Русская логика

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Лекции по Русской логике

(Реквием по Аристотелю)

В.И.Лобанов

Аннотация

Данные лекции в популярной форме знакомят учащихся с наиболее значимыми разделами Русской логики, которая опровергает многие постулаты классической логики, являясь на сегодня единственной истинно математической логикой. Автор обвиняет современных матлогиков в невежестве, безграмотности и бестолковости. Лекции рассчитаны на преподавателей математики и информатики, но могут быть освоены самостоятельно школьниками старших классов. Брошюра весьма полезна преподавателям и студентам, а также всем профессорам и академикам.

Предисловие

Никакое образование немыслимо без изучения логики. Основателем формальной логики является Аристотель. Его логика не имела отношения к математике, а потому не являлась наукой и «была не только бесполезной, но и вредной» (Ф.Бэкон). Лейбниц, величайший математик Запада, в течение всей своей жизни пытался создать математическую логику, которая позволила бы чисто формально решать проблемы доказательства тех или иных суждений, теорем, законов, правил, силлогизмов, соритов и т.п. С поставленной задачей великий учёный не справился. Первые успешные шаги в этом направлении были сделаны в 1884г величайшим русским логиком Платоном Сергеевичем Порецким[7]. Однако до сих пор никто в мире не понял его работ, и во всех учебных заведениях мира вот уже 25 веков преподаётся бестолковая и безграмотная классическая логика. Даже самый корректный учебник (Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. - М.: Юрист,1995) излагает в корне ошибочную силлогистику Аристотеля и не приводит достижений Порецкого в создании истинно математической логики.

«Лекции по Русской логике» («ЛРЛ») просты и прозрачны для понимания. Для освоения ЛРЛ достаточно 4-х классов образования. На сегодня Русская логика (РЛ) - это единственно правильная математическая логика. Кроме того, она несёт в себе огромную патриотическую составляющую, а у нас в загоне патриотическое воспитание. К сожалению, математическую логику в объёме классической преподают невежественно даже в ведущих вузах России: МГТУ им. Баумана, МФТИ, МИФИ, МГУ. Во всяком случае, Порецкого П.С., который создал истинно математическую логику, там не знают, т.е. его работ не понял ни один математик мира. Это свидетельство невежества, безграмотности и бестолковости. Получается, что мы, Русские - Иваны, не помнящие родства. Россия может и должна гордиться Порецким, решившим проблему, с которой всё человечество не справилось за 25 веков.

Постоянно действующий научно-методологический «Круглый стол» по военной безопасности при Комитете по обороне Госдумы РФ, где 13 ноября 2003г. автор рассказал о создании Русской логики и выступил с докладом « Ликбез по логике в России как проблема национальной безопасности», так сформулировал первоочередные задачи в отношении логики: «…необходимо ликвидировать логическую необразованность всего российского общества в целом так же, как в начале 20-го века была ликвидирована начальная неграмотность в Советской России». Никакого продвижения с тех пор в этом направлении не произошло. Русская логика ждёт безотлагательного внедрения в школьное и вузовское образование.

Дорогой Читатель, знаете ли Вы математическую логику? Я абсолютно уверен, что не знаете. В этом Вы сразу же убедитесь, пройдя тестирование по нижеприведённому вопроснику.

Вопросник для математика и логика.

Как работать с картой Карно на 8 и более переменных?

Что такое метод обобщённых кодов Мавренкова?

Что можно вычислить с помощью кванторного исчисления?

Алгебра множеств и алгебра логики. Назовите различия.

Логика предикатов и логика суждений. В чём разница?

Физический смысл и вывод формулы импликации.

Фигуры и модусы Аристотеля. В чём их практическая ценность?

Правильны ли правила посылок в силлогистике?

Как выглядят аналитические представления для Axy, Exy и Ixy?

В чём смысл логики Платона Сергеевича Порецкого?

В чём главное достижение логики Льюиса Кэрролла?

Что такое вероятностная логика?

Что такое 4-значная комплементарная логика?

Как решаются логические уравнения?

Что такое логическое вычитание и деление?

Как найти обратную логическую функцию?

По характеру ответов можно судить о профессиональном уровне логика-гуманитария и тем более математика. В 2012г. ни на один из этих вопросов не могли дать ответа ни академики от логики, ни математики, ни инженеры-цифровики, что говорит не только о недостаточной профессиональной подготовке, но и о низком культурном уровне. Освоив Русскую логику, любой семиклассник легко пройдёт предложенное автором тестирование. Кроме того, этот вопросник, как и вся РЛ - прекрасный индикатор невежества и бестолковости. Все академики мира после 1884 года - невежды, неучи и бестолочи: не знают/не поняли достижений П.С.Порецкого. За последние 20 лет выпущено около сотни учебников по логике. Все они написаны невеждами и недоумками в матлогике.

Автор считает, что читатель имеет право знать профессиональный уровень создателя любого произведения, тем более интеллектуальные возможности разработчика математической логики. Если этот сочинитель - двоечник, то читать его совершенно не за чем. Правда, и отличник - не всегда профессионал даже в своей области: наверное, академик Колмогоров получал великолепные оценки по математике, но в матлогике он оказался невеждой и бестолочью. Академические звания и Нобелевские премии тоже не гарантируют высокий интеллект их обладателя. Примеры: Б.Рассел в логике и Эйнштейн - в математике. Если бы учащиеся досконально знали биографию Эйнштейна, они никогда бы не поверили этому двоечнику. Поэтому в «ЛРЛ» приведена биография создателя РЛ. Автор предлагаемого пособия - нормальная посредственность в мышлении, поэтому русским преподавателям математики стыдно будет не освоить Русскую логику. Не верьте ни единому утверждению автора, тем более, что Брусенцов Н.П., выдающийся инженер и учёный, создатель единственной в мире троичной ЭВМ «Сетунь», мой наставник по логике, не согласен с РЛ. Спорьте, но аргументированно.

На сайте http://logicrus.ru читатели найдут в открытом доступе обширный перечень работ автора. Из всего этого перечня достаточно проработать сначала брошюру «Русская логика в информатике»[5], а затем - монографию «Русская вероятностная логика»[4] или «Русская логика - индикатор интеллекта»[6]. Автор надеется, что «ЛРЛ» смогут заменить для наиболее настойчивых любителей математики обе предыдущие работы[4,5]. Студенты колледжей, техникумов, институтов и академий, старшеклассники школ, гимназий и лицеев легко справлялись с этой немудрёной наукой. Лекции по РЛ в 2007г. были записаны на телестудии Современной гуманитарной академии и транслировались по спутниковому каналу СГУ-ТВ на весь бывший Советский Союз. Начиная с 1998г., апробация РЛ происходила на конференциях, конгрессах, в том числе и международных, на семинарах и непосредственно в классах и аудиториях. Основные работы автора переведены за рубежом. Американский Биографический Институт за работы по РЛ избрал автора Человеком года-2011. За державу будет обидно, если РЛ вернётся к нам в зарубежной упаковке.

Нормальная программа по РЛ может выглядеть следующим образом.

№п/п	Вид занятий	Тема занятий	Кол-во часов	Дом. Зад.	Лекции
1	Лекция	Предмет логики. Алгебра логики.	4		1.1-1.2
2	Лекция	Синтез логических функций	4	ДЗ1	1.3-1.5
3	Семинар	Синтез логических функций	4		1.1-1.5
4	Лекция	Законы логики суждений	4	ДЗ2	2
5	Семинар	Законы логики суждений	4		2
6	Лекция	Силлогистика	4	ДЗ3	3
7	Семинар	Силлогистика	4		3
8	Лекция	Решение логических уравнений	4		4, 5
9	Контр.работа		2

Программа-минимум по РЛ выглядит так:



№п/п	Вид занятий	Тема и краткое содержание занятий	Кол-во часов	Дом.Зад.	Лекции
1	Урок	Предмет логики. Алгебра логики.	2		1.1-1.2
2	Урок	Синтез логических функций	2	ДЗ1	1.3-1.5
3	Урок	Законы логики суждений	2	ДЗ2	2
4	Урок	Силлогистика	2	ДЗ3	3
5	Урок	Решение логических уравнений	2		4, 5

1. ЛЕКЦИЯ № 1. Алгебра логики

1.1 Основные положения алгебры логики

Логика - наука о законах мышления. Она позволяет делать правильные выводы из любых посылок, предохраняет от ошибок в рассуждениях, обеспечивает безошибочное доказательство всевозможных законов, правил и теорем в различных областях знаний: в математике, физике, химии, в грамматике русского языка и т.п. Для решения этих задач используется алгебра логики.

В алгебре логики (булевой алгебре) переменные могут принимать два значения: 1 (истинно) или 0 (ложно). Для двух аргументов существуют 16 логических функций (операций, логических действий). Полная система этих функций(z0 - z15) для двух аргументов(x,y) показана в таблице.

Над переменными в основном производятся три логических действия: сложение, умножение, отрицание (инверсия), что соответствует функциям ИЛИ, И, НЕ. Все функции в булевой алгебре могут быть описаны с помощью таблицы истинности. В нижеследующих таблицах описаны функции И(f1), ИЛИ(f2),НЕ(f3).

Вместо функции И часто используется термин «конъюнкция», вместо функции ИЛИ - термин «дизъюнкция». Вместо функции НЕ употребляется термин «инверсия» или «отрицание». Только для двоичной логики понятия «инверсия» и «отрицание» эквивалентны.

При написании логических формул для функции И используются следующие символы: &, Л, ?точка или ее отсутствие; для функции ИЛИ -? V, +. Функция НЕ обозначается штрихом над аргументом. Мы для обозначения отрицания будем использовать апостроф. Таким образом, можно записать:

f1 = x2&x1 = x2 Л x1 = x2x1

f2 = x2 V x1 = x2+x1

f3 = x'

1.2 Основные законы алгебры Буля

Прежде, чем приступить к изложению основных законов алгебры логики, зафиксируем некоторые очевидные её положения.

1 + a = 1; 0 + a = a; a & 1 = a; a & 0 = 0; a + a' = 1.

Эти соотношения легко проверяются подстановкой.

В булевой алгебре все операции осуществляются с логическими двузначными переменными и подчиняются законам алгебры логики. Опишем некоторые из них.

а) Переместительный закон

а + в = в + а ; ав = ва

б) Сочетательный закон

( а + в ) + с = а + ( в + с) ; ( ав )с = а(вс)

в) Распределительный закон

а( в + с ) = ав + ас ; а + вс = (а + в)( а + с )

г) Закон поглощения

а + ав = а( 1 + в ) = а ; а( а + в ) = а + ав = а

д) Закон склеивания

ав + ав' = а ; ( а + в )(а + в') = а

е) Идемпотентный закон

a + a = a; a & a = a

ё) Правила де Моргана

Эти правила справедливы для любого числа аргументов.

а + в + с + .... + z = ( а'в'с'...z' )'

авс... = ( а' + в' + с' + ... + z' )'

1.3 Синтез логических функций

Под синтезом логической функции будем понимать процесс её получения по словесному описанию, по таблице истинности или любому другому способу задания этой функции. Синтез логических функций можно проиллюстрировать решением простой задачи.

Задача 1.1.

Приёмная комиссия в составе трех членов комиссии и одного председателя решает судьбу абитуриента большинством голосов. В случае равного распределения голосов большинство определяется голосом председателя. Найти краткое определение ситуации, в которой абитуриент будет принят в учебное заведение. Найти решение в виде логической функции, т.е. построить автомат для тайного голосования.

Решение.

Пусть f - функция большинства голосов. f = 1, если большинство членов комиссии проголосовало за приём абитуриента, и f = 0 в противном случае.

Обозначим через x4 голос председателя комиссии. x4 = 1, если председатель комиссии проголосовал за приём абитуриента. x3, x2, x1 - голоса членов приёмной комиссии.

С учётом вышеуказанных допущений условие задачи можно однозначно представить в виде таблицы истинности.

Заполнение таблицы осуществляем с учётом того, что функция f является полностью определённой, т.е. она определена на всех возможных наборах переменных x1 - x4. Для n входных переменных существует N = 2n наборов переменных. В нашем примере N = 24 = 16 наборов.

Записывать эти наборы можно в любом порядке, но лучше в порядке возрастания двоичного кода.

Примечание. Здесь и далее под набором будем понимать конъюнкцию, т.е. логическое произведение, всех входных переменных.

Все наборы, на которых функция принимает значение 1 , будем называть единичными, или рабочими. Наборы, на которых функция принимает значение 0, будем называть нулевыми, или запрещенными (по Мавренкову Л.Т.).

Для того, чтобы по таблице истинности найти функцию f, достаточно выписать все единичные наборы и соединить их знаком дизъюнкции.

Таким образом,

f = 0111+1001+1010+1011+1100+1101+1110+1111

или в символьном виде

f = x4'x3x2x1+x4x3'x2'x1+x4x3'x2x1'+x4x3'x2x1+x4x3x2'x1'+x4x3x2'x1+

+x4x3x2x1'+x4x3x2x1

Полученная форма функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), здесь каждое логическое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов. В случае, когда не каждое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов, то такая форма представления логической функции называется просто ДНФ. Очевидно, применяя основные законы булевой алгебры, мы могли бы аналитически уменьшить сложность полученного выражения. Но это наихудший способ минимизации булевых функций.

1.4 Минимизация полностью определённых булевых функций

Карты Карно позволяют решить задачу минимизации логической функции элегантно и просто. К своему стыду, за 40 лет я так и не нашёл его биографии: узнал только, что это американец 20-го столетия. Карно был толковым инженером, но поленился или не сумел описать алгоритм работы со своими картами. Поэтому до сих пор неблагодарное человечество не научилось работать с ними. Алгоритм работы с картами Карно (этот алгоритм не известен ни одному логику в мире) был разработан автором более 30 лет назад [1]. Здесь алгоритм приводится в сокращённом варианте.

Алгоритм «НИИРТА» минимизации булевых функций от 4-х и менее переменных.

1. Заполнить карту Карно (КК) нулями и единицами в соответствии с таблицей истинности или заданным алгебраическим выражением.

2. Покрыть все элементарные квадраты Карно, в которых записаны единицы, минимальным количеством прямоугольников Карно (ПК), каждый из которых имеет максимальную площадь.

3. Каждому прямоугольнику Карно соответствует одна импликанта (логическое слагаемое), причём если в горизонтальных или вертикальных границах прямоугольника Карно какая-либо переменная принимает значения как 0 , так и 1 , то эта переменная склеивается, т.е. удаляется из импликанты.

Под ПК (этот термин пришлось ввести в 1977г.) для не более чем от 4-х аргументов, можно понимать любую, в том числе и разорванную, симметричную по вертикали и горизонтали фигуру покрытия. Все клетки ПК являются соседними, т.е. закодированы соседними кодами. Два кода называются соседними, если они отличаются друг от друга только в одном разряде. Например, коды 1010 и 1011 являются соседними.

На нижеприведённом рисунке даны примеры КК и ПК для различного числа аргументов.

На КК для 4-х переменных представлены два прямоугольника Карно, один из которых (Р) является разорванной фигурой покрытия. На КК для 6 переменных изображены прямоугольники Карно A - G, K, M, N, большинство из которых также являются разорванными фигурами покрытия. Для ПК в КК на 5 и более переменных требуется проверка симметричности по Лобанову [1 - 4]. Это необходимое и достаточное условие для определения ПК. Там же излагается и полный алгоритм для КК на 5 и более переменных. Для минимизации логических функций от 10 и более переменных советским офицером и учёным Мавренковым Леонидом Трофимовичем в конце 60-х годов прошлого столетия на 21-й кафедре Академии им. Дзержинского был предложен до сих пор не превзойдённый по эффективности Метод обобщённых кодов [1 - 4].

В современных учебниках по логике появились необдуманные попытки представить ПК просто фигурой покрытия с 2n клетками КК. Пример фигур покрытия, содержащих 2n клеток КК и не являющихся прямоугольниками Карно, представлен на рисунке. Фигуры М и N не обладают симметричностью по Лобанову. Эти фигуры не являются ПК, хотя и содержат 2n клеток КК.

Решение задачи 1.1 с помощью карты Карно представлено на рисунке.

Из карты Карно получено соотношение:

f = x4x1 + x4x2 + x4x3 + x3x2x1

Это выражение представляет собой пример минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ). В некоторых случаях приведение результата минимизации к скобочной форме (вынесение общего множителя за скобки) позволяет уменьшить количество интегральных схем (ИС), необходимых для реализации булевой функции. Скобочная форма для f имеет вид:

f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1

Смысл скобочной формулы прост: за абитуриента должны проголосовать либо все 3 члена комиссии, либо хотя бы один из них, но совместно с председателем. Этот результат мог быть получен чисто эвристически, что является предостережением от чрезмерного увлечения формальными методами синтеза логических функций.

На нижеприведённом рисунке изображены все три варианта реализации автомата для тайного голосования.

Три схемы реализации автомата для тайного голосования

1.5 Минимизация недоопределённых булевых функций

Функция от n переменных называется недоопределённой, если она задана не на всех 2n наборах. Задача минимизации такой функции заключается в оптимальном доопределении значений функции на незаданных наборах, которое позволило бы покрыть рабочие наборы минимальным количеством прямоугольников Карно, каждый из которых имел бы максимальную площадь.

Нам потребуется таблица соответствия десятичных и двоичных кодов. Приведём её для четырёхзначных двоичных кодов.

X3	X2	X1	X0	Х-десятичный код
0	0	0	0	0
0	0	0	1	1
0	0	1	0	2
0	0	1	1	3
0	1	0	0	4
0	1	0	1	5
0	1	1	0	6
0	1	1	1	7
1	0	0	0	8
1	0	0	1	9
1	0	1	0	10
1	0	1	1	11
1	1	0	0	12
1	1	0	1	13
1	1	1	0	14
1	1	1	1	15

Задача 1.5.1.

Найти минимальную форму функции y от 4-х аргументов, заданную десятичными рабочими (РН) и запрещёнными (ЗН) наборами:

РН(4): 1, 2, 9;

ЗН(4): 7, 13.

Решение.

Функция задана только на 5 наборах (число в скобках указывает количество переменных). Добавим к трём рабочим наборам ещё пять, а именно : 0000, 0011, 1000, 1011, 1010. Все оставшиеся наборы доопределим как запрещённые. В результате такого доопределения получим прямоугольник Карно, состоящий из 8 элементарных квадратов Карно. Этому прямоугольнику соответствует функция:

y = х3'

1.6 Практикум по синтезу и минимизации логических функций

Задача 1.2.

Полностью определённая булева функция от 4-х переменных задана десятичными рабочими наборами: РН(4) = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.Число в скобках указывает количество переменных. Найти минимальную форму этой функции.

Решение.

Так как функция является полностью определённой, то запрещёнными наборами ЗН(4) являются наборы 0 - 4, 12 - 15. Исходя из этой информации, составляем таблицу истинности и осуществляем минимизацию по карте Карно.

Таблица 4.

РН(4)	x4 x3 x2 x1	f
5	0 1 0 1	1
6	0 1 1 0	1
7	0 1 1 1	1
8	1 0 0 0	1
9	1 0 0 1	1
10	1 0 1 0	1
11	1 0 1 1	1



ЗН(4)	x4 x3 x2 x1	f
0	0 0 0 0	0
1	0 0 0 1	0
2	0 0 1 0	0
3	0 0 1 1	0
4	0 1 0 0	0
12	1 1 0 0	0
13	1 1 0 1	0
14	1 1 1 0	0
15	1 1 1 1	0

По карте Карно получаем результат: f = x4x3' + x4'x3(x1 + x2)

Задача 1.3.

Найти минимальную форму функции y, представленной на рисунке.

Решение.

Функция задана только на 7 наборах. Добавим к пяти рабочим наборам ещё три, а именно : 0000, 1000, 1011. Все оставшиеся наборы доопределим как запрещённые. В результате такого доопределения получим прямоугольник Карно, состоящий из 8 элементарных квадратов Карно. Этому прямоугольнику соответствует функция: y = x3'

Задача 1.4.

Построить преобразователь двоичного кода в двоично-десятичный в соответствии с таблицей.

x4x3x2x1	y5y4y3y2y1	x4x3x2x1	y5y4y3y2y1
0 0 0 0	0 0 0 0 0	0 1 1 0	0 0 1 1 0
0 0 0 1	0 0 0 0 1	0 1 1 1	0 0 1 1 1
0 0 1 0	0 0 0 1 0	1 0 0 0	0 1 0 0 0
0 0 1 1	0 0 0 1 1	1 0 0 1	0 1 0 0 1
0 1 0 0	0 0 1 0 0	1 0 1 0	1 0 0 0 0
0 1 0 1	0 0 1 0 1	1 0 1 1	1 0 0 0 1

Решение.

Для каждой функции yi заполняем карту Карно, производим доопределение и осуществляем минимизацию. Весь процесс отражён на рисунке.

В результате минимизации получаем систему функций:

y1 = x1 y2 = x4'x2 y3 = x3 y4 = x4x2' y5 = x4x2

Задача 1.5.

Построить один разряд многоразрядного сумматора, заданного таблицей истинности. Здесь ai и вi - значения i-ых разрядов слагаемых а и в , Pi и Si - значения переноса и суммы на выходе i-го разряда, Pi-1 - значение переноса на выходе предыдущего разряда.

ai вi Pi-1	Pi	Si
0 0 0	0	0
0 0 1	0	1
0 1 0	0	1
0 1 1	1	0
1 0 0	0	1
1 0 1	1	0
1 1 0	1	0
1 1 1	1	1

Решение.

Имеем систему полностью определённых булевых функций. Производим раздельную минимизацию каждой функции (см. рисунок).

Из карт Карно после минимизации получаем следующие результаты.

Si = ai'вi'Pi-1 + ai'вiPi-1' + aiвi'Pi-1' + aiвiPi-1

Pi = вiPi-1 + aiPi-1 + aiвi

Домашнее задание 1.

1.Произвести минимизацию полностью определённой логической

функции от 6 переменных, заданной следующими 8-ичными рабочими наборами:

74 = 111100

76 = 111110

33 = 011011

42 = 100010

37 = 011111

75 = 111101

2.Произвести минимизацию недоопределённой логической функции от 6 переменных, заданной следующими 8-ичными рабочими (РН) и

запрещенными наборами (ЗН):

РН(6) ЗН(6)

31 = 011001 25 = 010101

52 = 101010 57 = 101111

13 = 001011 43 = 100011

47 = 100111 14 = 001100

3.Произвести минимизацию недоопределённой логической функции от 4 переменных, заданной следующими 8-ичными рабочими (РН) и

запрещенными наборами (ЗН):

РН(4) ЗН(4)

14 = 1100 17 = 1111

15 = 1101 05 = 0101

16 = 1110 11 = 1001

2. ЛЕКЦИЯ № 2. Логика суждений

Суждение - это повествовательное предложение, которое может быть истинным или ложным. Логика суждений изучает законы правильных рассуждений. Автор не открывает здесь ничего нового, но, излагая данный материал, хочет показать всю простоту выводов данных законов, следовательно, и их никчёмность: незачем заучивать десятки правил, если доказательство столь примитивно. Всё дело в том, что в классической логике доказательство проводится безграмотно, т.к. построено на громоздком аппарате таблиц истинности, а мы будем использовать формулу импликации и карту Карно. Все предлагаемые алгоритмы и составляют так называемую теорию доказательств, которую безуспешно и бестолково ищут «классики».

Алгоритм «Импульс».

Алгоритм анализа законов логики суждений чрезвычайно прост:

1)произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой x y = x' + y;

2)привести полученное выражение к ДНФ;

3)занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами - это свидетельствует об истинности проверяемого закона или суждения.

Воспользуемся перечнем импликативных законов для проверки алгоритма.

Законы импликативных выражений.

1.Закон исключённого третьего: p или неверно, что p.

В переводе на язык логики этот закон выглядит так: p + p' = 1. Проверяется простой подстановкой.

2.Закон непротиворечивости: неверно, что [р и не р].

На языке логики: p & p' = 0. Это равенство также проверяется тривиальной подстановкой.

3.Закон двойного отрицания: если [не (не р)], то р.

Необходимо доказать, что (p')' p = 1.Доказательство основано на двойном отрицании и импликации: (p')' p = p p = p' + p = 1.

4.Обратный закон двойного отрицания: если р, то [не (не р)].

p (p')'= p' + p = 1.

5.Закон контрапозиции: если (если р, то q), то [если (не q), то(не р)].

(p q) (q' p') = (p' + q) (q + p') = pq' + p' + q = 1.

6.Законы, характеризующие конъюнкцию.

6.1.Если (р и q), то (q и р): pq qp = (pq)' + pq = 1.

6.2.Если (р и q),то р: (pq) p = (pq)' + p = p' + q' + p = 1.

6.3.Если (р и q), то q: (pq) q = (pq)' + q = p' + q' + q = 1.

6.4.Если р, то [если q, то (p и q)]: p (q pq) = p' + q' + pq = 1.

7.Законы импликативных суждений.

7.1.Если [(если р, то q) и (если р,то r)], то [если р, то(q и r )].

[(p q)(p r)] (p qr) = [(p' + q)(p' + r)]' + p' + qr =

= (p'+qr)'+p'+qr = 1.

7.2.Если [(если р, то q) и (если r,то s)],то [если(р и r),то (q и s)].

[(pq)(rs)] (prqs) = [(p'+q)(r'+s)]'+p'+r'+qs = pq'+rs'+p'+r'+qs = 1.

7.3.Если [(если р, то q) и (если q, то r)],то (если р, то r).

[(pq)(qr)] (pr) = pq'+qr'+p'+r = 1.

7.4.Если [(если р, то q) и (если r, то q)],то [если (р или r), то q].

[(pq)(rq)] [(p+r) q] = pq'+rq'+p'r'+q = 1.

8.Законы, характеризующие дизъюнкцию.

8.1.Если (р или q), то (q или p).

(p+q) (q+p) = (p+q)'+(p+q) = 1.

8.2.Если (р или q), то (если не р, то q).

(p+q) (p'q) = p'q'+p+q = 1.

Закон Лобановой С.В.

Сокращение на общий множитель или отбрасывание общих частей в левой и правой половинах логического уравнения недопустимо.

Докажем этот закон.

(ac=bc) (a=b) = ac(b'+c')+(a'+c')bc+ab+a'b' = ab'c+a'bc+ab+a'b' 1.

[(a+c)=(b+c)] (a=b) = (a+c)b'c'+a'c'(b+c)+ab+a'b' = ab'c'+a'bc'+ab+a'b' 1.

Как видит читатель, доказательство и этого закона оказалось предельно простым и кратким.

Рассмотрим «аксиомы» Порецкого [7]:

(9П) (a=b) (a+c=b+c);

(9*П) (a=b) (ac=bc);

Доказательство весьма прозрачно:

(9П) (a=b) (a+c=b+c) = ab'+a'b+(a+c)(b+c)+a'c'b' = ab'+a'b+ab+c+a'b'c' = 1.

(9*П) (a=b) (ac=bc) = ab'+a'b+abc+(a'+c')(b'+c') = ab'+a'b+abc+a'b'+c' = 1.

Таким образом, мы попутно доказали, что «аксиомы» Порецкого являются обычными теоремами, т.е. в очередной раз выявили невежество современной матлогики, которая не в состоянии отличить аксиому от теоремы.

2.1 Практикум по логике суждений

Эти задачи взяты из пособия Катречко С. Л. Введение в логику. Программа курса. - М.: УРАО, 1997.

Задача 2.1.1.

Джонс утверждает, что не встречал этой ночью Смита. Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал его этой ночью, а убийство было совершено после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Следовательно, убийцей был Смит.

Решение.

X - Джонс не встречал Смита, Y - Смит - убийца,

Z - убийство было совершено после полуночи.

(x ( y+x'))(y' xz)(z (y+x')) y = (x'+y)(y+xz)(z'+y+x') y =

xy'+y'(x'+z')+xy'z+y = 1.

Т. е. Смит - убийца.

Задача 2.1.2 .

По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В и С. Установлено следующее:

Если А не виновен или В виновен, то С виновен.

Если А не виновен, то С не виновен.

Можно ли установить виновность каждого из трёх подсудимых?

Решение.

Обозначим через a, b, c виновность А, В и С. Тогда получим полную единицу системы в виде:

M = ((a'+b) > c)(a' > c') = (ab'+c)(a+c') = ab'+ac.

Подозреваемый А виновен безусловно.

Задача 2.1.3.

Прямые a и b или параллельны, или пересекаются, или скрещиваются. Если прямые a и b лежат в одной плоскости, то они не скрещиваются. Прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Следовательно, прямые a и b параллельны.

Решение.

X - прямые параллельны,

Y - прямые пересекаются,

Z - прямые скрещиваются,

U - прямые лежат в одной плоскости.

(xy'z'+x'yz'+x'y'z)(u z')uy' x = (xy'z'+x'yz'+x'y'z)(u'+z')uy' x =(xy'z'+x'yz'+x'y'z)'+uz+u'+y+x = 1.

Задача 2.1.4.

Подозреваемые А, В и С были вызваны для допроса. Установлено следующее:

Никто, кроме А, В и С, в хищении не замешан.

А никогда не идёт на дело без по крайней мере одного соучастника.

С не виновен.

Виновен или не виновен В?

Решение.

Обозначим через a, b, c виновность А, В и С. Тогда получим полную единицу системы в виде:

M = (a+b+c)(a > (abc'+ab'c+abc))c' = (a+b+c)(a'+b+c)c' = (a+b+c)(a'c'+bc') = bc'.

Итак: В виновен безусловно, но, возможно, виновен и А.

Решение.

X - многоугольник правильный, Y - в многоугольник можно вписать окружность.

(x y)x y = (x'+y)x y = xy y x'+y'+y = 1.

(x y)y' x' = (x'+y)y' x' = x'y'+x' x+y+x' = 1.

(x y)y x = (x'+y)y x = y x y'+x 1.

Действительно, в некоторые трапеции можно вписать окружность, но от этого они не станут правильными многоугольниками.

Задача 2.1.7.

Если бы он не пошёл в кино, то он не получил бы двойки. Если бы он подготовил домашнее задание, то не пошёл бы в кино. Он получил двойку. Значит, он не подготовил домашнее задание.

Решение.

x - пошёл в кино, y - получил двойку, z - подготовил домашнее задание.

(x' y')(z x')y z' = (x+y')(z'+x')y z' = x'y+xz+y'+z' = 1.

Задача 2.1.8.

Если аргументы некоторого рассуждения истинны, а его тезис не является таковым, то рассуждение не является правильным. Данное рассуждение правильно и его аргументы истинны. Следовательно, его тезис является истинным.

Решение.

X - аргументы верны, Y - тезис верен, Z - рассуждение верно.

(xy' z')xz y = (x'+y+z')xz y = xyz y = x'+y'+z'+y = 1.

Задача 2.1.9.

На острове живут только лжецы и рыцари. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Смаллиан спросил у жителей А и В, кто они. Предположим, что А ответил: « Или я лжец, или В рыцарь». Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?

Решение.

a - А - рыцарь, b - В - рыцарь .

Вар.1.

a(a'+b) a'(a'+b)' = ab a'ab' = ab.

Вар.2.

[a (a'+b)][a' (a'+b)'] = (a'+a'+b)(a+ab') = (a'+b)a = ab.

Оба варианта дали правильный ответ: персонажи А и В - рыцари. Каждый вариант решения занимает всего одну строчку. У Смаллиана эта процедура растягивается на две страницы [12, c.33 - 35], что говорит о безграмотности и бестолковости Смаллиана: весь использованный нами математический аппарат в его время был уже известен. Кроме того, Смаллиан просит связку ИЛИ-ИЛИ считать обыкновенной дизъюнкцией, хотя на самом деле это разделительное ИЛИ, т.е. «сумма по модулю 2».

Задача 2.1.10.

Если Джон - автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Следовательно, если Джон не глуп или не лишён принципов, то он не является автором этого слуха.

Решение.

X - Джон - автор слуха, Y - Джон глуп, Z - Джон беспринципен.

(x (y+z)) ((y'+z') x') = (x'+y+z) (yz+x') = xy'z'+yz+x' 1.

Джон может быть автором вздорного слуха, т.е. заключение неверно.

Домашнее задание 2.

Эти задачи также взяты из пособия Катречко С. Л. Введение в логику. Программа курса. - М.: УРАО, 1997.

Задача 1.

Если равнодействующая всех сил, действующих на движущееся тело, не равна 0, то оно движется неравномерно или непрямолинейно, так как известно, что если эта равнодействующая равна 0, то тело движется равномерно и прямолинейно.

Задача 2.

Если все посылки истинны и рассуждение правильно, то заключение правильно. В данном рассуждении заключение ложно. Значит, или рассуждение неправильно, или не все посылки истинны.

Задача 3.

Если в суффиксе данного полного прилагательного или причастия пишется два н, то они пишутся и в соответствующем наречии. Неверно, что в суффиксе данного наречия пишется два н. Следовательно, в суффиксе полного прилагательного или причастия, из которого образовалось наречие, пишется одно н.

Задача 4.

Если нельзя получить воду, то неверно, что имеется в наличии водород и оксид магния. Если имеется углерод, но углекислого газа получить не удалось, то не было в наличии кислорода. Если имеется углекислый газ и вода, то можно получить углекислоту. Можно ли получить углекислоту, если имеется в наличии оксид магния, кислород, водород и углерод.

3. ЛЕКЦИЯ № 3. Силлогистика

Силлогистика - раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов. Силлогизм - это логическое рассуждение, состоящее из двух посылок, связанных друг с другом общим (средним) термином, и следующего из посылок заключения. В силлогизме обязательно присутствуют 3 термина: один средний и два крайних. Заключение определяет связь крайних терминов друг с другом.

Все люди талантливы.

Все студенты - люди.

Все студенты талантливы.

В этом силлогизме «люди» - средний термин, а «талантливы» и «студенты» - крайние термины.

Под анализом мы будем понимать проверку правильности заданного заключения, а под синтезом - нахождение заключения при заданных посылках.

Чтобы ввести математику в силлогистику, пришлось создать скалярные диаграммы (диаграммы Лобанова). На их основе были получены математические соотношения для всех силлогистических функторов (кванторов).

Автор в 1995г., создавая Русскую логику, не подозревал (а современные логики и до сих пор не подозревают), что в 1884 году формулы для Axy, Exy очень красиво вывел П.С.Порецкий без всяких диаграмм. На рисунке показаны диаграммы Лобанова, переход к ним от диаграмм Венна и процесс вывода соотношений для Аху, Еху и Ixy.

Решение этой же задачи Порецким на основе формулы равнозначности выглядит так: Axy = (x = xy) = x(xy)+x'(xy)' = xy+x'(x'+y') = xy+x' = x'+y.

Здесь (x = xy) означает, что множество Х является пересечением множеств Х и Y. Аналогично по Порецкому Exy = (x = xy') = xy'+x'(xy')' = xy'+x' = x'+y'. Кстати, отсюда видно, что общеотрицательный функтор не нужен, т.к. Exy = Axy' = Ayx', т.е. вполне можно обойтись одним общеутвердительным функтором.

Этих формул до сих пор нет ни в одном учебнике логики.

Из анализа полученных соотношений следует весьма жёсткий вывод.

Логика суждений и логика предикатов (силлогистика) - это одно и то же. Дело в том, что общеутвердительный силлогистический функтор описывается по Порецкому и по Лобанову формулой: Axy = x' + y.

Импликация имеет тот же математический вид: x> y = x' + y.

Да и общеразговорные значения этих операторов одинаковы. Мы говорим: «Все люди талантливы» (это «логика предикатов»). Тот же смысл сохранится в суждении: «Если ты человек, то ты талантлив» (а вот это - уже «логика суждений»!). Любая кухарка скажет: «Что в лоб, что по лбу». А академики не могут до сих пор понять такую простую истину.

Для решения задач силлогистики автором были разработаны различные алгоритмы [4,6]. Самый прозрачный и эффективный из них алгоритм «ТВАТ» (Тушинский вечерний авиационный техникум).

Алгоритм «ТВАТ» (графический синтез силлогизмов)

1.Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм.

2.Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов xy: 00,01,10,11.

3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y).

4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора.

В случае получения многовариантного заключения можно ограничиться выполнением лишь п.1 алгоритма «ТВАТ».

Б.Рассел в монографии «Искусство мыслить» (М.:1999) на с. 38 приводит такой силлогизм: «Если А находится вне В и В находится вне С, то А находится вне С». Данный силлогизм - образец безграмотности и безмозглости «великого логика» и академика. По алгоритму ТВАТ построим диаграммы.

В результате мы получили трёхвариантное заключение: Aca, Iac, Eac. Кстати, если мы зададим количественные характеристики терминов: U=10, A=4, B=4, C=3, то получим двухвариантное заключение. Здесь не будет места для Eac: будут лишь Aca и Iac. Рассмотренные примеры демонстрируют не только дремучее невежество и вопиющую безграмотность Б.Рассела, но и его бестолковость. Б. Рассел в своей работе «История западной философии» (М.:2000 -768с.) на стр.194 приводит силлогизм:

Все люди разумны.

Некоторые животные - люди.

Некоторые животные - разумны.

Покажем на этом примере недостатки мышления «логиков». Во-первых, отсутствие дисциплины мышления проявляется в отсутствии универсума, хотя даже 100 лет назад Льюис Кэрролл не позволял себе такого невежества. Определим, например, в качестве универсума для силлогизма Рассела весь животный и растительный мир. Во-вторых, последняя посылка с позиции Русской логики просто бестолкова. Дело в том, что частноутвердительный функтор обладает симметрией. Мы можем высказать четыре равноценных суждения:

Некоторые студенты - молодые люди.

Некоторые студенты - немолодые люди.

Некоторые молодые люди - студенты.

Некоторые немолодые люди - студенты.

В силу симметрии частноутвердительного функтора мы должны при выбранном нами универсуме считать, что некоторые люди - животные, а остальные - деревья, кусты, грибы, цветы или другие растения. В соответствии с Русской логикой и здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением «Все люди - животные», поскольку именно это утверждение соответствует истине. В-третьих, по теории великого русского физиолога И.П. Павлова, а Рассел придерживался именно этой господствующей до сих пор теории, разумными могут быть люди и только люди, т.е. «люди» и «разумные существа» - равнозначные понятия. Следовательно, и первая посылка некорректна. Устранив ошибки невежества и бестолковости Б.Рассела, получим следующие посылки и заключение.

Все люди(m) и только люди разумны(x).

Все люди(m) - животные(y).

Все разумные - животные.

Таким образом, мы получили правильное заключение «Все разумные - животные», что вполне согласуется со здравым смыслом и математикой.

В силлогистике существуют многопосылочные силлогизмы, называемые соритами. Рассмотрим пример такого сорита.

Задача 3.1.

Только матлогика может быть наукой о мышлении.

Создатели науки о мышлении - самые выдающиеся в мире мыслители.

Русские учёные - создатели матлогики.

------------------------------------------------

Русские учёные - самые выдающиеся в мире мыслители.

Решение.

Пусть х - матлогика, y - наука о мышлении, z - самые выдающиеся в мире мыслители, u - создатели, v - русские учёные.

M = (x ~ y)(uy > z)(ux > v) = x'y'+u'xy+vyz.

M(u,v,y,z) = y'+u'y+vyz = y'+u'+vz = (uy) > vz, что означает: «Создатели науки о мышлении - русские учёные, самые выдающиеся в мире мыслители». Следовательно, исходное заключение неверно: не все русские учёные - самые выдающиеся в мире мыслители, а только создатели науки о мышлении. Этот сорит можно упростить до силлогизма.

Только создатели науки о мышлении(m) - выдающиеся мыслители(x).

Русские учёные(y) - создатели науки о мышлении(m).

---------------------------------------------------------------------------

M(x,y) = ?

M = (m~x)(m > y) = (mx+m'x')(m'+y) = m'x'+mxy.

M(x,y) = x'+xy = x'+y = Axy, т.е. «Все выдающиеся мыслители - русские учёные»

Решим следующую задачку.

Задача 3.2.

Некоторые студенты (m) - отличники (x).

Некоторые студенты (m)- блондины (y).

------------------------------------------------

Найти f(x,y), если известно, что в компании молодёжи из 10 человек студенты составляют 20%, отличники - тоже 20%, а блондины - 40%.

Решение.

Классическая логика однозначно утверждает, что заключения не существует. Однако в Русской логике эта задача легко решается. Примем в качестве универсума (U) всю компанию молодёжи из 10 человек, тогда получим решение по алгоритму ТВАТ: Ixy = x'+i= Ix'y(5-й базис), т.е. «Некоторые не-отличники - блондины».

Такое интегрированное заключение не противоречит здравому смыслу, но не имеет количественной оценки возникновения возможных ситуаций Axy, Exy, Ixy.

Определим эти вероятности, для чего найдём количество всевозможных способов реализации второй посылки Imy, т.е. k(Imy). Нам известны количественные характеристики: n=10, m=2, x=2, y=4. Отсюда получим, используя формулу для сочетаний

k(Imy) = 2 x C(n-m,y-1) = 2 x C(8,3) = 2 x 56 = 112.

Найдём количество возможных вариантов для заключений Axy, Exy, Ixy.

k(Axy) = C(n-x-1,y-x) = C(7,2) = 21.

k(Exy) = C(n-x-1,y-1) = C(7,3) = 35.

k(Ixy) = C(n-x-1,y-1) + C(n-x-1,y-2) = C(7,3) + C(7,2) = 35 + 21 = 56.

Проверка подтверждает, что k(Axy)+k(Exy)+k(Ixy) = k(Imy).

Теперь легко находятся вероятности всех вариантов заключений.

P(Axy) = k(Axy)/k(Imy) = 21/112 = 3/16.

P(Exy) = k(Exy)/k(Imy) = 35/112 = 5/16.

P(Ixy) = k(Ixy)/k(Imy) = 56/112 = Ѕ = 0,5.

Задача 3.3.

Дано: M = AmxAmy. Найти f(x,y), если U=4, x=2, y=3, m=1.

Решение.

k(Amy) = C(3,2) = C(3,1) = 3

k(Axy) = C(2,1) = 2

k(fi=x+y) = C(2,2) = 1

P(Axy) = k(Axy)/k(Amy) = 2/3

P(x+y) = k(x+y)/k(Amy) = 1/3

Алгоритм «Циклон» (синтез многовариантных силлогизмов).

Убедиться, что для всех терминов-множеств исходных посылок и универсума силлогизма указаны количественные характеристики (заданы мощности множеств или хотя бы соотношения между ними).

Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм Лобанова.

Определить вероятность каждого варианта заключения, используя формулы вычисления количества сочетаний.

В том случае, когда первой посылкой является общеутвердительное или общеотрицательное суждение, то достаточно определить вероятности заключений по одному варианту из всех возможных для первой посылки.

Силлогизмы с четырьмя терминами .

Рассмотрим популярный пример силлогизма с четырьмя терминами и докажем его корректность.

Пример.

Сахар(m) сладкий(x).

Все дети(y) любят(z) сахар(m).

-------------------------------

Все дети любят сладкое.

Решение.

На основании алгоритма ИЭИ получим следующее выражение для полной единицы системы:

M = AmxAy(zm) = (m'+x)(y'+mz) = m'y'+xy'+mxz.

F(x,y,z) = M(x,y,z) = y'+xy'+xz = y'+xz = Ay(xz), т.е. «Все дети любят сладкое», ч.т.д. Однако ребёнок может любить сладкий сахар и не любить сладких конфет, так что заключение не бесспорно.

Мы убедились в том, что силлогизмы могут содержать более 3-х терминов, и нашли способ анализа таких силлогизмов.

3.1 Практикум по силлогистике

Для начала проверим корректность правил посылок «классики».

Задача 3.1.1.

Проверить корректность 1-го правила посылок классической силлогистики. Решение.

Это правило формулируется так: «Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует». Подберём контр-пример на 1-е правило посылок.

Ни один человек(m) не является бессмертным(x).

Ни один человек(m) не является счастливым(y).

F(x,y) = ?

В данном силлогизме универсумом(U=5) является множество существ: смертных и бессмертных богов (х). Пусть х=1. Количество счастливых (у) в нашем случае равно 3. Пусть множество смертных состоит из людей (m=2) и 3-х медведей.

Запись условия задачи: M = EmxEmy

По алгоритму ТВАТ получим графическое решение .

Мы получили двухвариантное заключение:

Бог несчастлив (счастливы только 3 медведя).

Бог счастлив (счастливы и какие-то 2 медведя из 3-х).

Мы доказали, что первое правило посылок некорректно.

Задача 3.1.2.

Проверить корректность 2-го правила посылок классической силлогистики.

Решение.

Это правило формулируется так: «Если одна из посылок - отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным». Контр-пример для этого случая может быть таким.

Все люди(m) - животные(x).

Ни один человек(m) не имеет хвоста(y).

F(x,y) = ?

В качестве универсума(U) примем множество животных. Наиболее наглядным является графическое решение по алгоритму ТВАТ. В этом случае можно не задавать количественные характеристики.

Аналитическая запись условия задачи выглядит так:

M = AmxEmy.

Из скалярных диаграмм видно, что заключение является общеутвердительным: «Все хвостатые существа - животные», что опровергает 2-е правило посылок.

Задача 3.1.3.

Проверить корректность 3-го правила посылок классической силлогистики.

Решение.

Это правило формулируется так: «Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует». Рассмотрим контр-пример:

Некоторые люди (m) неграмотны (x).

Некоторые люди (m) бескультурны (y).

F(x,y) = ?

Пусть (U=6) - множество животных, люди (m=3) - часть животного мира. Предположим, что бескультурным (у=3) может быть как неграмотный (х=2), так и грамотный. Животные, кроме людей, по определению не могут быть культурными.

Вновь воспользуемся алгоритмом ТВАТ.

Краткая запись условия задачи: M = ImxImy.

Получено трёхвариантное заключение:

Все неграмотные культурны.

Все неграмотные бескультурны.

Некоторые неграмотные культурны.

Такое заключение перечёркивает 3-е правило посылок.

Задача 3.1.4.

Проверим 4-е правило посылок: если одна из посылок - частное суждение, то и заключение должно быть частным. Проведём синтез силлогизма:

Все люди (m) смертны (x)

Некоторые люди (m) неграмотны (y)

f(x,y) = ?

Решение.

Пусть в универсум входят люди, животные и боги. В этой задаче не требуются количественные характеристики. Богов будем считать грамотными.

Краткая запись условия задачи: M = AmxImy.

Полученный результат «Все неграмотные смертны» опровергает 4-е правило посылок.

Задача 3.1.5.

Все люди(x) смертны(m)

Сократ(y) - смертен(m)

f(x,y) = ?

Решение.

Если в силлогизме в качестве универсума примем множество животных, т. е. только смертных, то, не зная, что Сократ - человек, получим следующее решение. В данном случае задание количественных характеристик не обязательно.

Краткая запись условия задачи: M = AxmAym.

Расшифровывается эта формула так: «Сократ либо человек, либо животное».

Задача 3.1.6.

Все квадраты(m) суть прямоугольники(x)

Все квадраты(m) суть ромбы(y)

f(x,y) = ?

Решение.

Краткая запись условия задачи: M = AmxAmy.

Если в качестве универсума используем понятие “параллелограммы”, то получим по алгоритму ТВАТ следующий результат:

Заключение в этом случае звучит так: « Некоторые прямоугольники суть ромбы».

Задача 3.1.7.

Найти недостающую посылку:

Все люди (m) смертны (x)

f(m,y) = ?

------------------------------------------------

Все неграмотные (y) смертны (х)

Решение.

Пусть в универсум входят люди, животные и боги, т.е. существа. Богов будем считать грамотными. Поскольку под грамотностью мы понимаем умение читать и писать, то всех животных необходимо признать неграмотными по определению. А поскольку нам известно, что и не все люди грамотные, то количественные параметры терминов нам не нужны. Однако за счёт подбора параметров можно получить искомую посылку в виде Emy.

Краткая запись условия задачи выглядит так:

Amx & f(m,y) > Ayx.

Изобразив на диаграммах Лобанова исходную посылку и заключение, легко найдём недостающую посылку:

Полученная посылка «Некоторые люди неграмотны» в очередной раз опровергает одно из классических правил посылок.

Далее большинство задач позаимствовано из книги Кэрролла (Кэрролл Л. История с узелками. - М.:Мир,1973). Для английского логика характерен дурной тон в формулировке исходных посылок: иногда весьма трудно понять, что подразумевает автор под той или иной фразой. Поэтому учащийся имеет право на подсказку-перевод с невразумительного языка логика-сказочника на чёткий математический язык.

Задача 3.1.9.

Только философы (x) эгоисты (m).

Нет циника (y), который не был бы эгоистом (m).

-----------------------------------------------------------

Следовательно, все циники - философы.

Решение.

Пусть x - философы, y - циники, m - эгоисты. Универсум - люди. Краткая запись условия задачи выглядит так: Amx & Aym > f(x,y). Количественные характеристики не требуются.

Тогда по алгоритму ТВАТ получим:

Заключение: «Все циники - философы».

Задача 3.1.10.

Каждого, кто верит в себя, можно считать Человеком.

Никто, ни один Человек не верит политикам.

----------------------------------------------------------------------------

Все, кто верит политикам, не верит в себя.

Решение.

Пусть х - кто верит в себя, m - Человек, у - кто верит политикам. Универсум - люди. Условие задачи: (x ~ m) & Eym > f(x,y).

Задача 3.1.11.

Нет таких членов парламента, которые не участвуют в законотворчестве.

Только 20% членов парламента составляют юристы.

-----------------------------------------------------------------------------------------

Не все, кто создают законы, являются юристами.

Решение.

В этом силлогизме Кэрролла следует задать количественные характеристики. Пусть m=10 - к-во членов парламента (тогда число парламентариев-юристов равно 2), x=11 - число законотворцев, y=3 - число юристов, U=12 - кол-во людей в зале заседаний.

Условие задачи: Amx & Iym > f(x,y).

Получено 2-вариантное заключение:

Все юристы - законотворцы (Ayx).

Все неюристы - законотворцы и все незаконотворцы - юристы (Ay'xAx'y).

Задача 3.1.12.

Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены.

Настоящий бизнесмен не боится инфляции.

__________________________________________

Некоторые юристы не опасаются инфляции.

Решение.

Здесь Кэрролл, как всегда, некорректен: он не задал количественные характеристики. Пусть x=4 - юристы, m=4 - бизнесмены, y=6 - не боящиеся инфляции предприниматели. Универсум U=8 - группа людей.

Условие задачи: Imx & Amy > f(x,y).

Получено 2-вариантное заключение:

Все юристы не боятся инфляции (Aхy).

Все неюристы не боятся инфляции и все не боящиеся инфляции предприниматели - юристы (Ax'yAy'x).

Задача 3.1.13.

Не всякий любитель насилия любит собственных детей.

Только политики верят в пользу насилия.

----------------------------------------------------------------------------------

Некоторые политики не любят своих детей.

Решение.

Пусть x=4 - политики, m=4 - любители насилия, y=6 - не любящие своих детей родители. Универсум U=8 - группа людей. Условие задачи: Imx & Amy > f(x,y).

Получено 3-вариантное заключение:

Все политики не любят своих детей (Aхy).

Все неполитики не любят своих детей и все любящие своих детей родители - политики (Ax'yAy'x).

Некоторые политики не любят своих детей (Iхy).

Задача 3.1.14.

Только в споре рождается истина.

Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.

-------------------------------------------------------------------------------

Лишь глупец или мошенник могут достичь истины.

Решение.

Пусть x - “родители истины”, m - спорщики, y - глупец или мошенник. Универсум - люди.

Условие задачи: Axm & Amy > f(x,y).

Полученное заключе...