Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ"

Кафедра «Экономической кибернетики»

Контрольная работа

по дисциплине "Методы оптимальных решений"

Выполнил студент 210 группы Ахмитов Р.Р. 1621001

Проверил: Горбушина Н.В.

Ижевск 2018



Содержание

Основные этапы моделирования

Линейное программирование. Формулировка задачи линейного программирования

Задача

Список литературы



Основные этапы моделирования

Быстрое развитие и усложнение современных технических средств, появление новых многоплановых видов социально-экономических явлений - приводит к необходимости применения моделирования для описания структуры и организации различных процессов целенаправленной человеческой деятельности с целью наилучшего управления такими процессами.

Зачастую управленческие решения принимаются интуитивно, опираясь на опыт и здравый смысл. Однако, чем сложнее система, чем больше ее себестоимость и размер последствий, тем менее допустимы «волевые решения», связанные с большой вероятностью ошибок, и тем большее значение приобретает «совокупность научных методов, позволяющих оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые и рекомендовать наиболее удачные варианты».

Выбранное решение должно по возможности гарантировать нас от ошибок, связанных с неточным прогнозом и быть достаточно эффективным для широкого круга условий.

Сходные черты социально-экономических явлений заключаются в том, что они представляют собой систему действий и факторов, преследующих определенную цель. Определены некоторые условия характеризующие ситуацию (например, отпущенные средства), изменять которые нет возможности, и требуется принять какое-то наиболее выгодное решение.

При этом моделирование используется как средство изучения и испытания объекта, системы, процесса путем замены его более удобной для экспериментального исследования моделью, сохраняющей существенные черты оригинала. Под моделью здесь понимается некоторый вспомогательный объект, обладающий способностью на определенных этапах исследования заменять (в том или ином смысле) изучаемый объект (оригинал) и давать информацию нем.

Анализ модели и наблюдение за ней позволяют познать суть реально существующего более сложного объекта, процесса или явления, называемогопрототипом или оригиналом. Т.О.

Модель - упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении.

Моделирование - построение моделей для исследования и изучения, объектов, процессов, явлений.

I этап. Постановка задачи

Под задачей в самом общем смысле этого слове понимается некая проблема, которую надо решать. На этапе постановки задачи необходимо отразить три основных момента: описание задачи, определение целей моделирования и анализ объекта или процесса.

Описание задачи

Задача (проблема) формулируется на обычном языке, и описание должно быть понятным. Главное здесь - определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат. От того, как будет понята проблема, зависит результат моделирования и, в конечном итоге, принятие решения.

По характеру постановки все задачи можно разделить на две основные группы.

К первой группе можно отнести задачи, в которых требуется исследовать, как изменятся характеристики объекта при некотором воздействии на него. Такую постановку задачи принято называть «что будет, если?». Например, как изменится скорость автомобиля через 6 с, если он движется прямолинейно и равноускоренно с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 0, 5 м/с²

Иногда задачи формулируются несколько шире. Что будет, если изменять характеристики объекта в заданном диапазоне с некоторым шагом? Такое исследование помогает проследить зависимость параметров объекта от исходных данных. Например, модель информационного взрыва:

«Один человек увидел НЛО и в течение следующих 15 минут рассказал об этом трем своим знакомым. Те в свою очередь еще через 15 минут сообщили о новости еще трем своим знакомым каждый и т. д. Проследить, каково будет количество оповещенных через 15, 30 и т. д. минут».

Вторая группа задач имеет такую обобщенную формулировку: какое надо произвести воздействие на объект, чтобы его параметры удовлетворяли некоторому заданному условию? Такая постановка задачи часто называется «как сделать, чтобы?..». Например, какого объема должен быть воздушный шар, наполненный газом гелием, чтобы он мог подняться с грузом 100 кг?

Наибольшее количество задач моделирования, как правило, являются комплексными. Например, задача изменения концентрации раствора: «Химический раствор объемом 5 частей имеет начальную концентрацию 70%. Сколько частей воды надо добавить, чтобы получить раствор заданной концентрации?». Сначала проводится расчет концентрации при добавлении 1 части воды. Затем строится таблица концентраций при добавлении 2, 8, 4... частей воды. Полученный расчет позволяет быстро пересчитывать модель с разными исходными данными. По расчетным таблицам можно дать ответ на поставленный вопрос: сколько частей воды надо добавить для получения требуемой концентрации.

Цель моделирования

Зачем человек создает модели?

Если модели позволяют понять, как устроен конкретный объект, узнать его основные свойства, установить законы его развития и взаимодействия с окружающим миром, то в этом случае целью построения моделей является познание окружающего мира.

Другая важная цель моделирования -- создание объектов с заданными, свойствами. Эта цель определяется постановкой задачи «как сделать, чтобы...».

Цель моделирования задач типа «что будет, если...» - определение последствий воздействия на объект и принятие правильного решения. Подобное моделирование имеет большое значение при обращении к социальным и др. проблемам.

Нередко целью моделирования бывает эффективность управления объектом (или процессом).

Анализ объекта

На этом этапе, отталкиваясь от общей формулировки задачи, четко выделяют моделируемый объект и его основные свойства. По сути, все эти факторы можно назвать входными параметрами моделирования. Их может быть довольно много, причем некоторые невозможно описать количественными соотношениями.

Очень часто исходный объект - это целая совокупность более мелких составляющих, находящихся в некоторой взаимосвязи. Слово «анализ» (от греч. «analysis») означает разложение, расчленение объекта с целью выявления составляющих, называемых элементарными объектами. В результате появляется совокупность более простых объектов. Они могут находиться между собой либо в равноправной связи либо во взаимном подчинении. Схемы таких связей представлены на рис. 6 и 7.

Есть объекты и с более сложными взаимосвязями. Как правило, сложные объекты могут состоять из более простых с разными видами взаимосвязей.

В основу любой серьезной работы (будь то конструкторская разработка или проектирование технологического процесса, разработка алгоритма или моделирование) должен быть положен системный принцип «сверху - вниз», т. е. от общих проблем к конкретным деталям. Результат анализа объекта появляется в процессе выявления его составляющих (элементарных объектов) и определения связей между ними.

II этап. Разработка модели

Информационная модель

На этом этапе выясняются свойства, состояния, действия и другие характеристики элементарных объектов в любой форме: устно, в виде схем, таблиц. Формируется представление об элементарных объектах, составляющих исходный объект, т. е. информационная модель.

Модели должны отражать наиболее существенные признаки, свойства, состояния и отношения объектов предметного мира. Именно они дают полную информацию об объекте. Она может быть разносторонней и весьма обширной.

Информации не обязательно должно быть много. Важно, чтобы она была «по существу вопроса», т. е. соответствовала цели, для которой используется.

Чтобы изучить объект, человек собирает о нем информацию. В зависимости от того, с какой целью он исследуется, какими средствами и знаниями обладает человек, будет получена разная по объему информация. Один и тот же объект можно рассматривать с разных точек зрения и, соответственно, описывать его по-разному. Некоторые свойства объекта можно записать в виде формул, связывающих различные параметры. Например, закон сохранения массы при химических реакциях или законы преломления света и т. д. Для описания объектов, их свойств и отношений можно использовать различные схемы, рисунки, знаковые системы, числовые характеристики. И хотя информация не может заменить реальный объект, но каждое такое описание будет с разной степенью точности его характеризовать.

В информационной модели параметры объекта и его составляющих представлены в числовой, текстовой или иной форме, а действия в ходе исследования - в виде процессов обработки информации.

Информационные модели играют очень важную роль в жизни человека.

Знания, получаемые вами в институте, имеют вид информационной модели, предназначенной для целей изучения предметов и явлений.

Информационная модель никогда не характеризует объект полностью, да и не должна делать этого. Для одного и того же объекта можно построить различные информационные модели.

Выбор наиболее существенной информации при создании информационной модели и ее сложность обусловлены целью моделирования.

Построение информационной модели является отправным пунктом этапа разработки модели.

Все входные параметры объектов, выделенные при анализе, располагают в порядке убывания значимости и проводят упрощение модели в соответствии с целью моделирования. При этом отбрасываются факторы, несущественные с точки зрения того, кто определяет модель. Если же отбросить наиболее существенные факторы, то модель окажется неверной.

В зависимости от количества определяющих факторов можно построить несколько моделей. Во многих исследованиях используется прием создания моделей для одного объекта, начиная с простейших -- с минимальным набором определяющих параметров. Далее модели усложняются, т. е. вводятся те параметры, которые прежде были отброшены.

Иногда задача изначально может быть сформулирована в упрощенной форме. В ней четко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть.

Все элементарные объекты, выделенные при анализе, должны быть показаны во взаимосвязи. В информационной модели отображаются только бесспорные связи и очевидные действия. Такая модель дает первичную идею, определяющую дальнейший ход моделирования.

Знаковая модель

Информационная модель, как правило, представляется в той или иной знаковой форме, которая может быть либо компьютерной, либо некомпьютерной. Прежде чем взяться за компьютерное моделирование, человек делает предварительные наброски чертежей либо схем на бумаге, выводит расчетные формулы. Процесс творчества и исследования всегда предполагает мучительные поиски и корзины выброшенных черновиков. И лишь для простых, знакомых по содержанию задач не нужны некомпьютерные знаковые модели. Сегодня, когда компьютер стал основным инструментом исследователя, многие предпочитают и предварительные наброски, формулы сразу составлять и записывать на нем.

Компьютерная модель

Теперь, когда сформирована информационная знаковая модель, можно приступать собственно к компьютерному моделированию -- созданию компьютерной модели. Сразу возникает вопрос о средствах, которые необходимы для этого, т. е. об инструментах моделирования.

Существует бесчисленное множество программных комплексов, которые позволяют проводить исследование (моделирование) информационных моделей. Каждая программная среда имеет свой инструментарий и позволяет работать с определенными видами информационных объектов. Поэтому перед исследователем возникает нелегкий вопрос выбора наиболее удобной и эффективной среды для решения поставленной задачи.

Некоторые программные среды используются человеком как эффективное вспомогательное средство для реализации собственных замыслов. Иначе говоря, человек уже знает, какова будет модель, и использует компьютер для придания ей знаковой формы. Например, для построения геометрических моделей, схем используются графические среды, для словесных или табличных описаний -- среда текстового редактора.

Другие программные среды используются как средство обработки исходной информации и получения и анализа результатов. Здесь компьютер выступает как интеллектуальный помощник. Так ведется обработка больших объемов информации в среде баз данных или проводятся вычисления в электронных таблицах.

В процессе разработки компьютерной модели исходная информационная знаковая модель будет претерпевать некоторые изменения по форме представления, т. к. должна ориентироваться на конкретную программную среду и инструментарий.

Для словесных моделей используются текстовые процессоры с широкими возможностями оформления выходного документа -- редактором формул, встроенной деловой графикой, элементами таблиц.

Существуют разнообразные программы, позволяющие включать в описание блок-схемы алгоритмов, электронные схемы, диаграммы и т. п.

Информационные модели, где отображена не только информация об объектах, но и указаны их взаимосвязи, реализуются в системах управления базами данных.

Если же вы исследуете математическую модель, то вам не подходит ни среда графического редактора, ни среда базы данных, ни среда текстового процессора. Эффективное средство исследования математических моделей -- среда программирования, где компьютерная модель представляется в форме программы. Другой мощный инструмент исследования таких моделей -- среда электронной таблицы. Тут исходная информационная знаковая модель представляется в форме таблицы, связывающей элементарные объекты по правилам построения связей в этой среде.

Компьютерная модель -- модель, реализованная средствами программной среды.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что при моделировании на компьютере необходимо иметь представление о классах программных средств, их назначении, инструментарии и технологических приемах работы.

III этап. Компьютерный эксперимент

Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком прошлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых для него установках, либо на натуре, т. е. на настоящем образце изделия, подвергая его всяческим испытаниям. Для исследования, к примеру, эксплуатационных свойств какого-либо агрегата или узла его помещали в термостат, морозили в специальных камерах, трясли на вибростендах, роняли и т. п. Хорошо, если это новые часы или пылесос -- невелика потеря при разрушении. А если самолет или ракета?

Лабораторные и натурные эксперименты требуют больших материальных затрат и времени, но их значение тем не менее очень велико.

С развитием вычислительной техники появился новый уникальный метод исследования - компьютерный эксперимент. В помощь, а иногда и на смену экспериментальным образцам и испытательным стендам во многих случаях пришли компьютерные исследования моделей. Этап проведения компьютерного эксперимента включает две стадии: составление плана моделирования и технологию моделирования.

План моделирования должен четко отражать последовательность работы с моделью.

Часто план отображается в виде последовательности пронумерованных пунктов с описанием действий, которые необходимо осуществить исследователю с компьютерной моделью. Здесь не следует конкретизировать, каким надо воспользоваться программным инструментарием. Подробный план является своего рода отражением стратегии компьютерного эксперимента.

Первым пунктом такого плана всегда является разработка теста, а затем тестирование модели.

Тестирование - процесс проверки правильности модели.

Тест - набор исходных данных, для которых заранее известен результат.

Чтобы быть уверенным в правильности получаемых результатов моделирования, необходимо предварительно провести компьютерный эксперимент на модели для составленного теста. При этом вы должны помнить следующее:

* Во-первых, тест всегда должен быть ориентирован на то, чтобы проверить разработанный алгоритм функционирования компьютерной модели. Тест не отражает ее смыслового содержания. Однако полученные в процессе тестирования результаты могут натолкнуть вас на мысль изменения исходной информационной или знаковой модели, где заложено, прежде всего, смысловое содержание постановки задачи.

* Во-вторых, исходные данные в тесте могут совершенно не отражать реальную ситуацию. Это может быть любая совокупность простейших чисел или символов. Важно то, чтобы вы могли заранее знать ожидаемый результат при конкретном варианте исходных данных. Например, модель представлена в виде сложных математических соотношений. Надо ее протестировать. Вы подбираете несколько вариантов простейших значений исходных данных и заранее просчитываете конечный ответ, т. е. вам известен ожидаемый результат. Далее вы проводите компьютерный эксперимент с этими исходными данными и полученный результат сравниваете с ожидаемым. Они должны совпадать. Если не совпали, надо искать и устранять причину.

После тестирования, когда у вас появилась уверенность в правильности функционирования модели, вы переходите непосредственно к технологии моделирования.

Технология моделирования - совокупность целенаправленных действий пользователя над компьютерной моделью.

Каждый эксперимент должен сопровождаться осмыслением результатов, которые станут основой анализа результатов моделирования.

IV этап. Анализ результатов моделирования

Конечная цель моделирования - принятие решения, которое должно быть выработано на основе всестороннего анализа полученных результатов. Этот этап решающий - либо вы продолжаете исследование, либо заканчиваете. Возможно, вам известен ожидаемый результат, тогда необходимо сравнить полученный и ожидаемый результаты. В случае совпадения вы сможете принять решение. На рис. 5 видно, что этап анализа результатов не может существовать автономно. Полученные выводы часто способствуют проведению дополнительной серии экспериментов, а подчас и изменению модели.

Основой для выработки решения служат результаты тестирования и экспериментов. Если результаты не соответствуют целям поставленной задачи, значит, допущены ошибки на предыдущих этапах. Это может быть слишком упрощенное построение информационной модели, либо неудачный выбор метода или среды моделирования, либо нарушение технологических приемов при построении модели. Если такие ошибки выявлены, то требуется корректировка модели, т. е. возврат к одному из предыдущих этапов. Процесс повторяется до тех пор, пока результаты эксперимента не будут отвечать целям моделирования.

Линейное программирование. Формулировка задачи линейного программирования

Линейное программирование - направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.

Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

· задача о смесях (планирование состава продукции);

· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами);

· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

· математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

· данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

· целевая функция:

· ограничения:

= c₁x₁ + c₂x₂ +... + c_nx_n > max(min);

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n {? = ?} b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +... + a_2nx_n {? = ?} b₂,... a_m1x₁ + a_m2x₂ +... + a_mnx_n {? = ?} b_m;

информационный модель компьютерный программирование

· требование неотрицательности:

x_j ? 0,

При этом a_ij, b_i, c_j ( ) - заданные постоянные величины.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (2.1) при соблюдении ограничений (2.2) и (2.3).

Систему ограничений (2.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (2.3) - прямыми.

Вектор , удовлетворяющий ограничениям (2.2) и (2.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План , при котором функция (2.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.

Задача

1. Фабрика выпускает продукцию двух видов: П1 и П2. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются три исходных продукта - А, В, С. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т. соответственно. Расходы сырья А, В, С на 1 тыс. изделий П1 и П2 приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 тыс. изделий (т)	Максимально возможный запас (т)
	П1	П2
А	1	2	6
В	2	1	8
С	1	0,8	5

Изучение рынка сбыта показало, что спрос на изделие П2 никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки.

Рыночная цена 1 тыс. шт. изделия П1 равна 3 тыс. руб., а 1 тыс. шт. изделия П2 - 2 тыс. руб.

Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение:

Данную задачу постараюсь решить М-методом.

Введем переменные X1 и X2.

X1- объем производства продукции П1, тыс. шт./сут.

X2- объем производства продукции П2, тыс.шт./сут.

Так как стоимость 1 тыс. изделий П₁ равна 3 тыс. руб., суточный доход от её продажи составит 3Х₁ тыс. руб. Аналогично доход от реализации Х₂ тыс. шт. П₂ составит 2Х₂ тыс. руб. в сутки. Прибыль будет равна суммарному доходу продукции П1 и П2. Составим целевую функцию:

f(X) = 3X₁ + 2X₂ > max

Расход исходного продукта для производства обоих видов изделий должен не превышать максимально возможный запас данного исходного продукта. Отсюда следуют следующие ограничения:

Х₁ + 2Х₂ ? 6 (для А),

2Х₁ + Х₂ ? 8 (для В),

Х₁ + 0.8Х₂ ? 5 (для С).

Ограничения по спросу:

Х₂ ? 2 (максимальная величина спроса на изделия П₂)

X ₁ ? 0

Х₂ ? 0

Думается, что необходимо ввести ограничения:

X ₁ - целое число

Х₂ - целое число,

так как в условии сказано, что количество изделий должно быть в тыс.шт.

Находим решение:



Для получения максимального дохода от реализации продукции необходимо 4 тыс. шт. изделий продукции П1, и 0 шт. изделий продукции П2.



Список литературы

1. Гераськин, М.И. Линейное программирование. учеб. пособие / М.И. Гераскин, Л.С. Клентак. Самара: Изд-во СГАУ, 2012. 148 с.

2. Методические основы математического моделирования [Электронный ресурс]: Московский гуманитарно-экономический институт. режим доступа к журн.: https://studfiles.net/preview/4240956/.

3. Горбушина Н.В. Методы оптимальных решений / Н.В. Горбушина // Курс лекций для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению «Экономика». Ижевск: ИжГСХА, 2014. 43 с.

Размещено на Allbest.ru

...