Геоинформационное моделирования пространственно-временных геофизических процессов с полигармонической структурой

4. Эмпирическое установление причинно-следственных связей (оценка "масштабности" факторов).

5. Расчёт параметров полиномиальной модели.

Большое внимание уделено алгоритмам расчётов, разработка которых позволила устранить некоторые недостатки, имеющиеся в современных программных пакетах, установить значимые взаимосвязи между разработанным методом расчётов и взаимнокорреляционным анализом, а также обеспечить автоматизацию расчётов.

В процессе проведения исследований были построены полигармонические модели нескольких сотен временных рядов характеризующих, в основном, климатические изменения в северо-западной Атлантике. При анализе полученных результатов были выделены семь рядов, полигармонические модели которых содержали составляющую с периодом 120 лет. Параметры этих моделей и доверительные интервалы приведены в табл. 8.

Таблица 8

Параметры полигармонических моделей временных рядов

Анализ таблицы показал, что наименьшей "масштабностью" характеризуется уровень Каспийского моря. Поэтому дальнейшая задача заключается в отыскании зависимости уровня Каспия (интересующей величины) от других процессов, рассматриваемых в качестве влияющих.

При неизвестном виде искомой зависимости было предложено искать её в классе полиномиальных моделей. Принято следующее уравнение модели:

,

где y^* - модель интересующей величины, x_i - влияющие факторы, m1, m2, m3, m4 - номера факторов, причём x₀=1 j, а 0m1m2, 0m2m3, 0m3m4, 0m4n (количество факторов).

Показано, что

- остановка итерационного процесса должна проводиться по правилу: относительное уменьшение остаточной дисперсии за один цикл итераций не превышает 10^-6;

- необходимо поэтапное построение модели: первый порядок - второй - третий - четвёртый, с принятием в качестве нулевой гипотезы результатов, полученных для предыдущего порядка (для первого порядка - среднее);

- предварительная нормализация исходных данных нецелесообразна.

Максимальное количество параметров полиномиальных моделей, практически рассчитанное с помощью предложенного алгоритма, равно 70.

Расчёт параметров многофакторных полиномиальных моделей, проводился по разработанному алгоритму, характеризующемуся следующими преимуществами:

- использование критерия значимости влияния рассматриваемых факторов;

- использование критерия достаточности степени полинома;

- возможность обработки взаимозависимых факторов;

- практическое отсутствие ограничений на количество параметров модели;

- программная устойчивость алгоритма.

Метод проиллюстрирован на примере расчёта параметров модели зависимости уровня Каспия (y) от шести влияющих климатических факторов (x), приведённых в табл. 8. Число пересекающихся значений рядов N=94. Исследуемые ряды пропусков не содержат. Алгоритм расчёта параметров модели аналогичен разработанному в третьей главе для полигармонических моделей.

При расчёте полиномиальных моделей процедура сканирования (последовательного просмотра) заключается в том, что для каждого из факторов последовательно строятся модели с первого по четвёртый порядок включительно: где k - порядок модели, а j - номер влияющего фактора. При этом находятся четыре отношения: для каждого из факторов, где - значение минимума остаточной дисперсии, достигнутое для искомого порядка модели (верхний индекс), D[y] - дисперсия интересующей величины. Аналогичные отношения находятся для моделей связей двух, трёх и четырёх факторов.

На основании проведённых расчётов составляется таблица, которая анализируется по следующим правилам.

1. Критерий принятия решения: . Разницу составляет значение коэффициента k, который, как было установлено в процессе исследований, при расчёте полиномиальных моделей должен иметь большие значения. Эта разница объясняется, во-первых, зависимостью между соседними отсчётами в случае синтеза полигармонической модели, что препятствует уменьшению остаточной дисперсии, а, во-вторых, возможными отклонениями истинной зависимости в исследованных временных рядах от полигармонической. В рассматриваемом примере k=1.5 (=0.24), F_кр=1.16.

2. Порядок модели по отдельно взятому фактору выбирается, исходя из условия:

В результате анализа исходная таблица была сокращена (см. табл. 9). Номера столбцов в табл. 9 соответствуют порядку модели. Для каждого фактора подчёркиванием выделен необходимый и достаточный порядок модели на принятом уровне значимости.

Таблица 9

Сокращённые результаты расчёта влияния рассматриваемых факторов () на уровень Каспийского моря

Заметим, что в рассматриваемом примере влияние связей двух и более факторов на интересующую величину значимо не проявилось.

Первая ступень построения модели интересующей величины заканчивается на том, что из сокращённой таблицы выбирается частная модель интересующей величины от одного фактора, с наибольшим отношением F: .

Затем в полученную модель первой ступени (зависимость интересующей величины от одного фактора) по очереди вводятся ранее полученные значимые зависимости. Нулевой гипотезой при этом является не

а значения, модели первой ступени; a_j=.0 только для слагаемых, включающих вводимые параметры. Например, для модели, в которую введён фактор Ocean:

Kas=a₀+a₁Continent+a₂Ocean+a₃Continent²+a₄Ocean²+a₅Continent³+a₆Continent⁴.

Подобный подход при выборе нулевой гипотезы при введении в модель второго фактора позволяет отталкиваться не от исходной дисперсии D[y], а от уже достигнутого минимума остаточной дисперсии (), что гарантирует и получение минимума остаточной дисперсии для модели второй ступени (от двух факторов), а также значительно уменьшает трудоёмкость расчётов.

Введение второй составляющей позволило получить значимое улучшение модели в двух случаях: Np и Asp. Влияние фактора Np значительно превосходит влияние фактора Asp, поэтому модель по двум факторам является функцией от Continent и Np:

.

При построении модели третьей ступени введение фактора Asp не даёт значимого увеличения отношения F, поэтому при решении поставленной задачи достаточно ограничиться моделью второй ступени. При этом среднее квадратическое отклонение интересующей величины [Kas] уменьшается в 11.9 раза и составляет [u]=10.1 при диапазоне изменения Kas[-104;260].

Рис. 11 Отклонение удельных масс воды на континентах (фактор Continent)

Рис. 12 Положение Северного полюса (фактор Np)

Рис. 13 Совмещённые графики уровня Каспийского моря (сплошная линия) и его модели второй ступени от факторов Continent (четвёртый порядок) и Np (первый порядок) (прерывистая линия)

Заметим, что фактор Ocean, несмотря на значительную степень своего влияния на интересующую величину (см. табл. 9), не присутствует в уравнении модели. Причина этого заключается в том, что факторы Continent и Ocean являются взаимозависимыми, причём фактор Continent преобладает. Для подтверждения этого положения была построена модель, в которой в качестве интересующей величины был выбран фактор Ocean, а в качестве влияющего фактора - Continent. Результаты моделирования представлены в табл. 10.

Таблица 10

Модель влияния фактора Continent на фактор Ocean

Модель второго порядка характеризуется величиной , которая более чем на порядок превышает пороговую.

Кроме того, попытка построения модели третьей ступени путём введения в неё фактора Ocean приводит к практически нулевому уменьшению отношения F. Таким образом, подтверждена необходимость применения многоступенчатого итерационного подхода к расчёту параметров моделей.

Алгоритм отрабатывался на большом количестве экспериментальных данных и результатах статистического моделирования (метод Монте-Карло).

Для модели второго порядка коэффициент k должен находиться в интервале [0.8, 2.3] ([0.16, 0.34]). При меньших значениях коэффициента k увеличивается вероятность ошибки второго рода (неоправданно увеличивается сложность модели), при больших - отбрасываются, обычно, нелинейные члены, и модель вырождается в линейную. Так, в рассмотренном примере при k=2.5 (=0.14) модель уровня Каспия выражается линейной зависимостью от факторов Continent и Np (см. рис. 14). При этом среднее квадратическое отклонение интересующей величины [Kas] уменьшается в 9.2 раза и составляет [u]=13.2 при диапазоне изменения Kas[-104;260].

Рис. 14 Совмещённые графики уровня Каспийского моря (сплошная линия) и его линейной модели второй ступени от факторов Continent и Np (прерывистая линия)

Моделирование метрологических характеристик алгоритма методом Монте-Карло позволило сделать следующие выводы.

- В случае, когда вид модели совпадает с истинной зависимостью, при относительной погрешности исходных данных равной 1% относительная погрешность модели составляет также 1%; для 5% - 5%.

- Оценки интересующей величины для широкого диапазона условий являются несмещёнными и состоятельными.

- При увеличении порядка модели увеличивается вероятность принятия ошибочного решения, как при определении порядка, так и при определении количества факторов, входящих в модель.

- Для модели второго порядка значения коэффициента k должны находиться в интервале ]0.8;2.3[ (]0.14;0.37[). Для третьего порядка - в интервале ]1.8;2.2[ (]0.15;0.20[). Таким образом, при повышении порядка модели интервал возможных изменений коэффициента k значительно (примерно в 3 раза) сужается.

Предложенный метод позволяет анализировать первоначальный состав влияющих факторов и исключать из рассмотрения те из них, влияние которых не существенно при принятом уровне значимости, что значительно сокращает трудоёмкость расчётов и трудности при интерпретации модели.

Предложенный критерий значимости основан на рассмотрении статистики Фишера (отношении дисперсий), однако пороговая величина линейно зависит от параметра значимости k, что значительно упрощает расчёты и не требует использования специальных таблиц. Решение же о достигнутом уровне значимости во многих случаях может быть заменено экспертным решением о пригодности полученных результатов для дальнейшего использования и об их соответствии информации, не использованной для построения модели. Более того, эти решения должны приниматься на основе анализа не одной, а нескольких моделей, построенных для различных уровней значимости.

Метод устойчив к взаимозависимости факторов и не допускает учёта в итоговой модели влияющих факторов, значимо зависящих друг от друга, что снимает проблему взаимозависимости, присущую большинству современных методов математического описания экспериментальных данных.

Предложенный метод свободен от одного из основных недостатков минимизации остаточной дисперсии, который заключается в том, что при увеличении количества влияющих факторов остаточная дисперсия уменьшается независимо от того, что это за факторы.

В приложении приведён листинг программы расчёта стационарных параметров полигармонических моделей временных рядов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертации разработано математическое и программное обеспечение геоинформационного моделирования пространственно-временных геофизических процессов с полигармонической структурой для долгосрочного прогнозирования изменения исследуемых процессов и установления причин взаимозависимости между ними. Показано, что полигармоническая структура эмпирически может устанавливаться как со стационарными, так и с нестационарными параметрами. В зависимости от этого для математического описания разработаны геоинформационные модели и методы расчёта их параметров. Геоинформационное моделирование пространственно-временных геофизических процессов с полигармонической структурой проводилось на основании данных, характеризующих, в основном, климатическую изменчивость на территории Европы.

Основные научные и практические результаты работы состоят в следующем.

1. Разработан геоинформационный метод периодограмм-анализа с реализацией устойчивого итерационного трёхпараметрического процесса, позволяющий рассчитывать параметры полигармонических моделей пространственно-временных геофизических процессов, заданных рядами с пропусками и неравномерной дискретизацией, включающих составляющие с периодом, превышающим интервал наблюдений, что позволяет, в частности, осуществлять долгосрочный прогноз изменения исследуемых процессов.

2. Разработан геоинформационный метод расчёта параметров модели взаимозависимости пространственно-временных геофизических процессов со стационарными параметрами полигармонической структуры, позволяющий объяснять причины взаимозависимости на основе сходства продолжительностей длительных периодов.

3. Разработана геоинформационная модель пространственно-временных геофизических процессов с нестационарными периодами и нелинейной амплитудой, отражающей характеристики нарастания/затухания интенсивности.

4. Разработана полигармоническая модель ряда солнечной активности, включающая составляющую с периодом 1800 лет, объясняющую современное глобальное потепление климата Земли с позиций изменения солнечной активности. Найдены геоинформационные подтверждения прогноза изменения солнечной активности на протяжении последних 2500 лет на примере климата Европы.

5. Разработана полигармоническая модель ряда уровня Каспийского моря, включающая составляющую с периодом 124 года. Найдены геоинформационные подтверждения прогноза изменения уровня Каспийского моря на протяжении последних 100 лет.

Работы, опубликованные по теме диссертации

Монография:

1. Якушев Д.И. Алгоритмы математического моделирования/Д.И. Якушев. СПб.: МГП Поликом, 2002.-100с.

Публикации в журналах из перечня ВАК:

2. Якушев Д.И. К вопросу моделирования авторегрессией второго порядка/ Д.И. Якушев//Известия ГЭТУ. СПб.: ГЭТУ, 1994. Вып. 469. C.76-80.

3. Якушев Д.И. Обработка результатов измерений методом Гаусса-Зейделя/ Д.И. Якушев//Известия ГЭТУ. СПб.: ГЭТУ, 1995. Вып. 479. C.64-68.

4. Якушев Д.И. Прорежение автокорреляционных функций/Д.И. Якушев //Известия ГЭТУ. СПб.: ГЭТУ, 1996. Вып. 496. C. 88-90.

5. Якушев Д.И. О задаче выделения периодичностей/Д.И. Якушев// Известия СПбГЭТУ. Науч. Приборостроение. СПб.: ГЭТУ, 2001. Вып. 1. С. 32-35.

6. Якушев Д.И. Моделирование гласных звуков/Д.И. Якушев, О.П. Скляров //Акустический журнал, 2003. Т.49, №4. С. 567-569.

Рукописи, депонированные в ВИНИТИ:

7. Якушев Д.И. Асимметрия и эксцесс спектров стационарных случайных процессов/Д.И. Якушев//С.-Петерб. электротехн. ун-т. С-Пб, 1996. 15c. Деп. в ВИНИТИ. 17.01.96, № 195-В96.

8. Якушев Д.И. Метод выделения нестационарных периодов/Д.И. Якушев //С.-Петерб. электротехн. ун-т. СПб., 2004. 8с. Деп. в ВИНИТИ. 10.02.04, № 231-В2004.

9. Якушев Д.И. Метод расчёта параметров авторегрессионной зависимости/Д.И. Якушев//С.-Петерб. электротехн. ун-т. СПб., 2004. 7с. Деп. в ВИНИТИ. 10.02.04, № 233-В2004.

10. Якушев Д.И. Метрологические характеристики алгоритма выделения периодических составляющих/Д.И. Якушев//С.-Петерб. электротехн. ун-т. СПб., 2004. 9с. Деп. в ВИНИТИ. 10.02.04, № 236-В2004.

11. Якушев Д.И. Исследование колебаний уровня Каспия/Д.И. Якушев// С.-Петерб. электротехн. ун-т. СПб., 2004. 6с. Деп. в ВИНИТИ. 10.02.04, № 234-В2004.

12. Якушев Д.И. Выделение из временного ряда гармонических составляющих/Д.И. Якушев//С.-Петерб. электротехн. ун-т. СПб., 2004. 9с. Деп. в ВИНИТИ. 10.02.04, № 235-В2004.

13. Якушев Д.И. Расчёт параметра логистического уравнения по экспериментальным данным с пропусками/Д.И. Якушев//С.-Петерб. электротехн. ун-т. С-Пб, 2004. 9с. Деп. в ВИНИТИ. 10.02.04, № 232-В2004.

Другие публикации:

14. Оптимизация режимов экспериментальной установки электродуговой вакуумной очистки проволоки/Д.И. Якушев, В.И. Криворотов, А.Г. Трояножко, В.Л. Чабан//Вестник технологии судостроения. 2000. №6. С.35-37.

15. Якушев Д.И. К расчёту параметров многофакторных полиномиальных регрессионных моделей/Д.И. Якушев//Вестник Санкт-Петербургского отделения Метрологической академии. СПб.: ВНИИМ им. Д.И. Менделеева. 2001. №8. С.71-80.

16. Якушев Д.И. Определение степени аппроксимирующего полинома/Д.И. Якушев//Вестник Санкт-Петербургского отделения метрологической академии. СПб.: ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 2003. Вып. 10. С. 37-43.

Тезисы к докладам на международных и всероссийских конференциях:

17. Антонов А.Е. О гелиоциклах и уровне солнечной активности на рубеже XX и XXI веков/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев, А.В. Жукова//Циклы природы и общества: Тез. докл. V междунар. конф., г. Ставрополь, 1997г. Ставрополь, 1997. C.135-137.

18. Антонов А.Е. Эволюция гелио- и геофизических процессов в полигармоническом представлении и ожидаемые тенденции в изменении климата на территории Восточной Европы и России в XXI веке/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев// Фундаментальные проблемы естествознания: Материалы междунар. науч. конгр., г. Санкт-Петербург, 1998г. СПб., 1998. C. 8.

19. Антонов А.Е. О сверхвековом цикле солнечной активности/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев//Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций: Тез. докл. всеросс. науч.-техн. конф., г. Санкт-Петербург, 1998г. СПб.: СПбГЭТУ, 1998. С.11-12.

20. Антонов А.Е. О выявлении циклических закономерностей в геофизических рядах/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев//Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 1999г. СПб., 1999. C. 137-140.

21. Антонов А.Е. О взаимодействии сверхвековых и внутривековых климатоформирующих циклов/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев//Циклы: Материалы I междунар. конф., г. Ставрополь, 1999г. Ставрополь, 1999. С. 48-49.

22. Антонов А.Е. Современный климатический тренд и ожидаемый уровень гелио- и геофизических процессов в XXI веке/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев//Циклы: Материалы II междунар. конф., г.Ставрополь, 2000г.-Ставрополь, 2000. С. 34-37.

23. Антонов А.Е. Циклоэнергетика геофизических и биопродукционных процессов/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев//Циклы: Материалы III междунар. конф., г. Ставрополь, 2001г. Ставрополь, 2001. Ч.3. С. 24-25.

24. Антонов А.Е. Энергетика периодических колебаний геофизических и биопродукционных процессов/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев// IV Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 27-30 июня 2001г. СПб., 2001. Т.2. С.208-210.

25. Антонов А.Е. Сверхвековой цикл солнечной активности и его климатоисторическое подтверждение/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев//Циклы природы и общества: Материалы X междунар. конф., г. Ставрополь, 2002г. Ставрополь, 2002. Т.1. С.47-50.

26. Антонов А.Е. Исследование зависимости уровня Каспия от климатических факторов/А.Е. Антонов, Д.И. Якушев//Пространство, Время, Тяготение: Материалы VII междунар. науч. конф., г. Санкт-Петербург, Россия, август 19-23, 2002. СПб.: ТЕССА, 2003. С.89-93.

27. Скляров О.П., Порошин А.Н., Якушев Д.И. Экспертная система для исследования и коррекции речевых нарушений и хаусдорфова размерность V-ритма речи/О.П. Скляров, А.Н. Порошин, Д.И. Якушев//ФАМ'2003: Труды Второй Всеросс. конф., г. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003г. Красноярск, 2003. Ч.II. C.181-187.

28. Якушев Д.И. Проблемы производства фонографических экспертиз с применением программно-аппаратного комплекса "Диалект"/Д.И. Якушев // Актуальные вопросы организации и производства судебных экспертиз: Материалы междунар. школы-семинара, г. Санкт-Петербург, 26-29 мая 1998г. СПб., 1999. C.66-72.

29. Якушев Д.И. К вопросу о выделении периодичностей/Д.И. Якушев // Актуальные вопросы организации и производства судебных экспертиз: Материалы междунар. школы-семинара, г. Санкт-Петербург, 26-29 мая 1998г. СПб., 1999. C.72-82.

30. Якушев Д.И. Математическая обработка лингвистического описания качества металлургических процессов/ Д.И. Якушев//Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 27-30 июня 2000г. СПб., 2000. Т.1. С.140-142.

31. Якушев Д.И. Организация баз данных на основе экспертных оценок объектов/Д.И. Якушев//Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 27-30 июня 2001г. СПб., 2001. Т.1. С.202-203.

32. Якушев Д.И. Алгоритмы математического моделирования в области информационно-измерительных и управляющих систем/Д.И. Якушев// 55-ая конф. профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ, г. Санкт-Петербург, 31 янв. 2002г. СПб., 2002.

33. Якушев Д.И. О постановке задачи моделирования/Д.И. Якушев// V Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 2002г. СПб., 2002. С.284-285.

34. Якушев Д.И. Метод выделения гармонических составляющих из временных рядов/Д.И. Якушев//Методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации: Материалы междунар. науч.-техн. конф., г. Пенза, 22-24 октября 2002г. Пенза, 2002. С. 6-7.

35. Якушев Д.И. Определение параметров полигармонической модели временных рядов с аддитивным шумом Коши/Д.И. Якушев//Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 26-28 июня 2003. СПб., 2003. Т.1. С.383-385.

36. Якушев Д.И. Итерационный подход к нахождению параметров моделей/ Д.И. Якушев//Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 2002г. СПб., 2002. Т.3. С. 95-98.

37. Якушев Д.И. Подготовка данных при построении моделей/Д.И. Якушев // Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 26-28 июня 2003г. СПб., 2003. Т.1. С.386-387.

38. Якушев Д.И. Субъективный характер моделирования/Д.И. Якушев, С.О. Урюпов//Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 2002г. СПб., 2004. Т.3. С.99-101.

39. Якушев Д.И. Эмпирические алгоритмы, программы и модели для описания климатических и звуковых временных рядов/Д.И. Якушев//57-ая конф. профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ, г. Санкт-Петербург, январь-февраль 2004г. СПб., 2004.

40. Antonov A.E. Correlation of variability of the climatic factors (Взаимозависимость изменчивости климатических факторов)/A.E. Antonov., D.I. Yakushev// V Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям: Сб. докл., г. Санкт-Петербург, 2002г. СПб., 2002. С.286-287.

41. Skljarov O.P. An expert system for study and correction of speech disorders and hausdorff dimension of the speech V-rhythm (Экспертная система для исследования и коррекции речевых нарушений и хаусдорфова размерность V-ритма речи)/O.P. Skljarov, A.N. Poroshin, D.I. Yakushev//FAM'2003: Proc. of the Second All-Russian Conference, Krasnoyarsk, 2003. Krasnoyarsk: ICM SB RAS, 2003. P.II.- P.188-194.

42. Skljarov O.P. Hausdorff dimension of the speech V-rhythm and an expert system of partner-learning special type (Хаусдорфова размерность V-ритма речи и экспертная система специального партнёрского типа)/O.P. Skljarov, A.N. Poroshin, D.I. Yakushev//XIII Сессия Российского Акустического общества: Труды, г. Москва, АКИН, 19-23 ноября 2003г.М., 2003. P.513-516. http://library.akin.ru/rao/sess13/sect8s.htm

43. Yakushev D.I. Modelling of sonants (Моделирование сонантов)/D.I. Yakushev//SPECOM'2002. Proc. of international Workshop Speech and Computer. St. Peterburg, September 2-5, 2002. St. Peterburg, 2002. P.87-90.

44. Yakushev D.I. Calculation of a logistics equation parameter on experimental data with the miss (Вычисление параметра логистического уравнения по экспериментальным данным с пропусками)/D.I. Yakushev//Physcon-2003: Proceedings (CD) St. Peterburg, 2003. P.699-702.

Размещено на Allbest.ru