Принципы компьютерного моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Построить математическую модель механической системы, состоящей из пружины с жесткостью =110 н/м, один конец которой закреплен, а на другом находится тело массой =1,4 кг. Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент вязкого сопротивления =0,7 кг/с. Смещение тела из положения равновесия равно =10 см.

Найти:

а) амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;

б) частоту и период затухающих колебаний системы;

в) уравнение огибающей кривой колебаний;

г) смещение, скорость и ускорение тела в момент времени =4 с для затухающих колебаний.

Построить графики смещений свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени.

Решение

Обозначим через величину отклонения тела от положения равновесия в произвольный момент времени .

Рассмотрим силы, действующие на колеблющееся тело [1]:

Во-1-х, это - упругая сила пружины , которая пропорциональна величине отклонения тела от положения равновесия и величине жесткости пружины . Знак «-» показывает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению отклонения.

Во-2-х, это - сила вязкого трения , которая пропорциональна величине скорости V=x¹ и коэффициенту вязкого сопротивления . Знак «-» показывает, что сила направлена в сторону, противоположную вектору скорости движения тела.

Тогда уравнение движения тела на основании второго закона Ньютона может быть записано в виде

mx¹¹=-kx-мx¹ (1)

Где x¹¹ - ускорение.

Преобразуем уравнение (1), перенося все слагаемые в левую часть, разделив на и введя обозначения:

, .

Получим вместо (1) уравнение

X¹¹+2вx¹+щ²₀x=0, (2)

Уравнение (2) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Из условий задачи следует, что уравнение (2) нужно решать для начальных условий вида:

(начальное смещение); (3)

x¹(0)=0 (начальная скорость). (4)

В случае отсутствия сопротивления среды () уравнение (2) принимает вид

x¹+ щ²₀x=0, (5)

которое описывает свободные колебания механической системы.

Решая дифференциальное уравнение (5) с условиями (3), (4) в системе maxima [2], получим

(%i1) assume (w0>0);

(%o1) [w0 > 0]

(%i2) ode2 ('diff(x, t, 2)+w0^2*x = 0, x, t);

(%o2) x =%k1 sin (t w0) +%k2 cos (t w0)

(%i3) ic2 (%o2, t=0, x=x0,'diff (x, t)=0);

(%o3) x = cos (t w0) x0

Откуда следует, что решение задачи (5), (3), (4) имеет вид

. (6)

Выражение (5) представляет собой синусоидальную зависимость с круговой частотой и амплитудой . Подставляя числовые значения исходных данных, получим:

амплитуду свободных колебаний механической системы 0,1 м;

частоту свободных колебаний механической системы

1,411Гц;

период свободных колебаний механической системы

0,708 с.

График функции (6) (смещений свободных колебаний системы) в зависимости от времени представлен на рисунке 1 (значения по оси ординат указаны в м).



Рисунок 1

Решая дифференциальное уравнение (2) с условиями (3), (4) в системе maxima, получим

(%i1) assume (w0>0);

(%o1) [w0 > 0]

(%i2) assume (b>0);

(%o2) [b > 0]

(%i3) assume (w0-b>0);

(%o3) [w0 > b]

(%i4) ode2 ('diff(x, t, 2)+2*b*'diff (x, t)+w0^2*x = 0, x, t);

2 2

- b t t sqrt (4 w0 - 4 b)

(%o4) x =%e (%k1 sin(-)

2

2 2

t sqrt (4 w0 - 4 b)

+%k2 cos(-))

2

(%i5) ic2 (%o4, t=0, x=x0,'diff (x, t)=0);

2 2

- b t t sqrt (4 w0 - 4 b)

(%o5) x =%e (cos(-) x0

2

2 2

2 2 t sqrt (4 w0 - 4 b)

b sqrt (4 w0 - 4 b) sin(-) x0

2

- -)

2 2

2 b - 2 w0

Откуда следует, что решение задачи (2), (3), (4) имеет вид

, (7)

где .

Частота затухающих колебаний системы

1,41 Гц;

период свободных колебаний механической системы

1,41 с.

Множитель в выражении (7) представляет собой огибающую кривой колебаний.

Смещение, скорость и ускорение тела в момент времени =4 с для затухающих колебаний получим по выражению (7) в maxima, выполняя дифференцирование выражения (7) (для скорости и ускорении) и подставляя числовые значения параметров:

(%i1) x(t):=exp (-b*t)*x0*(cos (w*t)+b/w0*sin (w*t));

b

(%o1) x(t):= exp((- b) t) x0 (cos (w t) + - sin (w t))

w0

(%i2) define (x1 (t), diff (x(t), t));

- b t b w cos (t w)

(%o2) x1 (t):=%e (- - w sin (t w)) x0

w0

- b t b sin (t w)

- b % e (- + cos (t w)) x0

w0

(%i3) define (x2 (t), diff (x(t), t, 2));

2

- b t b w sin (t w) 2

(%o3) x2 (t):=%e (- - - w cos (t w)) x0

w0

2 - b t b sin (t w)

+ b %e (- + cos (t w)) x0

w0

- b t b w cos (t w)

- 2 b % e (- - w sin (t w)) x0

w0

(%i4) k:110; m:1,4; mu:0.7; x0:0.1; T:4;

(%i5) w0:sqrt (k/m); b:mu/(2*m); w:sqrt (w0^2-b^2);

(%i6) x(T);

(%o6) -0.02411190031657135

(%i7) x1 (T);

(%o7) 0.2523833765746646

(%i8) x2 (T);

(%o8) 1.768314765157559

Таким образом, смещение, скорость и ускорение тела в момент времени =4 с для затухающих колебаний соответственно равны:

-0,0078 м, x¹-0,512 м/с, x¹¹ 1,3306 м/с².

График функции (7) (смещений затухающих колебаний системы) в зависимости от времени представлен на рисунке 2.

Рисунок 2

Ответ:

а) 0,1 м; 1,411 Гц; 0,708 с;

б) 1,4109 Гц; 0,708 с;

в) ;

г) -0,0078 м, x¹-0,512 м/с, x¹¹ 1,3306 м/с².

Задание 2

Провести идентификацию эмпирической математической модели.

А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка

, . (1)

Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка

, . (2)

Считаем, что величина измерена точно, а - с ошибкой , имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием () и единичной дисперсией (). Проверить адекватность модели методом Фишера и сравнить модели А) и Б) с моделью линейной регрессии.

Исходные данные

№ точки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	12,9	32,25	42	42,8	55	69,6	68,2	89,7	90	105,6	109

Решение:

Для расчета коэффициентов , , , моделей (1), (2) использовалась процедура linear_regression математического пакета maxima. Входным параметром процедуры является матрица, в первых столбцах которой формируются значения аргументов (независимых факторов) модели (, , ), а в последнем - значения зависимого фактора (). В выходных параметрах процедуры представлены рассчитанные значения коэффициентов , , ,… и некоторые статистические оценки полученной модели.

Для получения коэффициентов , , параболической модели (1) последовательность команд для формирования параметров и вызова процедура linear_regression представлена ниже:

В блоке выходных параметров b_estimation представлены рассчитанные значения коэффициентов , , . Таким образом, модель (1) принимает вид

. (3)

Для проверки адекватности модели по критерию Фишера рассчитываются характеристики разброса функции , учтенные в модели - и неучтенные - [3].

Величина рассчитывается по модельным значениям и среднему значению наблюдаемых значений (из таблицы 1)

 (4)

где - общее число наблюдений (в рассматриваемом случае ); - число параметров модели (кроме ). В случае модели (3) 2.

Численное значение 4780.

Величина рассчитывается по модельным значениям и всем наблюдаемым значениям (из таблицы)

(5)

Численное значение 25,4 (заметим, оно рассчитывается в качестве выходного параметра v_estimation в linear_regression, см. выше).

Далее рассчитывается экспериментальное значение критерия Фишера

, (6)

Таким образом, 188,2.

Сравнивая расчетное значение параметра с табличным значением 4,459 [3], убеждаемся что . Следовательно, модель (1)/(3) является адекватной по критерию Фишера.

Проведем расчет коэффициентов , , , модели третьей степени (2):



Таким образом, модель (2) принимает вид

. (7)

Для проверки адекватности модели по критерию Фишера также рассчитываются параметры и , а затем и по формулам (4) - (6) с учетом того, что 3.

Значение 59,4, табличное значение 4,347. Поскольку то и модель (2)/(3) является адекватной по критерию Фишера.

Для построения линейной модели также используем процедуру linear_regression:

Из чего следует, что линейная модель имеет вид

математический механический модель колебание

.

Эта модель также является адекватной по критерию Фишера.

На рисунке 1 представлены графики зависимостей (утолщенная сплошная линия) и (пунктирная линия). Видно, что регрессионные модели достаточно хорошо отражают зависимость от . Графики показывают, что линии и практически не различимы. Следовательно, можно ограничиться линейной моделью (8).

Рисунок 1

На рисунке 2 аналогично представлены зависимости для двух моделей и . В этом случае наблюдается некоторое отличие графиков. На кривой явно выражены нелинейные участки. Но для того, чтобы проверить, действительно ли в связи и есть нелинейные составляющие следует провести дополнительную серию экспериментов.



Рисунок 2

Список литературы

1 Совертков, П.И. Занимательное компьютерное моделирование в элементарной математике. Учебное пособие / П.И. Совертков. - М.: Гелиос АРВ, 2004.

2 URL: http://maxima.sourceforge.net/documentation.html

3 Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. - СПб.: Питер. 2001.

4 Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 2001. - 320 с.

5 Киндлер Е. Языки моделирования. - М.: Энергия, 1995. - 288 с.

6 Вендров А.М. Современные методы и средства проектирования информационных систем. - М, 2004. - 154 с.

Размещено на Allbest.ru

...