексивности).

2. Две различные вещи не могут быть частями друг друга: если P - часть предмета Q, то Q не есть часть предмета P (аксиома антисимметричности).

3. Если P есть часть предмета Q, а Q - часть предмета R, то P есть часть предмета R (аксиома транзитивности).

Итак, отношение «часть-целое» рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением нестрогого порядка.

Прикладной областью, тесно связанной с мереологией, является мерономия [Шрейдер и др., 1982] - общая теория разделения (или расчленения). Согласно Ю.В. Шрейдеру, любая классификационная система имеет две стороны - внешнюю и внутреннюю, которые двойственны по отношению друг к другу. Таксономия, выступающая как внешняя сторона классификации, выражает аспект метаклассификации и описывается отношением «класс-подкласс», а мерономия - это внутренняя сторона классификации, связанная со свойствами и частями системы.

Для онтологий, в которых примитивами являются области, можно выделить 3 главных типа отношений-геометрическое («конгруэнтность»), мереологическое («быть частью») и топологическое («связность»).

Понятие связности C есть математическое выражение интуитивного представления о целостности геометрических фигур. Топологическое отношение связности рефлексивно, симметрично и монотонно.

В настоящее время построение общей онтологии пространства идет по линии интеграции подходов мереологии и топологии: Мереология + Топология = Мереотопология [Smith, 1996], [HSL, 2007].

При этом система мереотопологии строится на основе одного-единственного отношения связности. Основные мереотопологические отношения для областей представлены в таблице 3.

Табл. 3. Мереотопологические пространственные
отношения для областей a и b

Название	Обозначения	Формальная запись	Графическая иллюстрация
Несвязность	DC
Часть	P
Собственная часть	PP
Равенство	EQ
Перекрытие	O
Частичное перекрытие	PO
Внешняя связность	EC



Заключение

В работе предложен вариант построения онтологии пространства в русле разработки интеллектуального интерфейса «человек-робот», необходимого для организации диалогового управления автономными мобильными роботами. Введены нечеткие онтологии, проанализированы четкие и нечеткие мереотопологические отношения для областей, систематизированы пространственные отношения для когнитивных мобильных роботов, предложены варианты их грануляции. В дальнейшем, планируется построить систему приближенного пространственного вывода на базе комбинирования и распространения ограничений.

Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 08-01-00917 и №10-07-00727).



Список литературы

1. [Гаврилова и др., 2000] Гаврилова Т.А., Хорошевский В.Ф. Базы знаний интеллектуальных систем. - СПб: Питер, 2000.

2. [Гергей, 2004] Гергей Т. Когнитивные системы - потребность информационного общества и вызов компьютерным наукам// Труды IX-й национальной конференции по искусственному интеллекту (КИИ-2004, Тверь, 28 сентября- 2 октября 2004 г.). - М.: Физматлит, 2004. - Т.1.

3. [Добрынин, 2006] Добрынин Д.А. Интеллектуальные роботы вчера, сегодня, завтра// Труды 10-й национальной конференции по искусственному интеллекту (КИИ-2006 , Обнинск, 25-28 сентября 2006 г.). - М.: Физматлит, 2006. - Т.1.

4. [Еремеев и др., 2003] Еремеев А.П., Троицкий В.В. Методы представления временных зависимостей в интеллектуальных системах поддержки принятия решений// Известия РАН: Теория и системы управления.- 2003.- №5.

5. [Кандрашина и др., 1989] Кандрашина Е.Ю., Литвинцева Л.В., Поспелов Д.А. Представление знаний о времени и пространстве в интеллектуальных системах. - М.: Наука, 1989.

6. [Карпов, 2009] Карпов В.Э. О некоторых особенностях применения недоопределенных моделей в робототехнике// Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Сборник трудов V-й Международной научно-практической конференции (Коломна, 28-30 мая 2009 г.). - М.: Физматлит, 2009. - Т.1.

7. [Клещев и др., 2001] Клещев А. С., Артемьева И. Л. Математические модели онтологий предметных областей. Часть 1. Существующие подходы к определению понятия «онтология»// Научно-техническая информация: Серия 2 Информационные процессы и системы. - 2001. - № 2.

8. [Мальцев, 1970] Мальцев А.И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 1970.

9. [Мизогучи, 2000] Мизогучи Р. Шаг в направлении инженерии онтологий// Новости искусственного интеллекта. - 2000. - №1-2.

10. [Смирнов А.В. и др.,2002] Смирнов А.В., Пашкин М.П., Шилов Н.Г., Левашова Т.В. Онтологии в системах искусственного интеллекта: способы построения и организации (часть 1)//Новости искусственного интеллекта.-2002.-№1.

11. [Смирнов С.В., 2000] Смирнов С.В. Онтологии в задачах моделирования сложных систем// Труды II-й международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, 20-23 июня 2000 г.). - Самара: Самарский научный центр РАН, 2000.

12. [Тарасов, 2002] Тарасов В.Б. От многоагентных систем к интеллектуальным организациям. - М.: Эдиториал УРСС, 2002.

13. [Тимофеев, 1998] Тимофеев А.В. Многоагентное и интеллектуальное управление сложными робототехническими системами// Теоретические основы и прикладные задачи интеллектуальных информационных технологий. - СПб: СПИИРАН, 1998.

14. [Шрейдер и др., 1982] Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели. - М.: Радио и связь, 1982.

15. [Ющенко,2009] Ющенко А.С. Диалоговое управление роботами с использованием нечетких моделей// Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Сборник трудов V-й международной научно-практической конференции (Коломна, 28-30 мая 2009 г.). - М.: Физматлит, 2009. Т.1.

16. [Arenas, 1999] Arenas F.G. Alexandroff Spaces // Acta Math. Univ. Comenianae - 1999. - Vol. LXVIII, №1.

17. [Bargiela et al., 2003] Bargiela A., Pedrycz W. Granular Computing: an Introduction. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003.

18. [Casati et al., 1999] Casati R., Varzi A. Parts and Places: the Structures of Spatial Representation. - Сambridge MA: MIT Press, 1999.

19. [Gruber, 1993] Gruber T. R. A Translation Approach to Portable Ontologies// Knowledge Acquisition.-1993.-№5 (2).

20. [Guarino et al., 1995] Guarino N., Giaretta P. Ontologies and Knowledge Bases. Towards a Terminological Clarification// Towards Very Large Knowledge Bases/ Ed. by N.J.I. Mars. - Amsterdam: IOS Press, 1995.

21. [HGC, 2008] Handbook of Granular Computing/ Ed. by W.Pedrycz, A.Skowron, V.Kreinovich. - New York: Wiley InterScience, 2008.

22. [HSL, 2007] Handbook of Spatial Logics/ Ed. by M. Aiello, I. Pratt-Hartmann, J. van Benthem. - Berlin: Springer Verlag, 2007.

23. [Smith, 1996] Smith B. Mereotopology: A Theory of Parts and Boundaries// Data and Knowledge Engineering. -1996. - Vol.20.

24. [Turksen, 2007] Turksen B. Ontological and Epistemological Grounding of Fuzzy Theory// Proceedings of the Fourth International Conference on Soft Computing, Computing with Words and Perceptions in System Analysis, Decision and Control (ICSCCW'2007, Antalya, Turkey, August 27-28, 2007)/Ed. by W. Pedrycz et al.- Kaufering: b-Quadrat Verlag, 2007.

25. [Zadeh, 1979] Zadeh L.A. Fuzzy Sets and Information Granularity// Advances in Fuzzy Sets Theory and Applications/ Ed. by M.M.Gupta, R.K.Ragade, R.R.Yager. -Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1979.

26. [Zadeh, 1997] Zadeh L.A. Toward a Theory of Fuzzy Information Granulation and its Centrality in Human Reasoning and Fuzzy Logic// Fuzzy Sets and Systems. - 1997. - Vol.90.

Размещено на Allbest.ru

...