Компьютеризация метода Фурье

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Сибирский федеральный университет

Институт математики и фундаментальной информатики

Дипломная работа

на тему: Компьютерная реализация метода Фурье

Выполнила:

Д.П. Гриднева

Красноярск 2017



Реферат

Бакалаврская работа по теме «Компьютерная реализация метода Фурье».

Цели работы:

· изучить метод разделения переменных для уравнения теплопроводности и для волнового уравнения;

· реализовать данный метод для уравнений в системе Maple.

В работе описывается метод разделения переменных для этих уравнений; создана программа в системе Maple, позволяющая продемонстрировать ход решения уравнений с помощью данного метода; приведены примеры решений частных случаев и графики этих решений.



Содержание

Введение

1. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности

1.1 Постановка задачи

1.2 Описание метода

1.3 Программа в системе Maple, реализующая метод

1.4 Частный пример

2. Метод разделения переменных для волнового уравнения

2.1 Постановка задачи

2.2Описание метода

2.3 Программа в системе Maple, реализующая метод

2.4 Частный пример

Заключение

Список используемой литературы



Введение

Метод разделения переменных или метод Фурье является одним из самых распространенных методов решения уравнений с частными производными. Это метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных. Такая схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье.

Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут уже зависеть только от одной переменной. Таким образом решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод разделения переменных называют методом Фурье в честь Жана Батиста Фурье, построившего данный метод. Данный метод применяется, когда

1) Уравнение является линейным и однородным;

2) Граничные условия заданы в виде

Поиск решения таких дифференциальных уравнений находится в три этапа:

1. Нахождение элементарных решений исходного уравнения;

2. Нахождение решений, удовлетворяющих граничным условиям;

3. Нахождение решений, удовлетворяющих исходному уравнению, граничным и начальным условиям.

Компьютеризация данного метода выполнена в программе Maple17. Программный пакет программы позволяет проводить сложные математические вычисления и обладает богатыми возможностями графического представления математических объектов и процессов. Программа предназначена для выполнения быстрых численных расчетов, лежащих в основе математического моделирования различных явлений окружающего нас мира, систем и устройств самого различного назначения.



1. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим данный метод на примере уравнения теплопроводности. Необходимо найти решение следующей задачи:

(1)

удовлетворяющей граничным условиям

(2)

и начальному условию

(3)

Для уравнения с частными производными разделение переменных - это поиски решения вида

(4)

где - функция, зависящая только от переменной а - зависящая только от .

Общая идея заключается в том, чтобы найти бесконечное число таких решений уравнения с частными производными (которые удовлетворяют граничным условиям).

Решение нашей задачи находится в виде такой линейной комбинации фундаментальных решений что результирующая сумма

удовлетворяет начальным условиям. Поскольку эта сумма удовлетворяет уравнению и граничным условиям, она является решением исходной задачи.

1.2 Описание метода

Шаг 1. Нахождение элементарных решений уравнения с частными производными.

Мы хотим найти функцию которая является решением нашей задачи (1), и, которая удовлетворяет нашим условиям (2) и (3).

Подставляем решение (4) в уравнение (1). В результате подстановки получаем

Теперь выполним операцию, присущую данному методу: разделим обе части последнего уравнения на в результате чего получаем

Про это выражение говорят, что в нем переменные разделены, то сеть левая часть уравнения зависит только от , а правая часть - только от . Так как и не зависят один от другого, то каждая часть этого уравнения должна быть константой. Обозначим эту константу тогда



или

Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Произведение соответствующих решений будет удовлетворять исходному решению с частными производными. Мы существенно упростили исходное уравнение с частными производными второго порядка, превратив его в два обыкновенных дифференциальных уравнения.

Обратим теперь внимание на следующее важное обстоятельство: константа разделения должна быть отрицательной. Имея это ввиду, введем обозначение , где л не равна нулю.

Решим эти уравнения.

( - произвольная постоянная),

(- произвольные постоянные).

Следовательно, теперь наше решение имеет вид

(5)



И это решение удовлетворяет уравнению (1). Это бесконечное множество решений исходного уравнения. Но не все они удовлетворяют граничным и начальным условиям.

Шаг 2. Нахождение решений, удовлетворяющих граничным условиям.

Теперь мы должны выбрать подмножество решений вида

которые удовлетворяют граничным условиям (2).

Чтобы сделать это, подставим (5) в эти граничные условия. В результате получаем

Далее решим уравнение чтобы удовлетворить условию необходимо, чтбы

или

Итак, мы закончили выполнение второго шага и располагаем бесконечным набором функций



каждая из которых удовлетворяет уравнению с частными производными и граничным условиям. Решение будет представлять собой некоторую сумму из этих простейших функций. Конкретный вид суммы будет зависеть от начального условия.

Шаг 3. Нахождение решения, удовлетворяющего уравнению, граничным и начальным условиям.

Последний шаг заключается в нахождении такой суммы фундаментальных решений

то есть в подборе таких коэффициентов что функция будет удовлетворять начальному условию (3).

Подстановка суммы в начальные условия дает

Это уравнение приводит к вопросу: можно ли начальную температуру разложить в ряд по элементарным функциям вида

Положительный ответ на этот вопрос и дал французский математик Жан Батист Фурье. Оказалось, что для достаточно хороших функций такое разложение возможно. Чтобы найти коэффициенты разложения , воспользуемся свойством системы функций



известным как ортогональность.

В настоящем случае, эти функции удовлетворяют условиям

Итак, мы хотим найти коэффициенты в разложении

Умножим обе части этого соотношения на и проинтегрируем от нуля до единицы. В результате получаем

(все остальные слагаемые обратились в нуль, благодаря ортогональности). Решая уравнение относительно , получаем

Таким образом, мы получили, что решение записывается в виде

где коэффициенты определяются по формулам



Можно убедиться, что полученное нами решение удовлетворяет всем условиям исходной задачи.

1.3. Программа в системе Maple, реализующая метод

Объявляем уравнение теплопроводности

граничные условия

начальное условие, где - непрерывная функция, заданная на отрезке [0,1] теплопроводность волновое уравнение фурье

Решение будем искать в виде:

Подставим искомое решение в исходное уравнение и разделим полученное выражение



Обозначаем константу следующим образом

Приравниваем левую часть полученного равенства к константе

и решаем это уравнение

Так же поступаем и с правой частью равенства

Получаем искомое решение

Подставляем в решение первое граничное условие



и находим коэффициент С2

Теперь подставляем второе граничное условие

решаем уравнение относительно л

Подставляем в наше решение полученные данные и заменяем С1 на A[n]

Решение можно записать в виде суммы

Теперь подставим в наше решение начальное условие

Домножим левую часть полученного равенства на ,проинтегрируем от 0 до 1 полученное произведение, и это все равно A[m]/2

Заменим коэффициенты m на n и выводим конечное решение

1.4 Частный пример

Для этого вставим в программе в наше решение конкретные значения коэффициента и начального условия

Объявляем, чему равен коэффициент а

объявляем конкретное начальное условие



выведем решение после объявления данных

Решение для этого случая выглядит следующим образом:

Для построения графика возьмём первые три ненулевых члена решения. Так как чётные члены равны нулю, нужно взять сумму первых пяти слагаемых нашего решения. Для этого воспользуемся командой:

И получим

Изобразим графики с помощью команды

На Рис.1 изображен график при

;

на Рис.2 изображен график при

;

на изображен график при

.



Рассмотрим график решения при изображенный на Рис.3. Для более точного построения графика возьмем теперь первые семь членов решения

График не изменился. Делаем так для График не меняется. Следовательно, для того, чтобы построить точный график решения уравнения теплопроводности хватит первых пяти членов решения.



2. Метод разделения переменных для волнового уравнения

2.1 Постановка задачи

Требуется найти решение уравнения

(1)

удовлетворяющее граничным условиям

(2)

и начальным условиям

(3)

Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), в виде произведения двух функций и , из которых первая зависит только от , а вторая только от

(4)



2.2 Описание метода

Подставляя решение (4) в исходное уравнение (1), получаем

Разделим члены равенства на

В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от , а в правой - функция, не зависящая от Это равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от ни от то есть равны постоянному числу. Обозначим это число через .

Случай, когда , мы не рассматриваем, так как в этом случае получается решение, которое не будет удовлетворять граничным условиям (2).

Рассмотрим случай .

Из этих равенств получаем два уравнения



Решим эти уравнения и получим

(5)

(6)

где A,B,C,D - произвольные постоянные.

Подставляя полученные и в (4), наше решение имеет вид

(7)

Подберем такие постоянные А и В, чтобы удовлетворялись граничные условия (2). Так как (иначе , что противоречит поставленному условию), то функция должна удовлетворять условиям (2), то есть должно быть и . Подставляя значения

в (5), на основании (2) получаем

.

Из первого уравнения находим

Из второго уравнения следует

так как в противном случае было бы и что противоречит условию.

Следовательно,

откуда

(8)



Подставляем полученное значение в (6):

(9)

Подставляем (8) и (9) в (4) и получаем решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2)

. (10)

Так как уравнение (1) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и поэтому функция, представленная рядом

или

(11)

так же будет решением уравнения (1), удовлетворяющим граничным условиям (2).

Очевидно, что ряд (11) будет решением уравнения (1) в том случае, если коэффициенты и таковы, что этот ряд сходится и сходятся ряды, получающиеся после двукратного почленного дифференцирования по и по

Решение (11) должно еще удовлетворять начальным условиям (3). Этого мы будем добиваться путем подбора постоянных и Подставляя в (11) получим



Если функция такова, что в интервале ее можно разложить в ряд Фурье, то последнее условие будет выполняться, если

(12)

Далее дифференцируем (11) по и подставляем Из второго начального условия получается равенство

Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:

или

(13)

Мы получили решение волнового уравнения методом разделения переменных

,

где коэффициенты определяются по формулам (12) и (13).



2.3 Программа в системе Maple, реализующая метод

Объявляем волновое уравнение

обозначаем константу следующим образом

Решение будем искать в виде

Подставим искомое решение в исходное уравнение

и разделяем полученное равенство

Приравниваем правую часть полученного равенства к константе

и решаем уравнение

Так же поступаем и с левой частью равенства

Получаем искомое решение

подставляем в решение первое граничное условие

и находим Х(х)

Подставляем второе граничное условие в найденное Х(х)

находим чему равна константа л

выписываем чему равны Х и Т с учетом найденной л

Решение имеет вид

записываем решение в виде суммы рядов

Подставляем первое начальное условие

Дифференцируем решение по переменной t

и подставляем второе начальное условие

Выписываем полученное решение



определяем чему равны коэффициенты

2.4 Частный пример

Для этого вставим в программе в наше решение конкретные значения:

Объявляем, чему равны коэффициенты c и

объявляем конкретные начальные условия



выведем решение после объявления данных

Решение для этого случая выглядит следующим образом:

Для построения графика возьмём первые три ненулевых члена решения. Для этого воспользуемся командой:

И получим

Изобразим графики с помощью команды

На Рис.4 изображен график при

;

на Рис.5 изображен график при

;

на изображен график при

.



Рассмотрим графики решения волнового уравнения. На последних трех рисунках изображены графики первых трех членов решения. Изобразим графики решения при

Чем больше мы берем членов решения, тем графики точнее. Графики строятся каждый раз более точно и перестают меняться при . Следовательно, для того, чтобы изобразить наиболее точный график решения нашего частного примера волнового уравнения, необходимо взять первые 25 членов этого решения. Изобразим графики решения при

.

На Рис.7 изображен график при

;

на Рис.8 изображен график при

;

на изображен график при

.



Заключение

В дипломной работе получены следующие результаты:

1. Описан метод разделения переменных для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.

2. Созданы программы в системе Maple, позволяющие продемонстрировать нахождение решения уравнений медом Фурье.

3. Рассмотрены частные примеры уравнений и с помощью программ найдены их решения, построены графики этих решений.



Список используемой литературы

1. Paul Erdos and Eric Jabotinsky. On Analytic Iteration. - Haifa, Israel, 1960. 361-376 p.

2. С. Фарлоу. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров - Москва «Мир» 1950г. 384с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов. - 13-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 560 с.

4. Б.М. Манзон Maple V power edition

Размещено на Allbest.ru

...